Dalam matematika, simbol khusus digunakan untuk mempersingkat catatan dan mengungkapkan pernyataan dengan lebih akurat.
Simbol Matematika:
Misalnya dengan menggunakan simbol “ > » ke angka a, b, kita mendapatkan entri" a > b”, yang merupakan singkatan dari kalimat: “angka sebuah lebih banyak nomor b". Jika – sebutan garis, maka record tersebut merupakan pernyataan yang sejajar. Catatan " x M" maksudnya x adalah elemen himpunan M.
Seiring dengan simbolisme matematika, simbolisme logis banyak digunakan dalam matematika, diterapkan pada pernyataan dan predikat .
Dibawah pepatah artinya kalimat yang hanya benar atau hanya salah. Misalnya, pernyataan "–3 > 0" salah, dan pernyataan "2 2 = 4" benar. Kami akan menunjuk pernyataan dalam huruf Latin kapital, mungkin dengan indeks. Sebagai contoh, SEBUAH= "-3 > 0», B= "2 2 = 4".
Predikat adalah kalimat dengan satu variabel atau beberapa variabel. Misalnya, kalimat: "angka x lebih besar dari angka 0" (dalam karakter x > 0) adalah predikat variabel tunggal x, dan kalimat: "a+b=c" adalah predikat tiga variabel a, b, c.
Predikat untuk nilai tertentu dari variabel menjadi proposisi, mengambil nilai benar dan salah.
Kami akan menunjukkan predikat sebagai fungsi: Q(x) = « x > 0» , F(x,b,c) = « x + b = c» .
Simbol logika: .
1. Penyangkalan berlaku untuk satu pernyataan atau predikat, sesuai dengan partikel "tidak" dan dilambangkan dengan .
Misalnya, rumusnya adalah singkatan dari kalimat: "-3 tidak lebih besar dari 0" ("tidak benar bahwa -3 lebih besar dari 0").
2. Konjungsi diterapkan pada dua pernyataan atau predikat, sesuai dengan serikat "dan", dilambangkan: A&B(atau A B).
Jadi rumus (–3 > 0) & (2 2 = 4) berarti kalimat “–3 > 0 dan 2 2 = 4”, yang jelas salah.
3. Pemisahan berlaku untuk dua pernyataan atau predikat, sesuai dengan serikat "atau" (tidak memisahkan) dan dilambangkan A B .
Saran: "nomor x milik satu set atau satu set" diwakili oleh rumus: 
.
4. implikasi sesuai dengan serikat "jika ..., maka ..." dan dilambangkan: A B.
Jadi, entri sebuah > –1 sebuah > 0" adalah singkatan dari kalimat "jika sebuah >-1, maka sebuah > 0».
5. Persamaan derajatnya A B cocok dengan kalimat: SEBUAH jika dan hanya jika B».
Simbol-simbol itu disebut kuantifier umum dan keberadaan , masing-masing, berlaku untuk predikat (dan bukan pernyataan). Kuantifier dibaca sebagai "setiap", "setiap", "semua", atau dengan preposisi "untuk": "untuk semua", "untuk semua", dll. Kuantifier dibaca: "ada", "ada", dll.
Kuantifikasi umum diterapkan pada predikat F(x, …) yang berisi satu variabel (misalnya, x) atau beberapa variabel, menghasilkan rumus
1. xF(x,…), yang sesuai dengan kalimat: "untuk apapun x dilakukan F(x, …)» atau semua x memiliki properti F(x, …)».
Sebagai contoh: x(x> 0) ada singkatan untuk frasa: "apa saja x lebih besar dari 0", yang merupakan pernyataan yang salah.
2. Pengukur keberadaan diterapkan pada predikat F(x,…) sesuai dengan kalimat "ada x, seperti yang F(x,…)" ("ada x, untuk itu F(x,…)") dan dilambangkan: xF(x,…).
Misalnya, pernyataan yang benar "ada bilangan real yang kuadratnya adalah 2" ditulis dengan rumus x(xR&x 2 = 2). Di sini kuantifier eksistensial diterapkan pada predikat: F(x)= (xR&x 2 = 2) (ingat bahwa himpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R).
