독자는 이미 프레젠테이션에서 "확률" 개념이 자주 사용되는 것을 알아차렸습니다.
그것 특징고대 및 중세 논리와 대조되는 현대 논리. 현대 논리학자는 철학자와 신학자가 생각하는 데 익숙한 것처럼 우리의 모든 지식이 다소 확률적일 뿐 확실하지 않다는 것을 이해합니다.그는 귀납적 추론이 더 이상 아무것도 기대하지 않기 때문에 자신의 결론에 확률을 부여할 뿐이라고 지나치게 걱정하지 않습니다. 그러나 그는 결론의 가능성조차 의심할 만한 이유를 찾으면 주저할 것입니다.
그래서 두 가지 문제가 발생했습니다 현대 논리과거보다 훨씬 더 중요합니다. 첫째, 확률의 본질이고, 둘째, 귀납의 중요성이다. 이러한 문제에 대해 간단히 논의해 보겠습니다.
확률에는 각각 확정 및 무기한의 두 가지 유형이 있습니다.
주사위를 던지거나 동전을 던지는 것과 같은 문제가 논의되는 확률의 수학적 이론에서 특정 종류의 확률이 발생합니다. 그것은 여러 가능성이 있는 곳이면 어디에서나 발생하며 그 중 어느 것도 다른 가능성보다 선호될 수 없습니다. 동전을 던지면 앞면이나 뒷면 중 하나가 나올 것이지만 둘 다 가능성이 똑같이 보입니다. 따라서 앞면과 뒷면이 나올 확률은 50%이며 하나는 신뢰성으로 간주됩니다. 마찬가지로 주사위를 굴리면 여섯 면 중 어느 한 면에 떨어질 수 있으며 그 중 한 면을 선택할 이유가 없으므로 각각의 확률은 1/6입니다. 보험 캠페인은 이러한 종류의 확률을 작업에 사용합니다. 그들은 어느 건물이 불에 타버릴지 모르지만, 매년 몇 퍼센트의 건물이 불에 타버릴지는 알고 있습니다. 그들은 특정 사람이 얼마나 오래 살지 모르지만, 평균 기간주어진 시간에 삶. 그러한 모든 경우에, 모든 지식이 단지 개연성이 있다는 의미를 제외하고는 확률의 추정 자체가 단순히 개연성이 있는 것은 아닙니다. 확률 추정 자체가 가질 수 있는 높은 학위확률. 그렇지 않으면 보험 회사가 파산했을 것입니다.
유도 가능성을 높이기 위해 많은 노력을 기울였지만 이러한 모든 시도가 헛된 것이라고 믿을만한 이유가 있습니다. 귀납적 추론의 확률 특성은 위에서 말했듯이 거의 항상 불확실합니다.
이제 그것이 무엇인지 설명하겠습니다.
인간의 모든 지식이 틀렸다고 주장하는 것은 하찮은 일이 되었습니다. 오류가 다른 것은 분명합니다. 내가 그렇게 말하면 불 6세기에 살았다 그리스도의 탄생 이전에는 오류의 가능성이 매우 높을 것입니다. 내가 그렇게 말하면 시저죽었을 경우 오류의 가능성은 작을 것입니다.
지금 무슨 일이 일어나고 있는지 말하면 대전, 그렇다면 오류의 가능성은 너무 작아서 철학자나 논리학자만이 그 존재를 인정할 수 있습니다. 이러한 예는 다음과 같습니다. 역사적 사건들, 그러나 과학 법칙에도 유사한 계조가 존재합니다. 그들 중 일부는 경험적 데이터가 부족하다는 관점에서 누구도 이 가설에 대해 더 심각한 지위를 부여하지 않을 것이라는 명백한 가설을 가지고 있는 반면, 다른 일부는 너무 확실하여 과학자 입장에서 그들의 주장에 대해 거의 의심의 여지가 없는 것처럼 보입니다. 진실. (내가 "진실"이라고 말할 때 나는 "근사적인 진실"을 의미합니다. 과학 법칙일부 수정될 수 있습니다.)
확률은 이 단어가 확률에 대한 수학적 이론의 의미로 이해된다면 우리가 확신하는 것과 우리가 어느 정도 인정하는 것 사이의 어떤 것입니다.
확실성의 정도 또는 신뢰성의 정도를 말하는 것이 더 정확할 것입니다. . 그것은 내가 "특정 확률"이라고 부르는 것의 더 넓은 개념이며 또한 더 중요합니다."
Bertrand Russell, 결론을 그리는 기술 / 사고의 기술, M., House of Intellectual Books, 1999, p. 50-51.
