Vladimir Igorevics Arnold
A tanáromnak - Andrej Nyikolajevics Kolmogorovnak ajánlom
„Ne érintse a köreimet” – mondta Arkhimédész az őt megölő római katonának. Ez a prófétai mondat jutott eszembe az Állami Dumában, amikor az Oktatási Bizottság ülésének elnöke (2002. október 22.) félbeszakított a következő szavakkal: nem a Tudományos Akadémia, ahol meg lehet védeni az igazságot, hanem az Állami Duma, ahol minden azon alapszik, hogy a különböző embereknek más a véleménye a különböző kérdésekről."
Az a vélemény, amit megvédtem, az volt, hogy háromszor hét az huszonegy, és nemzeti szükséglet, hogy gyermekeinket megtanítsuk a szorzótáblára és az egy- és páros törtek összeadására is. Említettem, hogy Kalifornia államban nemrégiben vezették be (a Nobel-díjas transzurán fizikus, Glen Seaborg kezdeményezésére) új követelményt az egyetemi hallgatók számára, hogy képesek legyenek a 111-es számot önállóan 3-mal osztani (számítógép nélkül).
A Duma hallgatói láthatóan nem tudtak megosztani, és ezért nem értettek sem engem, sem Seaborgot: az Izvesztyiában a mondatom jóindulatú bemutatásával a „száztizenegy” számot „tizenegy” váltotta fel (ami azt jelenti, hogy a kérdés sokkal nehezebb, mivel a tizenegy nem osztható hárommal).
Az obskurantizmus diadalával találkoztam, amikor a Nezavisimaya Gazeta-ban olvastam egy cikket, amely a Moszkva melletti újonnan épített piramisokat, a Retrográdokat és a sarlatánokat dicsőítette.
Az Orosz Tudományos Akadémiát a tudományok fejlődését akadályozó retrográdok gyűjteményének hirdették meg (hiába próbálnak mindent "természettörvényeikkel" megmagyarázni). Azt kell mondanom, hogy én is retrográd vagyok, mert még mindig hiszek a természet törvényeiben, és hiszek abban, hogy a Föld forog a tengelye és a Nap körül, és a fiatalabb diákoknak továbbra is el kell magyarázniuk, miért van télen hideg és nyáron meleg, ne engedjük, hogy iskolai végzettségünk a forradalom előtti egyházközségi iskolákban elért szint alá süllyedjen (mégpedig jelenlegi reformátoraink az igazán alacsony amerikai iskolai szintre hivatkozva törekednek ilyen mértékű iskolai végzettség-csökkenésre).
Az amerikai kollégák ezt elmagyarázták nekem hazájukban az általános műveltség és iskolai végzettség alacsony szintje tudatos teljesítmény a gazdasági célok érdekében. A helyzet az, hogy könyvek olvasása után a művelt ember rosszabb vásárlóvá válik: kevesebb mosógépet és autót vesz, kezdi előnyben részesíteni Mozartot vagy Van Goghot, Shakespeare-t vagy a tételeket. Ettől szenved a fogyasztói társadalom gazdasága, és mindenekelőtt az élet tulajdonosainak jövedelme - ezért törekednek megakadályozzák a kultúrát és az oktatást(amelyek ráadásul megakadályozzák őket abban, hogy intelligenciától mentes csordaként manipulálják a lakosságot).
Mivel Oroszországban is tudományellenes propagandával szembesültem, úgy döntöttem, megnézem a házamtól mintegy húsz kilométernyire nemrég épült piramist, és ott bicikliztem az Istra és a Moszkva folyó közötti évszázados fenyvesek között. Itt egy nehézségbe ütköztem: bár Nagy Péter megtiltotta Moszkvától kétszáz mérföldnél közelebb eső erdők kivágását, utam során nemrég bekerítettek és megcsonkítottak egy fenyőerdő legjobb négyzetkilométereit (ahogy a helyi falusiak elmagyarázták nekem, ezt "[rajtam kívül mindenki ismeri! - V. A.] Pashka bandita" tette. De még húsz évvel ezelőtt is, amikor vödröt kaptam ezen a most beépített tisztáson
málna, megkerültem, körülbelül tíz méter sugarú félkört tettem, egy egész csorda vaddisznó sétált a tisztáson.
Ilyen épületek zajlanak mindenhol. Nem messze a házamtól, egy időben a lakosság nem engedte (még a televízió tiltakozásával sem) az erdő fejlesztését mongol és más hivatalnokok részéről. Ám azóta a helyzet megváltozott: az egykori kormánypárti falvak mindenki szeme láttára ragadnak magukhoz újabb négyzetkilométereket az őserdőből, és már senki sem tiltakozik (a középkori Angliában a „bekerítések” keltettek felkelést!).
Igaz, a mellettem lévő Soloslovo faluban a községi tanács egyik tagja próbált kifogást emelni az erdő fejlesztése ellen. És akkor fényes nappal megérkezett egy autó fegyveres banditákkal, akik közvetlenül a faluban, otthon, és agyonlőtték.És az épület ennek eredményeként megtörtént.
Egy másik szomszédos faluban, Darinában egy egész mezőt újonnan építettek ki, udvarházzal. Az emberek hozzáállása ezekhez az eseményekhez jól látszik abból a névből, amit a faluban ennek a beépített mezőnek adtak (a név sajnos még nem szerepel a térképeken): „tolvajmező”.
Ennek a mezőnek az új motoros lakói a tőlünk a Perhushkovo állomásra vezető autópályát az ellenkezőjükre fordították. A rajta lévő buszok az elmúlt években szinte leálltak. Kezdetben az új lakók-autósok pénzt gyűjtöttek a végállomáson azért, hogy a buszsofőr nyilvánítsa üzemképtelenné a buszt, az utasok pedig fizetnek a magánkereskedőknek. A "mező" új lakóinak autói most nagy sebességgel rohannak végig ezen az autópályán (és egy furcsa, gyakran sávon). Én pedig, ha gyalog megyek az öt mérföldnyire lévő állomásra, megkockáztatom, hogy leütök, akárcsak számos gyalogos elődöm, akiknek halálozási helyeit nemrégiben koszorúkkal jelölték meg az utak szélén. Az elektromos vonatok azonban ma már szintén nem állnak meg a menetrendben meghatározott állomásokon.
Korábban a rendőrök próbálták mérni a gyilkosok-autósok sebességét és megakadályozni őket, de miután a radarral sebességet mérő rendőrt agyonlőtte egy járókelő őr, már senki sem meri megállítani az autókat. Időről időre találok elhasznált kagylóhüvelyeket közvetlenül az autópályán, de nem világos, hogy itt kit lőttek le. Ami a gyalogosok halálozási helye feletti koszorúkat illeti, a közelmúltban mindegyiket lecserélték a "Lomtalanítás tilos" táblákra, amelyeket ugyanazokra a fákra akasztottak, ahol korábban koszorúk voltak a kidobottak nevével.
Az Akszinintól Csesnokovig vezető régi úton, a II. Katalin által lefektetett gati segítségével eljutottam a piramishoz, és láttam benne "állványokat palackok és egyéb tárgyak töltésére okkult intellektuális energiával". Utasítás ban ben néhány négyzetméteres méretben egy tárgy vagy egy hepatitis A vagy B beteg néhány órás tartózkodásának előnyeit sorolták fel a piramisban (olvastam az újságban, hogy valaki még több kilogrammos követ is küldött, amit a piramis az űrállomásra közpénzért).
De ennek az utasításnak az összeállítói számomra váratlan őszinteségről tettek tanúbizonyságot: ezt írták a piramison belüli állványokért sorban tolongani nem éri meg, hiszen<в десятках метров от пирамиды, снаружи, эффект будет таким же". Ez szerintem teljesen igaz.
Úgyhogy igazi "retrográdként" ezt az egész piramisszerű vállalkozást egy ártalmas tudományellenes reklámnak tartom egy "tárakat rakodó" üzlet számára.
De az obskurantizmus mindig követte a tudományos eredményeket, az ókortól kezdve. Arisztotelész tanítványa, a macedón Alekszandr Filippovics számos „tudományos” felfedezést tett (amit társa, Arian ír le az „Anabasis”-ban). Például, felfedezte a Nílus forrását: szerinte ez az Indus. A "tudományos" bizonyíték a következő volt: Ez az egyetlen két nagy folyó, amely hemzseg a krokodiloktól."(és megerősítés: "Ráadásul mindkét folyó partja benőtt lótusszal").
