수학적 불평등의 개념은 고대에 발생했습니다. 이 일이 일어났을 때 원시인숫자와 크기를 비교하기 위해 다양한 물체로 계산하고 행동해야 할 필요가 있었습니다. 고대부터 불평등은 아르키메데스, 유클리드 및 기타 유명한 과학자(수학자, 천문학자, 디자이너 및 철학자)에 의해 추론에 사용되었습니다.
그러나 그들은 원칙적으로 작품에서 언어 용어를 사용했습니다. 첫 번째 현대 표지판오늘날 모든 학생들이 알고 있는 형태로 "더 많은"과 "적은"의 개념을 나타내기 위해 그들은 영국에서 발명하고 실행했습니다. 수학자 토마스 해리엇은 후손들에게 그러한 서비스를 제공했습니다. 그리고 그것은 약 4세기 전에 일어났습니다.
불평등에는 여러 유형이 있습니다. 그 중에는 하나, 둘 또는 그 이상의 변수, 제곱, 분수, 복소수 비율을 포함하는 단순하고 표현 시스템으로 표현되는 경우도 있습니다. 그리고 불평등을 해결하는 방법을 이해하려면 다양한 예를 사용하는 것이 가장 좋습니다.
우선 시골에 사는 한 거주자가 마을에서 20km 떨어진 기차역으로 서둘러 간다고 상상해보자. 11시에 출발하는 기차를 놓치지 않으려면 정시에 집을 나서야 한다. 그의 이동 속도가 5km/h인 경우 몇 시에 해야 합니까? 이 실제 작업의 솔루션은 다음 식의 조건을 충족하는 것으로 축소됩니다. 5 (11 - X) ≥ 20, 여기서 X는 출발 시간입니다.
마을 사람이 역까지 극복해야 하는 거리는 이동 속도에 도로 위의 시간을 곱한 것과 같기 때문에 이해할 수 있습니다. 오다 이전 남자아마도, 하지만 그는 늦을 수 없습니다. 불평등을 해결하는 방법을 알고 우리의 기술을 실제로 적용하면 결국 X ≤ 7이 될 것입니다. 이것이 답입니다. 이것은 마을 사람이 아침 7시에 또는 조금 더 일찍 기차역에 가야 한다는 것을 의미합니다.
이제 위에서 구한 부등식이 엄밀하지 않은 부등식에 설명된 관계를 매핑하는 방법을 알아보겠습니다. 변수가 7보다 작은 값을 가질 수 있고 이 숫자와 같을 수 있음을 의미합니다. 다른 예를 들어 보겠습니다. 이렇게 하려면 아래의 네 가지 그림을 주의 깊게 고려하십시오.
첫 번째에서 간격의 그래픽 표현을 볼 수 있습니다. [-7; 7]. 경계선을 포함하여 좌표선에 있고 -7과 7 사이에 있는 일련의 숫자로 구성됩니다. 이 경우 그래프의 점은 채워진 원으로 표시되며 간격은 다음을 사용하여 기록됩니다.
두 번째 그림은 엄격한 불평등을 그래프로 나타낸 것입니다. 이 경우 구멍이 뚫린(채워지지 않은) 점으로 표시된 경계 번호 -7과 7은 지정된 집합에 포함되지 않습니다. 그리고 간격 자체는 다음과 같이 괄호 안에 기록됩니다: (-7; 7).
즉, 이 유형의 부등식을 해결하는 방법을 알아내고 비슷한 답변을 받은 결과 -7과 7을 제외하고 고려된 경계 사이에 있는 숫자로 구성되어 있다는 결론을 내릴 수 있습니다. 다음 두 경우를 평가해야 합니다. 비슷한 방식으로. 세 번째 그림은 간격의 이미지를 제공합니다(-∞; -7] U ; S. A. Telyakovsky 편집 - 16판 - M.: Enlightenment, 2008. - 271 p.: ill. - ISBN 978-5 -09-019243- 9.
고대부터 실용적인 문제를 풀 때 값과 양을 비교할 필요가 있었습니다. 동시에 더 많이, 더 높게, 더 가볍고 무겁게, 더 조용하게 더 크게, 더 싸고 더 비싸게 등의 단어가 나타나서 균일한 양을 비교한 결과를 나타냅니다.
더 많은 것과 더 적은 것의 개념은 물체의 계산, 수량의 측정 및 비교와 관련하여 발생했습니다. 예를 들어, 고대 그리스의 수학자들은 삼각형의 한 변이 다른 두 변의 합보다 작고 삼각형의 큰 변이 큰 각의 반대편에 있다는 것을 알고 있었습니다. 아르키메데스는 원의 둘레를 계산하는 동안 모든 원의 둘레가 지름의 3배와 같고 초과분은 지름의 1/7보다 작지만 지름의 10/71보다 크다는 것을 발견했습니다.
