Meghatározás 7.1. A sík azon pontjainak halmazát, amelyekre két fix pont F 1 és F 2 távolságának összege adott állandó érték, ún. ellipszis.
Az ellipszis definíciója megadja következő út geometriai szerkezetét. Rögzítünk két F 1 és F 2 pontot a síkon, és egy nem negatív állandó értéket jelölünk 2a-val. Legyen az F 1 és F 2 pontok távolsága 2c. Képzeljük el, hogy egy 2a hosszúságú nyújthatatlan szálat rögzítünk például az F 1 és F 2 pontokban két tű segítségével. Nyilvánvaló, hogy ez csak ≥ c esetén lehetséges. Miután meghúzta a szálat egy ceruzával, rajzoljon egy vonalat, amely ellipszis lesz (7.1. ábra).
Tehát a leírt halmaz nem üres, ha a ≥ c. Ha a = c, akkor az ellipszis F 1 és F 2 végű szakasz, ha pedig c = 0, azaz. Ha az ellipszis definíciójában megadott rögzített pontok egybeesnek, akkor az a sugarú kör. Ha elvetjük ezeket a degenerált eseteket, akkor általában azt feltételezzük, hogy a > c > 0.
Az ellipszis 7.1 definíciójában szereplő F 1 és F 2 rögzített pontokat (lásd 7.1. ábra) ún. ellipszis gócok, a köztük lévő távolság, amelyet 2c jelöl, - gyújtótávolság, és az ellipszis egy tetszőleges M pontját annak fókuszaival összekötő F 1 M és F 2 M szakaszok fókuszsugarak.
Az ellipszis alakját teljesen meghatározza a fókusztávolság |F 1 F 2 | = 2c és a paraméter, valamint helyzete a síkon - F 1 és F 2 pontpár.
Az ellipszis definíciójából az következik, hogy szimmetrikus az F 1 és F 2 fókuszokon átmenő egyenesre, valamint az F 1 F 2 szakaszt kettéosztó, rá merőleges egyenesre. (7.2. ábra, a). Ezeket a vonalakat hívják ellipszis tengelyek. Metszéspontjuk O pontja az ellipszis szimmetriaközéppontja, és ún az ellipszis középpontja, valamint az ellipszis és a szimmetriatengelyek metszéspontjai (A, B, C és D pontok a 7.2. ábrán, a) - az ellipszis csúcsai.
Az a számot hívják az ellipszis félnagy tengelye, és b = √(a 2 - c 2) - annak melléktengely. Könnyen belátható, hogy c > 0 esetén az a fél-nagy tengely egyenlő az ellipszis középpontja és az ellipszis fókuszaival azonos tengelyen lévő csúcsok (A és B csúcsok) közötti távolsággal. a 7.2. ábrán a) és a b fél-minor tengely egyenlő a középső ellipszis és a másik két csúcs (a 7.2. ábrán a C és D csúcsok a) távolságával.
Ellipszis egyenlet. Tekintsünk néhány ellipszist a síkon, amelynek fókuszai az F 1 és F 2 pontokban, a 2a főtengelyen vannak. Legyen 2c a gyújtótávolság, 2c = |F 1 F 2 |
Válasszunk egy Oxy téglalap alakú koordináta-rendszert a síkon úgy, hogy az origója egybeessen az ellipszis középpontjával, és a fókuszpontjai x tengely(7.2. ábra, b). Az ilyen koordinátarendszert ún kánoni a kérdéses ellipszisre, és a megfelelő változók kánoni.
A kiválasztott koordinátarendszerben a fókuszok F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) koordinátákkal rendelkeznek. A pontok közötti távolság képletével felírjuk az |F 1 M| feltételt + |F 2 M| = 2a koordinátákban:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Ez az egyenlet kényelmetlen, mert két négyzetgyököt tartalmaz. Tehát alakítsuk át. Mozgassuk a (7.2) egyenlet második gyökjét ide jobb oldalés négyzet alakú:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.
