A matematikában speciális szimbólumokat használnak a rekord lerövidítésére és az állítás pontosabb kifejezésére.
Matematikai szimbólumok:
Például a " szimbólum használatával > » számokhoz a, b, megkapjuk a bejegyzést " a > b”, amely a következő mondat rövidítése: „szám a több szám b". Ha - sorok megjelölése, akkor a rekord egy utasítás, amely párhuzamos. Felvétel " x M" azt jelenti, hogy x a halmaz eleme M.
A matematikai szimbolizmus mellett a logikai szimbolikát is széles körben használják a matematikában nyilatkozatok és állítmányok .
Alatt mondás olyan mondatot jelent, amely vagy csak igaz, vagy csak hamis. Például a „–3 > 0” állítás hamis, a „2 2 = 4” állítás pedig igaz. Az állításokat latin nagybetűkkel, esetleg indexekkel jelöljük. Például, A= "-3 > 0», B= "2 2 = 4".
Állítmány egy vagy több változót tartalmazó mondat. Például a következő mondat: "szám x nagyobb, mint a 0" (karakterekben x > 0) egyváltozós predikátum x, és a mondat: "a+b=c" egy háromváltozós predikátum a, b, c.
A változók meghatározott értékeinek predikátuma egy tétel lesz, amely igaz és hamis értékeket vesz fel.
A predikátumokat függvényként fogjuk jelölni: K(x) = « x > 0» , F(x,b,c) = « x + b = c» .
Logikai szimbólumok: .
1. Tagadás egy állításra vagy állítmányra vonatkozik, a "nem" partikulának felel meg, és jelölése.
Például a képlet a mondat rövidítése: "-3 nem nagyobb, mint 0" ("nem igaz, hogy -3 nagyobb, mint 0").
2. Konjunkció két állításra vagy predikátumra alkalmazva megfelel az "és" uniónak, jelölése: A&B(vagy A B).
Tehát a (–3 > 0) és (2 2 = 4) képlet a „–3 > 0 és 2 2 = 4” mondatot jelenti, ami nyilvánvalóan hamis.
3. Diszjunkció két állításra vagy állítmányra vonatkozik, megfelel a "vagy" (nem elválasztó) uniónak, és jelölve van A B .
Javaslat: "szám x halmazhoz vagy halmazhoz tartozik" a képlet ábrázolja: 
.
4. következmény megfelel a "ha ..., akkor ..." uniónak, és jelölése: A B.
Szóval, a bejegyzés a > –1 a > 0" az "if." mondat rövidítése a >-1 akkor a > 0».
5. Egyenértékűség A B egyezik a mondattal: A ha, és csak akkor ha B».
A szimbólumokat ún az általánosság és a létezés kvantifikátorai , illetve predikátumokra (és nem állításokra) vonatkoznak. A kvantor „bármely”, „minden”, „minden” vagy „for” elöljárószóval olvasható: „bármelyikre”, „mindenre” stb. A kvantor így olvasható: „létezik”, „van” stb.
Általános kvantor állítmányra alkalmazva F(x, …), amely egy változót tartalmaz (pl. x) vagy több változót, ami a képletet eredményezi
1. xF(x,…), amely a következő mondatnak felel meg: "bármelyre x teljesített F(x, …)» vagy mindet x birtokolják az ingatlant F(x, …)».
Például: x(x> 0) van egy rövidítés a következő kifejezésre: "bármilyen x nagyobb, mint 0", ami hamis állítás.
2. Létezési kvantor állítmányra alkalmazva F(x,…) megfelel a „létezik x, oly módon, hogy F(x,…)" ("van x, amelyekre F(x,…)") és jelölése: xF(x,…).
Például a "van egy valós szám, amelynek négyzete 2" igaz állítást a képlet írja fel x(xR&x 2 = 2). Itt az egzisztenciális kvantort alkalmazzuk az állítmányra: F(x)= (xR&x 2 = 2) (emlékezzünk arra, hogy az összes valós szám halmazát jelöli R).
Ha egy kvantort egy változós predikátumra alkalmazunk, akkor az eredmény egy propozíció, igaz vagy hamis. Ha egy kvantort alkalmazunk egy két vagy több változós predikátumra, akkor az eredmény egy eggyel kevesebb változós predikátum lesz. Tehát, ha az állítmány F(x, y) két változót tartalmaz, akkor az állítmányban xF(x, y) egy változót y(változó x"kapcsolódó", nem helyettesítheti értékekkel x). Állításra xF(x, y) alkalmazhatjuk a változóra az általánosság vagy létezés kvantorát y, majd a kapott képletet xF(x, y) vagy xF(x, y) egy javaslat.