> 및 b 기호를 사용하여 숫자와 수량 간의 관계를 기호로 작성합니다. 두 숫자가 기호 중 하나로 연결된 항목: > (보다 큼), 초등학교 학년에서 숫자 불평등도 만났습니다. 불평등이 사실일 수도 있고 아닐 수도 있다는 것을 알고 있습니다. 예를 들어 \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \)는 유효한 수치 부등식이고 0.23 > 0.235는 유효하지 않은 수치 부등식입니다.
미지수를 포함하는 부등식은 미지수의 일부 값에 대해 참이고 다른 값에 대해 거짓일 수 있습니다. 예를 들어, 부등식 2x+1>5는 x = 3의 경우 참이지만 x = -3의 경우 거짓입니다. 하나의 미지수가 있는 부등식의 경우 작업을 설정할 수 있습니다. 부등식 해결. 실제로 불평등을 푸는 문제는 방정식을 푸는 문제보다 덜 자주 제기되고 해결됩니다. 예를 들어, 많은 경제적 문제가 선형 부등식 시스템의 연구 및 솔루션으로 축소됩니다. 수학의 많은 분야에서 불평등은 방정식보다 더 일반적입니다.
일부 부등식은 방정식의 근과 같은 특정 대상의 존재를 증명하거나 반증하는 유일한 보조 수단으로 사용됩니다.
정수와 소수를 비교할 수 있습니다. 분모는 같지만 분자가 다른 일반 분수를 비교하는 규칙을 알고 있습니다. 분자는 같지만 분모가 다릅니다. 여기에서 차이의 부호를 찾아 두 숫자를 비교하는 방법을 배웁니다.
숫자의 비교는 실제로 널리 사용됩니다. 예를 들어, 경제학자는 계획된 지표를 실제 지표와 비교하고, 의사는 환자의 체온을 정상과 비교하고, 터너는 가공 부품의 치수를 표준과 비교합니다. 이러한 모든 경우에 일부 숫자가 비교됩니다. 숫자를 비교한 결과 수치적 불평등이 발생합니다.
정의.차이 a-b가 양수이면 숫자는 숫자 b보다 큽니다. 차이 a-b가 음수이면 숫자는 숫자 b보다 작습니다.
가 b보다 크면 다음과 같이 씁니다. > b; 가 b보다 작으면 다음과 같이 씁니다. 따라서 부등식 a > b는 차이 - b가 양수임을 의미합니다. a - b > 0. 부등식 다음 세 가지 관계의 임의의 두 숫자 a 및 b에 대해 a > b, a = b, a 정리. a > b 및 b > c이면 a > c입니다.
정리.부등식의 양변에 같은 수를 더하면 부등식의 부호는 변하지 않습니다.
결과.모든 항은 이 항의 부호를 반대 방향으로 변경하여 부등식의 한 부분에서 다른 부분으로 이동할 수 있습니다.
정리.부등식의 양쪽에 동일한 양수를 곱하면 부등식의 부호가 변경되지 않습니다. 부등식의 양쪽에 동일한 음수를 곱하면 부등식의 부호가 반대로 바뀝니다.
결과.부등식의 두 부분을 동일한 양수로 나누면 부등식의 부호가 변경되지 않습니다. 부등식의 두 부분을 동일한 음수로 나누면 부등식의 부호가 반대로 바뀝니다.
수치 평등은 항별로 더하고 곱할 수 있다는 것을 알고 있습니다. 다음으로, 부등식으로 유사한 작업을 수행하는 방법을 배웁니다. 부등식을 항별로 더하고 곱하는 기능은 실제로 자주 사용됩니다. 이러한 작업은 식 값을 평가하고 비교하는 문제를 해결하는 데 도움이 됩니다.
다양한 문제를 풀 때 부등식의 왼쪽 부분과 오른쪽 부분을 항으로 더하거나 곱해야 하는 경우가 많습니다. 때때로 불평등이 더하거나 곱해진다고 합니다. 예를 들어 관광객이 첫날 20km 이상, 둘째 날 25km 이상을 걸었다면 이틀 동안 45km 이상을 걸었다고 주장할 수 있습니다. 마찬가지로 직사각형의 길이가 13cm 미만이고 너비가 5cm 미만인 경우 이 직사각형의 면적은 65cm2 미만이라고 주장할 수 있습니다.