A zárójelek kinyitása és a hasonló kifejezések behozatala után azt kapjuk
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
ahol ε = c/a. A második gyök eltávolításához megismételjük a négyzetesítési műveletet: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, vagy a megadott ε paraméter értékét figyelembe véve (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Mivel a 2 - c 2 = b 2 > 0, akkor
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4.)
A (7.4) egyenletet az ellipszisen fekvő összes pont koordinátái teljesítik. Ennek az egyenletnek a származtatása során azonban az eredeti (7.2) egyenlet nem egyenértékű transzformációit használták – két négyzetre emelést, amelyek eltávolítják a négyzetgyököket. Egy egyenlet négyzetre emelése ekvivalens transzformáció, ha mindkét oldalon azonos előjelű mennyiségek vannak, de ezt a transzformációinknál nem ellenőriztük.
A transzformációk egyenértékűségének ellenőrzését elkerülhetjük, ha figyelembe vesszük a következőket. F 1 és F 2 pontpár, |F 1 F 2 | = 2c, a síkon egy ellipsziscsaládot határoz meg ezeken a pontokon fókuszokkal. A sík minden pontja, kivéve az F 1 F 2 szakasz pontjait, a jelzett család valamely ellipsziséhez tartozik. Ebben az esetben nincs két ellipszis metszéspontja, mivel a fókuszsugarak összege egyértelműen meghatároz egy adott ellipszist. Tehát a metszéspontok nélküli ellipszisek leírt családja lefedi a teljes síkot, kivéve az F 1 F 2 szakasz pontjait. Tekintsünk egy olyan ponthalmazt, amelyek koordinátái kielégítik a (7.4) egyenletet az a paraméter adott értékével. Elosztható ez a halmaz több ellipszis között? A halmaz egyes pontjai egy a félnagy tengelyű ellipszishez tartoznak. Legyen ebben a halmazban egy pont, amely egy a félnagy tengelyű ellipszisen fekszik. Ekkor ennek a pontnak a koordinátái engedelmeskednek az egyenletnek
azok. a (7.4) és (7.5) egyenleteknek van általános megoldások. Könnyű azonban ellenőrizni, hogy a rendszer
ã ≠ a-nak nincs megoldása. Ehhez elegendő például az x-et kizárni az első egyenletből:
amely transzformációk után az egyenlethez vezet
amelynek nincs megoldása ã ≠ a-ra, hiszen . Tehát a (7.4) egyenlet egy ellipszis egyenlete, amelynek fél-nagy tengelye a > 0 és fél-kistengelye b =√(a 2 - c 2) > 0. kanonikus ellipszis egyenlet.
Ellipszis nézet. Az ellipszis felépítésének fentebb tárgyalt geometriai módszere kellő képet ad arról kinézet ellipszis. De az ellipszis alakja a (7.4) kanonikus egyenlet segítségével is tanulmányozható. Például, feltéve, hogy y ≥ 0, kifejezheti y-t x-ig: y = b√(1 - x 2 /a 2), és a függvény tanulmányozása után elkészítheti a gráfját. Van egy másik módja az ellipszis felépítésének. Egy a sugarú kört, amelynek középpontja az ellipszis kanonikus koordinátarendszerének origójában van (7.4), az x 2 + y 2 = a 2 egyenlet írja le. Ha a/b > 1 együtthatóval tömörítjük végig y tengely, akkor egy görbét kapunk, amelyet az x 2 + (ya/b) 2 = a 2 egyenlet ír le, azaz egy ellipszis.
Megjegyzés 7.1. Ha ugyanazt a kört a/b tényezővel összenyomjuk
Ellipszis excentricitás. Az ellipszis fókusztávolságának és főtengelyének arányát nevezzük az ellipszis excentricitásaés ε-vel jelöljük. Adott ellipszisre
kanonikus egyenlet (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Ha a (7.4)-ben az a és b paramétereket az a egyenlőtlenség kapcsolja össze
Ha c = 0, amikor az ellipszis körré változik, és ε = 0. Más esetekben 0
A (7.3) egyenlet ekvivalens a (7.4) egyenlettel, mivel a (7.4) és (7.2) egyenlet ekvivalens. Ezért az ellipszis egyenlete is (7.3). Ráadásul a (7.3) összefüggés azért is érdekes, mert egyszerű, gyökmentes képletet ad az |F 2 M| hosszra. az ellipszis M(x; y) pontjának egyik fókuszsugara: |F 2 M| = a + εx.