Tehát az állítmány | bűn x|< a » két változót tartalmaz x, a. Állítmány x(|sinx|< a) egy változótól függ a, míg ez az állítmány hamis kijelentéssé válik (|sinx|< ), nál nél a= 2 igaz állítást kapunk x(|sinx|< 2).
⊃ jelentheti ugyanazt, mint a ⇒ (a szimbólum jelenthet szuperhalmazt is).
⇒ (\displaystyle\Jobbra )
→ (\displaystyle \to )\nak nek
⊃ (\displaystyle \supset )
⟹ (\displaystyle \implies )\implikálja
U+003A U+229C
:= (\displaystyle:=):=
≡ (\displaystyle \equiv )
⇔ (\displaystyle\balra jobbra nyíl )
A következő operátorokat ritkán támogatják a szabványos betűtípusok. Ha használni szeretné őket az oldalon, mindig a megfelelő betűtípusokat ágyazza be, hogy a böngésző anélkül jelenítse meg a karaktereket, hogy betűtípusokat kellene telepítenie a számítógépére.
Lengyelországban az univerzális kvantort néha így írják ∧ (\displaystyle \wedge ), és a létezési kvantor as ∨ (\displaystyle\vee ). Ugyanez figyelhető meg a német irodalomban is.
A szimbolizmus logikus
jelek (szimbólumok) rendszere, amelyet a logikában használnak kifejezések, állítmányok, propozíciók, logikai függvények, állítások közötti kapcsolatok kijelölésére. A különböző logikai rendszerek különböző jelölési rendszereket használhatnak, ezért az alábbiakban csak a logikai szakirodalomban leggyakrabban használt szimbólumokat adjuk meg:
A latin ábécé kezdőbetűi általában az egyes állandó kifejezések, kifejezések jelölésére szolgálnak;
A latin ábécé nagy kezdőbetűit általában konkrét kijelentések jelölésére használják;
A latin ábécé végén lévő betűket általában az egyes változók jelölésére használják;
A latin ábécé végén lévő nagybetűket általában propozíciós változók vagy propozíciós változók jelölésére használják; ugyanerre a célra gyakran használják a latin ábécé közepének kis betűit: p, q, r, ...;
logikai szimbolizmus; u
Jelek, amelyek a tagadást jelzik; olvassa el: "nem", "nem igaz, hogy";
Jelek egy kötőszó kijelölésére - logikai kötőszó és egy ilyen kötőszót fő jelként tartalmazó nyilatkozat; olvas és";
Jel a nem kizárólagos diszjunkció kijelölésére - logikai konnektívum és az ilyen konnektívát fő jelként tartalmazó nyilatkozat; olvassa el: "vagy";
Szigorú vagy kizárólagos diszjunkciót jelölő jel; olvassa el: "vagy, vagy";
Jelek egy implikáció kijelölésére - logikai kötőelem és egy ilyen kötőelemet tartalmazó kijelentés fő jelként; olvassa el: "ha, akkor";
Az állítások egyenértékűségét jelző jelek; olvassa el: "ha és csak akkor";
Az egyik állítás másikból, állítások halmazából való levezethetőségét jelző jel; olvasható: "származtatható" (ha az A állítás egy üres premisszák halmazából származtatható, amely "A"-ként van írva, akkor a " " jel így szól: "bizonyítható");
Igazság (angolul true - igazság); - hazugság (angol false - hazugság);
Általános kvantor; olvass "mindenkiért", "mindenkiért";
Létezési kvantor; olvassa el: "létezik", "legalább egy van";
Jelek, amelyek jelzik a szükséges modális operátort; olvassa el: "szükséges, hogy";
Jelek, amelyek jelzik a modális lehetőség kezelőjét; olvassa el: "esetleg".
A többértékű, ideiglenes, deontikus és egyéb logikai rendszerekben felsoroltak mellett saját specifikus szimbólumokat használnak, azonban minden alkalommal elmagyarázzák, hogy ez vagy az a szimbólum pontosan mit jelent és hogyan olvassa el (lásd: Logikai jel) .
