확률 이론의 가장 중요한 개념 중 하나는 랜덤 변수 .
무작위의~라고 불리는 값, 테스트 결과 사전에 알려지지 않은 특정 가능한 값을 취하고 사전에 고려할 수 없는 임의의 원인에 의존합니다.
랜덤 변수가 표시됩니다 대문자라틴 알파벳 엑스, 와이, 지등 또는 오른쪽 아래 첨자가 있는 라틴 알파벳의 대문자 및 임의의 변수를 취할 수 있는 값 - 라틴 알파벳의 해당 소문자 엑스, 와이, 지등.
랜덤 변수의 개념은 랜덤 이벤트의 개념과 밀접한 관련이 있습니다. 랜덤 이벤트와의 연결임의의 변수에 의해 특정 수치가 수용된다는 사실에 있습니다. 랜덤 이벤트, 확률이 특징 .
실제로 두 가지 주요 유형의 확률 변수가 있습니다.
1. 이산 랜덤 변수
2. 연속 랜덤 변수.
랜덤 변수는 랜덤 이벤트의 수치 함수입니다.
예를 들어 랜덤 변수는 주사위를 던질 때 떨어지는 포인트의 수 또는 무작위로 선택한 주사위의 높이입니다. 스터디 그룹학생.
불연속 확률 변수사전에 열거할 수 있는 서로 원격 값만 취하는 랜덤 변수라고 합니다.
유통법(분포 함수 및 분포 계열 또는 확률 밀도)는 임의 변수의 동작을 완전히 설명합니다. 그러나 많은 문제에서 제기된 질문에 답하기 위해 연구 중인 양의 일부 수치적 특성(예: 평균값 및 가능한 편차)을 아는 것으로 충분합니다. 이산 랜덤 변수의 주요 수치 특성을 고려하십시오.
불연속 확률 변수의 분포 법칙어떤 비율이라고 , 임의 변수의 가능한 값과 해당 확률 간의 관계 설정 .
확률 변수의 분포 법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 테이블:
| … | … | ||||
| … | … |
확률 변수의 모든 가능한 값의 확률의 합은 1과 같습니다.
분배 법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 그래픽으로: 가로축에는 임의의 변수의 가능한 값이 표시되고 세로축에는 이러한 값의 확률이 표시됩니다. 얻은 포인트는 세그먼트로 연결됩니다. 구성된 폴리라인을 분포 다각형.
예시. 4라운드를 가진 사냥꾼은 첫 번째 히트 또는 모든 라운드가 소진될 때까지 게임에서 쏜다. 첫 번째 샷의 타격 확률은 0.7이며 이후 샷마다 0.1씩 감소합니다. 사냥꾼이 사용한 카트리지 수의 분배 법칙을 작성하십시오.
해결책.사냥꾼은 4라운드를 가지고 4발을 발사할 수 있으므로 임의의 값은 엑스- 헌터가 사용한 카트리지 수는 1, 2, 3, 4의 값을 가질 수 있습니다. 해당 확률을 찾기 위해 이벤트를 소개합니다.
- "때리다 나-옴 샷”, ;
- "놓치다 나- th shot”, 이벤트 및 는 쌍으로 독립적입니다.
문제의 상태에 따라 다음이 있습니다.
, 
독립 사건에 대한 곱셈 정리와 양립할 수 없는 사건에 대한 덧셈 정리를 통해 다음을 찾을 수 있습니다.
(사냥꾼이 첫 번째 샷으로 목표물을 맞았습니다);
(사냥꾼이 두 번째 샷에서 목표물을 맞았습니다);
(헌터는 세 번째 샷에서 목표물을 쳤습니다);
(사냥꾼은 네 번째 샷에서 목표물을 맞추거나 네 번 모두 놓쳤습니다).
확인: - 맞습니다.
따라서 확률 변수의 분포 법칙 엑스다음과 같이 보입니다.
| 0,7 | 0,18 | 0,06 | 0,06 |
예시.작업자는 세 대의 기계를 작동합니다. 1시간 이내에 첫 번째 기계가 조정이 필요하지 않을 확률은 0.9, 두 번째 기계는 0.8, 세 번째 기계는 0.7입니다. 1시간 이내에 조정이 필요한 기계의 수에 대한 분배법을 작성하십시오.
해결책.임의의 값 엑스- 1시간 이내에 조정이 필요한 기계의 수는 0.1, 2, 3의 값을 가질 수 있습니다. 해당 확률을 찾기 위해 이벤트를 소개합니다.
- “나- 한 시간 이내에 기계를 조정해야 합니다”, ;
- “나- 1시간 이내에 기계를 조정할 필요가 없습니다”, .
문제의 조건에 따라 다음이 있습니다.
, 
.
확률 이론의 적용에서 실험의 정량적 특성화가 가장 중요합니다. 정량화할 수 있고 실험 결과 사례별로 취할 수 있는 양 다양한 의미, 호출 랜덤 변수.
무작위 변수의 예:
1. 주사위를 10번 던질 때 짝수가 나오는 횟수.
2. 일련의 사격을 가하는 사수의 표적 명중 횟수.
3. 폭발하는 발사체의 파편 수.
위의 각 예에서 확률 변수는 고립된 값, 즉 일련의 자연수를 사용하여 열거할 수 있는 값만 취할 수 있습니다.
가능한 값이이 변수가 특정 확률로 취하는 별도의 고립 된 숫자 인 이러한 확률 변수를 호출합니다. 이산.
불연속 확률 변수의 가능한 값의 수는 유한하거나 무한(가산 가능)할 수 있습니다.
유통법불연속 확률 변수는 가능한 값과 해당 확률의 목록이라고 합니다. 불연속 확률 변수의 분포 법칙은 테이블(확률 분포 계열)의 형태로 분석 및 그래픽(확률 분포 다각형)으로 지정할 수 있습니다.