Hasonló képletet kaphatunk a második fókuszsugárra szimmetria-megfontolások alapján vagy olyan számítások megismétlésével, amelyekben a (7.2) egyenlet négyzetesítése előtt az első gyök kerül át a jobb oldalra, és nem a második. Tehát az ellipszis bármely M(x; y) pontjára (lásd a 7.2. ábrát)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
és ezen egyenletek mindegyike egy ellipszis egyenlete.
7.1. példa. Keressük meg egy 5-ös félnagytengelyű és 0,8 excentricitású ellipszis kanonikus egyenletét, és állítsuk össze.
Az a = 5 ellipszis félnagytengelyének és ε = 0,8 excentricitásának ismeretében megtaláljuk a b fél-melléktengelyét. Mivel b = √(a 2 - c 2), és c = εa = 4, akkor b = √(5 2 - 4 2) = 3. Tehát a kanonikus egyenlet alakja x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Ellipszis megszerkesztéséhez célszerű olyan téglalapot rajzolni, amelynek középpontja a kanonikus koordináta-rendszer origójában van, és amelynek oldalai párhuzamosak az ellipszis szimmetriatengelyeivel, és megegyeznek a megfelelő tengelyekkel (ábra 1). 7.4). Ez a téglalap metszi a
az ellipszis tengelyei A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) csúcsaiban, és maga az ellipszis is bele van írva. ábrán. A 7.4 az ellipszis F 1,2 (±4; 0) fókuszát is mutatja.
Az ellipszis geometriai tulajdonságai.Írjuk át a (7.6) első egyenletét |F 1 M|-re = (a/ε - x)ε. Figyeljük meg, hogy az a/ε - x érték a > c esetén pozitív, mivel az F 1 fókusz nem tartozik az ellipszishez. Ez az érték a d függőleges egyenes távolságát jelenti: x = a/ε az ettől az egyenestől balra fekvő M(x; y) ponttól. Az ellipszis egyenlet így írható fel
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
Ez azt jelenti, hogy ez az ellipszis a sík azon M(x; y) pontjaiból áll, amelyeknél az F 1 M fókuszsugár hosszának és a d egyenes távolságának aránya ε-val egyenlő állandó érték. 7.5).
A d egyenesnek van egy „duplája” - az ellipszis középpontjához képest szimmetrikus d függőleges egyenes, amelyet az x = -a/ε egyenlet ad meg ugyanúgy, mint d tekintetében. Mind a d, mind a d" sort hívják az ellipszis irányvonalai. Az ellipszis irányítói merőlegesek az ellipszis szimmetriatengelyére, amelyen a gócok találhatók, és az ellipszis középpontjától a/ε = a 2 /c távolságra helyezkednek el (lásd 7.5. ábra).
A direktixtől a legközelebbi fókusztól mért p távolságot nevezzük az ellipszis fókuszparamétere. Ez a paraméter egyenlő
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2/c
Az ellipszisnek van még egy fontos geometriai tulajdonsága: az F 1 M és F 2 M fókuszsugarak egyenlő szöget zárnak be az M pontban lévő ellipszis érintőjével (7.6. ábra).
Ez az ingatlan világos fizikai jelentése. Ha egy fényforrást az F 1 fókuszba helyezünk, akkor az ebből a fókuszból kilépő sugár az ellipszisről való visszaverődés után a második fókuszsugár mentén halad, mivel a visszaverődés után ugyanolyan szöget zár be a görbével, mint a visszaverődés előtt. Így az F 1 fókuszból kilépő összes sugár a második F 2 fókuszban összpontosul, és fordítva. Ezen értelmezés alapján ezt a tulajdonságot ún az ellipszis optikai tulajdonsága.
Meghatározás. Az ellipszis egy síkon lévő pontok geometriai helye, amelyek távolságának összege a sík két adott pontjától, úgynevezett gócoktól, állandó érték (feltéve, hogy ez az érték nagyobb, mint a fókuszpontok távolsága). .