사건의 발생 가능성 정도에 따라 양적으로 비교하기 위해서는 반드시 각 사건에 일정한 수를 연관시키는 것이 필요하며, 많을수록 사건이 일어날 가능성이 높아진다. 우리는 이 숫자를 사건의 확률이라고 부릅니다. 이런 식으로, 사건 확률는 이 사건의 객관적 가능성 정도를 수치적으로 측정한 것입니다.
도박의 분석에서 생겨난 고전적인 확률의 정의는 처음에 직관적으로 적용된 확률의 첫 번째 정의로 간주되어야 합니다.
확률을 결정하는 고전적인 방법은 주어진 경험의 결과이며 양립할 수 없는 사건의 완전한 그룹을 형성하는 동등하게 개연성이 있고 양립할 수 없는 사건의 개념을 기반으로 합니다.
완전한 그룹을 형성하는 동등하게 가능하고 양립할 수 없는 사건의 가장 간단한 예는 동일한 크기, 무게 및 기타 유형적 특징을 갖고 색상만 다른 여러 개의 공이 들어 있는 항아리에서 꺼내기 전에 완전히 혼합된 하나 또는 다른 공의 모습입니다. .
따라서 결과가 양립할 수 없고 동등하게 가능성이 있는 사건의 완전한 그룹을 형성하는 테스트는 항아리 계획 또는 사례 계획으로 축소되거나 고전적 계획에 적합하다고 합니다.
완전한 그룹을 구성하는 동등하게 가능하고 양립할 수 없는 사건을 단순히 경우 또는 기회라고 합니다. 또한 각 실험에서 경우와 함께 더 복잡한 이벤트가 발생할 수 있습니다.
예: 주사위를 던질 때 A i - 윗면에 i 점이 떨어지는 경우, B - 짝수 점이 떨어지는 경우, C - 3의 배수가 떨어지는 경우와 같은 이벤트 ...
실험을 수행하는 동안 발생할 수 있는 각 이벤트와 관련하여 사례를 다음과 같이 나눕니다. 유리한, 이 이벤트가 발생하는 시점과 이벤트가 발생하지 않는 불리한 시점. 이전 예에서 이벤트 B는 케이스 A 2 , A 4 , A 6 에 의해 선호됩니다. 사건 C - 경우 A 3 , A 6 .
고전적 확률어떤 사건의 발생은 주어진 경험에서 완전한 그룹을 구성하는 동등하게 가능하고 양립할 수 없는 총 경우의 수에 대한 이 사건의 출현을 선호하는 경우의 수의 비율입니다.
어디 아빠)- 사건 A의 발생 확률; 중- 사건 A에 유리한 경우의 수; N총 케이스 수입니다.
예:
1) (위의 예 참조) 피(나)= , 피(C) =.
2) 항아리에는 9개의 빨간색 공과 6개의 파란색 공이 들어 있습니다. 무작위로 뽑힌 하나 또는 두 개의 공이 빨간색일 확률을 구하십시오.
하지만- 무작위로 뽑힌 빨간 공:
중= 9, N= 9 + 6 = 15, 아빠)=
비- 무작위로 뽑힌 두 개의 빨간 공:
다음 속성은 확률의 고전적 정의를 따릅니다(자신을 보여주세요).
1) 불가능한 사건의 확률은 0입니다.
2) 어떤 사건의 확률은 1이다.
3) 어떤 사건의 확률은 0과 1 사이에 있습니다.
4) 사건 A와 반대되는 사건의 확률,
확률의 고전적 정의는 시행의 결과 수가 유한하다고 가정합니다. 실제로 테스트는 매우 자주 접하게 됩니다. 가능한 경우무한한 것. 게다가, 약한 쪽고전적인 정의는 테스트 결과를 일련의 기본 이벤트로 표현하는 것이 매우 종종 불가능하다는 것입니다. 테스트의 기본 결과를 동등하게 가능성이 있다고 간주하는 근거를 나타내는 것은 훨씬 더 어렵습니다. 일반적으로 테스트의 기본 결과의 평등은 대칭성을 고려하여 결론지어집니다. 그러나 그러한 작업은 실제로 매우 드뭅니다. 이러한 이유로 확률의 고전적 정의와 함께 확률의 다른 정의도 사용됩니다.
통계적 확률이벤트 A는 수행된 테스트에서 이 이벤트의 상대적 발생 빈도입니다.
여기서 사건 A의 발생 확률은 어디입니까?
사건 A의 상대적 발생 빈도;
사건 A가 나타난 시도 횟수;
총 시도 횟수입니다.
같지 않은 고전적 확률통계적 확률은 실험적, 실험적 특성입니다.
예: 배치에서 제품의 품질을 관리하기 위해 100개의 제품을 무작위로 선택했으며 그 중 3개의 제품이 불량품으로 판명되었습니다. 결혼 가능성을 결정하십시오.