Azonban nem ez az egyetlen felfedezése: ezt is "felfedezte". az Oxus folyó (ma Amu Darya néven) "északról, az Urál közelében kanyarodva a Pontus Euxinus meoti mocsárjába folyik, ahol Tanaisnak hívják"(A "Ta-nais" a Don, a "Meotian mocsár" pedig az Azovi-tenger). A homályos eszmék befolyása az eseményekre nem mindig elhanyagolható:
Sándor szogdianai (vagyis szamarkandi) nem ment tovább keletre, Kínába, ahogy először akarta, hanem délre, Indiába, félve. egy vízzár, amely harmadik elmélete szerint összeköti a Kaszpi-tengert ("Hirkáni") az Indiai-óceánnal(ban ben a Bengáli-öböl területe). Hiszen úgy gondolta, hogy a tengerek "definíció szerint" az óceán öblei. Ezek azok a "tudományok", amelyekhez elvezetnek bennünket.
Szeretném kifejezni azt a reményt, hogy katonaságunk nem lesz kitéve az obskurantisták ilyen erős befolyásának (még ők is segítettek megmenteni a geometriát a „reformerek” azon kísérleteitől, hogy kizárják az iskolából). De még a mai kísérletek is, amelyek arra irányulnak, hogy az oroszországi iskolai szintet az amerikai színvonalra csökkentsék, rendkívül veszélyesek mind az ország, mind a világ számára.
A mai Franciaországban a hadsereg újoncainak 20%-a teljesen írástudatlan, nem érti a tisztek írásos parancsait (és rossz irányba küldhetik a rakétáikat robbanófejjel). Múljon el mellettünk ez a pohár! A mieink még olvasnak, de a "reformerek" le akarják állítani: "Puskin és Tolsztoj is túl sok!" ők írnak.
Matematikusként számomra túl könnyű lenne leírni, hogyan tervezik megszüntetni a hagyományosan magas színvonalú matematikai iskolai oktatásunkat. Ehelyett több hasonló, homályos elképzelést sorolok fel a többi tantárgy oktatásával kapcsolatban: közgazdaságtan, jog, társadalomtudomány, irodalom (a tantárgyakból viszont az iskolában mindent el kell törölni).
Az orosz oktatási minisztérium által kiadott „Általános oktatási szabványok” című kétkötetes tervezet a témák széles listáját tartalmazza. amelyek ismerete a gyakornokokat arra kéri, hogy hagyják abba az igényességet. Ez a lista adja a legélénkebb képet a "reformátorok" elképzeléseiről, és arról, hogy milyen "túlzott" tudástól kívánják "megvédeni" a következő generációkat.
Tartózkodni fogok a politikai megjegyzésektől, de itt vannak tipikus példák az állítólagos "felesleges" információkra a négyszáz oldalas "Szabványok" tervezetéből:
A „társadalomtudomány”, a „történelem”, „közgazdaságtan” és „jog”, amelyek nélkülözik mindezen fogalmakat, csupán formális istentiszteletek, a diákok számára haszontalanok. Franciaországban az elvont témákról folytatott teológiai fecsegést egy kulcsszóról ismerem fel: „Franciaország, mint a katolikus egyház legidősebb lánya..." (bármi következhet, pl.: "... nem kell tudományra költeni, hiszen már voltak és vannak tudósaink"), ahogy a Francia Köztársaság Nemzeti Bizottságának ülésén hallottam. a Tudomány és Kutatás területére, amelybe a Francia Köztársaság Tudományos, Kutatási és Technológiai minisztere jelölt ki.
Hogy ne legyek egyoldalú, adok egy listát a "nem kívánatos" (a komoly tanulmányuk "megengedhetetlenségének" értelmében) szerzőkről és művekről is, amelyeket a szégyenteljes "Standard" e minőségében emleget:
Más szóval, az Orosz Kultúra mint olyan törlését javasolják. Megpróbálják „megvédeni” az iskolásokat a „túlzott”, a „Szabványok” szerint kulturális központok befolyásától; itt voltak a „Szabványok” összeállítói szerint nem kívánatos, ha az iskolai tanárok említik:
Nekünk szól a harang!
Mindazonáltal nehéz tartózkodni attól, hogy egyáltalán megemlítsem, hogy az egzakt tudományokban pontosan mit javasolnak a „tanulás számára választhatóvá” tenni (mindenesetre, A „szabványok” azt javasolják, hogy „ne kötelezzék el a tanulókat, hogy elsajátítsák ezeket a részeket”):
A matematikából a „Szabványokban” ugyanolyan megkülönböztetésnek voltak kitéve olyan témák, amelyek nélkül egyetlen tanár sem tud nélkülözni (és anélkül, hogy teljesen megértené, mely iskolások lesznek teljesen tehetetlenek mind a fizikában, mind a technológiában, valamint számos más alkalmazási területen). tudományok, beleértve a katonai és humanitárius tudományokat is):
Az egyetlen remény az az eddig létező több ezer jól képzett tanár a minisztériumi utasítás ellenére továbbra is teljesíti kötelességét, és tanítja mindezt az iskolások új generációinak. A józan ész erősebb, mint a bürokratikus fegyelem. Csak nem szabad megfeledkeznünk csodálatos tanárainkról, hogy megfelelően fizessenek bravúrjukért.
A Duma képviselői elmagyarázták nekem a helyzet sokat javíthatna, ha figyelmet fordítana a már elfogadott oktatási törvények végrehajtására.
A helyzet alábbi leírását I. I. Melnyikov helyettes ismertette a Matematikai Intézetben készített jelentésében. V. A. Steklov, az Orosz Tudományos Akadémia Moszkvában, 2002 őszén.
Például az egyik törvény az oktatás költségvetési hozzájárulásának évi mintegy 20%-os emelését írja elő. A miniszter azonban úgy fogalmazott, hogy "e törvény végrehajtása miatt nem érdemes aggódni, hiszen gyakorlatilag az éves növekedés meghaladja a 40%-ot". A miniszter e beszéde után nem sokkal a következő (2002-es) évre gyakorlatilag megvalósítható emelést jelentettek be (jóval kisebb százalékkal). És ha figyelembe vesszük az inflációt, akkor kiderül Elhatározták, hogy csökkentik az oktatáshoz való éves hozzájárulást.
Egy másik törvény meghatározza, hogy a költségvetési kiadások hány százalékát kell az oktatásra fordítani. A valóságban sokkal kevesebbet költenek (hányszor pontosan, nem tudtam pontosan megtudni). Ezzel szemben a „belső ellenség elleni védelemre” fordított kiadások a külső ellenség elleni védekezésre fordított kiadások harmadáról a felére emelkedtek.
Természetes, hogy hagyjuk abba a gyerekeknek a törtek tanítását, különben ne adj isten, megértik!
Nyilvánvalóan a tanárok reakciójára várva a „Szabvány” összeállítói az ajánlott olvasmányok listáján számos író nevét feltüntették (például Puskin, Krilov, Lermontov, Csehov és hasonlók nevét). a "csillaggal", amit így fejtenek meg: "Igény esetén a tanár bemutathatja a tanulóknak egy vagy két további művét ugyanattól a szerzőtől"(és nem csak az általuk Puskin esetében ajánlott „emlékművel”).
Hagyományos matematikai oktatásunk külföldhöz viszonyított magasabb szintje csak azután vált nyilvánvalóvá számomra, hogy ezt a szintet össze tudtam hasonlítani a külföldiekkel, sok szemesztert dolgoztam párizsi és New York-i, oxfordi és cambridge-i, pisai és bolognai egyetemeken és főiskolákon. , Bonn és Berkeley, Stanford és Boston, Hong Kong és Kiotó, Madrid és Toronto, Marseille és Strasbourg, Utrecht és Rio de Janeiro, Conakry és Stockholm.
„Semmiképpen nem követhetjük az ön elvét, miszerint tudományos eredményeik alapján választjuk ki a jelölteket” – mondták nekem kollégáim az egyik legjobb párizsi egyetemre új professzorok meghívásával foglalkozó bizottságban. - „Végül is, ebben az esetben csak az oroszokat kellene választanunk – ennyire tudományos fölényükről világos!" (A franciák közötti válogatásról beszéltem).
Fennáll a veszélye annak, hogy csak a matematikusok félreértenek, továbbra is példákat hozok fel a párizsi egyetem matematikaprofesszori posztjára 2002 tavaszán a legjobb jelöltek válaszaira (minden pozícióra 200-an jelentkeztek).
A jelölt több éven át tanított lineáris algebrát különböző egyetemeken, megvédte disszertációját, és mintegy tucat cikket publikált Franciaország legjobb matematikai folyóirataiban.
A kiválasztás egy interjút is tartalmaz, ahol mindig elemi, de fontos kérdéseket kínálnak fel a jelöltnek (kérdésszint "Nevezd meg Svédország fővárosát", ha a tárgy földrajz lenne).
Ezért megkérdeztem: "Mi a másodfokú alak aláírása? xy?"
A jelölt megkövetelte azt a 15 percet, ameddig gondolnia kellett, majd ezt mondta: „A toulouse-i számítógépemben van egy rutinom (programom), amivel egy-két óra múlva megtudja, hány plusz és hány mínusz van benne. normál formában. A két szám különbsége és ez aláírás lesz - de csak 15 percet adsz, és számítógép nélkül, ezért nem tudok válaszolni, ez az űrlap HU túl bonyolult."