이 실험이나 저 실험을 수행할 때 연구 중인 값을 "평균적으로" 평가해야 합니다. 무작위 변수의 평균값의 역할은 수학적 기대,이는 공식에 의해 정의됩니다
어디 엑스 1 , x 2 ,.. , 엑스 N– 랜덤 변수의 값 엑스, ㅏ 피 1 ,피 2 , ... , 피 N이 값의 확률입니다 (참고 피 1 + 피 2 +…+ 피 N = 1).
예시. 사격은 목표물에서 수행됩니다(그림 11).
I의 안타는 3점, II의 경우 2점, III의 경우 1점을 제공합니다. 한 명의 슈터가 한 번의 샷으로 녹아웃한 점수는 다음과 같은 분포 법칙을 갖습니다.
저격수의 기술을 비교하려면 득점 한 점수의 평균값을 비교하는 것으로 충분합니다. 수학적 기대치 중(엑스) 그리고 중(와이):
중(엑스) = 1 0,4 + 2 0,2 + 3 0,4 = 2,0,
중(와이) = 1 0,2 + 2 0,5 + 3 0,3 = 2,1.
두 번째 사수는 평균적으로 약간 더 높은 점수를 줍니다. 반복 촬영하면 최상의 결과를 얻을 수 있습니다.
수학적 기대값의 속성에 유의하십시오.
1. 상수 값에 대한 수학적 기대치는 상수 자체와 같습니다.
중(씨) = 씨.
2. 무작위 변수의 합에 대한 수학적 기대치는 항의 수학적 기대치의 합과 같습니다.
남=(엑스 1 + 엑스 2 +…+ 엑스 N)= 중(엑스 1)+ 중(엑스 2)+…+ 중(엑스 N).
3. 상호 독립 확률 변수의 곱에 대한 수학적 기대값은 요인의 수학적 기대값의 곱과 같습니다.
중(엑스 1 엑스 2 … 엑스 N) = 중(엑스 1)중(엑스 2)… 중(엑스 N).
4. 이항 분포의 수학적 부정은 시행 횟수와 한 번의 시행에서 발생하는 사건의 확률의 곱과 같습니다(과제 4.6).
중(엑스) = 홍보.
무작위 변수가 "평균적으로" 수학적 기대치에서 어떻게 벗어나는지 평가하기 위해, 즉 확률 이론에서 임의 변수 값의 확산을 특성화하기 위해 분산 개념이 사용됩니다.
분산랜덤 변수 엑스제곱 편차의 수학적 기대값이라고 합니다.
디(엑스) = 중[(엑스 - 중(엑스)) 2 ].
분산은 임의 변수 분산의 수치적 특성입니다. 랜덤 변수의 분산이 작을수록 가능한 값이 수학적 기대치, 즉 더 나은 가치확률 변수는 수학적 기대치를 특징으로 합니다.
정의에 따르면 분산은 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.
.
다른 공식을 사용하여 분산을 계산하는 것이 편리합니다.
디(엑스) = 중(엑스 2) - (중(엑스)) 2 .
분산에는 다음과 같은 특성이 있습니다.
1. 상수의 분산은 0입니다.
디(씨) = 0.
2. 분산 부호를 제곱하여 상수 요인을 제거할 수 있습니다.
디(CX) = 씨 2 디(엑스).
3. 독립 확률 변수 합계의 분산은 다음 항의 분산 합계와 같습니다.
디(엑스 1 + 엑스 2 + 엑스 3 +…+ 엑스 N)= 디(엑스 1)+ 디(엑스 2)+…+ 디(엑스 N)
4. 이항 분포의 분산은 시행 횟수와 한 번의 시행에서 사건의 발생 및 비발생 확률의 곱과 같습니다.
디(엑스) = npq.
확률 이론에서 확률 변수 분산의 제곱근과 같은 수치적 특성이 자주 사용됩니다. 이 수치적 특성을 표준 편차라고 하며 기호로 표시됩니다.
.
평균값에서 무작위 변수 편차의 대략적인 크기를 특성화하고 무작위 변수와 동일한 차원을 갖습니다.
4.1. 사수는 목표물에 세 발을 발사합니다. 각 샷으로 목표물을 맞힐 확률은 0.3입니다.
적중 수의 분포 계열을 구성합니다.
해결책. 적중 횟수는 이산 확률 변수입니다. 엑스. 각 값 엑스 N 랜덤 변수 엑스특정 확률에 해당 피 N .
이산 확률 변수의 분포 법칙 이 경우당신은 설정할 수 있습니다 가까운 분포.
이 작업에서 엑스값은 0, 1, 2, 3입니다. Bernoulli 공식에 따르면
,
랜덤 변수의 가능한 값의 확률을 찾으십시오.
아르 자형 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,
아르 자형 3 (1)
=
0,3(0,7) 2
= 0,441,
아르 자형 3 (2)
=
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
아르 자형 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.
랜덤 변수의 값을 정리한 후 엑스오름차순으로 분포 계열을 얻습니다.
|
엑스 N | ||||
합계에 유의하십시오.
확률 변수를 의미합니다. 엑스가능한 값 중에서 적어도 하나의 값을 가져오고 이 이벤트는 확실하므로
.
4.2 .항아리 안에는 1부터 4까지 번호가 매겨진 4개의 공이 있습니다. 2개의 공을 꺼냅니다. 임의의 값 엑스볼 수의 합입니다. 랜덤 변수의 분포 계열 구성 엑스.
해결책.랜덤 변수의 값 엑스 3, 4, 5, 6, 7입니다. 해당 확률을 찾으십시오. 값 3 확률 변수 엑스선택한 공 중 하나의 숫자가 1이고 다른 공이 2인 경우에만 선택할 수 있습니다. 테스트의 가능한 결과 수는 4개의 조합 수(가능한 공의 수)에 2를 곱한 것과 같습니다.
고전적인 확률 공식에 따르면,
비슷하게,
아르 자형(엑스= 4) =아르 자형(엑스= 6) =아르 자형(엑스= 7) = 1/6.