이러한 예를 고려하면 다음과 같습니다. 부등식의 덧셈과 곱셈에 관한 정리:
정리.동일한 부호의 부등식을 추가하면 동일한 부호의 부등식을 얻습니다. a > b 및 c > d이면 a + c > b + d입니다.
정리.왼쪽과 오른쪽이 양수인 동일한 부호의 부등식을 곱하면 동일한 부호의 부등식이 얻어집니다. a > b, c > d 및 a, b, c, d가 양수이면 ac > BD.
부등식 > (보다 큼) 및 1/2, 3/4 b, c 엄격한 부등식 기호와 함께 > 및 같은 방식으로 부등식 \(a \geq b \)는 숫자 a가 더 크다는 것을 의미합니다 b 이상, 즉 b 이상.
기호 \(\geq \) 또는 기호 \(\leq \)를 포함하는 부등식을 비엄격이라고 합니다. 예를 들어, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) 는 완전 부등식이 아닙니다.
엄격한 부등식의 모든 속성은 비엄격한 부등식에도 유효합니다. 더욱이, 엄격한 부등식의 경우 기호 >가 반대인 것으로 간주되고 여러 적용 문제를 해결하려면 방정식 또는 방정식 시스템의 형태로 수학적 모델을 작성해야 한다는 것을 알고 있습니다. 또한 많은 문제를 해결하기 위한 수학적 모델은 미지수와 부등식이라는 것을 알게 될 것입니다. 부등식을 푸는 개념을 소개하고 주어진 숫자가 특정 부등식에 대한 솔루션인지 확인하는 방법을 보여줍니다.
형태의 부등식
\(ax > b, \quad ax는 a와 b에 숫자가 주어지고 x가 알려지지 않은 경우 호출됩니다. 하나의 미지의 선형 부등식.
정의.하나의 미지수가 있는 부등식의 해는 이 부등식이 진정한 수치적 부등식으로 바뀌는 미지수의 값입니다. 부등식을 해결한다는 것은 모든 솔루션을 찾거나 아무 것도 없다는 것을 확립하는 것을 의미합니다.
방정식을 가장 간단한 방정식으로 줄여서 방정식을 풉니다. 유사하게, 부등식을 풀 때 속성의 도움으로 가장 단순한 부등식의 형태로 부등식을 줄이는 경향이 있습니다.
형태의 부등식
\(ax^2+bx+c >0 \) 및 \(ax^2+bx+c 여기서 x는 변수이고 a, b 및 c는 일부 숫자이고 \(a \neq 0 \)라고 합니다. 하나의 변수가 있는 2차 부등식.
불평등 해결
\(ax^2+bx+c >0 \) 또는 \(ax^2+bx+c \)는 함수 \(y= ax^2+bx+c \)가 양수를 취하는 간격을 찾는 것으로 생각할 수 있습니다. 또는 음수 값 이렇게하려면 함수 \ (y = ax ^ 2 + bx + c \)의 그래프가 좌표 평면에 어떻게 위치하는지 분석하면 충분합니다. 포물선의 가지가 위 또는 아래로 향하는 곳 , 포물선이 x 축과 교차하는지 여부와 교차하는 경우 어떤 점에서 교차하는지.
하나의 변수로 2차 부등식을 푸는 알고리즘:
1) 제곱 삼항식 \(ax^2+bx+c\)의 판별식을 찾고 삼항식에 근이 있는지 확인합니다.
2) 삼항식에 근이 있는 경우 x축에 표시하고 표시된 점을 통해 개략적 포물선을 그립니다. 분기는 a > 0에서 위쪽 또는 a 0에서 아래쪽으로 향하거나 3) 에서 간격 찾기 점 포물선이 x축 위(부등식 \(ax^2+bx+c >0 \)를 해결하는 경우) 또는 x축 아래(부등식을 해결하는 경우)에 있는 x축
\(ax^2+bx+c 구간법에 의한 부등식 풀기)
기능을 고려하십시오
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
이 함수의 정의역은 모든 숫자의 집합입니다. 함수의 0은 숫자 -2, 3, 5입니다. 함수의 영역을 \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3, 5) 간격으로 나눕니다. ) \) 및 \( (5; +\infty) \)
표시된 각 간격에서 이 함수의 부호가 무엇인지 알아봅시다.
표현식 (x + 2)(x - 3)(x - 5)는 세 가지 요인의 곱입니다. 고려 된 간격에서 이러한 각 요인의 부호는 표에 나와 있습니다.
일반적으로 함수가 공식으로 주어집니다.
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
여기서 x는 변수이고 x 1 , x 2 , ..., x n 은 같은 숫자가 아닙니다. 숫자 x 1 , x 2 , ..., x n은 함수의 0입니다. 정의 영역을 함수의 0으로 나눈 각 구간에서 함수의 부호는 유지되고 0을 통과하면 부호가 변경됩니다.