Jelöljük a fókuszokat a köztük lévő távolságon keresztül - - át, és egy állandó értéket, összeggel egyenlő távolságok az ellipszis egyes pontjaitól a gócokig, át (a feltételtől függően).
Alkossunk derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy a fókuszpontok az abszcissza tengelyen legyenek, és a koordináták origója egybeessen a szakasz közepével (44. ábra). Ekkor a fókuszpontok a következő koordinátákkal rendelkeznek: bal és jobb fókusz. Vezessük le az ellipszis egyenletét az általunk választott koordinátarendszerben. Ehhez vegyük figyelembe az ellipszis egy tetszőleges pontját. Az ellipszis definíciója szerint az ettől a ponttól a fókuszpontok közötti távolságok összege egyenlő:
A két pont távolságának képletével tehát megkapjuk
Ennek az egyenletnek az egyszerűsítése érdekében a formába írjuk
Ezután az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük, azt kapjuk
vagy nyilvánvaló egyszerűsítések után:
Most ismét négyzetre emeljük az egyenlet mindkét oldalát, ami után a következőt kapjuk:
vagy azonos átalakítások után:
Mivel az ellipszis definíciójában szereplő feltétel szerint a szám pozitív. Bemutatjuk a jelölést
Ekkor az egyenlet a következő formában jelenik meg:
Az ellipszis definíciója szerint bármely pontjának koordinátái kielégítik a (26) egyenletet. De a (29) egyenlet a (26) egyenlet következménye. Következésképpen az ellipszis bármely pontjának koordinátái is kielégítik.
Megmutatható, hogy azon pontok koordinátái, amelyek nem helyezkednek el az ellipszisben, nem teljesítik a (29) egyenletet. Így a (29) egyenlet egy ellipszis egyenlete. Ezt az ellipszis kanonikus egyenletének nevezik.
Határozzuk meg az ellipszis alakját annak kanonikus egyenletével.
Először is figyeljünk arra, hogy ez az egyenlet csak x és y páros hatványait tartalmazza. Ez azt jelenti, hogy ha bármely pont egy ellipszishez tartozik, akkor az is tartalmaz egy pontot, amely szimmetrikus a ponttal az abszcissza tengelyhez képest, és egy pontot, amely szimmetrikus a ponttal az ordináta tengelyéhez képest. Így az ellipszisnek két egymásra merőleges szimmetriatengelye van, amelyek a választott koordinátarendszerünkben egybeesnek a koordinátatengelyekkel. A továbbiakban az ellipszis szimmetriatengelyeit az ellipszis tengelyeinek, a metszéspontjukat pedig az ellipszis középpontjának nevezzük. A tengely, amelyen az ellipszis gócai találhatók (in ebben az esetben x-tengely) fókusztengelynek nevezzük.
Határozzuk meg először az ellipszis alakját az első negyedben. Ehhez oldjuk meg a (28) egyenletet y-ra:
Nyilvánvaló, hogy itt , mivel y képzeletbeli értékeket vesz fel. Ahogy 0-ról a-ra növekszik, y b-ről 0-ra csökken. Az ellipszis első negyedében fekvő része egy B (0; b) pontokkal határolt ív lesz, amely a koordinátatengelyeken fekszik (45. ábra). Az ellipszis szimmetriáját felhasználva arra a következtetésre jutunk, hogy az ellipszis alakja az ábrán látható. 45.
Az ellipszis és a tengely metszéspontjait az ellipszis csúcsainak nevezzük. Az ellipszis szimmetriájából az következik, hogy az ellipszisnek a csúcsokon kívül még két csúcsa van (lásd 45. ábra).
Az ellipszis szakaszait és összekötő ellentétes csúcsait, valamint azok hosszát az ellipszis nagy-, illetve kistengelyének nevezzük. Az a és b számokat az ellipszis nagy-, illetve kis féltengelyének nevezzük.