.
확률을 결정하는 통계적 방법은 다음 속성을 갖는 이벤트에만 적용할 수 있습니다.
고려 중인 사건은 동일한 조건 세트에서 무제한으로 재현할 수 있는 시도의 결과여야 합니다.
이벤트에는 통계적 안정성(또는 상대 빈도의 안정성)이 있어야 합니다. 이는 다른 일련의 테스트에서 이벤트의 상대 빈도가 크게 변경되지 않음을 의미합니다.
사건 A가 발생하는 시행 횟수는 충분히 커야 합니다.
확률의 통계적 정의에서도 고전적 정의를 따르는 확률의 속성이 그대로 유지되고 있음을 쉽게 확인할 수 있다.
실제 활동을 위해서는 발생 가능성의 정도에 따라 이벤트를 비교할 수 있어야 합니다. 고전적인 경우를 생각해 보자. 항아리에는 10개의 공이 들어 있으며 그 중 8개는 흰색, 2 블랙. 분명히, "항아리에서 흰 공을 꺼낼 것이다"라는 사건과 "검은 공을 항아리에서 꺼낼 것이다"라는 사건은 발생 가능성의 정도가 다르다. 따라서 사건을 비교하기 위해서는 일정한 양적 측정이 필요하다.
사건이 일어날 가능성에 대한 정량적 측정은 개연성 . 가장 널리 사용되는 것은 사건의 확률에 대한 두 가지 정의인 고전적 및 통계적입니다.
고전적인 정의확률은 유리한 결과의 개념과 관련이 있습니다. 이에 대해 더 자세히 살펴보겠습니다.
일부 테스트의 결과가 완전한 이벤트 그룹을 형성하고 동등하게 가능성이 있다고 가정합니다. 유일하게 가능하고 일관성이 없으며 동등하게 가능합니다. 이와 같은 결과를 기본 결과, 또는 케이스. 시험이 줄어들었다고 한다. 케이스 차트또는 " 항아리 계획", 왜냐하면 그러한 테스트에 대한 모든 확률적 문제는 다른 색상의 항아리와 공에 대한 동등한 문제로 대체될 수 있습니다.
출애굽이라고 한다 유리한이벤트 하지만이 사건의 발생이 사건의 발생을 수반하는 경우 하지만.
고전적인 정의에 따르면 사건 확률 A는 전체 결과 수에 대한 이 이벤트를 선호하는 결과 수의 비율과 같습니다., 즉.
| , | (1.1) |
어디 아빠)- 사건의 확률 하지만; 중- 이벤트에 유리한 경우의 수 하지만; N총 케이스 수입니다.
예 1.1.주사위를 던질 때 6개의 결과가 가능합니다 - 1, 2, 3, 4, 5, 6점의 손실. 짝수 점수를 얻을 확률은 얼마입니까?
해결책. 모두 N= 6개의 결과가 사건의 완전한 그룹을 형성하고 동등하게 가능성이 있습니다. 즉, 유일하게 가능하고 일관성이 없으며 동등하게 가능합니다. 이벤트 A - "짝수 포인트의 출현" - 3가지 결과(경우)에 의해 선호됩니다(2, 4 또는 6포인트 손실). 사건의 확률에 대한 고전적인 공식에 따르면, 우리는
아빠) = = . ◄
사건의 확률에 대한 고전적인 정의에 따라 우리는 그 속성에 주목합니다.
1. 어떤 사건의 확률은 0과 1 사이에 있습니다.
0 ≤ 아르 자형(하지만) ≤ 1.
2. 어떤 사건의 확률은 1과 같다.
3. 불가능한 사건의 확률은 0입니다.
앞서 언급했듯이 확률의 고전적 정의는 가능한 결과의 대칭을 갖는 시행의 결과로 나타날 수 있는 사건에만 적용할 수 있습니다. 사례 계획으로 축소 가능. 그러나 고전적인 정의를 사용하여 확률을 계산할 수 없는 많은 종류의 사건이 있습니다.
예를 들어, 동전이 평평하다고 가정하면 "문장의 출현"과 "꼬리의 출현"이 동등하게 가능한 것으로 간주 될 수 없다는 것이 분명합니다. 따라서 고전적인 계획에 따라 확률을 결정하는 공식은 이 경우해당되지 않습니다.
그러나 수행된 테스트에서 주어진 이벤트가 얼마나 자주 발생하는지에 따라 이벤트의 확률을 평가하는 또 다른 접근 방식이 있습니다. 이 경우 확률의 통계적 정의가 사용됩니다.
통계적 확률이벤트 A는 수행된 n번의 테스트에서 이 이벤트가 발생한 상대 빈도(빈도)입니다.