Jika quantifier diterapkan pada predikat dengan satu variabel, maka hasilnya adalah proposisi, benar atau salah. Jika quantifier diterapkan pada predikat dengan dua atau lebih variabel, maka hasilnya adalah predikat dengan satu variabel lebih sedikit. Jadi, jika predikat F(x, y) mengandung dua variabel, maka dalam predikat xF(x, y) satu variabel kamu(variabel x adalah "terkait", Anda tidak dapat mengganti nilainya x). Untuk predikat xF(x, y) seseorang dapat menerapkan penghitung umum atau keberadaan sehubungan dengan variabel kamu, maka rumus yang dihasilkan xF(x, y) atau xF(x, y) adalah proposisi.
Jadi, predikat | dosa x|< a » berisi dua variabel x, a. Predikat x(|sinx|< sebuah) tergantung pada satu variabel sebuah, sedangkan predikat ini berubah menjadi pernyataan palsu (|sinx|< ), pada sebuah= 2 kita mendapatkan pernyataan yang benar x(|sinx|< 2).
bisa berarti sama dengan (simbol juga bisa berarti superset).
(\displaystyle\Panah Kanan )
→ (\displaystyle \to )\ke
(\displaystyle \supset )
(\displaystyle \implies )\menyiratkan
U+003A U+229C
:= (\displaystyle:=):=
(\displaystyle \equiv )
(\displaystyle\Panah kiri kanan )
Operator berikut jarang didukung oleh font standar. Jika Anda ingin menggunakannya di halaman Anda, Anda harus selalu menyematkan font yang benar sehingga browser dapat menampilkan karakter tanpa harus menginstal font di komputer Anda.
Di Polandia, quantifier universal kadang-kadang ditulis sebagai (\displaystyle \wedge ), dan kuantifier keberadaan sebagai (\displaystyle\vee ). Hal yang sama diamati dalam sastra Jerman.
Simbolisme itu logis
sistem tanda (simbol) yang digunakan dalam logika untuk menunjuk istilah, predikat, proposisi, fungsi logis, hubungan antar proposisi. Sistem logika yang berbeda dapat menggunakan sistem notasi yang berbeda, jadi di bawah ini kami hanya memberikan simbol yang paling umum digunakan dalam literatur tentang logika:
Huruf awal alfabet Latin biasanya digunakan untuk menunjukkan ekspresi konstan individu, istilah;
Huruf awal kapital dari alfabet Latin biasanya digunakan untuk menunjukkan pernyataan tertentu;
Huruf di akhir alfabet Latin biasanya digunakan untuk menunjukkan variabel individu;
Huruf besar di akhir alfabet Latin biasanya digunakan untuk menunjukkan variabel proposisional atau variabel proposisional; untuk tujuan yang sama, huruf kecil di tengah alfabet Latin sering digunakan: p, q, r, ...;
simbolisme logis; kamu
Tanda yang berfungsi untuk menunjukkan negasi; baca: "tidak", "tidak benar itu";
Tanda untuk menunjuk konjungsi - ikat logis dan pernyataan yang mengandung ikat seperti tanda utama; Baca dan";
Tanda untuk menunjuk disjungsi non-eksklusif - penghubung logis dan pernyataan yang mengandung penghubung seperti tanda utama; baca: "atau";
Sebuah tanda untuk menunjukkan disjungsi yang ketat, atau eksklusif; baca: "baik, atau";
Tanda untuk menunjuk suatu implikasi - penghubung logis dan pernyataan yang mengandung penghubung seperti tanda utama; baca: "jika, maka";
Tanda untuk menunjukkan kesetaraan pernyataan; baca: "jika dan hanya jika";
Sebuah tanda yang menunjukkan pengurangan satu pernyataan dari yang lain, dari satu set pernyataan; baca: "turunan" (jika pernyataan A diturunkan dari himpunan premis kosong, yang ditulis sebagai "A", maka tanda " " berbunyi: "dapat dibuktikan");
Kebenaran (dari bahasa Inggris benar - kebenaran); - bohong (dari bahasa Inggris salah - bohong);
Kuantifikasi umum; baca "untuk semua orang", "semua orang";
Pengukur keberadaan; baca: "ada", "setidaknya ada satu";
Tanda untuk menunjukkan operator modal yang diperlukan; baca: "itu perlu";
Tanda untuk menunjukkan operator kemungkinan modal; baca: "mungkin".
Seiring dengan yang tercantum dalam sistem logika multi-nilai, sementara, deontik, dan lainnya, simbol spesifik mereka sendiri digunakan, namun, setiap kali dijelaskan apa sebenarnya arti simbol ini atau itu dan bagaimana cara membacanya (lihat: Tanda logis) .