A fókuszpontok és az ellipszis fél-főtengelye közötti távolság felének arányát az ellipszis excentricitásának nevezzük, és általában betűvel jelöljük:
Mivel az ellipszis excentricitása kisebb, mint egység: Az excentricitás az ellipszis alakját jellemzi. Valóban, a (28) képletből az következik, hogy minél kisebb az ellipszis excentricitása, annál kevésbé tér el b fél-kistengelye az a félnagytengelytől, vagyis annál kevésbé megnyúlt az ellipszis (a fókusztengely mentén).
Határesetben az eredmény egy a sugarú kör: , vagy . Ugyanakkor úgy tűnik, hogy az ellipszis fókuszai egy ponton - a kör közepén - egyesülnek. A kör excentricitása nulla:
Az ellipszis és a kör közötti kapcsolat más szempontból is megállapítható. Mutassuk meg, hogy az a és b féltengelyű ellipszis egy a sugarú kör vetületének tekinthető.
Tekintsünk két P és Q síkot, amelyek egymás között olyan a szöget alkotnak, amelyre (46. ábra). Alkossunk a P síkban egy koordinátarendszert, a Q síkban pedig egy Oxy rendszert, amelynek közös O origója és közös abszcissza tengelye egybeesik a síkok metszésvonalával. Tekintsünk egy kört a P síkban
amelynek középpontja az origóban van, sugara pedig egyenlő a. Legyen egy tetszőlegesen kiválasztott pont a körön, legyen a Q síkra való vetülete, és legyen az M pont vetülete az Ox tengelyre. Mutassuk meg, hogy a pont egy a és b féltengelyű ellipszisen fekszik.
Az ellipszis a pontok geometriai helye egy síkon, amelyek távolságának összege F_1 és F_2 egy állandó érték (2a), nagyobb, mint az adott pontok közötti távolság (2c) 3.36, a). Ez a geometriai meghatározás kifejezi egy ellipszis fókusztulajdonsága.
Az F_1 és F_2 pontokat az ellipszis fókuszának nevezzük, a köztük lévő távolság 2c=F_1F_2 a gyújtótávolság, az F_1F_2 szakasz középső O az ellipszis középpontja, a 2a szám az ellipszis nagytengelyének hossza. ellipszis (ennek megfelelően az a szám az ellipszis fél-főtengelye). Az ellipszis tetszőleges M pontját a fókuszával összekötő F_1M és F_2M szakaszokat az M pont fókuszsugarainak nevezzük. Az ellipszis két pontját összekötő szakaszt az ellipszis húrjának nevezzük.
Az e=\frac(c)(a) arányt az ellipszis excentricitásának nevezzük. A (2a>2c) definícióból az következik, hogy 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Az ellipszis geometriai meghatározása, amely kifejezi fókusztulajdonságát, ekvivalens az analitikai definíciójával - az ellipszis kanonikus egyenlete által adott egyenessel:
Valóban, vezessünk be egy derékszögű koordináta-rendszert (3.36c. ábra). A koordinátarendszer origójának az ellipszis O középpontját vesszük; a gócokon (fókusztengelyen vagy az ellipszis első tengelyén) átmenő egyenest vesszük abszcissza tengelynek (a pozitív irány az F_1 ponttól az F_2 pontig van); vegyünk ordinátatengelynek egy, a fókusztengelyre merőleges, az ellipszis középpontján (az ellipszis második tengelyén) átmenő egyenest (az ordináta tengelyen lévő irányt úgy választjuk meg, hogy téglalap alakú rendszer koordináták Oxynak igaza volt).
Hozzuk létre az ellipszis egyenletét a geometriai definíciójával, amely kifejezi a fókusztulajdonságot. A kiválasztott koordinátarendszerben meghatározzuk a gócok koordinátáit F_1(-c,0),~F_2(c,0). Az ellipszishez tartozó tetszőleges M(x,y) pontra a következőt kapjuk:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Ezt az egyenlőséget koordináta alakban felírva a következőt kapjuk:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
A második gyököt áthelyezzük a jobb oldalra, négyzetre emeljük az egyenlet mindkét oldalát, és hasonló kifejezéseket hozunk:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\jobbra nyíl ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
4-gyel osztva az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\jobbra nyíl~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Miután kijelölte b=\sqrt(a^2-c^2)>0, kapunk b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Mindkét oldalt elosztva a^2b^2\ne0 -val, eljutunk ide kanonikus egyenlet ellipszis:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Ezért a választott koordinátarendszer kanonikus.