합계 5는 1 + 4와 2 + 3의 두 가지 경우에 나타날 수 있으므로
.
엑스다음과 같이 보입니다.
분포 찾기 기능 에프(엑스) 랜덤 변수 엑스그리고 음모를 꾸미십시오. 계산하다 엑스그것의 수학적 기대와 분산.
해결책. 확률 변수의 분포 법칙은 분포 함수에 의해 주어질 수 있습니다.
에프(엑스) = 피(엑스 엑스).
분포 함수 에프(엑스)는 전체 실수 축에 대해 정의된 감소하지 않는 왼쪽 연속 함수인 반면
에프 (- )= 0,에프 (+ )= 1.
불연속 확률 변수의 경우 이 함수는 다음 공식으로 표현됩니다.
.
따라서 이 경우
분포 함수 플롯 에프(엑스)는 계단식 선입니다(그림 12).
|
에프(엑스) | ||||||
기대값 중(엑스)는 값의 가중 평균입니다. 엑스 1 , X 2 ,……엑스 N랜덤 변수 엑스무게로 ρ 1, ρ 2, …… , ρ N 랜덤 변수의 평균값이라고 합니다. 엑스. 공식에 따르면
중(엑스)= 엑스 1 ρ 1 +엑스 2 ρ 2 + … + 엑스 N ρ N
중(엑스) = 3 0.14 + 5 0.2 + 7 0.49 + 11 0.17 = 6.72.
분산평균값에서 무작위 변수 값의 분산 정도를 특성화하고 디(엑스):
디(엑스)=M[(흠(엑스)) 2 ]= 남(엑스 2) –[중(엑스)] 2 .
불연속 확률 변수의 경우 분산의 형식은 다음과 같습니다.
또는 공식으로 계산할 수 있습니다.
문제의 수치 데이터를 공식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
중(엑스 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84
디(엑스) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.
4.4. 두 개의 주사위를 동시에 두 번 던집니다. 불연속 확률 변수에 대한 이항 분포 법칙 작성 엑스- 두 개의 주사위에서 총 짝수의 포인트가 나오는 횟수.
해결책. 임의의 이벤트를 고려하자
하지만= (한 번에 두 개의 주사위를 던졌을 때 총 짝수의 점수가 떨어졌습니다).
확률의 고전적 정의를 사용하여
아르 자형(하지만)=
,
어디 N - 테스트의 가능한 결과의 수는 규칙에 의해 발견됩니다.
곱셈:
N = 6∙6 =36,
중 - 호의적인 사건의 수 하지만결과 - 동등
중= 3∙6=18.
따라서 한 번의 시도에서 성공할 확률은
ρ = 피(하지만)= 1/2.
이 문제는 Bernoulli 테스트 체계를 사용하여 해결됩니다. 여기서 한 가지 도전은 두 개의 주사위를 한 번 굴리는 것입니다. 그러한 테스트의 수 N = 2. 랜덤 변수 엑스확률로 0, 1, 2 값을 취합니다.
아르 자형 2 (0)
=
,아르 자형 2 (1)
=
∙
,아르 자형 2 (2)
=
임의 변수의 원하는 이항 분포 엑스분포 시리즈로 나타낼 수 있습니다.
|
엑스 N | |||
|
ρ N |
4.5 . 6개 부품 배치에 4개의 표준 부품이 있습니다. 3개의 항목이 무작위로 선택되었습니다. 불연속 확률 변수의 확률 분포를 구성합니다. 엑스- 선택한 부품 중 표준 부품의 수와 수학적 기대치를 찾습니다.
해결책.랜덤 변수의 값 엑스숫자 0,1,2,3입니다. 그것은 분명하다 아르 자형(엑스=0)=0, 비표준 부품이 두 개뿐이기 때문입니다.
아르 자형(엑스=1) =
=1/5,
아르 자형(X= 2) =
= 3/5,
아르 자형(엑스=3) =
= 1/5.
랜덤 변수의 분포 법칙 엑스분포 시리즈로 표현:
|
엑스 N | ||||
|
ρ N |
기대값
중(엑스)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.
4.6 . 불연속 확률 변수의 수학적 기대가 엑스- 이벤트 발생 횟수 하지만안에 N각각의 이벤트 발생 확률이 다음과 같은 독립 테스트 ρ - 하나의 시행에서 사건이 발생할 확률로 시행 횟수의 곱과 같습니다. 즉, 이항 분포의 수학적 기대가
중(엑스) =N . ρ ,
분산 동안
디(엑스) =np .
해결책.임의의 값 엑스 0, 1, 2… 값을 가질 수 있습니다. N. 개연성 아르 자형(엑스= k)는 Bernoulli 공식에 의해 발견됩니다.
아르 자형(엑스=케이)= 아르 자형 N(케이)= 
ρ
에게
(1-ρ
) N-에게
임의 변수 분포 계열 엑스다음과 같이 보입니다.
|
엑스 N | |||||
|
ρ N |
큐 N |
|
|
|
어디 큐= 1- ρ .
수학적 기대치의 경우 다음과 같은 표현이 있습니다.
중(엑스)=
ρq N -
1
+2
ρ
2
큐 N -
2
+…+.N
ρ
N
하나의 테스트의 경우, 즉 n=랜덤 변수의 경우 1 엑스 1 - 이벤트 발생 횟수 하지만- 배포 시리즈의 형식은 다음과 같습니다.
|
엑스 N | ||
|
ρ N |
중(엑스 1)= 0 큐 + 1 ∙ 피 = 피
디(엑스 1) = 피 – 피 2 = 피(1- 피) = pq.
만약 엑스 k - 이벤트 발생 횟수 하지만그러면 어느 시험에서 아르 자형(엑스 에게)= ρ 그리고
엑스=엑스 1 +X 2 +….+X N .
여기에서 우리는
중(엑스)=M(엑스 1 )+엠(엑스 2)+ … +엠(엑스 N)= nρ,
디(엑스)=디(엑스 1)+디(엑스 2)+ ... +디(엑스 N)=npq.
