A típus- és formabizonytalanság a leggyakoribb bizonytalanság, amellyel a limitek megoldása során foglalkozni kell.
A legtöbb határon lévő feladat, amely a diákok elé kerül, csak ilyen bizonytalanságot hordoz magában. Ezek feltárására, pontosabban a kétértelműségek elkerülésére számos mesterséges módszer létezik a határjel alatti kifejezés alakjának átalakítására. Ezek a technikák a következők: a számláló és a nevező kifejezésenkénti osztása a változó legmagasabb hatványával, szorzás a konjugált kifejezéssel és faktorizálás a későbbi redukcióhoz megoldások segítségével másodfokú egyenletekés a rövidített szorzóképletek.
A fajok határozatlansága
1. példa
n egyenlő 2-vel. Ezért a számlálót és a nevezőt elosztjuk a következővel:
.
Megjegyzés a kifejezés jobb oldalán. A nyilak és a számok azt mutatják, hogy a törtek milyen tendenciát mutatnak a helyettesítés után n végtelen értékek. Itt, mint a 2. példában, a fokozat n több van a nevezőben, mint a számlálóban, aminek következtében az egész tört végtelenül kicsi értékre vagy "szuper kis számra" hajlik.
Megkapjuk a választ: ennek a függvénynek a határa a végtelenbe hajló változóval.
2. példa .
Megoldás. Itt a változó legmagasabb hatványa x egyenlő 1-gyel. Ezért a számlálót és a nevezőt tagonként elosztjuk azzal x:
.
Kommentár a megoldás menetéhez. A számlálóban az "x"-et a harmadik fok gyöke alá hajtjuk, és úgy, hogy a kezdeti foka (1) változatlan maradjon, hozzárendeljük a gyökérrel azonos fokozatot, azaz a 3-at. Nincsenek nyilak és további számokat ebben a bejegyzésben, ezért próbálja meg gondolatban, de az előző példával analóg módon határozza meg, hogy a számlálóban és a nevezőben lévő kifejezések milyenek, miután "x"-et a végtelennel helyettesítettek.
Megkaptuk a választ: ennek a függvénynek a határértéke a végtelenbe hajló változóval egyenlő nullával.
A fajok határozatlansága
3. példa Fedezze fel a bizonytalanságot, és találja meg a határt.
Megoldás. A számláló a kockák különbsége. Tényezőzzük az iskolai matematika tantárgy rövidített szorzóképletével:
A nevező egy négyzetes trinom, amelyet egy másodfokú egyenlet megoldásával faktorizálunk (ismét utalás a másodfokú egyenletek megoldására):
Írjuk fel a transzformációk eredményeként kapott kifejezést, és keressük meg a függvény határát:
4. példa Fedezze fel a bizonytalanságot, és találja meg a határt
Megoldás. A hányadoshatártétel itt nem érvényes, mert
Ezért a törtet azonos módon alakítjuk át: a számlálót és a nevezőt megszorozzuk a binomiális konjugátummal a nevezővel, és csökkentjük x+1. Az 1. Tétel következménye szerint egy kifejezést kapunk, amelyet megoldva megtaláljuk a kívánt határt:
5. példa Fedezze fel a bizonytalanságot, és találja meg a határt
Megoldás. Közvetlen értékhelyettesítés x= 0 hüvelyk adott funkciót 0/0 formájú határozatlansághoz vezet. Ennek feltárásához azonos transzformációkat hajtunk végre, és ennek eredményeként megkapjuk a kívánt határt: 
6. példa Kiszámítja 
Megoldás: használja a határérték tételeket
Válasz: 11
7. példa Kiszámítja 
Megoldás: ebben a példában a számláló és a nevező határértéke 0:
; 
. Megállapítottuk, hogy a hányadoshatártétel nem alkalmazható.
Tényezőzzük a számlálót és a nevezőt, hogy a törtet nullára hajló közös tényezővel csökkentsük, és így lehetséges alkalmazás 3. tétel.
A számláló négyzetes hármasát kibővítjük a képlettel, ahol x 1 és x 2 a trinom gyöke. Tényező és nevező, csökkentse a törtet (x-2)-vel, majd alkalmazza a 3. tételt.