Ha az ellipszis gócai egybeesnek, akkor az ellipszis egy kör (3.36.,6. ábra), hiszen a=b. Ebben az esetben a pontban origóval rendelkező téglalap alakú koordinátarendszer kanonikus lesz O\equiv F_1\equiv F_2, és az x^2+y^2=a^2 egyenlet egy olyan kör egyenlete, amelynek középpontja az O pontban van, sugara pedig egyenlő a-val.
Belegondolva fordított sorrendben, kimutatható, hogy minden olyan pont, amelynek koordinátái kielégítik a (3.49) egyenletet, és csak azok tartoznak az ellipszisnek nevezett pontok geometriai lokuszához. Más szóval, az ellipszis analitikai meghatározása megegyezik a geometriai definíciójával, amely az ellipszis fókusztulajdonságát fejezi ki.
Egy ellipszis irányító tengelyei a kanonikus koordináta-rendszer ordinátatengelyével párhuzamosan futó két egyenes, attól azonos távolságra \frac(a^2)(c). A c=0-nál, amikor az ellipszis egy kör, nincsenek direktixek (feltételezhetjük, hogy az irányítók a végtelenben vannak).
Ellipszis 0 excentricitással
Valójában például az F_2 fókusz és a d_2 direktrix esetén (3.37. ábra,6) a feltétel \frac(r_2)(\rho_2)=e koordináta alakban írható:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Megszabadulni az irracionalitástól és lecserélni e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, elérkezünk a (3.49) kanonikus ellipszis egyenlethez. Hasonló érvelés végezhető az F_1 fókusz és a rendező esetében d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Az ellipszis egyenlete az F_1r\varphi polárkoordináta-rendszerben (3.37. ábra, c és 3.37 (2)) a következő alakú
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
ahol p=\frac(b^2)(a) az ellipszis fókuszparamétere.
Valójában válasszuk az ellipszis F_1 bal oldali fókuszát a polárkoordináta-rendszer pólusának, az F_1F_2 sugarat pedig poláris tengelynek (3.37. ábra, c). Ekkor egy tetszőleges M(r,\varphi) pontra az ellipszis geometriai definíciója (fókusztulajdonsága) szerint r+MF_2=2a. Kifejezzük az M(r,\varphi) és F_2(2c,0) pontok közötti távolságot (lásd a 2.8 megjegyzés 2. bekezdését):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(igazított)
Ezért koordináta formában az F_1M+F_2M=2a ellipszis egyenlete a következő alakú
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Elkülönítjük az egyenlet mindkét oldalát négyzetes gyököt, elosztjuk 4-gyel, és hasonló kifejezéseket adunk:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Adja meg az r poláris sugarat, és végezze el a cserét e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Keressük meg az ellipszis metszéspontjait (lásd 3.37a. ábra) a koordinátatengelyekkel (az ellipszis csúcsaival). Az y=0-t behelyettesítve az egyenletbe, megtaláljuk az ellipszis metszéspontjait az abszcissza tengellyel (a fókusztengellyel): x=\pm a. Ezért az ellipszis belsejében lévő fókusztengely szegmensének hossza 2a. Ezt a szakaszt, ahogy fentebb megjegyeztük, az ellipszis főtengelyének nevezzük, az a szám pedig az ellipszis fél-nagy tengelye. Az x=0 behelyettesítésével y=\pm b. Ezért az ellipszis második tengelyének szegmensének hossza az ellipszisben 2b. Ezt a szakaszt az ellipszis melléktengelyének, a b számot pedig az ellipszis féltengelyének nevezzük.
Igazán, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, és a b=a egyenlőséget csak c=0 esetben kapjuk, amikor az ellipszis egy kör. Hozzáállás k=\frac(b)(a)\leqslant1 ellipszis tömörítési aránynak nevezzük.