4.7. QCD는 제품의 표준화를 확인합니다. 항목이 표준일 확률은 0.9입니다. 각 배치에는 5개의 항목이 포함됩니다. 불연속 확률 변수의 수학적 기대값 찾기 엑스- 각 배치의 수는 표준 제품 4개와 동일합니다. - 50개 배치가 검증 대상인 경우.
해결책. 무작위로 선택된 각 로트에 4개의 표준 품목이 있을 확률은 일정합니다. 로 표기하자 ρ .그런 다음 임의 변수의 수학적 기대 엑스같음 중(엑스)= 50∙ρ.
확률을 구해보자 ρ 베르누이 공식에 따르면:
ρ=P 5 (4)=
= 0,94∙0,1=0,32.
중(엑스)= 50∙0,32=16.
4.8 . 세 개의 주사위가 던져집니다. 떨어진 점의 합에 대한 수학적 기대값을 구합니다.
해결책.랜덤 변수의 분포를 찾을 수 있습니다. 엑스- 하락 포인트의 합과 수학적 기대치. 그러나 이 방법은 너무 번거롭다. 임의의 변수를 나타내는 다른 트릭을 사용하는 것이 더 쉽습니다. 엑스, 그 수학적 기대값은 계산하기 더 쉬운 몇 가지 간단한 임의 변수의 합으로 계산됩니다. 만약 랜덤 변수 엑스 나에서 얻은 점수입니다. 나-번째 뼈( 나= 1, 2, 3), 포인트의 합 엑스형식으로 표현
엑스 = 엑스 1 + X 2 + X 3 .
원래 확률변수의 수학적 기대값을 계산하려면 수학적 기대값의 속성을 사용하는 것만 남습니다.
중(엑스 1 + X 2 + X 3 )= 남(엑스 1 )+ 남(엑스 2)+ 남(엑스 3 ).
그것은 명백하다
아르 자형(엑스 나 = K)= 1/6, 에게= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 나= 1, 2, 3.
따라서 확률 변수에 대한 수학적 기대값은 엑스 나형태를 갖는다
중(엑스 나) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,
중(엑스) = 3∙7/2 = 10,5.
4.9. 다음과 같은 경우 테스트 중에 실패한 장치 수의 수학적 기대치를 결정합니다.
a) 모든 장치의 고장 확률은 동일합니다. 아르 자형, 테스트 중인 장치의 수는 다음과 같습니다. N;
b) 실패 확률 나 – 악기는 피 나 , 나= 1, 2, … , N.
해결책.랜덤 변수를 보자 엑스실패한 장치의 수입니다.
엑스 = 엑스 1 + X 2 + … + Х N ,
엑스 나
=
그것은 분명하다
아르 자형(엑스 나 = 1)= 아르 자형 나 , 아르 자형(엑스 나 = 0)= 1– 아르 자형 나 ,나는= 1, 2, … ,N.
중(엑스 나)= 1∙아르 자형 나 + 0∙(1-아르 자형 나)=피 나 ,
중(엑스)=M(엑스 1)+엠(엑스 2)+ … +엠(엑스 N)=피 1 +피 2 + ... + 피 N .
"a"의 경우 장치 고장 확률은 동일합니다.
아르 자형 나 =피,나는= 1, 2, … ,N.
중(엑스)= np.
이 답은 랜덤 변수가 엑스매개변수가 있는 이항 분포( N, 피).
4.10. 두 개의 주사위를 동시에 두 번 던집니다. 불연속 확률 변수에 대한 이항 분포 법칙 작성 엑스 -두 개의 주사위에서 짝수의 포인트가 나오는 횟수.
해결책. 허락하다
하지만=(첫 번째 주사위에서 짝수의 손실),
B =(두 번째 주사위에서 짝수를 잃음).
한 번에 두 주사위의 짝수를 잃으면 제품으로 표시됩니다. AB.그 다음에
아르 자형
(AB)
= 아르 자형(하지만)∙아르 자형(에)
=
.
두 개의 주사위를 던진 두 번째 결과는 첫 번째 주사위에 의존하지 않으므로 Bernoulli 공식은 다음과 같은 경우에 적용할 수 있습니다.
N = 2,p = 1/4, 큐 = 1– 피 = 3/4.
임의의 값 엑스 0, 1, 2 값을 가질 수 있습니다. , Bernoulli 공식으로 찾을 확률:
아르 자형(X= 0)= 피 2 (0) = 큐 2 = 9/16,
아르 자형(X= 1)= 피 2
(1)= 씨 
,아르 자형∙큐
=
6/16,
아르 자형(X= 2)= 피 2
(2)= 씨 
,
아르 자형 2
=
1/16.
임의 변수 분포 계열 엑스:
4.11. 이 장치는 시간이 지남에 따라 각 요소의 고장 확률이 매우 작은 동일한 다수의 독립적으로 작동하는 요소로 구성됩니다. 티. 시간 경과에 따른 평균 실패 횟수 찾기 티요소, 이 시간 동안 하나 이상의 요소가 실패할 확률이 0.98인 경우.
해결책. 시간 경과에 따른 실패 수 티요소 - 랜덤 변수 엑스, 요소의 수가 많기 때문에 요소가 독립적으로 작동하고 각 요소의 고장 확률이 작기 때문에 포아송 법칙에 따라 분포됩니다. 사건의 평균 발생 횟수 N시련은 같다
중(엑스) = np.
실패 확률이 높기 때문에 에게요소 N공식으로 표현된다
아르 자형 N
(에게)
,
여기서 = np, 시간 내에 요소가 실패하지 않을 확률 티 우리는 도착 케이 = 0:
아르 자형 N (0)= e - .
따라서 반대 사건의 확률은 시간이 지남에 따라 티 하나 이상의 요소가 실패 - 1과 같음 -e - . 문제의 조건에 따르면 이 확률은 0.98입니다. 방정식에서
1 - 이자형 - = 0,98,
이자형 - = 1 – 0,98 = 0,02,
여기에서 = -ln 0,02 4.