 ,
| (1.2) |
어디 R * (A)이벤트의 통계적 확률입니다. 하지만; 승(A)이벤트의 상대 빈도입니다. 하지만; 중이벤트가 발생한 시도의 수입니다. 하지만; N총 시도 횟수입니다.
수학적 확률과 달리 아빠)고전적 정의에서 고려되는 통계적 확률 R * (A)특성이다 경험, 실험적인. 즉, 사건의 통계적 확률 하지만상대 주파수가 안정화(확립)되는 상대적인 번호가 호출됩니다. 승(A)동일한 조건에서 수행되는 테스트 수의 무제한 증가.
예를 들어 저격수가 0.95의 확률로 목표물을 명중한다고 말할 때 이는 특정 조건(동일한 거리에 있는 동일한 목표물, 동일한 소총 등)에서 그가 쏜 100발 중 100발을 의미합니다. ), 평균적으로 약 95개의 성공적인 것이 있습니다. 당연히 100번마다 95번의 성공적인 샷이 있는 것은 아니며 때로는 더 적거나 더 많을 수도 있지만 평균적으로 동일한 조건에서 반복되는 슈팅으로 이 안타 비율은 변경되지 않습니다. 사수의 기술의 지표 역할을하는 숫자 0.95는 일반적으로 매우 안정적인, 즉. 대부분의 사격에서 안타의 비율은 주어진 사수에 대해 거의 동일합니다. 드문 경우평균값에서 크게 벗어납니다.
확률의 고전적 정의의 또 다른 단점( 1.1 ), 그 적용을 제한하는 것은 가능한 테스트 결과의 유한 수를 가정한다는 것입니다. 어떤 경우에는 확률의 기하학적 정의를 사용하여 이 단점을 극복할 수 있습니다. 특정 영역(선분, 평면의 일부 등)에서 한 지점을 칠 확률을 찾습니다.
평평한 그림을 보자 g평면 그림의 일부를 형성 G(그림 1.1). 그림에 G점은 무작위로 던져집니다. 이는 해당 영역의 모든 점을 의미합니다. G던져진 임의의 점으로 치는 것과 관련하여 "같음". 어떤 사건이 일어날 확률을 가정하면 하지만- 피규어의 던진 점을 치는 것 g-이 수치의 면적에 비례하며 상대적인 위치에 의존하지 않습니다. G, 형식에서 g, 찾기
~에 임의의 사건의 발생 확률을 추정하기 위해서는 우리가 관심을 갖는 사건의 발생 확률()이 다른 사건이 어떻게 전개되는지에 따라 달라지는지 여부를 미리 파악하는 것이 매우 중요합니다.
고전적 방식의 경우 모든 결과가 동등하게 개연성이 있을 때 우리는 우리 스스로 관심 있는 개별 사건의 확률 값을 이미 추정할 수 있습니다. 이벤트가 몇 가지 기본 결과의 복잡한 집합인 경우에도 이를 수행할 수 있습니다. 그리고 여러 무작위 이벤트가 동시에 또는 순차적으로 발생하는 경우? 이것이 우리가 관심 있는 사건의 확률에 어떤 영향을 미칩니까?
주사위를 몇 번 굴렸는데 6을 하고 싶은데 항상 운이 좋지 않다면 확률 이론에 따르면 곧 행운이 따를 것이기 때문에 내기를 늘려야 한다는 뜻입니까? 아아, 확률 이론은 그런 종류의 것을 말하지 않습니다. 주사위도 없고, 카드도 없고, 동전도 없습니다. 기억이 안난다 그들이 지난 시간에 우리에게 보여준 것. 오늘 내가 내 운명을 시험하는 것이 처음이든 열 번째이든 그들에게는 전혀 중요하지 않습니다. 내가 다시 굴릴 때마다 나는 한 가지만 압니다. 이번에는 "6"을 다시 굴릴 확률은 1/6입니다. 물론 내가 필요로 하는 숫자가 절대 빠지지 않는다는 뜻은 아니다. 그것은 단지 첫 번째 던진 후와 다른 던진 후의 내 손실이 독립적인 사건이라는 것을 의미합니다.
이벤트 A와 B가 호출됩니다. 독립적인, 그 중 하나의 구현이 다른 이벤트의 확률에 어떤 식으로든 영향을 미치지 않는 경우. 예를 들어, 두 개의 총 중 첫 번째 총으로 목표물을 명중할 확률은 다른 총이 목표물을 명중했는지 여부에 의존하지 않으므로 "첫 번째 총이 목표물을 명중함" 및 "두 번째 총기가 목표물을 명중함" 이벤트는 독립적입니다.