Megjegyzések 3.9
1. Az x=\pm a,~y=\pm b egyenesek a fő téglalapot határolják a koordinátasíkon, amelynek belsejében ellipszis található (lásd 3.37. ábra, a).
2. Egy ellipszist úgy definiálhatunk a kör átmérőjére való összenyomásával kapott pontok helye.
Valóban, legyen egy kör egyenlete az Oxy derékszögű koordinátarendszerben x^2+y^2=a^2. 0 együtthatóval az x tengelyre tömörítve \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(esetek) Az x=x" és y=\frac(1)(k)y" köröket behelyettesítve az egyenletbe, megkapjuk az M(x,y) pont M"(x",y") képének koordinátáinak egyenletét. ) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} mivel b=k\cdot a . Ez az ellipszis kanonikus egyenlete. 3. A (a kanonikus koordináta-rendszer) koordinátatengelyei az ellipszis szimmetriatengelyei (ezt az ellipszis főtengelyeinek nevezzük), középpontja pedig a szimmetria középpontja. Valóban, ha az M(x,y) pont az ellipszishez tartozik. akkor az M pontra a koordinátatengelyekhez képest szimmetrikus M"(x,-y) és M""(-x,y) pont is ugyanabba az ellipszisbe tartozik. 4. Az ellipszis egyenletéből a poláris koordináta-rendszerben r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(lásd 3.37. ábra, c), tisztázódik a fókuszparaméter geometriai jelentése - ez a fókusztengelyre merőlegesen átmenő ellipszis húrjának a fele ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Az e excentricitás az ellipszis alakját, vagyis az ellipszis és a kör közötti különbséget jellemzi. Minél nagyobb e, annál megnyúltabb az ellipszis, és minél közelebb van e a nullához, annál közelebb van az ellipszis egy körhöz (3.38a. ábra). Valóban, ha figyelembe vesszük, hogy e=\frac(c)(a) és c^2=a^2-b^2 , azt kapjuk E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} ahol k az ellipszis tömörítési arány, 0 6. Egyenlet \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 a
7. Egyenlet \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definiál egy ellipszist, amelynek középpontja az O"(x_0,y_0) pontban van, és amelynek tengelyei párhuzamosak a koordinátatengelyekkel (3.38. ábra, c). Ezt az egyenletet párhuzamos fordítással (3.36) a kanonikusra redukáljuk. Ha a=b=R az egyenlet (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 egy R sugarú kört ír le, amelynek középpontja az O"(x_0,y_0) pontban van. Ellipszis paraméteres egyenlete a kanonikus koordinátarendszerben az alakja van \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(esetek)0\leqslant t<2\pi.
Valójában, ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük a (3.49) egyenletbe, megkapjuk a \cos^2t+\sin^2t=1 fő trigonometrikus azonosságot. 3.20. példa. Rajzolj egy ellipszist \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 az Oxy kanonikus koordináta-rendszerben. Keresse meg a féltengelyeket, a gyújtótávolságot, az excentricitást, a tömörítési arányt, a fókuszparamétereket, a direktrix egyenleteket. Megoldás. Az adott egyenletet a kanonikussal összehasonlítva meghatározzuk a féltengelyeket: a=2 - fél-nagy tengely, b=1 - az ellipszis fél-melléktengelye. A 2a=4,~2b=2 oldalú főtéglalapot a középponttal az origóba építjük (3.39. ábra). Figyelembe véve az ellipszis szimmetriáját, a fő téglalapba illesztjük. Ha szükséges, határozza meg az ellipszis egyes pontjainak koordinátáit. Például, ha x=1-et behelyettesítünk az ellipszis egyenletébe, azt kapjuk \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Ezért a pontok koordinátákkal \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- az ellipszishez tartoznak. A tömörítési arány kiszámítása k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); gyújtótávolság 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); különcség e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); fókusz paraméter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Összeállítjuk a direktrix egyenleteket: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).Ellipszis paraméteres egyenlete
A számítások elvégzéséhez engedélyezni kell az ActiveX-vezérlőket!