그래서 당분간 티장치의 작동은 평균 4개의 요소에서 실패합니다.
4.12 . 주사위는 "2"가 나올 때까지 굴립니다. 평균 던지기 횟수를 구하세요.
해결책. 랜덤 변수를 소개합니다 엑스- 관심 있는 이벤트가 발생할 때까지 수행해야 하는 테스트의 수. 확률 엑스= 1은 주사위를 한 번 던질 때 "2"가 떨어질 확률과 같습니다.
아르 자형(X= 1) = 1/6.
이벤트 엑스= 2는 첫 번째 시도에서 "2"가 빠지지 않았지만 두 번째 시도에서 떨어졌다는 것을 의미합니다. 사건 확률 엑스= 2 우리는 독립 사건의 확률 곱셈 규칙에 의해 다음을 찾습니다.
아르 자형(X= 2) = (5/6)∙(1/6)
비슷하게,
아르 자형(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, 아르 자형(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6
등. 일련의 확률 분포를 얻습니다.
|
(5/6) 에게 ∙1/6 |
평균 던지기(시도) 횟수는 수학적 기대값입니다.
중(엑스) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + 에게 (5/6) 에게 -1 ∙1/6 + … =
1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + 에게 (5/6) 에게 -1 + …)
급수의 합을 구해봅시다:
에게g
에게 -1
= (
g 에게)
g
.
따라서,
중(엑스) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.
따라서 "듀스"가 떨어질 때까지 평균 6 번의 주사위 던지기를 수행해야합니다.
4.13. 동일한 이벤트 발생 확률로 독립적인 테스트 수행 하지만모든 테스트에서. 이벤트가 발생할 확률 찾기 하지만세 번의 독립적인 시도에서 사건 발생 횟수의 분산이 0.63인 경우 .
해결책.세 번의 시도에서 사건의 발생 횟수는 확률 변수입니다. 엑스이항법칙에 따라 분포한다. 독립 시행에서 사건 발생 횟수의 분산(각 시행에서 사건 발생 확률은 동일함)은 시행 횟수와 사건의 발생 및 비발생 확률의 곱과 같습니다( 작업 4.6)
디(엑스) = npq.
조건별 N = 3, 디(엑스) = 0.63, 그래서 당신은 할 수 있습니다 아르 자형방정식에서 찾기
0,63 = 3∙아르 자형(1-아르 자형),
두 가지 솔루션이 있습니다 아르 자형 1 = 0.7 및 아르 자형 2 = 0,3.
이산 무작위변수는 미리 열거할 수 있는 서로 떨어져 있는 값만 취하는 랜덤 변수라고 합니다.
유통법
랜덤 변수의 분포 법칙은 랜덤 변수의 가능한 값과 해당 확률 간의 관계를 설정하는 관계입니다.
불연속 확률 변수의 분포 범위는 가능한 값과 해당 확률의 목록입니다.
불연속 확률 변수의 분포 함수를 함수라고 합니다.
,
인수 x의 각 값에 대해 확률 변수 X가 이 x보다 작은 값을 가질 확률을 결정합니다.
불연속 확률 변수의 수학적 기대치
,
여기서 이산 확률 변수의 값입니다. - 랜덤 변수 X 값을 받아들일 확률.
임의 변수가 가능한 값의 셀 수 있는 집합을 취하는 경우: 
.
n번의 독립적인 시도에서 사건 발생 횟수에 대한 수학적 기대:
,
분산 및 평균 표준 편차이산 확률 변수
불연속 확률 변수의 분산: 
또는 
.
n번의 독립적인 시행에서 사건 발생 횟수의 분산 
,
여기서 p는 이벤트가 발생할 확률입니다.
불연속 확률 변수의 표준 편차: 
.
예 1
불연속 확률 변수(d.r.v.) X에 대한 확률 분포 법칙을 구성하십시오 – n = 8번의 주사위 던지기에서 적어도 하나의 "6"의 숫자 k. 분포 다각형을 플로팅합니다. 분포의 수치적 특성을 찾습니다(분포 모드, 수학적 기대치 M(X), 분산 D(X), 표준 편차 s(X)). 해결책:표기법을 소개하겠습니다 : 이벤트 A - "주사위 쌍을 던지는 동안 6 개가 적어도 한 번 나타났습니다." 사건 A의 확률 P(A) = p를 구하려면 반대 사건 Â의 확률 P(Â) = q를 먼저 찾는 것이 더 편리하다. 한 번".
주사위 하나를 던졌을 때 "6"이 나오지 않을 확률은 5/6이므로 확률 곱셈 정리에 의해
P(A) = q = = .
각기,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
문제의 테스트는 Bernoulli 체계에 따라 수행되므로 d.r.v. 크기 엑스- 숫자 케이두 개의 주사위를 던질 때 적어도 하나의 6을 떨어뜨리는 것은 확률 분포의 이항 법칙을 따릅니다. 
여기서 =는 조합의 수입니다. N~에 케이.
이 문제에 대해 수행된 계산을 표 형식으로 정리하는 것이 편리합니다.
d.r.v.의 확률 분포 엑스 º 케이 (N = 8; 피 = ; 큐 = )
| 케이 | ||||||||||
PN(케이) |
이산 확률 변수의 확률 분포의 다각형(polygon) 엑스그림에 표시:
쌀. d.r.v. 확률 분포의 다각형 엑스=케이.
수직선은 분포의 수학적 기대치를 나타냅니다. 중(엑스).
d.r.v의 확률 분포의 수치적 특성을 찾아봅시다. 엑스. 배포 모드는 2입니다(여기서는 피 8(2) = 최대 0.2932). 정의상 수학적 기대치는 다음과 같습니다.
중(엑스) = = 2,4444,
어디 xk = 케이 d.r.v.에서 허용하는 값입니다. 엑스. 분산 디(엑스) 다음 공식으로 분포를 찾습니다.