Logikai szótár. - M.: Tumanit, szerk. központ VLADOS. A. A. Ivin, A. L. Nikiforov. 1997 .
- (Logikai konstansok) az érvelés logikai formájához (bizonyítás, következtetés) kapcsolódó kifejezések, és bármely területen emberi gondolatok és következtetések, következtetések közvetítésének eszközei. L. to. olyan szavakat tartalmaz, mint nem, és, vagy, vannak ... Logikai kifejezések szójegyzéke
GOST R ISO 22742-2006: Automatikus azonosítás. Vonalkódolás. Lineáris vonalkód és 2D szimbólumok a termék csomagolásán- Terminológia GOST R ISO 22742 2006: Automatikus azonosítás. Vonalkódolás. Lineáris vonalkód szimbólumok és kétdimenziós szimbólumok a termék csomagolásán eredeti dokumentum: 3.8 Adatmátrix: Kétdimenziós mátrix szimbólumok javítással ... ...
- (Wittgenstein) Ludwig (1889 1951) osztrák angol. filozófus, prof. filozófia a Cambridge-i Egyetemen 1939-ben 1947. Filosz. V. nézetei bizonyos jelenségek hatására alakultak ki az osztrák. kultúra korán. században, és a kreatív ...... Filozófiai Enciklopédia
- (görögül logike̅́) az elfogadható érvelési módok tudománya. Az "L" szó. modern használatában nem egyértelmű, bár nem olyan gazdag szemantikai árnyalatokban, mint az ógörög. logók, amelyekről származik. A hagyomány jegyében az L koncepcióval ... Nagy szovjet enciklopédia
- (a görög semeiot jelből) a jelrendszerek általános elmélete, amely nagyon eltérő természetű jelkomplexumok tulajdonságait vizsgálja. Az ilyen rendszerek magukban foglalják a természetes nyelveket, írásbeli és szóbeli, különféle mesterséges nyelveket, kezdve a formalizált ... Filozófiai Enciklopédia
Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd Tehén (jelentések). ? Házi tehén ... Wikipédia
Fogalma Calculus- A "FOGALOMSZÁMÍTÁS" ("Record in concepts") Gottlob Frege német matematikus és logikus munkája, amely a matematikai (szimbolikus) logika modern formájának kezdetét jelentette. Ennek a műnek a teljes címe utalt arra, hogy a ... ... Ismeretelméleti és Tudományfilozófiai Enciklopédia
Wittgenstein (WITTGENSTEIN) Ludwig- (1889 1951) osztrák filozófus. Prof. filozófia a Cambridge-i Egyetemen 1939-ben 47 . V. filozófiai nézetei mind bizonyos jelenségek hatására alakultak ki az osztrák. század elejének kultúrája, és az új vívmányok kreatív fejlődésének eredményeként ... ... Modern nyugati filozófia. enciklopédikus szótár
a kód- 01.01.14 kód [kód]: Olyan szabályok halmaza, amelyek az egyik halmaz elemeit egy másik halmaz elemeivel egyeztetik. [ISO/IEC 2382-4, 02/04/01] Forrás ... A normatív és műszaki dokumentáció kifejezéseinek szótár-referenciája
- (Comte) a pozitivizmus megalapítója, szül. 1798. január 19-én Montpellier-ben, ahol apja adószedő volt. A Líceumban matematikából jeleskedett. A Műszaki Iskolába kerülve szellemi fejlődésével meglepte a professzorokat és az elvtársakat. NÁL NÉL… … Enciklopédiai szótár F.A. Brockhaus és I.A. Efron
Konjunkció vagy logikai szorzás (halmazelméletben ez metszéspont)
A kötőszó egy összetett logikai kifejezés, amely akkor és csak akkor igaz, ha mindkét egyszerű kifejezés igaz. Ilyen helyzet csak egyetlen esetben lehetséges, minden más esetben hamis a kötőszó.
Megnevezés: &, $\wedge$, $\cdot$.
Igazságtáblázat a kötőszóhoz
1. kép
Konjunkció tulajdonságai:
A diszjunkció egy összetett logikai kifejezés, amely szinte mindig igaz, kivéve ha minden kifejezés hamis.
Megnevezés: +, $\vee$.
Igazságtáblázat a diszjunkcióhoz
2. ábra.