이 속성은 형식의 부등식을 푸는 데 사용됩니다.
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) 여기서 x 1 , x 2 , ..., x n은 동일한 숫자가 아닙니다.
고려된 방법 부등식을 푸는 것을 구간법이라고 합니다.
간격 방법으로 부등식을 해결하는 예를 들어 보겠습니다.
부등식 해결:
\(x(0.5-x)(x+4) 분명히 f(x) = x(0.5-x)(x+4) 함수의 0은 점 \frac(1)(2) , \; x=-4 \)실제 축에 함수의 0을 표시하고 각 간격에 대한 부호를 계산합니다.
함수가 0보다 작거나 같은 구간을 선택하고 답을 기록합니다.
대답:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
간격 방법은 불평등을 해결하는 보편적인 방법으로 간주됩니다. 이것은 하나의 변수로 2차 부등식을 푸는 데 사용하는 가장 쉬운 방법입니다. 이 자료에서 우리는 2차 부등식을 풀기 위해 간격 방법을 사용하는 모든 측면을 고려할 것입니다. 자료의 동화를 용이하게 하기 위해 우리는 다양한 정도의 복잡성에 대한 많은 예를 고려할 것입니다.
Yandex.RTB R-A-339285-1
2차 부등식을 푸는 데 적합한 적응된 버전에서 간격 방법을 적용하는 알고리즘을 고려하십시오. 이 버전의 간격 방법을 통해 학생들은 대수학 수업을 접하게 됩니다. 작업과 우리를 복잡하게하지 맙시다.
알고리즘 자체로 넘어 갑시다.
제곱 부등식의 왼쪽에서 제곱 삼항식 x 2 + b x + c가 있습니다. 이 삼항식에서 0을 찾습니다.
좌표계에서 좌표선을 그립니다. 우리는 그것에 뿌리를 표시합니다. 편의를 위해 엄격한 부등식과 비엄격한 부등식에 대해 점을 지정하는 다양한 방법을 소개할 수 있습니다. 엄격한 부등식을 풀 때 좌표를 "빈"점으로 표시하고 일반 점 - 비 엄격한 점으로 좌표를 표시한다는 데 동의합시다. 점을 표시하면 좌표축에 몇 개의 간격이 생깁니다.
첫 번째 단계에서 0을 찾으면 얻은 각 간격에 대한 삼항식 값의 부호를 결정합니다. 0을 받지 못한 경우 전체 숫자 행에 대해 이 작업을 수행합니다. "+"또는 "-"기호로 간격을 표시합니다.
또한 기호 > 또는 ≥로 부등식을 풀고 부등식을 해결할 때 음영을 도입합니다.< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».
삼항식 값의 기호를 표시하고 세그먼트를 해치함으로써 특정 숫자 집합의 기하학적 이미지를 얻습니다. 이는 실제로 불평등에 대한 솔루션입니다. 답을 적어두기만 하면 됩니다.
간격의 부호를 결정하는 알고리즘의 세 번째 단계에 대해 더 자세히 설명하겠습니다. 기호를 정의하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 가장 빠르지는 않지만 가장 정확한 것부터 순서대로 고려합시다. 이 방법에는 얻은 간격의 여러 지점에서 삼항식 값을 계산하는 것이 포함됩니다.
실시예 1
예를 들어, 삼항 x 2 + 4 · x − 5 를 취하십시오.
이 삼항식 1 및 - 5의 근은 좌표축을 세 개의 간격 (− ∞ , − 5) , (− 5 , 1) 및 (1 , + ∞) 로 나눕니다.
간격 (1 , + ∞) 부터 시작하겠습니다. 작업을 단순화하기 위해 x \u003d 2를 사용하겠습니다. 우리는 2 2 + 4 2 − 5 = 7 을 얻습니다.
7은 양수입니다. 이것은 구간 (1 , + ∞)에 대한 이 제곱 삼항식의 값이 양수이고 "+" 기호로 표시할 수 있음을 의미합니다.
구간 (− 5 , 1)의 부호를 결정하기 위해 x = 0을 취합니다. 0 2 + 4 0 − 5 = − 5 입니다. 간격 위에 "-"기호를 넣습니다.
구간 (− ∞ , − 5) 에 대해 x = − 6 을 취하면 (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7 을 얻습니다. 이 간격을 "+" 기호로 표시합니다.
다음 사실을 고려하여 징후를 결정하는 것이 훨씬 빠릅니다.