디(엑스) = 
= 4,8097.
표준 편차(RMS):
에스( 엑스) = = 2,1931.
예시2
불연속 확률 변수 엑스유통법에 의해 주어진
해결책.이면 (세 번째 속성).
그렇다면 . 진짜, 엑스 0.3의 확률로 값 1을 취할 수 있습니다.
그렇다면 . 실제로 부등식을 만족한다면
, 다음 때 수행할 수 있는 이벤트의 확률과 같습니다. 엑스값 1(이 이벤트의 확률은 0.3) 또는 값 4(이 이벤트의 확률은 0.1)를 사용합니다. 이 두 사건은 양립할 수 없기 때문에 덧셈 정리에 따르면 사건의 확률은 확률의 합 0.3 + 0.1=0.4와 같습니다. 그렇다면 . 실제로 이벤트는 확실하므로 확률은 1과 같습니다. 따라서 분포 함수는 다음과 같이 분석적으로 작성할 수 있습니다. 
이 함수의 그래프:
이 값에 해당하는 확률을 찾아봅시다. 조건에 따라 장치의 고장 확률은 동일합니다. 그러면 보증 기간 동안 장치가 작동할 확률은 다음과 같습니다. 
유통법의 형식은 다음과 같습니다.
정의 2.3. X로 표시되는 랜덤 변수는 유한하거나 셀 수 있는 값 집합을 취하는 경우 이산형이라고 합니다. 집합은 유한 또는 셀 수 있는 집합입니다.
불연속 확률 변수의 예를 고려하십시오.
1.
두 개의 동전을 한 번 던집니다. 이 실험의 문장 수는 확률 변수입니다. 엑스. 가능한 값은 0,1,2입니다. 
유한 집합입니다.
2. 주어진 시간 동안 구급차 호출 횟수가 기록됩니다. 임의의 값 엑스– 통화 수. 가능한 값은 0, 1, 2, 3, ..., 즉 =(0,1,2,3,...)은 셀 수 있는 집합입니다.
3. 그룹에는 25명의 학생이 있습니다. 어느 날 수업에 온 학생의 수가 기록된다 - 랜덤 변수 엑스. 가능한 값은 0, 1, 2, 3, ..., 25입니다. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).
예제 3의 25명 모두 수업을 빼먹을 수는 없지만 랜덤 변수는 엑스이 값을 취할 수 있습니다. 이것은 랜덤 변수의 값이 다른 확률을 갖는다는 것을 의미합니다.
고려하다 수학적 모델이산 랜덤 변수.
기본 이벤트의 유한하거나 셀 수 있는 공간에 해당하는 무작위 실험을 수행합니다. 이 공간을 실수 집합에 매핑하는 것을 고려해 봅시다. 즉, 각 기본 이벤트에 몇 가지를 할당합니다. 실수, . 이 경우 숫자 집합은 유한하거나 셀 수 있습니다. 
또는
1점을 포함하여 모든 부분 집합을 포함하는 부분 집합 시스템은 대수를 형성합니다. 숫자 세트(- 물론 또는 가산 가능).
모든 기본 이벤트는 특정 확률과 연관되기 때문에 파이(Finite all의 경우) 및 , 그러면 임의 변수의 각 값에 특정 확률을 할당할 수 있습니다. 파이, 그런 .
허락하다 엑스임의의 실수입니다. 나타내다 RX(엑스)확률 변수 엑스와 같은 값을 취했다 엑스, 즉. P X (x) \u003d P (X \u003d x). 그런 다음 기능 RX(엑스)해당 값에 대해서만 양수 값을 가질 수 있습니다. 엑스유한 또는 셀 수 있는 집합에 속하는 
, 다른 모든 값의 경우 이 값의 확률 PX(x)=0.
따라서 우리는 값 집합을 정의했습니다. 대수학은 모든 하위 집합의 시스템과 각 이벤트에 대해 ( 엑스=엑스) 확률 비교 for any , 즉 확률 공간을 만들었습니다.
예를 들어 대칭적인 동전을 두 번 던지는 실험의 기본 사건 공간은 4개의 기본 사건으로 구성됩니다.
동전을 두 번 던지면 두 개의 격자가 떨어졌습니다. 동전을 두 번 던지면 문장 두 개가 떨어졌습니다.
동전을 처음 던질 때 화격자가 떨어졌고 두 번째에는 문장이 떨어졌습니다.
동전을 처음 던지면 팔의 외투가 떨어졌고 두 번째 던지면 창살이 떨어졌습니다.
랜덤 변수를 보자 엑스격자 드롭아웃의 수입니다. 에 정의되고 해당 값 집합 
. 1점 항목을 포함하여 가능한 모든 하위 집합은 대수학, 즉 =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).
사건의 확률( 엑스=엑스 나는}, і = 1,2,3 , 프로토타입인 이벤트의 발생 확률로 정의합니다.
따라서 기본 이벤트( 엑스 = 엑스 나는) 수치 함수 설정 RX, 그래서 
.
정의 2.4. 불연속 확률 변수의 분포 법칙은 숫자 쌍(xi , pi)의 집합입니다. 여기서 x i는 확률 변수의 가능한 값이고 pi는 이러한 값을 취하는 확률이고 .
이산 확률 변수의 분포 법칙을 지정하는 가장 간단한 형태는 확률 변수의 가능한 값과 해당 확률을 나열하는 표입니다.
| … | … | ||||
| … | … |
이러한 테이블을 배포 행이라고 합니다. 분포 시리즈를 보다 시각적으로 만들기 위해 다음과 같이 그래픽으로 표시됩니다. 오점을 찍다 x 나는그리고 그들로부터 길이의 수직선을 그립니다. 파이. 결과 점들이 연결되어 분포 법칙의 형태 중 하나인 다각형을 얻습니다(그림 2.1).
따라서 불연속 확률 변수를 설정하려면 해당 값과 해당 확률을 설정해야 합니다.