Nem szakembereknek elmagyarázom, hogy ha az állattanról lenne szó, akkor ez a válasz ehhez hasonló lenne: – Linnaeus felsorolta az összes állatot, de hogy a nyír emlős-e vagy sem, arra könyv nélkül nem tudok válaszolni.
A következő jelölt az "elliptikus egyenletrendszerek parciális deriváltjaiban" szakértőnek bizonyult (másfél évtizeddel disszertációja és több mint húsz publikációja megvédése után).
Megkérdeztem ezt: "Mi a függvény laplaci 1/r háromdimenziós euklideszi térben?
A válasz (a szokásos 15 perc után) megdöbbentő volt számomra; "Ha r a számlálóban állt, és nem a nevezőben, és az első származékra lenne szükség, és nem a másodikra, akkor fél óra alatt ki tudom számolni, különben túl nehéz a kérdés.
Hadd magyarázzam el, hogy a kérdés az elliptikus egyenletek elméletéből származott, mint például a "Ki a Hamlet szerzője?" az angol irodalom vizsgán. A segítségnyújtás érdekében egy sor vezető kérdést tettem fel (hasonlóan az Othello-ra és Opheliára vonatkozó kérdésekhez): "Tudja, mi az egyetemes gravitáció törvénye? Coulomb törvénye? Hogyan kapcsolódnak ezek a laplaciakhoz? Mi az alapvető Laplace-egyenlet megoldása?"
De semmi sem segített: sem Macbethet, sem Lear királyt nem ismerte a jelölt, ha irodalomról beszéltek.
Végül a vizsgabizottság elnöke elmagyarázta, mi a baj: "A jelölt végül is nem egy elliptikus egyenletet tanulmányozott, hanem azok rendszereit, és kérdezed őt a Laplace-egyenletről,Teljes egy dolog - világos, hogy soha nem találkozott vele!"
Egy irodalmi analógiában ez az „indoklás” a következő kifejezésnek felel meg: – A jelölt angol költőket tanult, honnan is ismerhetné Shakespeare-t, hiszen drámaíró!
A harmadik jelölt (és több tucatnyian interjúvoltak) a "holomorf differenciálformákkal" foglalkozott, én pedig megkérdeztem tőle: "Mi az érintő Riemann-felülete?" (Féltem kérdezni az ív érintőről).
Válasz: "A Riemann-metrika a koordináták differenciáljának másodfokú formája, de hogy az" érintő "függvényhez milyen alak tartozik, az egyáltalán nem világos számomra."
Hadd magyarázzam meg ismét egy hasonló válasz modelljével, amely ezúttal a matematikát a történelemre cseréli (amire a nagyvárosiak inkább hajlanak). Itt lenne a kérdés: Ki az a Julius Caesar?és a válasz: – Bizánc uralkodóit Caesaroknak hívták, de Juliust nem ismerem közöttük.
Végül megjelent egy valószínűségszámító jelölt, aki érdekesen beszélt a szakdolgozatáról. Azt bizonyította benne az "A és B együtt igaz" állítás hamis(maguk a kijelentések DEés NÁL NÉL hosszúak, ezért itt nem reprodukálom).
Kérdés: "Azonban mi a helyzet az állítással Aönmagukban, anélkül NÁL NÉL: igaz vagy nem?
Válasz: "Végül is azt mondtam, hogy az "A és B" állítás hamis. Ez azt jelenti, hogy A is hamis." Azaz: "Mivel nem igaz, hogy "Petya és Misha megbetegedett kolerában", így Petya nem kapott kolerát.
Itt is tanácstalanságomat oszlatta el a bizottság elnöke: kifejtette, hogy a jelölt nem valószínűségszámító, mint gondoltam, hanem statisztikus (az önéletrajzban nem "valószínűség", hanem "stat" van feltüntetve). ).
"A valószínűségszámítók - magyarázta nekem tapasztalt elnökünk - normális logikájuk van, ugyanaz, mint a matematikusoké, Arisztotelészi. A statisztikusoknál ez teljesen más: nem hiába mondják, hogy "vannak hazugságok, szemtelen hazugságok és statisztikák .” Minden okfejtésük nem bizonyított, minden következtetésük téves. De másrészt ezek a következtetések mindig nagyon szükségesek és hasznosak. Ezt a statisztikát mindenképpen el kell fogadnunk!
A Moszkvai Egyetemen egy ilyen tudatlan nem tudta volna elvégezni a mechanikai és matematikai fakultás harmadik évfolyamát. A Riemann-felületeket a Moszkvai Matematikai Társaság alapítója, N. Bugaev (Andrej Belij apja) a matematika csúcsának tekintette. Igaz, úgy gondolta, hogy a 19. század végének kortárs matematikájában olyan tárgyak kezdtek megjelenni, amelyek nem illettek bele ennek a régi elméletnek a főáramába - a valós változók nem holomorf függvényei, amelyek véleménye szerint a szabad akarat eszméjének matematikai megtestesülései ugyanolyan mértékben, mint a Riemann-felületek és a holomorf függvények a fatalizmus és a predesztináció gondolatát.
Ezen elmélkedések eredményeként Bugajev fiatal moszkovitákat küldött Párizsba, hogy ott tanulják meg az új „a szabad akarat matematikáját” (Boreltől és Lebesgue-től). Ezt a programot N. N. Luzin zseniálisan hajtotta végre, aki Moszkvába való visszatérése után egy ragyogó iskolát hozott létre, amely magában foglalta sok évtized összes főbb moszkvai matematikusát: Kolmogorov és Petrovszkij, Alekszandrov és Pontrjagin, Menshov és Keldysh, Novikov és Lavrentiev, Gelfand és Lyusternik.
Egyébként Kolmogorov nekem ajánlotta Luzin későbbi Parisiana Hotelét (a Rue Tournefortban, nem messze a Pantheontól), amelyet Luzin választott magának Párizs Latin negyedében. Az Első Európai Matematikai Kongresszuson Párizsban (1992) ebben az olcsó szállodában szálltam meg (19. századi felszereltséggel, telefon nélkül stb.). És ennek a hotelnek az idős háziasszonya, miután megtudta, hogy Moszkvából jöttem, azonnal megkérdezte: És hogy van ott régi vendégem, Luzin? Kár, hogy régóta nem járt nálunk."
Néhány évvel később a szállodát bezárták javítás miatt (a háziasszony valószínűleg meghalt), és amerikai módon kezdtek újjáépíteni, így most már nem láthatja Párizsban ezt a 19. századi szigetet.
Visszatérve a 2002-es professzorválasztáshoz, megjegyzem, hogy a fent felsorolt tudatlanok mindegyike (mindenkitől rajtam kívül) a legjobb osztályzatot kapta. Ellenkezőleg, szinte egyhangúlag elutasította az egyetlen, szerintem arra érdemes jelölt. Több tucat új, teljesen integrálható matematikai fizika Hamilton-egyenletrendszert fedezett fel ("Gröbner-bázisok" és számítógépes algebra segítségével) (egyúttal megkapta, de nem vette fel az újak listájára a híres egyenleteket, Korteweg-de Vries, Sayn-Gordon és hasonlók).
Jövőbeli projektjeként a jelölt egy új számítógépes módszert is javasolt a cukorbetegség kezelésének modellezésére. Módszerének orvosok általi értékelésével kapcsolatos kérdésemre meglehetősen ésszerűen válaszolt: „A módszert jelenleg ilyen-olyan központokban, kórházakban tesztelik, és hat hónap múlva adják le a következtetéseiket, összehasonlítva az eredményeket más módszerekkel és betegek kontrollcsoportjai, de egyelőre ez a vizsgálat nem történik meg, és csak előzetes becslések vannak, de jó".
Ezt a következő magyarázattal utasították el: – Dolgozatának minden oldalán szó esik vagy hazugság-csoportokról vagy hazugság-algebrákról, és ezt itt senki sem érti, így egyáltalán nem fog beilleszkedni a csapatunkba. Igaz, engem és az összes tanítványomat is el lehetne utasítani így, de egyes kollégák szerint az elutasítás oka más volt: az összes korábbi jelölttel ellentétben ez nem francia volt (egy híres amerikai professzor tanítványa volt). Minnesotából).