두 사건 A와 B가 독립적이고 각각의 확률을 알고 있는 경우 사건 A와 사건 B(AB로 표시)가 동시에 발생할 확률은 다음 정리를 사용하여 계산할 수 있습니다.
예시.첫 번째 및 두 번째 총을 발사할 때 목표물을 명중할 확률은 각각 같습니다. p 1 =0.7; p 2 = 0.8. 두 총으로 동시에 한 번의 발리로 명중할 확률을 구하십시오.
해결책:우리가 이미 보았듯이 사건 A(첫 번째 총에 맞았음)와 B(두 번째 총에 맞았음)는 독립적입니다. P (AB) \u003d P (A) * P (B) \u003d p 1 * p 2 \u003d 0.56.
초기 사건이 독립적이지 않은 경우 추정치는 어떻게 됩니까? 앞의 예를 조금 바꿔보자.
예시.경쟁에서 두 명의 저격수가 목표물을 쏘고 그 중 하나가 정확하게 쏘면 상대방은 긴장하기 시작하고 결과는 악화됩니다. 이 일상적인 상황을 수학적 문제로 바꾸고 해결 방법을 설명하는 방법은 무엇입니까? 실제로 두 시나리오, 두 개의 다른 작업을 구성하려면 두 시나리오를 어떻게든 분리해야 한다는 것이 직관적으로 분명합니다. 첫 번째 경우 상대가 놓치면 시나리오가 신경질적인 운동 선수에게 유리하고 정확도가 높아집니다. 두 번째 경우, 상대방이 자신의 기회를 제대로 인식하면 두 번째 선수의 목표물을 칠 확률이 줄어 듭니다.
사건 전개의 가능한 시나리오(가설이라고도 함)를 분리하기 위해 우리는 종종 "확률 트리" 체계를 사용합니다. 이 다이어그램은 이미 처리해야 하는 의사 결정 트리와 의미가 비슷합니다. 각 분기는 이벤트 개발을 위한 별도의 시나리오입니다. 고유값소위 가정 어구확률(q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).
이 방식은 연속적인 무작위 이벤트 분석에 매우 편리합니다.
한 가지 더 중요한 질문을 명확히해야합니다. 확률의 초기 값은 어디에 있습니까? 실제 상황 ? 결국 확률 이론은 동일한 동전과 주사위에서 작동하지 않습니까? 일반적으로 이러한 추정치는 통계에서 가져오고 통계를 사용할 수 없는 경우 자체 조사를 수행합니다. 그리고 우리는 종종 데이터 수집이 아니라 우리가 일반적으로 필요로 하는 정보에 대한 질문으로 시작해야 합니다.
예시.인구 10만 명의 도시에서 시장 규모를 추정해야 한다고 가정합니다. 신상품, 예를 들어 염색 모발 관리용 밤과 같이 필수 품목이 아닙니다. "확률의 나무" 체계를 고려해 보겠습니다. 이 경우 각 "가지"에 대한 확률 값을 대략적으로 추정해야 합니다. 따라서 시장 용량에 대한 추정치는 다음과 같습니다.
1) 도시 전체 거주자의 50%가 여성이며,
2) 모든 여성의 30%만이 머리를 자주 염색하고,
3) 이 중 10%만이 염색 모발에 밤을 사용하고,
4) 이 중 10%만이 용기를 내어 새로운 제품을 시도할 수 있으며,
5) 그들 중 70%는 일반적으로 우리가 아닌 경쟁업체로부터 모든 것을 구매합니다.
해결책:확률 곱셈의 법칙에 따라 우리는 우리에게 관심 있는 사건의 확률을 결정합니다. A \u003d (도시 거주자가 우리에게서 이 새로운 향유를 구입함) \u003d 0.00045.
이 확률 값에 도시의 주민 수를 곱하십시오. 그 결과 잠재 구매자가 45명에 불과하고 이 제품의 한 병이 몇 달 동안 지속된다는 점을 감안할 때 거래가 그다지 활발하지 않습니다.
그러나 우리의 평가에는 이점이 있습니다.
첫째, 우리는 다양한 비즈니스 아이디어의 예측을 비교할 수 있으며 다이어그램에서 서로 다른 "포크"를 가질 것이며 물론 확률 값도 다를 것입니다.
둘째, 우리가 이미 말했듯이, 임의의 값전혀 의존하지 않기 때문에 랜덤이라고 하지 않습니다. 그냥 그녀 정확한값은 미리 알 수 없습니다. 평균 구매자 수가 증가할 수 있다는 것을 알고 있습니다(예: 신제품 광고). 따라서 확률 분포가 우리에게 특히 적합하지 않은 "포크", 즉 우리가 영향을 미칠 수 있는 요소에 초점을 맞추는 것이 합리적입니다.