예 2.2.동전이 확률적으로 떨어질 때마다 기계의 현금 수납기가 트리거됩니다. 아르 자형. 일단 작동하면 동전이 낮아지지 않습니다. 허락하다 엑스- 기계의 현금 수납기가 작동되기 전에 내려야 하는 동전의 수. 불연속 확률 변수의 일련의 분포 구성 엑스.
해결책.임의 변수의 가능한 값 엑스: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x k \u003d k, ...다음 값의 확률을 찾아봅시다. p 1금전 출납기가 첫 번째 하강에서 작동할 확률이고, 피1=피; p 2 -두 번 시도할 확률. 이렇게하려면 다음이 필요합니다. 1) 첫 번째 시도에서 수취인이 작동하지 않습니다. 2) 두 번째 시도에서 성공했습니다. 이 사건의 확률은 (1-r)r. 비슷하게 
등등, 
. 분포 범위 엑스형태를 취할 것이다
| 1 | 2 | 3 | … | 에게 | … | |
| 아르 자형 | qp | q 2p | q r -1피 |
참고로 확률은 ~에형태 기하 진행분모 포함: 1–p=q, 큐<1, 그래서 이 확률 분포는 기하학.
수학적 모델이 구성되었다고 가정해 봅시다. 
불연속 확률 변수로 설명된 실험 엑스, 그리고 임의의 사건의 발생 확률의 계산을 고려하십시오.
임의의 이벤트에 유한하거나 셀 수 있는 값 집합이 포함되도록 합니다. x 나는: A= {x 1 , x 2 ,..., x i , ...) .이벤트 하지만다음 형식의 호환되지 않는 이벤트의 합집합으로 나타낼 수 있습니다. 그런 다음 Kolmogorov의 공리 3을 적용합니다. , 우리는 얻는다
왜냐하면 우리는 사건의 발생 확률이 그 원형인 사건의 발생 확률과 같다고 결정했기 때문입니다. 이것은 모든 사건의 확률을 의미합니다. 
, , 는 공식으로 계산할 수 있습니다. 이 이벤트는 이벤트의 합집합으로 나타낼 수 있기 때문입니다. 여기서 .
그런 다음 분포 함수 F(х) = Р(–<Х<х) 공식에 따라 구합니다. 이산 확률 변수의 분포 함수는 다음과 같습니다. 엑스불연속적이고 점프가 증가합니다. 즉 계단 함수입니다(그림 2.2).
집합이 유한하면 수식의 항 수가 유한하고 셀 수 있으면 항 수도 셀 수 있습니다.
예 2.3.기술 장치는 서로 독립적으로 작동하는 두 가지 요소로 구성됩니다. 시간 T에서 첫 번째 요소의 고장 확률은 0.2이고 두 번째 요소의 고장 확률은 0.1입니다. 임의의 값 엑스- 시간 T에서 실패한 요소의 수. 임의 변수의 분포 함수를 찾아 그래프를 작성하십시오.
해결책.기술 장치의 두 요소의 신뢰성을 연구하는 것으로 구성된 실험의 기본 이벤트 공간은 다음 네 가지 기본 이벤트에 의해 결정됩니다. - 두 요소 모두 양호한 상태입니다. - 첫 번째 요소는 서비스 가능하고 두 번째 요소는 결함이 있습니다. - 첫 번째 요소에 결함이 있고 두 번째 요소는 사용할 수 있습니다. – 두 요소 모두 결함이 있습니다. 각각의 기본 이벤트는 공간의 기본 이벤트로 표현될 수 있습니다. 
그리고 
, 여기서 – 첫 번째 요소는 서비스 가능합니다. - 첫 번째 요소의 순서가 잘못되었습니다. – 두 번째 요소는 서비스 가능합니다. - 두 번째 요소가 잘못되었습니다. 그런 다음 기술 장치의 요소가 서로 독립적으로 작동하므로
8. 불연속 확률 변수의 값이 구간에 속할 확률은 얼마입니까?
이산 확률 변수의 가장 일반적인 분포 법칙을 골라낼 수 있습니다.
이산 랜덤 변수의 주어진 분포에 대해 수치적 특성(수학적 기대치, 분산 등)뿐만 아니라 해당 값의 확률 계산은 특정 "공식"에 따라 수행됩니다. 따라서 이러한 유형의 분포와 기본 속성을 아는 것이 매우 중요합니다.
불연속 확률 변수 $X$는 $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. 사실, 랜덤 변수 $X$는 $n$개의 독립 시도에서 $A$ 사건의 발생 횟수입니다. 랜덤 변수 $X$에 대한 확률 분포 법칙:
$\begin(배열)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(배열)$
이러한 랜덤 변수의 경우 기대치는 $M\left(X\right)=np$이고 분산은 $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$입니다.
예시 . 가족에는 두 자녀가 있습니다. 남자아이와 여자아이의 출생 확률이 $0.5$라고 가정하고 가족 중 남자아이의 수인 랜덤 변수 $\xi$의 분포 법칙을 구하십시오.
랜덤 변수 $\xi $를 가족의 소년 수라고 합니다. $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$가 취할 수 있는 값. 이 값의 확률은 공식 $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, 여기서 $n =2$ - 독립 시행 횟수, $p=0.5$ - 일련의 $n$ 시행에서 사건이 발생할 확률. 우리는 다음을 얻습니다.
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0.25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$
그런 다음 확률 변수 $\xi $의 분포 법칙은 $0,\ 1,\ 2$ 값과 그 확률 사이의 대응 관계입니다. 즉:
$\begin(배열)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(배열)$
분포 법칙에서 확률의 합은 $1$, 즉 $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25와 같아야 합니다. =$1.
기대 $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, 분산 $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, 표준편차 $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\approx $0.707.
불연속 확률 변수 $X$가 음이 아닌 정수 값만 취할 수 있는 경우 $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ 확률은 \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
논평. 이 분포의 특이점은 실험 데이터를 기반으로 추정치 $M\left(X\right),\D\left(X\right)$를 찾고, 얻은 추정치가 서로 가깝다면 확률 변수가 포아송 분포 법칙의 적용을 받는다고 주장할 이유가 있습니다.