A leírt teljes kép szomorú gondolatokhoz vezet a francia tudomány, különösen a matematika jövőjével kapcsolatban. Bár a "Franciaországi Tudományos Nemzeti Bizottság" hajlamos volt egyáltalán nem új tudományos kutatásokat finanszírozni, hanem kész amerikai receptek vásárlására költeni (amit az Országgyűlés biztosított a tudomány fejlesztésére), én ezt élesen elleneztem. öngyilkossági politikát, és ennek ellenére elért legalább némi támogatást nyújtó új kutatást. A nehézségek azonban a pénz felosztását okozták. Az orvostudományt, az atomenergiát, a polimerkémiát, a virológiát, a genetikát, az ökológiát, a környezetvédelmet, a radioaktív hulladékok ártalmatlanítását és még sok mást a szavazás során (egy ötórás ülésen) következetesen támogatásra méltatlannak minősítettek. Végül mégis három „tudományt” választottak, amelyek állítólag megérdemelték új kutatásaik finanszírozását. Ez a három "tudomány" a következő: 1) AIDS; 2) pszichoanalízis; 3) a gyógyszerkémia összetett ága, amelynek tudományos nevét nem tudom reprodukálni, de a a pszichotróp szerek, például a könnygázok kifejlesztése, ami a lázadó tömeget engedelmes csordává változtatta.
Tehát most Franciaország meg van mentve!
Luzin tanítványai közül véleményem szerint a legfigyelemreméltóbb hozzájárulást a tudományhoz Andrej Nyikolajevics Kolmogorov tette. Andrej Nyikolajevics, aki egy faluban nőtt fel nagyapjával Jaroszlavl mellett, büszkén utalt Gogol szavaira: „hatékony roszlavli paraszt”.
Egyáltalán nem szándékozott matematikus lenni, még akkor sem, ha már belépett a Moszkvai Egyetemre, ahol azonnal történelmet kezdett tanulni (Bahrusin professzor szemináriumán), és húszéves kora előtt megírta első tudományos munkáját.
Ezt a munkát a középkori Novgorodban a földgazdasági kapcsolatok tanulmányozásának szentelték. Itt őrizték meg az adózási dokumentumokat, amelyek nagy számának statisztikai módszerekkel történő elemzése váratlan következtetésekre vezette a fiatal történészt, amelyről Bahrusin találkozóján beszélt.
A riport nagyon jól sikerült, az előadót sok dicséret érte. De ragaszkodott egy másik jóváhagyáshoz: azt akarta, hogy következtetéseit helyesnek ismerjék el.
Végül Bahrusin azt mondta neki: „Ezt a jelentést közzé kell tenni, nagyon érdekes. De ami a következtetéseket illeti, akkor nekünk, történészeknek mindig nem egy bizonyítékra van szükségünk, hanem legalább ötre, hogy bármilyen következtetést elfogadjunk!"
Másnap Kolmogorov a történelmet matematikára cserélte, ahol egy bizonyíték is elég. A jelentést nem tette közzé, és ez a szöveg az archívumában maradt mindaddig, amíg Andrej Nyikolajevics halála után meg nem mutatták a modern történészeknek, akik nemcsak nagyon újnak és érdekesnek, hanem egészen meggyőzőnek is ismerték. Most megjelent Kolmogorovnak ez a jelentése, és a történészek közössége kiemelkedő hozzájárulásnak tekinti tudományukhoz.
Hivatásos matematikussá válva Kolmogorov többségüktől eltérően elsősorban természettudós és gondolkodó maradt, és egyáltalán nem többértékű számok szorzója (ami főként a matematikusok tevékenységének elemzésekor jelenik meg a matematikában járatlan emberek számára, pl. még L. D. Landau is, aki a matematikában nagyra értékelte a számolási készség folytatását: öt öt - huszonöt, hat hat - harminchat, hét hét - negyvenhét, ahogy olvasom egy Landau-paródiában, amelyet Fiztekh tanítványai állítottak össze; , Landau leveleiben nekem, aki akkor még diák voltam, a matematika nem logikusabb, mint ebben a paródiában).
Majakovszkij ezt írta: "Végül is másodpercenként ki tudja húzni a négyzetgyököt" (egy professzorról, aki "nem unja, hogy az ablak alatt a szakácsok aktívan járnak a gimnáziumba").
De azt is tökéletesen leírta, hogy mi a matematikai felfedezés, mondván, hogy " Aki felfedezte, hogy kétszer kettő egyenlő négy, az nagyszerű matematikus volt, még akkor is, ha a cigarettacsikkek megszámlálásával fedezte fel. És aki ma sokkal nagyobb tárgyakat számol meg ugyanazzal a képlettel, mint például a mozdonyokat, az egyáltalán nem matematikus!
Kolmogorov – sokakkal ellentétben – soha nem félt az alkalmazott, „mozdonyos” matematikától, és örömmel alkalmazta a matematikai megfontolásokat az emberi tevékenység legkülönbözőbb területein: a hidrodinamikától a tüzérségig, az égi mechanikától a versifikációig, a számítógépek miniatürizálásától a a Brown-mozgás elmélete, a Fourier-sorok divergenciájától az információátvitel elméletéig és az intuicionista logikáig. Nevetett azon, hogy a franciák nagybetűvel írják, hogy "Égi mechanika", kicsivel pedig "alkalmazták".
Amikor 1965-ben először megérkeztem Párizsba, az idős Fréchet professzor melegen üdvözölt a következő szavakkal: „Végül is Ön Kolmogorov tanítványa, a fiatalember, aki egy szinte mindenhol eltérő Fourier-sorozat példáját konstruálta meg!"
Kolmogorov itt említett munkáját tizenkilenc évesen fejezte be, megoldotta a klasszikus problémát, és azonnal a világ jelentőségű első osztályú matematikusai közé emelte. Negyven évvel később ez az eredmény még mindig jelentősebb volt Fréchet számára, mint Kolmogorov minden későbbi és sokkal fontosabb alapműve, amely az egész világon megfordult és a valószínűségelmélet, a függvényelmélet, a hidrodinamika és az égi mechanika, és a közelítések elmélete, az algoritmikus komplexitás elmélete, a topológiában a kohemológia elmélete és a dinamikus rendszerek szabályozásának elmélete (ahol Kolmogorov egyenlőtlenségei a különböző rendű származékok között ma is az egyik legnagyobb vívmány, bár a szabályozáselméleti szakemberek ezt ritkán értik meg).
De maga Kolmogorov mindig is szkeptikus volt szeretett matematikájával kapcsolatban, a természettudomány kis részeként felfogva, és könnyen feladva azokat a logikai megszorításokat, amelyeket az axiomatikus-deduktív módszer béklyói szabnak az ortodox matematikusokra.
"Hiába lenne matematikai tartalmat keresni a turbulenciával kapcsolatos munkámban" - mondta nekem. Fizikusként vagyok itt, és egyáltalán nem érdekelnek a matematikai bizonyítások, vagy a kezdeti premisszákból való következtetéseim, mint a Navier. -Stokes-egyenletek. Ezeket a következtetéseket ne bizonyítsák – de igazak és nyíltak, és ez sokkal fontosabb, mint a bizonyítás!"
Kolmogorov számos felfedezését nemhogy nem bizonyította (sem ő maga, sem követői), de még csak publikáció sem történt. Ennek ellenére számos tudományterületre (és nem csak a matematikára) döntő befolyást gyakoroltak és gyakorolnak továbbra is.
Csak egy híres példát mondok (a turbulencia elméletéből).
A hidrodinamika matematikai modellje egy olyan dinamikus rendszer a folyadéksebesség-terek terében, amely leírja a folyadékrészecskék kezdeti sebességmezőjének alakulását kölcsönhatásuk hatására: nyomás és viszkozitás (valamint külső erők esetleges hatására, például súlyerő folyó esetén vagy víznyomás a vízvezetékben).
Ennek az evolúciónak a hatására jöhet létre a dinamikus rendszer egyensúlyi (stacionárius) állapot, amikor az áramlási sebesség az áramlási terület egyes pontjaiban nem változik az időben(bár minden áramlik, és minden részecske mozog, és idővel változtat a sebességén).
Ilyen stacioner áramlások (például lamináris áramlások a klasszikus hidrodinamika szempontjából) azok a dinamikus rendszer pontjainak vonzása. Ezért (pont)attraktoroknak (attraktoroknak) nevezik őket.
Más szomszédokat vonzó halmazok is lehetségesek, például zárt görbék, amelyek a sebességmezők funkcionális terében az időben periodikusan változó áramlásokat ábrázolják. Egy ilyen görbe akkor attraktor, amikor a szomszédos kezdeti feltételek, amelyeket a sebességmezők funkcionális terének "perturbált" pontjai képviselnek, amelyek közel vannak a meghatározott zárt görbéhez, elkezdenek ugyan időben nem periodikusan változó áramlást, de megközelítik azt ( nevezetesen a zavart áramlás idővel a korábban leírt periodikusra hajlik).
Poincaré, aki először fedezte fel ezt a jelenséget, az ilyen zárt attraktor-görbéknek nevezte "stabil határciklusok". Fizikai szempontból nevezhetők periodikus egyenletes áramlási viszonyok: a zavar fokozatosan csökken az átmeneti folyamat során, amelyet a kezdeti állapot zavarása okoz,és egy idő után alig észrevehetővé válik a mozgás és a zavartalan periodikus mozgás közötti különbség.
Poincare után az ilyen határciklusokat alaposan tanulmányozta A. A. Andronov, aki erre a matematikai modellre alapozta a rádióhullám-generátorok, azaz a rádióadók tanulmányozását és kiszámítását.