Kamus logika. - M.: Tumanit, ed. pusat VLADOS. A.A. Ivin, A.L. Nikiforov. 1997 .
- (Konstanta logis) istilah yang berkaitan dengan bentuk logis dari penalaran (bukti, kesimpulan) dan merupakan sarana untuk menyampaikan pikiran dan kesimpulan manusia, kesimpulan dalam bidang apa pun. L. untuk memasukkan kata-kata seperti tidak, dan, atau, ada ... Glosarium Istilah Logika
GOST R ISO 22742-2006: Identifikasi otomatis. Pengkodean batang. Barcode linier dan simbol 2D pada kemasan produk- Terminologi GOST R ISO 22742 2006: Identifikasi otomatis. Pengkodean batang. Simbol barcode linier dan simbol dua dimensi pada kemasan produk dokumen asli: 3.8 Data Matrix: Simbologi matriks dua dimensi dengan koreksi ... ...
- (Wittgenstein) Ludwig (1889 1951) Bahasa Inggris Austro. filsuf, prof. filsafat di Universitas Cambridge pada tahun 1939 1947. Philos. Pandangan V. terbentuk di bawah pengaruh fenomena tertentu di Austria. budaya sejak dini. abad ke-20, dan sebagai hasil dari kreativitas ... ... Ensiklopedia Filsafat
- (Yunani logike̅́) ilmu tentang cara berpikir yang dapat diterima. Kata "L". dalam penggunaan modernnya ambigu, meskipun tidak sekaya nuansa semantik seperti Yunani kuno. logo dari mana ia berasal. Dalam semangat tradisi dengan konsep L ... Ensiklopedia Besar Soviet
- (dari tanda semeiot Yunani) teori umum sistem tanda yang mempelajari sifat-sifat kompleks tanda yang sifatnya sangat berbeda. Sistem tersebut termasuk bahasa alami, tertulis dan lisan, berbagai bahasa buatan, dimulai dengan formal ... Ensiklopedia Filsafat
Istilah ini memiliki arti lain, lihat Sapi (arti). ? Sapi domestik ... Wikipedia
Kalkulus Konsep- "PERHITUNGAN KONSEP" ("Rekam dalam konsep") karya matematikawan dan ahli logika Jerman Gottlob Frege, yang menandai awal dari bentuk modern logika matematika (simbolis). Judul lengkap dari karya ini termasuk indikasi bahwa di ... ... Ensiklopedia Epistemologi dan Filsafat Ilmu
Wittgenstein (WITTGENSTEIN) Ludwig- (1889 1951) austria filsuf. Prof. filsafat di Universitas Cambridge pada tahun 1939 47 . Pandangan filosofis V. terbentuk di bawah pengaruh fenomena tertentu di Austria. budaya awal abad ke-20, dan sebagai hasil dari pengembangan kreatif pencapaian baru ... ... Filsafat Barat Modern. kamus ensiklopedis
Kode- 01.01.14 code [code]: Seperangkat aturan yang mencocokkan elemen dari satu set dengan elemen dari set lain. [ISO/IEC 2382-4, 02/04/01] Sumber ... Buku referensi kamus istilah dokumentasi normatif dan teknis
- (Comte) pendiri positivisme, b. 19 Januari 1798 di Montpellier, di mana ayahnya adalah seorang pemungut cukai. Di Lyceum, dia unggul dalam matematika. Memasuki Sekolah Politeknik, ia mengejutkan para profesor dan kawan dengan perkembangan mentalnya. PADA… … Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron
Konjungsi atau perkalian logis (dalam teori himpunan, ini adalah persimpangan)
Konjungsi adalah ekspresi logika kompleks yang bernilai benar jika dan hanya jika kedua ekspresi sederhana bernilai benar. Situasi seperti itu hanya mungkin dalam satu kasus, dalam semua kasus lain konjungsinya salah.
Penunjukan: &, $\wedge$, $\cdot$.
Tabel kebenaran untuk konjungsi
Gambar 1.
Sifat konjungsi:
Disjungsi adalah ekspresi logika kompleks yang hampir selalu benar, kecuali jika semua ekspresi salah.
Penunjukan: +, $\vee$.
Tabel kebenaran untuk disjungsi
Gambar 2.