예시 . 푸아송 분포 법칙이 적용되는 임의 변수의 예는 다음과 같습니다. 내일 주유소에서 서비스를 제공할 자동차의 수 제조된 제품의 불량품 수.
예시 . 공장은 $500$의 제품을 기지로 보냈습니다. 배송 중 제품 손상 가능성은 $0.002$입니다. 손상된 제품의 수와 같은 확률 변수 $X$의 분포 법칙을 구하십시오. 이는 $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$와 같습니다.
이산 랜덤 변수 $X$를 손상된 제품의 수라고 합니다. 이러한 랜덤 변수는 $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ 매개변수를 사용하는 포아송 분포 법칙을 따릅니다. 값의 확률은 $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
랜덤 변수 $X$의 분포 법칙:
$\begin(배열)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(배열)$
이러한 랜덤 변수의 경우 수학적 기대값과 분산은 서로 같고 매개변수 $\lambda $와 같습니다. 즉, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.
불연속 확률 변수 $X$가 확률 $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ right)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, 그러면 우리는 그러한 랜덤 변수 $X$가 확률 분포의 기하학적 법칙을 따른다고 말합니다. 사실 기하분포는 베르누이의 첫 번째 성공 시도로 보인다.
예시 . 기하학적 분포를 갖는 무작위 변수의 예는 다음과 같습니다. 첫 번째 실패 전 장치 테스트 횟수; 첫 번째 앞면이 나오기 전에 동전 던지기 횟수 등.
기하 분포에 따른 확률 변수의 수학적 기대값과 분산은 각각 $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^ 2$.
예시 . 물고기가 산란 장소로 이동하는 길에는 $4$ 자물쇠가 있습니다. 물고기가 각 자물쇠를 통과할 확률은 $p=3/5$입니다. 무작위 변수 $X$의 분포 계열을 구성합니다. 이는 자물쇠에서 처음 멈추기 전에 물고기가 통과한 자물쇠의 수입니다. $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$를 찾습니다.
임의 변수 $X$를 물고기가 수문에서 처음 멈추기 전에 통과한 수문의 수라고 합니다. 이러한 랜덤 변수는 확률 분포의 기하학적 법칙을 따릅니다. 랜덤 변수 $X가 취할 수 있는 값은 1, 2, 3, 4입니다. 이 값의 확률은 다음 공식으로 계산됩니다. $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, $p=2/5$ - 물고기가 자물쇠를 통해 잡힐 확률 $q=1-p=3/5$ - 물고기가 자물쇠를 통과할 확률 $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ 이상(5))=0.4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ 이상 (5))\cdot ((9)\이상 (25))=((18)\이상 (125))=0.144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\over (5))\right))^4=((27)\over (125))=0.216.$
$\begin(배열)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(배열)$
기대값:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
분산:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ 왼쪽(1-2,176\오른쪽))^2+0,24\cdot (\왼쪽(2-2,176\오른쪽))^2+0,144\cdot (\왼쪽(3-2,176\오른쪽))^2+$
$+\ 0.216\cdot (\left(4-2.176\right))^2\약 1.377.$
표준 편차:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\약 1,173.$
$N$ 객체가 있는 경우, 그 중 $m$ 객체는 주어진 속성을 가집니다. 임의로 $n$ 객체를 교체하지 않고 추출하며, 그 중 주어진 속성을 가진 $k$ 객체가 있습니다. 초기하 분포를 사용하면 샘플의 정확히 $k$ 객체가 주어진 속성을 가질 확률을 추정할 수 있습니다. 랜덤 변수 $X$를 샘플에서 주어진 속성을 가진 개체의 수라고 합니다. 그런 다음 임의 변수 $X$ 값의 확률은 다음과 같습니다.
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
논평. Excel $f_x$ 함수 마법사의 HYPERGEOMET 통계 함수를 사용하면 특정 횟수의 시도가 성공할 확률을 결정할 수 있습니다.
$f_x\to $ 통계$\에서 $ 초기하$\에서 $ 확인. 작성해야 하는 대화 상자가 나타납니다. 그래프에서 Number_of_successes_in_sample$k$의 값을 지정합니다. 표본의 크기$n$와 같습니다. 그래프에서 Number_of_successes_in_population$m$의 값을 지정합니다. 인구_크기$N$와 같습니다.
기하 분포 법칙에 따른 이산 랜덤 변수 $X$의 수학적 기대치와 분산은 $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left (1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.
예시 . 은행의 신용 부서에는 고등 금융 교육을 받은 5명의 전문가와 고등 법률 교육을 받은 3명의 전문가가 있습니다. 은행 경영진은 고급 교육을 위해 3명의 전문가를 무작위로 선택하여 파견하기로 결정했습니다.
a) 고급 교육을 받을 수 있는 고등 금융 교육을 받은 전문가 수의 분포를 만듭니다.
b) 이 분포의 수치적 특성을 찾으십시오.
무작위 변수 $X$는 선택된 3명 중 더 높은 금융 교육을 받은 전문가의 수입니다. $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$가 취할 수 있는 값. 이 무작위 변수 $X$는 다음 매개변수를 사용하여 초기하 분포에 따라 분포됩니다. $N=8$ - 모집단 크기, $m=5$ - 모집단의 성공 횟수, $n=3$ - 표본 크기, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - 샘플의 성공 횟수입니다. 그런 다음 확률 $P\left(X=k\right)$는 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_(N)^(n) ) $에 대해. 우리는:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0.268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\약 0.179.$
그런 다음 확률 변수 $X$의 분포 시리즈:
$\begin(배열)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(배열)$
초기하분포의 일반식을 이용하여 확률변수 $X$의 수치적 특성을 계산해 보자.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\약 0.502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\약 0.7085.$
ρq N- 1
ρq N- 2
ρ
N