소비자 행동 연구의 또 다른 양적 예를 고려하십시오.
예시.하루 평균 10,000명의 사람들이 식품 시장을 방문합니다. 시장 방문자가 파빌리온에 들어갈 확률 유제품, 는 1/2과 같습니다. 이 파빌리온에서는 하루 평균 500kg의 다양한 제품이 판매되는 것으로 알려져 있습니다.
라고 주장할 수 있는가 평균 구매파빌리온의 무게는 100g에 불과합니까?
논의.당연히 아니지. 파빌리온에 입장한 모든 사람이 결국 그곳에서 물건을 구매한 것은 아닙니다.
다이어그램에서 볼 수 있듯이 평균 구매 중량에 대한 질문에 답하기 위해서는 파빌리온에 입장하는 사람이 그곳에서 무언가를 구매할 확률이 얼마인지에 대한 답을 찾아야 합니다. 그러한 데이터를 마음대로 사용할 수 없지만 필요한 경우 파빌리온의 방문객을 잠시 관찰한 후 직접 가져와야 합니다. 관찰 결과 파빌리온 방문자의 5분의 1만이 무언가를 구매한다고 가정해 보겠습니다.
우리가 이러한 추정치를 얻자 마자 작업은 이미 간단해집니다. 시장에 온 10,000명의 사람들 중 5,000명은 낙농관에 갈 것이고, 1,000개의 구매만 있을 것입니다. 평균 체중구매는 500 그램과 같습니다. 무슨 일이 일어나고 있는지에 대한 완전한 그림을 구축하려면 조건부 "분기"의 논리가 마치 "구체적인" 상황에서 작업하는 것처럼 명확하게 추론의 각 단계에서 정의되어야 합니다. 확률로.
자체 테스트 작업
1. n개의 직렬 연결된 요소로 구성된 전기 회로가 있고 각각은 다른 요소와 독립적으로 작동합니다.
각 요소의 비고장 확률 p는 알려져 있습니다. 회로의 전체 섹션(사건 A)이 올바르게 작동할 확률을 결정하십시오.
2. 학생은 25개의 시험 문제 중 20개를 알고 있습니다. 학생이 시험관이 제시한 세 가지 질문을 알고 있을 확률을 구하십시오.
3. 생산은 4개의 연속적인 단계로 구성되며, 각 단계는 다음 달 내 고장 확률이 각각 p 1 , p 2 , p 3 및 p 4 인 장비를 작동합니다. 한 달 안에 장비 고장으로 인한 생산 중단이 없을 확률을 구하십시오.
세상의 모든 것은 결정론적으로 또는 무작위로 발생합니다 ...
아리스토텔레스
확률 이론은 다양한 사건의 확률을 계산합니다. 확률 이론의 기본은 무작위 사건의 개념입니다.
예를 들어, 동전을 던지면 무작위로 문장이나 꼬리에 떨어집니다. 동전이 어느 쪽에 떨어질지 미리 알 수 없습니다. 보험 계약을 체결하고 지불 여부를 미리 알지 못합니다.
보험 계리 계산에서는 다양한 사건의 확률을 추정할 수 있어야 하므로 확률 이론이 핵심 역할을 합니다. 수학의 다른 어떤 분야도 사건의 확률을 다룰 수 없습니다.
동전 던지기를 자세히 살펴보겠습니다. 상호 배타적인 2가지 결과가 있습니다: 문장 또는 꼬리. 관찰자가 결과에 영향을 미치는 모든 요소를 분석하고 고려할 수 없기 때문에 던지기의 결과는 무작위입니다. 국장의 확률은 얼마입니까? 대부분은 1/2이라고 대답하겠지만 그 이유는 무엇입니까?
정식으로 하자 하지만문장의 상실을 나타냅니다. 동전을 던지자 N한 번. 그러면 사건의 확률은 하지만문장을 만드는 롤의 비율로 정의할 수 있습니다.
어디 N총 던진 횟수 n(A)국장의 수.
관계식 (1)이 호출됩니다. 빈도개발 하지만긴 일련의 테스트에서.
다른 일련의 테스트에서 해당 주파수는 일반적으로 N일정한 값을 중심으로 클러스터링 아빠). 이 값을 사건 확률 하지만그리고 문자로 표시되어 있습니다 아르 자형- ~의 줄임말 영어 단어 확률 - 확률.
공식적으로 우리는 다음을 가지고 있습니다:
(2)
이 법칙을 큰 수의 법칙.
동전이 맞으면(대칭), 문장을 얻을 확률은 꼬리가 나올 확률과 같고 ½입니다.