Tanulságos, amit Poincaré fedezett fel és Andronov fejlesztett ki határciklusok születésének elmélete instabil egyensúlyi helyzetekből ma általában (még Oroszországban is) Hopf bifurkációnak nevezik. E. Hopf ennek az elméletnek egy részét néhány évtizeddel Andronov publikálása és több mint fél évszázaddal Poincaré után publikálta, de velük ellentétben ő Amerikában élt, így működött a jól ismert névadó elv: ha bármely objektum valakinek a nevét viseli, akkor ez nem a felfedező neve(például Amerikát nem Kolumbuszról nevezték el).
M. Berry angol fizikus ezt a névadó elvet "Arnold-elvnek" nevezte, kiegészítve egy második elvvel. Berry elve: Arnold elve önmagára vonatkozik(vagyis korábban is ismert volt).
Ebben teljesen egyetértek Berryvel. A névadó elvet a „Berry-fázisról” szóló előnyomásra válaszul mondtam el neki, aminek az általános elméletnél semmivel sem rosszabb példáit Berry előtt évtizedekkel publikálta S. M. Rytov („polarizációs irány tehetetlenség” néven), és A. Yu .Ishlinsky ("a tengeralattjáró giroszkóp indulása a bázishoz vezető út és az onnan távoli út közötti eltérés miatt" néven),
Térjünk azonban vissza az attraktorokhoz. Az attraktor vagy vonzáshalmaz egy állandó mozgásállapot, amelyeknek azonban nem kell időszakosnak lenniük. A matematikusok sokkal összetettebb mozgásokat is feltártak, amelyek szintén vonzhatják a zavart szomszédos mozgásokat, de amelyek önmagukban rendkívül instabilok lehetnek: a kis okok néha nagy hatásokat okoznak,– mondta Poincare. Egy ilyen határrendszer állapota vagy "fázisa" (azaz egy pont az attraktor felületén) bizarr "kaotikus" módon mozoghat az attraktor felületén, és kis eltéréssel a kiindulási ponttól. az attraktoron nagymértékben megváltoztathatja a mozgás menetét anélkül, hogy a határrendszert megváltoztatná. Az összes lehetséges megfigyelhető hosszú távú átlag közel lesz a kezdeti és a zavart mozgásokban, de a részletek egy meghatározott időpontban általában teljesen eltérőek lesznek.
Meteorológiai értelemben a "korlátozó rezsim" (vonzó) hasonlítható hozzá éghajlat,és a fázis időjárás. A kezdeti körülmények kis változása nagyban befolyásolhatja a holnapi időjárást (és még erősebben - egy hét és egy hónap múlva). Ám egy ilyen változástól a tundra még nem lesz trópusi erdő: pénteken kedd helyett csak zivatar törhet ki, ami nem változtathat az év (sőt, a havi) átlagon sem.
A hidrodinamikában a kezdeti perturbációk csillapításának mértékét általában azzal jellemezzük viszkozitás (úgymond a folyadékrészecskék kölcsönös súrlódása, amikor egymáshoz képest mozognak), vagy a "Reynolds-számnak" nevezett mennyiség fordított viszkozitása. A Reynolds-szám nagy értékei a zavarok gyenge csillapításának felelnek meg, a nagy viszkozitásértékek (vagyis a kis Reynolds-számok), éppen ellenkezőleg, szabályozzák az áramlást, megakadályozva a zavarokat és azok kialakulását. A vesztegetés és a korrupció gyakran a „viszkozitás” szerepét tölti be a gazdaságban 1 .
1 A többlépcsős termelésirányítás instabil, ha a szakaszok száma (munkás, művezető, üzletvezető, üzemigazgató, központ stb.) kettőnél több, de fenntartható módon megvalósítható, ha legalább a vezetők egy része nem csak felülről (a parancsok követésére), hanem alulról is (az ügy érdekében, a termelést elősegítő döntések érdekében) ösztönzik. Utolsó biztatásként a korrupciót használják. A részletekért lásd a cikket: V. I. Arnold. Matematika és matematikai oktatás a modern világban. In: Matematika az oktatásban és nevelésben. - M.: FAZIS, 2000, p. 195-205.
A nagy viszkozitás miatt alacsony Reynolds-számoknál általában stabil álló (lamináris) áramlás jön létre, amelyet a sebességmezők terében egy pontattraktor ábrázol.
A fő kérdés az, hogy az áramlás jellege hogyan változik meg a Reynolds-szám növekedésével. Egy vízellátó rendszerben ez megfelel például a víznyomás növekedésének, ami a sima (lamináris) csapfolyamot instabillá teszi, de matematikailag a Reynolds-szám növelése érdekében célszerűbb csökkenteni a részecskesúrlódási együtthatót. viszkozitás (ami a kísérletben a folyadék technikailag bonyolult cseréjét igényelné). Néha azonban a Reynolds-szám megváltoztatásához elegendő a laboratóriumi hőmérséklet megváltoztatása. Láttam egy ilyen telepítést Novoszibirszkben a Pontos Mérések Intézetében, ahol a Reynolds-szám megváltozott (a negyedik számjegyben), amikor közelebb vittem a kezem ahhoz a hengerhez, ahol az áramlás történt (pontosan a hőmérséklet-változások miatt), és a képernyőn. A kísérletet feldolgozó számítógép esetében a Reynolds-szám változását az elektronikus automatizálás azonnal jelezte.
A lamináris (stabil stacionárius) áramlásból az erőszakos turbulens áramlásba való átmenet e jelenségeire gondolva Kolmogorov már régen számos hipotézist fogalmazott meg (amelyek még ma is bizonyítatlanok). Úgy gondolom, hogy ezek a hipotézisek a Landau-val a turbulencia természetéről folytatott vitájának idejére (1943) nyúlnak vissza. Mindenesetre kifejezetten megfogalmazta őket 1959-ben a Moszkvai Egyetemen tartott szemináriumán (a hidrodinamikáról és a dinamikus rendszerek elméletéről), ahol még a szemináriumról szóló közleményben is szerepeltek, amelyet akkor közzétett. De nem tudok arról, hogy Kolmogorovék hivatalosan publikálták volna ezeket a hipotéziseket, és Nyugaton általában Kolmogorov-epigonjaiknak tulajdonítják őket, akik megismerték őket, és évtizedekkel később publikálták őket.
Ezeknek a Kolmogorov-hipotéziseknek az a lényege, hogy a Reynolds-szám növekedésével az állandó áramlási rezsimnek megfelelő attraktor egyre bonyolultabbá válik, nevezetesen, hogy mérete megnő.
Először egy pont (nulladimenziós attraktor), majd egy kör (Poincaré határciklus, egydimenziós attraktor). Kolmogorov hipotézise a hidrodinamikai attraktorokról két állításból áll: ahogy a Reynolds-szám növekszik 1) egyre nagyobb méretű attraktorok jelennek meg; 2) minden kisdimenziós attraktor eltűnik.
1-ből és 2-ből együtt az következik Ha a Reynolds-szám elég nagy, az állandósult állapotnak számos szabadsági foka van, ezért sok paramétert kell megadni a fázisának (az attraktor egy pontjának) leírásához, amely aztán az attraktor mentén haladva szeszélyes és nem időszakos "kaotikus" módon változik, és az attraktor kezdőpontjának kis változása általában az "időjárás" (az attraktor aktuális pontja) nagy (hosszú idő után) megváltozásához vezet, bár magát az attraktort nem változtatja meg (pl. , nem okoz változást a „klímában”).
Az 1. állítás önmagában itt nem elég, mivel különböző attraktorok létezhetnek együtt, beleértve a különböző méretű attraktorokat is egy rendszerben (amely ezért bizonyos kezdeti feltételek mellett nyugodt "lamináris" mozgást, mások esetén heves "turbulens" mozgást végezhet). kezdeti állapotától függően).
Az ilyen hatások kísérleti megfigyelése "késleltetett kihajlás" sokáig meglepte a fizikusokat, de Kolmogorov hozzátette Ha egy kisdimenziós attraktor nem is tűnik el, előfordulhat, hogy nem változtatja meg a megfigyelt turbulenciát abban az esetben, ha vonzási zónájának mérete erősen csökken a Reynolds-szám növekedésével. Ebben az esetben a lamináris rezsim, bár elvileg lehetséges (és még stabil is), gyakorlatilag nem figyelhető meg vonzási területének rendkívül kicsinysége miatt: A már kicsi, de a kísérletben mindig jelenlévő perturbációk a rendszert ennek az attraktornak a vonzási zónájából egy másik, már turbulens, állandósult állapot vonzási zónájába vezethetik, amelyet megfigyelni fognak.