양수 판별식을 사용하면 근이 2개인 제곱 삼항식은 숫자 축이 이 삼항식의 근으로 나누어지는 간격에서 값의 부호가 교대로 나타납니다. 즉, 각 구간에 대한 기호를 정의할 필요가 없습니다. 교대 원칙을 고려하여 하나에 대한 계산을 수행하고 나머지에 대한 표시를 내리는 것으로 충분합니다.
원하는 경우 계산 없이도 선행 계수의 값에서 부호에 대한 결론을 도출할 수 있습니다. a > 0 이면 일련의 문자 + , − , + 를 얻고 a< 0 – то − , + , − .
근이 하나인 제곱 삼항식의 경우 판별식이 0이면 좌표축에 동일한 부호를 가진 두 개의 간격이 생깁니다. 이것은 우리가 간격 중 하나에 대한 부호를 결정하고 두 번째 간격에 대해 동일하게 설정한다는 것을 의미합니다.
여기서 우리는 또한 계수 a의 값을 기반으로 부호를 결정하는 방법을 적용합니다. a > 0이면 + , + 및 a이면< 0 , то − , − .
제곱 삼항식에 근이 없으면 전체 좌표선에 대한 값의 부호는 선행 계수 a의 부호와 자유 항 c의 부호와 일치합니다.
예를 들어, 제곱 삼항식 - 4 x 2 - 7을 취하면 근이 없습니다(판별자는 음수임). x 2에서의 계수는 음수 - 4이고 자유 항 - 7도 음수입니다. 이것은 구간 (− ∞ , + ∞)에서 값이 음수임을 의미합니다.
위에서 논의한 알고리즘을 사용하여 2차 부등식을 푸는 예를 고려하십시오.
실시예 2
부등식 8 · x 2 − 4 · x − 1 ≥ 0 을 풉니다.
해결책
우리는 간격 방법을 사용하여 부등식을 해결합니다. 이를 위해 제곱 삼항식 8 · x 2 − 4 · x − 1 의 근을 찾습니다. x에서의 계수가 짝수이기 때문에 판별식이 아니라 판별식의 네 번째 부분인 D " = (− 2) 2 − 8 (− 1) = 12를 계산하는 것이 더 편리합니다.
판별식이 0보다 큽니다. 이를 통해 제곱 삼항식의 두 근을 찾을 수 있습니다. x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 및 x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . 숫자 줄에 이러한 값을 기록하십시오. 방정식이 엄격하지 않기 때문에 그래프에서 일반 점을 사용합니다.
이제 간격 방법을 사용하여 얻은 세 간격의 부호를 결정합니다. x 2에서의 계수는 8, 즉 양수이므로 부호 시퀀스는 + , − , + 가 됩니다.
≥ 기호로 부등식을 풀기 때문에 더하기 기호로 간격을 해칭합니다. 
얻은 그래픽 이미지에 따라 수치 집합을 분석적으로 적어 봅시다. 두 가지 방법으로 이 작업을 수행할 수 있습니다.
대답:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞ ) 또는 x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .
실시예 3
2차 부등식 풀기 - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.
해결책
먼저 부등식의 좌변에서 제곱 삼항식의 근을 구합니다.
D " \u003d 1 2 - - 1 7 - 7 \u003d 0 x 0 \u003d - 1 - 1 7 x 0 \u003d 7
이것은 엄격한 부등식이므로 그래프에서 "빈" 점을 사용합니다. 좌표 7 .
이제 구한 구간 (− ∞ , 7) 과 (7 , + ∞) 의 부호를 결정해야 합니다. 제곱 삼항식의 판별식이 0이고 선행 계수가 음수이므로 기호 − , −를 적용합니다.
부호 있는 부등식을 풀기 때문에< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:
에 이 경우솔루션은 두 구간 (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) 입니다.
대답:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) 또는 다른 표기법 x ≠ 7 .
실시예 4
합니까 제곱 부등식 x 2 + x + 7< 0 решения?
해결책
부등식의 좌변에서 제곱삼항식의 근을 구해봅시다. 이를 위해 판별식 D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 을 찾습니다. 판별식이 0보다 작으므로 실제 근이 없습니다.
그래픽 이미지는 위에 표시된 점이 없는 숫자 라인처럼 보입니다.
제곱 삼항식 값의 부호를 결정합시다. 디에서< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :
이 경우 "-" 기호가 있는 간격에 해칭을 적용할 수 있습니다. 그러나 우리는 그러한 격차가 없습니다. 따라서 그림은 다음과 같습니다.
계산 결과, 우리는 빈 세트를 얻었습니다. 이것은 이 2차 부등식에 해가 없음을 의미합니다.
대답:아니.
텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.