허락하다 하지만그리고 에예를 들어, 보험 사건이 발생했는지 여부와 같은 특정 사건. 두 이벤트의 합집합은 이벤트의 실행으로 구성된 이벤트입니다. 하지만, 개발 에, 또는 두 이벤트를 함께 사용합니다. 두 사건의 교집합 하지만그리고 에구현에서 이벤트로 구성된 이벤트라고 함 하지만및 이벤트 에.
기본 규칙이벤트 확률은 다음과 같습니다.
1. 어떤 사건의 확률은 0과 1 사이입니다:
2. A와 B를 두 사건이라고 하면 다음과 같습니다.
다음과 같이 읽습니다.두 사건이 결합될 확률은 이러한 사건의 확률의 합에서 사건이 교차할 확률을 뺀 것과 같습니다. 이벤트가 호환되지 않거나 겹치지 않는 경우 두 이벤트를 결합(합)할 확률은 확률의 합과 같습니다. 이 법칙을 법칙이라고 한다 추가 확률.
확률이 1이면 사건이 확실하다고 말합니다. 특정 현상을 분석 할 때 사건의 발생이 어떻게 영향을 미치는지에 대한 질문이 생깁니다. 에이벤트를 위해 하지만. 이를 위해 다음을 입력하십시오. 조건부 확률 :
(4)
다음과 같이 읽습니다.발생 확률 하지만조건에 에교차 확률과 동일 하지만그리고 에사건의 확률로 나눈 값 에.
공식 (4)는 사건의 확률을 가정합니다 에 0 이상입니다.
공식 (4)는 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.
(5)
이것이 공식이다 확률의 곱.
조건부 확률이라고도 합니다. 사후 사건 확률 하지만- 발생 확률 하지만발병 후 에.
이 경우 확률 자체를 선험적으로 개연성. 보험 계리 계산에 많이 사용되는 몇 가지 다른 중요한 공식이 있습니다.
실험이 수행되고 있다고 가정하고 그 조건은 미리 만들어 놓을 수 있습니다. 서로상호 배타적인 가정(가설):
우리는 가설이 성립한다고 가정하거나, 또는 ... 또는. 이러한 가설의 확률은 알려져 있으며 동일합니다.
그러면 공식이 성립한다. 완벽한확률 :
(6)
사건의 확률 하지만발생 확률의 곱의 합과 같습니다. 하지만이 가설의 확률에 대한 각 가설에 대해.
베이즈 공식
에 비추어 가설의 확률을 다시 계산할 수 있습니다. 새로운 정보, 결과를 준 하지만.
베이즈 공식 어떤 의미에서총 확률 공식의 역수입니다.
다음 실제 문제를 고려하십시오.
비행기 추락 사고가 발생했고 전문가들이 그 원인을 조사하느라 바쁘다고 가정해 보겠습니다. 재앙이 발생한 네 가지 이유가 미리 알려져 있습니다. 이유, 또는, 또는, 중 하나입니다. 사용 가능한 통계에 따르면 이러한 이유에는 다음과 같은 가능성이 있습니다.
충돌 현장을 조사할 때 연료 점화의 흔적이 발견되었습니다. 통계에 따르면 이 사건의 확률은 다음과 같습니다.
질문: 재해의 가장 가능성 있는 원인은 무엇입니까?
사건의 발생 조건에서 원인의 확률 계산 하지만.
이것은 첫 번째 이유가 확률이 최대이므로 가장 가능성이 있음을 보여줍니다.
공항에 항공기가 착륙하는 경우를 생각해 보십시오.
착륙 날씨흐림이 적음()이 없고 흐림()이 적습니다. 첫 번째 경우 성공적인 착륙 확률은 다음과 같습니다. P1. 두 번째 경우 - R2. 그것은 분명하다 P1>P2.
블라인드 랜딩을 제공하는 장치는 문제 없이 작동할 가능성이 있습니다. 아르 자형. 구름 덮개가 낮고 블라인드 착륙 계기가 실패하면 성공적인 착륙 확률은 다음과 같습니다. P3, 그리고 P3<Р2 . 주어진 비행장에서 1년 중 구름이 적은 날의 비율은 와 같다고 알려져 있습니다.
항공기가 안전하게 착륙할 확률을 구하십시오.
확률을 찾아야 합니다.
상호 배타적인 두 가지 옵션이 있습니다. 블라인드 랜딩 장치가 작동하고 있고 블라인드 랜딩 장치가 고장났으므로 다음이 제공됩니다.
여기에서 총 확률 공식에 따라:
보험 회사는 생명 보험을 취급합니다. 이 회사의 피보험자 중 10%가 흡연자입니다. 피보험자가 담배를 피우지 않았다면 그 해에 사망할 확률은 0.01이고, 흡연자라면 이 확률은 0.05입니다.