Ez a vita megmagyarázhatja ezt a furcsa megfigyelést is: század néhány híres hidrodinamikai kísérletét nem sikerült megismételni a 20. század második felében, bár ugyanazt a berendezést próbálták ugyanabban a laboratóriumban használni. Kiderült azonban, hogy a régi kísérlet (a stabilitásvesztés késleltetésével) megismételhető, ha nem a régi laboratóriumban, hanem egy mély földalatti bányában végzik.
Az a tény, hogy a modern utcai forgalom nagymértékben megnövelte az „észrevehetetlen” zavarok nagyságát, amelyek elkezdtek hatni (a megmaradt „lamináris” attraktor vonzási zónájának kicsinysége miatt).
Sok matematikus számos kísérlete arra, hogy Kolmogorov 1. és 2. sejtését (vagy legalábbis az elsőt) bizonyítékokkal erősítse meg, eddig csak arra vezetett, hogy Az attraktor méreteinek becslése Reynolds-számok alapján felülről: ez a méret nem lehet túl nagy, amíg a viszkozitás ezt megakadályozza.
A dimenziót ezekben a munkákban a Reynolds-szám hatványfüggvényével (azaz a viszkozitás negatív fokával) becsülik meg, és a kitevő attól függ, hogy mekkora a tér, ahol az áramlás történik (a turbulencia erősebb a háromdimenziós áramlásban mint a síkbeli problémáknál).
Ami a probléma legérdekesebb részét, vagyis az alsó dimenzióbecslést illeti (legalábbis néhány attraktor esetében, mint az 1. sejtésben, vagy akár az összesre, mint a 2. sejtésben, amivel kapcsolatban Kolmogorov több kételyt fogalmazott meg), itt a matematikusok nem voltak magasban, mert szokás szerint a valódi természettudományi problémát formális axiomatikus absztrakt megfogalmazásukkal helyettesítették pontos, de alattomos definícióival.
Az a helyzet, hogy az attraktor axiomatikus fogalmát a matematikusok a fizikai korlátozó mozgásmód egyes tulajdonságainak elvesztésével fogalmazták meg, ezt a (nem szigorúan meghatározott) matematikai fogalmat az "attraktor" kifejezés bevezetésével próbálták axiomatizálni.
Tekintsünk például egy attraktort, amely egy kör (amelyhez a dinamika összes közeli pályája spirálisan közelít).
Magán a körön, amely vonzza a szomszédokat, a dinamika a következőképpen legyen elrendezve: két ellentétes pont (azonos átmérőjű végein) mozdulatlan, de az egyik attraktor (a szomszédokat vonzza), a másik pedig taszító. (taszítja őket).
Például elképzelhetünk egy függőlegesen álló kört, amelynek dinamikája a kör mentén bármely pontban lefelé tolódik, kivéve a fennmaradó rögzített pólusokat:
alul attraktor, felül taszító.
Ebben az esetben, annak ellenére, hogy a rendszerben létezik egy egydimenziós attraktor-kör, csak egy stabil álló helyzet lesz fizikailag állandósult állapot(az alsó attraktor a fenti "függőleges" modellben).
Egy tetszőleges kis perturbáció esetén a mozgás először attraktor-körré alakul. De akkor ennek az attraktornak a belső dinamikája szerepet fog játszani, és a rendszer állapota, lesz végül megközelíteni egy "lamináris" nulldimenziós attraktort, míg az egydimenziós attraktor, bár matematikailag létezik, nem alkalmas az "egyensúlyi állapot" szerepére.
Az ilyen problémák elkerülésének egyik módja az Attraktornak csak minimális attraktorokat tekintsünk, vagyis olyan attraktorokat, amelyek nem tartalmaznak kisebb attraktorokat. Kolmogorov sejtései pontosan az ilyen attraktorokra vonatkoznak, ha pontos megfogalmazást akarunk adni nekik.
A méretek alsó határairól azonban a számos így elnevezett publikáció ellenére semmit sem sikerült bizonyítani.
A matematika deduktív-axiomatikus megközelítésének veszélye Sok Kolmogorov előtti gondolkodó világosan megértette. Az első amerikai matematikus, J. Sylvester azt írta A matematikai elképzeléseket soha nem szabad megkövesíteni, mert elvesztik erejüket és alkalmazhatóságukat, amikor a kívánt tulajdonságokat axiomatizálják. Azt mondta, az ötleteket úgy kell venni, mint a vizet a folyóban: soha nem lépünk be pontosan ugyanabba a vízbe, pedig a gázló ugyanaz. Hasonlóképpen, egy ötlet sok különböző és nem egyenértékű axiomatikát eredményezhet, amelyek mindegyike nem tükrözi teljes mértékben az elképzelést.
Mindezekre a következtetésekre Sylvester jutott, és az ő szavaival élve „egy furcsa intellektuális jelenségre jutott, amely abban áll, hogy egy általánosabb állítás bizonyítása sokszor egyszerűbbnek bizonyul, mint a benne foglalt speciális esetek bizonyítása. Példaként összehasonlította egy vektortér geometriáját (akkor még nem megalapozott) funkcionális elemzéssel.
Ezt a Sylvester ötletet később sokat használták. Például pontosan ez magyarázza Bourbaki azon vágyát, hogy minden fogalmat a lehető legáltalánosabbá tegyen. Még használnak is ban ben Franciaországban a "több" szót abban az értelemben, hogy más országokban (melyet megvetően "angolszásznak" neveznek) a "nagyobb vagy egyenlő" szavakkal fejezik ki, mivel Franciaországban az általánosabb ">=" fogalom volt. elsődlegesnek tekinthető, a konkrétabb ">" - " lényegtelen" példa. Emiatt azt tanítják a diákoknak, hogy a nulla pozitív szám (valamint negatív, nem pozitív, nem negatív és természetes szám), amelyet máshol nem ismernek fel.
De láthatóan nem jutottak el Sylvester következtetésére az elméletek megkövesedésének megengedhetetlenségéről (legalábbis Párizsban, az Ecole Normale Superieure könyvtárában összegyűjtött műveinek ezek a lapjai vágatlanok voltak, amikor nemrég hozzájuk jutottam).
Nem sikerül meggyőznöm a matematikai "szakembereket" az attraktorok dimenzióinak növekedésére vonatkozó hipotézisek helyes értelmezésére, mivel ők, akárcsak a jogászok, a létező dogmatikai törvénykönyvekre formális hivatkozásokkal tiltakoznak, amelyek az attraktorok "pontos formális meghatározását" tartalmazzák. a tudatlan.
Kolmogorov éppen ellenkezőleg, soha nem törődött valaki definíciójának betűjével, hanem a dolog lényegén gondolkodott 2 .
2 Miután 1960-ban megoldottam a nem rezonáns rendszerek fixpontjainak stabilitására vonatkozó Birkhoff-féle problémát, 1961-ben pontosan ennek a problémának a megoldását publikáltam. Egy évvel később J. Moser általánosította az eredményemet, stabilitást bizonyítva a négynél nagyobb rendű rezonanciák esetén is. Csak akkor vettem észre, hogy bizonyításaim ezt az általánosabb tényt igazolják, de mivel megbabonázott Birkhoff nem-rezonancia-definíciója, nem írtam, hogy többet bizonyítottam, mint amennyit Birkhoff megkövetelt.
Egyszer elmagyarázta nekem, hogy a topológiai kohomológia elméletét egyáltalán nem kombinatorikusan és nem algebrailag hozta létre, mint amilyennek látszik, hanem a hidrodinamikában a folyadékáramlásra, majd a mágneses mezőkre gondolva: ezt a fizikát a kombinatorikus szituációban akarta modellezni. egy absztrakt komplexet és megcsináltam.
Azokban az években naivan próbáltam elmagyarázni Kolmogorovnak, hogy mi történt a topológiában az évtizedek során, hogy minden tudását csak PS Aleksandrovtól merítette. Emiatt az elszigeteltség miatt Kolmogorov semmit sem tudott a homotópia topológiáról; erről meggyőzött A spektrális szekvenciákat Pavel Szergejevics kazanyi munkája tartalmazta 1942 az év ... ja",és az a kísérlet, hogy elmagyarázzam neki, mi az a pontos sorrend, semmivel sem voltak sikeresebbek, mint naiv próbálkozásaim, hogy vízisíre vagy biciklire ültessem őt, ezt a nagyszerű utazót és síelőt.
Meglepő volt azonban számomra, hogy egy szigorú szakértő, Vlagyimir Abramovics Rokhlin magasan értékelte Kolmogorov kohomológiáról szóló szavait. Elmagyarázta nekem, egyáltalán nem kritikusan, hogy Kolmogorov e szavai egyrészt mélyen helyes értékelést tartalmaznak a két teljesítménye közötti kapcsolatról (különösen nehéz, ha, mint itt, mindkét eredmény figyelemre méltó), másodszor pedig - a kohomológiai műveletek hatalmas értékeinek előrelátása.