Diszjunkció tulajdonságai:
Negáció - azt jelenti, hogy az eredeti logikai kifejezéshez hozzáadódik a NEM részecske vagy a INCORRECT szó, AMI és ennek eredményeként azt kapjuk, hogy ha az eredeti kifejezés igaz, akkor az eredeti tagadása hamis lesz, és fordítva, ha a az eredeti kifejezés hamis, akkor a tagadása igaz lesz.
Jelölés: nem $A$, $\bar(A)$, $¬A$.
Igazságtáblázat az inverzióhoz
3. ábra
Negatív tulajdonságok:
A $¬¬A$ "kettős tagadása" az $A$ állítás következménye, vagyis a formális logikában tautológia, és magával az értékkel egyenlő a logikai logikában.
Az implikáció egy összetett logikai kifejezés, amely minden esetben igaz, kivéve ha az igaz hamisat jelent. Vagyis ez a logikai művelet két egyszerű logikai kifejezést köt össze, amelyek közül az első a feltétel ($A$), a második ($A$) pedig a feltétel következménye ($A$).
Jelölés: $\to$, $\Rightarrow$.
Igazságtáblázat az implikációhoz
4. ábra
Implikációs tulajdonságok:
Az ekvivalencia egy összetett logikai kifejezés, amely igaz a $A$ és $B$ változók egyenlő értékeire.
Megnevezések: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.
Igazságtáblázat az egyenértékűséghez
5. ábra
Egyenértékűségi tulajdonságok:
A szigorú diszjunkció akkor igaz, ha az érvek értéke nem egyenlő.
Az elektronika esetében ez azt jelenti, hogy az áramkörök megvalósítása egyetlen tipikus elem használatával lehetséges (bár ez drága elem).
A logikai műveletek meghatározott végrehajtási sorrendjének megváltoztatásához zárójeleket kell használnia.
$n$ logikai értékből álló halmazhoz pontosan $2^n$ különálló érték van. A $n$ változókból álló logikai kifejezés igazságtáblázata $n+1$ oszlopot és $2^n$ sort tartalmaz.
1.1. Jelölések logikai összeköttetésekhez (műveletek):
a) tagadás(inverzió, logikai NEM) jelölése ¬ (például ¬A);
b) kötőszó(logikai szorzás, logikai ÉS) jelölése /\
(például A /\ B) vagy & (például A & B);
c) diszjunkció(logikai összeadás, logikai VAGY) jelölése \/
(például A \/ B);
d) következő(implikáció) jelölése → (például A → B);
e) identitás≡-val jelöljük (például A ≡ B). Az A ≡ B kifejezés akkor és csak akkor igaz, ha A és B értéke megegyezik (vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis);
f) az 1-es szimbólumot az igazság (igaz állítás) jelölésére használjuk; szimbólum 0 - hazugság (hamis állítás) jelölésére.
1.2. Két változókat tartalmazó logikai kifejezést hívunk meg egyenértékű (egyenértékű), ha ezen kifejezések értéke megegyezik a változók bármely értékével. Tehát az A → B és (¬A) \/ B kifejezések ekvivalensek, de A /\ B és A \/ B nem (a kifejezések jelentése eltérő, például ha A \u003d 1, B \ u003d 0).
1.3. A logikai műveletek prioritásai: inverzió (negáció), konjunkció (logikai szorzás), diszjunkció (logikai összeadás), implikáció (követés), azonosság. Így a ¬A \/ B \/ C \/ D ugyanazt jelenti, mint
((¬A) \/ B)\/ (C \/ D).
Az (A \/ B) \/ C helyett A \/ B \/ C írható. Ugyanez vonatkozik a kötőszóra is: az (A / \ B helyett) A / \ B / \ C ) / \ C.
Az alábbi lista NEM teljes, de remélhetőleg reprezentatív.
2.1. Általános tulajdonságok
2.2 Diszjunkció
2.3. Konjunkció
2.4. Egyszerű diszjunkciók és kötőszavak
Nevezzük (az egyszerűség kedvéért) a kötőszót egyszerű ha a részkifejezések, amelyekre a kötőszót alkalmazzák, különböző változók vagy tagadásaik. Hasonlóképpen a diszjunkciót nevezzük egyszerű ha a részkifejezések, amelyekre a diszjunkciót alkalmazzák, különböző változók vagy tagadásaik.
2.5. következmény