Sifat disjungsi:
Negasi - berarti bahwa partikel TIDAK atau kata SALAH ditambahkan ke ekspresi logis asli, YANG dan sebagai hasilnya kita mendapatkan bahwa jika ekspresi asli benar, maka negasi dari yang asli akan salah dan sebaliknya, jika ekspresi asli salah, maka negasinya akan benar.
Notasi: bukan $A$, $\bar(A)$, $¬A$.
Tabel kebenaran untuk inversi
Gambar 3
Sifat negatif:
"Negasi ganda" dari $¬¬A$ adalah konsekuensi dari proposisi $A$, yaitu, ini adalah tautologi dalam logika formal dan sama dengan nilai itu sendiri dalam logika Boolean.
Implikasi adalah ekspresi logis kompleks yang benar dalam semua kasus kecuali jika benar menyiratkan salah. Artinya, operasi logika ini menghubungkan dua ekspresi logika sederhana, yang pertama adalah kondisi ($A$), dan yang kedua ($A$) adalah konsekuensi dari kondisi ($A$).
Notasi: $\to$, $\Rightarrow$.
Tabel kebenaran untuk implikasi
Gambar 4
Properti implikasi:
Kesetaraan adalah ekspresi logika kompleks yang benar pada nilai yang sama dari variabel $A$ dan $B$.
Sebutan: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.
Tabel kebenaran untuk ekivalensi
Gambar 5
Sifat kesetaraan:
Disjungsi ketat benar jika nilai argumen tidak sama.
Untuk elektronik, ini berarti bahwa implementasi rangkaian dimungkinkan menggunakan satu elemen tipikal (walaupun ini adalah elemen yang mahal).
Untuk mengubah urutan eksekusi operasi logis yang ditentukan, Anda harus menggunakan tanda kurung.
Untuk sekumpulan $n$ boolean, ada $2^n$ nilai yang berbeda. Tabel kebenaran untuk ekspresi boolean dalam variabel $n$ berisi kolom $n+1$ dan baris $2^n$.
1.1. Notasi untuk penghubung logis (operasi):
sebuah) penyangkalan(inversi, logika NOT) dilambangkan dengan (misalnya, A);
b) konjungsi(perkalian logis, logika AND) dilambangkan dengan /\
(misalnya, A /\ B) atau & (misalnya, A & B);
c) pemisahan(penambahan logis, logis OR) dilambangkan dengan \/
(misalnya, A \/ B);
d) mengikuti(implikasi) dilambangkan dengan → (misalnya, A → B);
e) identitas dilambangkan dengan (misalnya, A B). Ekspresi A B benar jika dan hanya jika nilai A dan B sama (keduanya benar atau keduanya salah);
f) simbol 1 digunakan untuk menyatakan kebenaran (true statement); simbol 0 - untuk menunjukkan kebohongan (pernyataan salah).
1.2. Dua ekspresi boolean yang mengandung variabel disebut setara (ekuivalen) jika nilai ekspresi ini sama untuk semua nilai variabel. Jadi, ekspresi A → B dan (¬A) \/ B adalah setara, tetapi A /\ B dan A \/ B tidak (arti dari ekspresi berbeda, misalnya, ketika A \u003d 1, B \ u003d 0).
1.3. Prioritas operasi logika: inversi (negasi), konjungsi (perkalian logis), disjungsi (penambahan logis), implikasi (mengikuti), identitas. Jadi, A \/ B \/ C \/ D berarti sama dengan
((¬A) \/ B)\/ (C \/ D).
Dimungkinkan untuk menulis A \/ B \/ C sebagai ganti (A \/ B) \/ C. Hal yang sama berlaku untuk konjungsi: dimungkinkan untuk menulis A / \ B / \ C sebagai ganti (A / \ B ) / \ C.
Daftar di bawah ini TIDAK dimaksudkan untuk menjadi lengkap, tetapi mudah-mudahan mewakili.
2.1. Properti Umum
2.2 Disjungsi
2.3. Konjungsi
2.4. Disjungsi dan konjungsi sederhana
Kami menyebut (untuk kenyamanan) konjungsi sederhana jika subekspresi yang menggunakan konjungsi adalah variabel-variabel yang berbeda atau negasi-negasinya. Demikian pula, disjungsi disebut sederhana jika subekspresi yang disjungsi diterapkan adalah variabel yang berbeda atau negasinya.
2.5. implikasi