A modern topológia vívmányai közül Kolmogorov Milnor szféráit értékelte a legjobban, amelyről utóbbi beszélt 1961-ben a leningrádi All-Union Matematikai Kongresszusán. Kolmogorov még rávett engem (akkor még kezdő végzős hallgatót), hogy vegyem fel ezeket a szférákat a posztgraduális programomba, ami arra késztetett, hogy Rokhlinnál, Fuchsnál és Novikovnál elkezdtem differenciáltopológiát tanulni (aminek eredményeként hamarosan ellenfele lettem az utóbbi doktorinak .D. tézis gömbtermékeken lévő differenciálható szerkezetekről).
Kolmogorov ötlete az volt, hogy Milnor gömbjei segítségével igazolja, hogy Hilbert 13. feladatában (valószínűleg algebrai függvények esetében) sok változó egy függvénye szuperpozíciókkal nem reprezentálható, de nem ismerem az e témában megjelent publikációit, sem a megfogalmazásait. sejtések.
Kolmogorov gondolatainak egy másik kevéssé ismert köre ehhez kapcsolódik dinamikus rendszerek optimális vezérlése.
Ennek a körnek az a legegyszerűbb feladata, hogy egy intervallumon vagy körön definiált függvény első deriváltját egy ponton maximalizálja, ismerve magának a függvénynek és a második deriváltjának moduljainak felső határait. A második derivált megakadályozza, hogy az első gyorsan kialudjon, és ha az első túl nagy, akkor a függvény túlnő a megadott határon.
Valószínűleg Hadamard publikált először megoldást erre a problémára a második származékkal kapcsolatban, majd később Littlewood fedezte fel újra, miközben tüzérségi pályákon dolgozott. Kolmogorov, úgy tűnik, nem ismerte sem egyik, sem másik kiadványát, és úgy döntött bármely köztes derivált felülről történő becslésének problémája egy differenciálható függvény moduljainak maximális értékei és a magas (fix) sorrendű deriváltja szempontjából.
Kolmogorov zseniális ötlete az volt kifejezetten jeleznek szélsőséges függvényeket, például Csebisev-polinomokat (amelyeken a bizonyított egyenlőtlenség egyenlőséggé válik).És ahhoz, hogy a funkció extrém legyen, természetesen kitalálta mindig a legmagasabb derivált értékét kell maximális modulonak választani, csak az előjelét változtatva.
Ez a különleges tulajdonságok figyelemre méltó sorozatához vezetett. Ennek a sorozatnak a nulla függvénye az argumentum szinuszának előjele (mindenhol, ahol a maximális modulus van). A következő, első függvény a nulla (azaz már folytonos) antideriváltja "fűrész", amelynek deriváltja mindenhol a maximális modulussal rendelkezik). A további függvényeket ugyanazzal az integrációval kapjuk meg az előzőtől (a deriváltok számát eggyel növelve). Csak úgy kell megválasztani az integrációs állandót, hogy az eredményül kapott antiderivatív függvény integrálja a periódus alatt minden alkalommal nulla legyen (akkor az összes szerkesztett függvény periodikus lesz).
Az így kapott darabonkénti polinomfüggvények explicit képletei meglehetősen bonyolultak (az integrációk még Bernoulli-számokhoz kapcsolódó racionális állandókat is bevezetnek).
A szerkesztett függvények értékei és deriváltjaik konstansokat szolgáltatnak Kolmogorov teljesítménybecslésében (a közbenső derivált modulusának felülről történő becslése a függvény modulusa maximumának és a legmagasabb deriváltnak a racionális hatványainak szorzatán keresztül). Ezek a racionális kitevők könnyen kitalálhatóak a Leonardo da Vinci és Kolmogorov turbulenciaelméletének hasonlósági törvényeihez nyúló hasonlóság megfontolásából, hogy a kombinációnak dimenzió nélkülinek kell lennie, hiszen világos (legalábbis Leibniz jelöléséből). ) hogyan viselkednek a különböző sorrendű deriváltak, amikor az egységek megváltoztatják az argumentum- és függvényméréseket. Például a Hadamard-probléma esetében mindkét racionális kitevő egyenlő a felével, így az első derivált négyzetét felülről becsüljük meg magának a függvény modulusának maximumának és második deriváltjának a szorzatából (a függvénytől függő együtthatóval). annak a szakasznak vagy körnek a hossza, ahol a függvényt figyelembe vesszük).
Mindezen becslések bizonyítása egyszerűbb, mint a fent leírt extrém függvények feltalálása (és többek között a Gauss-tétel: egy tört irreducibilitásának valószínűsége). p/q egész szám számlálóval és nevezővel 6/p 2, azaz körülbelül 2/3).
A mai menedzsmentelmélet szempontjából A Kolmogorov által választott stratégiát "ősrobbanásnak" hívják: a szabályozási paramétert mindig úgy kell megválasztani, hogy szélsőséges legyen, minden mértékletesség csak árt.
Ami azt a Hamilton-féle differenciálegyenletet illeti, amely megváltoztatja ennek a szélsőértéknek a választását a sok lehetséges közül, azt Kolmogorov nagyon jól ismerte, de Huygens-elvnek nevezte (ami valójában ekvivalens ezzel az egyenlettel, és amelyből Hamilton az egyenletét úgy kapta átmenet a borítékokról a differenciálokra) . Kolmogorov fel is mutatott nekem, akkor még diáknak A Huygens-elv geometriájának legjobb leírása Whittaker mechanika tankönyvében található, ahol megtanultam, és hogy bonyolultabb algebrai formában Sophus Lie „berurung-transzformációs” elméletében van (ehelyett Birkhoff „Dinamikus rendszerek” című könyvéből tanultam a kanonikus transzformációk elméletét, és amit ma kontaktgeometriának hívnak).
A modern matematika eredetének felkutatása a klasszikus írásokban általában nem könnyű, különösen az új tudományra átvett terminológia megváltozása miatt. Például szinte senki sem veszi észre, hogy a Poisson-sokaságok úgynevezett elméletét már Jacobi is kidolgozta. A helyzet az, hogy Jacobi az algebrai fajták - fajták, és nem sima fajták - sokaság útját követte. Ugyanis a Hamilton-féle dinamikus rendszer pályáinak sokfélesége érdekelte. Topologikus vagy sima objektumként szingularitásokkal és még kellemetlenebb patológiákkal ("nem-Hausdorff" és hasonlók) vannak kusza pályákkal (egy összetett dinamikai rendszer fázisgörbéi).
De a függvények algebrája ezen (esetleg rossz) "sokaságon" tökéletesen definiált: ez egyszerűen az eredeti rendszer első integráljainak algebrája. A Poisson-tétel szerint az első két integrál Poisson-zárójele ismét az első integrál. Ezért az integrálok algebrájában a szorzáson kívül van még egy bilineáris művelet - a Poisson-zárójel.
Ezen műveletek (szorzások és zárójelek) kölcsönhatása a függvények terében egy adott sima sokaságon Poisson sokasággá teszi. Meghatározásának formai részleteit kihagyom (nem nehezek), főleg, hogy nem mind teljesül a Jacobit érdeklő példában, ahol a Poisson-sokaság sem nem sima, sem nem Hausdorff.
Ily módon Jacobi elmélete általánosabb szingularitású változatokat tartalmaz, mint a modern Poisson-féle sima változatokat, ráadásul ezt az elméletet a gyűrűk és ideálok algebrai geometriájának stílusában konstruálta meg, nem pedig az alsokaságok differenciálgeometriáját.
Sylvester tanácsát követve a Poisson-sokaságokkal foglalkozó szakértőknek – anélkül, hogy axiomatikára korlátozódnának – vissza kell térniük egy általánosabb és érdekesebb esethez, amelyet Jacobi már megvizsgált. De Sylvester ezt nem tette meg (szerinte elkésett a Baltimore-ba induló gőzösről), és az újabb idők matematikusai teljesen alá vannak vetve az axiómisták parancsának.
Maga Kolmogorov, miután megoldotta a közbenső deriváltak felső becslésének problémáját, megértette, hogy sok más optimalizálási problémát is meg tud oldani Huygens és Hamilton azonos módszereivel, de ezt nem tette meg, különösen akkor, amikor Pontryagin, akinek mindig segíteni próbált, közzétette "elvmaximumát", amely lényegében ugyanannak az elfeledett kontaktgeometriának a Huygens-elvének egy speciális esete, azonban egy nem túl általános problémára alkalmazva.
Kolmogorov helyesen gondolta, hogy Pontrjagin nem értette sem ezeket az összefüggéseket Hujgens elvével, sem elméletének összefüggését Kolmogorov deriváltbecslési munkájával, amely erősen megelőzte azt. És ezért nem akart beavatkozni Pontrjaginba, nem írt sehol erről a számára jól ismert kapcsolatról.
De most azt hiszem, ez már elmondható, abban a reményben, hogy valaki ezeket az összefüggéseket felhasználva új eredményeket fedezhet fel.