Válasz:
8. példa Kiszámítja
Megoldás: A számláló és a nevező a végtelenbe hajlik, így a 3. Tétel közvetlen alkalmazásakor a kifejezést kapjuk, amely a bizonytalanságot jelenti. Az ilyen bizonytalanság elkerülése érdekében osszuk el a számlálót és a nevezőt az érv legmagasabb hatványával. NÁL NÉL ezt a példát részre kell osztani x:
Válasz:
9. példa Kiszámítja 
Megoldás: x 3:
Válasz: 2
10. példa Kiszámítja 
Megoldás: A számláló és a nevező a végtelenbe hajlik. A számlálót és a nevezőt elosztjuk az argumentum legmagasabb hatványával, azaz. x 5:
= 
A tört számlálója 1-re, nevezője 0-ra hajlik, tehát a tört a végtelenbe hajlik.
Válasz:
11. példa. Kiszámítja
Megoldás: A számláló és a nevező a végtelenbe hajlik. A számlálót és a nevezőt elosztjuk az argumentum legmagasabb hatványával, azaz. x 7:
Válasz: 0
Derivált.
Az y = f(x) függvény deriváltja az x argumentumhoz képest az y növekménye és az x argumentum x növekménye arányának határát akkor hívjuk meg, ha az argumentum növekménye nullára hajlik: . Ha ez a határ véges, akkor a függvény y = f(x) az x pontban differenciálhatónak nevezzük. Ha ez a határ létezik, akkor azt mondjuk, hogy a függvény y = f(x) végtelen deriváltja van x-ben.
Az alapvető elemi függvények származékai:
1. (állandó)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
A megkülönböztetés szabályai:
a) 
ban ben) 
1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját 
Megoldás: Ha a második tag származékát egy tört differenciálási szabályával találjuk meg, akkor az első tag egy összetett függvény, amelynek származékát a következő képlettel találjuk meg:
, ahol 
, akkor
A megoldás során a következő képleteket használtuk: 1,2,10, a, c, d.
Válasz:
21. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját 
Megoldás: mindkét kifejezés összetett függvény, ahol az első , , és a második esetében , akkor
Válasz: 
Származékos alkalmazások.
1. Sebesség és gyorsulás
Leírja az s(t) függvény pozíció objektum valamilyen koordinátarendszerben a t időpontban. Ekkor az s(t) függvény első deriváltja pillanatnyi sebesség tárgy:
v=s′=f′(t)
Az s(t) függvény második deriváltja a pillanatnyi gyorsulás tárgy:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Érintőegyenlet
y-y0=f′(x0)(x-x0),
ahol (x0,y0) az érintési pont koordinátái, f′(x0) az f(x) függvény deriváltjának értéke a tapintási pontban.
3. Normál egyenlet
y-y0=-1f′(x0)(x-x0),
ahol (x0,y0) annak a pontnak a koordinátái, ahol a normált rajzoljuk, f′(x0) az f(x) függvény deriváltjának értéke az adott pontban.
4. Funkció Növekvő és Csökkenő
Ha f′(x0)>0, akkor a függvény az x0 pontban növekszik. Az alábbi ábrán a függvény x-szel növekszik
Ha f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. A függvény lokális szélsőértéke
Az f(x) függvény rendelkezik helyi maximum egy x1 pontban, ha létezik az x1 pontnak olyan környéke, hogy ebből a környékből minden x-re teljesül az f(x1)≥f(x) egyenlőtlenség.
Hasonlóképpen az f(x) függvény is rendelkezik helyi minimum egy x2 pontban, ha létezik az x2 pontnak olyan környéke, hogy ebből a környékből minden x-re teljesül az f(x2)≤f(x) egyenlőtlenség.
6. Kritikus pontok
Az x0 pont az kritikus pont f(x) függvény, ha a benne szereplő f′(x0) derivált nullával egyenlő, vagy nem létezik.
7. Az első elégséges jele a szélsőség létezésének
Ha az f(x) függvény növekszik (f′(x)>0) minden x-re valamilyen intervallumban (a,x1] és csökken (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) minden x-re a ) intervallumból