한 해 동안 사망한 피보험자 중 흡연자의 비율은 얼마입니까?
답변 옵션: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.
해결책
이벤트를 입력해 보겠습니다.
문제의 조건은 다음을 의미합니다.
또한 이벤트 및 쌍으로 호환되지 않는 이벤트의 완전한 그룹을 형성하기 때문에 .
우리가 관심을 가질 확률은 입니다.
Bayes의 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.
따라서 올바른 옵션은 ( 에).
보험 회사는 표준, 특권 및 초특권의 세 가지 범주로 생명 보험 계약을 판매합니다.
전체 피보험자의 50%가 표준, 40%가 우선, 10%가 초우대입니다.
일반 피보험자의 1년 이내 사망 확률은 0.010, 특혜 0.005, 초특급 0.001이다.
고인이 된 피보험자가 특혜를 받을 확률은 얼마입니까?
해결책
다음 이벤트를 고려해 보겠습니다.
이러한 사건의 관점에서 우리가 관심을 갖는 확률은 입니다. 조건별:
이벤트 , 는 다음과 같은 Bayes 공식을 사용하여 쌍으로 호환되지 않는 이벤트의 완전한 그룹을 형성합니다.
예를 들어 화재로 인한 피해나 보험금 금액을 임의의 변수로 가정합니다.
확률 변수는 분포 함수로 완전히 특성화됩니다.
정의.기능 
~라고 불리는 분포 함수
랜덤 변수 ξ
.
정의.임의의 기능이 있는 경우 ㅏ 수행
그런 다음 우리는 랜덤 변수 ξ 그것은 가지고있다 확률 분포 밀도 f(x).
정의.허락하다 . 연속 분포 함수의 경우 에프 이론적 α-분위수방정식의 해라고 합니다.
이 솔루션이 유일한 솔루션이 아닐 수도 있습니다.
레벨 분위수 ½ 이론적인 중앙값 , 수준 분위수 ¼ 그리고 ¾ -하위 및 상위 사분위수 각기.
보험 계리 응용 프로그램에서 중요한 역할은 다음과 같습니다. 체비쇼프의 부등식:
어떠한 것도
수학적 기대 기호입니다.
다음과 같이 읽습니다.계수가 계수의 기대값보다 크거나 같을 확률을 로 나눈 값입니다.
사망 순간의 불확실성은 생명 보험의 주요 위험 요소입니다.
개인의 죽음의 순간에 대해 명확한 것은 아무 것도 말할 수 없습니다. 그러나 우리가 큰 동질의 사람들을 다루고 있고 이 그룹의 개별 사람들의 운명에 관심이 없다면, 우리는 빈도 안정성 속성을 가진 대량 무작위 현상의 과학으로서 확률 이론의 틀 안에 있습니다.
각기, 우리는 확률 변수 T로 기대 수명에 대해 이야기할 수 있습니다.
확률 이론에서는 임의의 변수의 확률적 특성을 설명합니다. 티분포 함수 F(x),이는 확률 변수가 티숫자보다 작음 엑스:
.
보험계리수학에서는 분포함수가 아닌 추가적인 분포함수로 작업하는 것이 즐겁다. 
.
장수는 사람이 그 나이까지 살 확률이다. 엑스연령.
~라고 불리는 생존 기능(생존 기능):
생존 함수에는 다음과 같은 속성이 있습니다.
생명표에서는 일반적으로 다음이 있다고 가정합니다. 연령 제한 (나이 제한) (일반적으로 년) 및 따라서 엑스>.
분석법칙으로 사망률을 기술할 때 일반적으로 수명은 무한정이라고 가정하지만, 법의 종류와 매개변수는 특정 연령 이상의 생명이 존재할 확률은 무시할 수 있도록 선택된다.
생존함수는 단순한 통계적 의미를 갖는다.
우리가 관찰하고 그들의 죽음의 순간을 기록할 수 있는 신생아 그룹(보통 )을 관찰하고 있다고 가정해 봅시다.
이 그룹의 살아있는 대표자 수를 ~까지 표시합시다. 그 다음에:
.
상징 이자형여기와 아래는 수학적 기대치를 나타내는 데 사용됩니다.
따라서 생존 함수는 특정 고정된 신생아 그룹에서 연령까지 생존한 사람들의 평균 비율과 같습니다.
보험계리학에서는 종종 생존 함수가 아니라 방금 도입된 값(초기 그룹 크기 고정)으로 작업합니다.
생존 함수는 밀도에서 재구성할 수 있습니다.
실용적인 관점에서 다음과 같은 특성이 중요합니다.
1 . 평균일생
,
2
. 분산일생
,
어디 
,