Tanulságos, hogy Kolmogorov deriváltjai közötti egyenlőtlenségei alapultak Yu. Moser figyelemre méltó eredményeinek az úgynevezett KAM-elméletben (Kolmogorov, Arnold, Moser), amely lehetővé tette számára, hogy Kolmogorov 1954-es eredményeit az analitikus Hamilton-rendszerek invariáns tori-ira vigye át. csak háromszázharmincháromszor differenciálható rendszerekre. Ez volt a helyzet 1962-ben, amikor Moser feltalálta a Nash-simítás és a Kolmogorov-féle gyorsított konvergencia módszer figyelemre méltó kombinációját.
Most jelentősen csökkent a bizonyításhoz szükséges deriváltok száma (elsősorban J. Mather), így a kétdimenziós gyűrűleképezési feladatban szükséges háromszázharminchárom derivált háromra csökkent (miközben ellenpéldák is születtek két származékra talált).
Érdekes módon Moser művének megjelenése után az amerikai "matematikusok" megpróbálták közzétenni "Moser-tételének analitikus rendszerekre vonatkozó általánosítását" (ez az általánosítás egyszerűen Kolmogorov tíz évvel korábban publikált tétele volt, amelyet Mosernek sikerült általánosítania). Moser azonban határozottan véget vetett azoknak a kísérleteknek, amelyek Kolmogorov klasszikus eredményét másoknak tulajdonították (jogosan jegyezte meg azonban, hogy Kolmogorov soha nem publikálta bizonyításának részletes kifejtését).
Nekem akkor úgy tűnt, hogy a Kolmogorov által a DAN-jegyzetben közölt bizonyítás elég egyértelmű (bár többet írt Poincarénak, mint Hilbertnek), ellentétben Moser bizonyításával, ahol egy részt nem értettem. Még 1963-ban újraírtam Moser csodálatos elméletéről szóló áttekintésemben. Ezt követően Moser elmagyarázta nekem, mit értett ezen a homályos szakaszon, de még most sem vagyok biztos abban, hogy ezeket a magyarázatokat megfelelően publikálták-e (az én átdolgozásomban választanom kell s < e/3, а не e/2, как указывалось в непонятном месте, вызвавшем затруднения не только у меня, но и у других читателей и допускающем неправильное истолкование неясно сказанного).
Az is tanulságos "Kolmogorov gyorsított konvergencia módszere"(Kolmogorov helyesen Newtonnak tulajdonította) hasonló céllal használta a nemlineáris egyenlet megoldására A. Cartan tíz évvel Kolmogorov előtt, annak bizonyítására, amit ma tételnek nevezünk. DE gerenda elmélet. Kolmogorov nem tudott erről semmit, és Cartan rámutatott erre 1965-ben, és megbizonyosodott arról, hogy Kolmogorov is hivatkozhat Cartanra (bár a gerendák elméletében valamivel egyszerűbb a helyzet, mivel a linearizált probléma megoldásakor nem volt a fő nehézség a rezonanciák és a kis nevezők égi mechanikájában, ami Kolmogorovnál és Poincarénál volt jelen). Kolmogorov kutatásának tágabb, semmint matematikai megközelítése egyértelműen megnyilvánult két társszerzőivel írt közleményében: egy M.A. hullámokkal foglalkozó cikkben.
A mű mindkét esetben tartalmazza a természettudományi probléma egyértelmű fizikai megfogalmazását, és egy összetett és nem triviális matematikai technikát annak megoldására.
És mindkét esetben Kolmogorov a munka nem matematikai, hanem fizikai részét fejezte be, mindenekelőtt a probléma megfogalmazásához és a szükséges egyenletek levezetéséhez kapcsolódnak, míg ezek tanulmányozása és a megfelelő tételek bizonyítása a társszerzőké.
A Brown-aszimptotika esetében ez a nehéz matematikai technika a Riemann-felületeken deformálható pályákon lévő integrálok tanulmányozását jelenti, figyelembe véve az ehhez szükséges integrációs kontúrok komplex deformációit változó paraméterekkel, vagyis amit ma vagy a " Picard-Lefschetz elmélet" vagy Gauss-Manina "kapcsolatelmélet".
Tanáromnak, Andrej Nyikolajevics Kolmogorovnak ajánlom
"Ne nyúlj a köreimhez" - mondta Arkhimédész a római katonának, aki megölte. Ez a prófétai mondat jutott eszembe az Állami Dumában, amikor az Oktatási Bizottság ülésének elnöke (2002. október 22.) félbeszakított a következő szavakkal: „Nincs Tudományos Akadémiánk, ahol megvédhetnéd a igazság, hanem az Állami Duma, ahol minden azon alapul, hogy mi Különböző embereknek más a véleménye a különböző kérdésekről.
Az a vélemény, amit megvédtem, az volt, hogy háromszor hét az huszonegy, és nemzeti szükséglet, hogy gyermekeinket megtanítsuk a szorzótáblára és az egy- és páros törtek összeadására is. Említettem, hogy Kalifornia államban nemrégiben vezették be (a Nobel-díjas transzurán fizikus, Glen Seaborg kezdeményezésére) új követelményt az egyetemi hallgatók számára, hogy képesek legyenek a 111-es számot önállóan 3-mal osztani (számítógép nélkül).
A Duma hallgatói láthatóan nem tudtak megosztani, és ezért nem értettek sem engem, sem Seaborgot: az Izvesztyiában a mondatom jóindulatú bemutatásával a „száztizenegy” számot „tizenegy” váltotta fel (ami azt jelenti, hogy a kérdés sokkal nehezebb, mivel a tizenegy nem osztható hárommal).
Az obskurantizmus diadalával találkoztam, amikor a Nezavisimaya Gazetában olvastam egy „Retrográdok és sarlatánok” című cikket, amely a Moszkva melletti újonnan épült piramisokat dicsőítette, ahol az Orosz Tudományos Akadémiát a tudományok fejlődését akadályozó retrográdok gyűjteményének nyilvánították (hiába próbálták megmagyarázni). mindent a maguk „természettörvényeivel”). Azt kell mondanom, hogy én is retrográd vagyok, mert még mindig hiszek a természet törvényeiben, és hiszek abban, hogy a Föld forog a tengelye és a Nap körül, és a fiatalabb diákoknak továbbra is el kell magyarázniuk, miért hideg télen, nyáron melegben, anélkül, hogy az iskolai végzettségünk a forradalom előtti egyházi iskolákban elért szint alá süllyedhetne (ugyanis a mostani reformátoraink a valóban alacsony amerikai iskolára hivatkozva törekednek ilyen mértékű oktatási szint csökkentésére). szint).
Az amerikai kollégák elmagyarázták nekem, hogy országukban az általános műveltség és iskolai végzettség alacsony szintje tudatos teljesítmény a gazdasági célok érdekében. A helyzet az, hogy könyvek olvasása után a művelt ember rosszabb vásárlóvá válik: kevesebb mosógépet és autót vesz, kezdi előnyben részesíteni Mozartot vagy Van Goghot, Shakespeare-t vagy a tételeket. Ettől szenved a fogyasztói társadalom gazdasága, és mindenekelőtt az élet birtokosainak jövedelme - ezért igyekeznek megakadályozni a kultúrát és az oktatást (amely ráadásul megakadályozza, hogy intelligenciátlan csordaként manipulálják a lakosságot ).
Mivel Oroszországban is tudományellenes propagandával szembesültem, úgy döntöttem, megnézem a házamtól mintegy húsz kilométernyire nemrég épült piramist, és ott bicikliztem az Istra és a Moszkva folyó közötti évszázados fenyvesek között. Itt egy nehézségbe ütköztem: bár Nagy Péter megtiltotta Moszkvától kétszáz mérföldnél közelebb eső erdők kivágását, utam során nemrég bekerítettek és megcsonkítottak egy fenyőerdő legjobb négyzetkilométereit (ahogy a helyi falusiak elmagyarázták nekem, ez „[rajtam kívül mindenki által ismert! – V.A.] Pashka bandita” tette. De még vagy húsz évvel ezelőtt, amikor ezen a most kiépített tisztáson egy vödör málnát szereztem, megkerültek, egy körülbelül tíz méter sugarú félkört tettem meg, egy egész csorda vaddisznó sétált a tisztáson.
Ilyen épületek zajlanak mindenhol. Nem messze a házamtól, egy időben a lakosság nem engedte (még a televízió tiltakozásával sem) az erdő fejlesztését mongol és más hivatalnokok részéről. Ám azóta a helyzet megváltozott: az egykori kormánypárti falvak mindenki szeme láttára foglalnak el újabb négyzetkilométereket az őserdőből, és már senki sem tiltakozik (a középkori Angliában a „bekerítések” keltettek felkelést!).
Igaz, a mellettem lévő Soloslovo faluban a községi tanács egyik tagja próbált kifogást emelni az erdő fejlesztése ellen. És akkor fényes nappal érkezett egy autó felfegyverzett banditákkal, akik pont a faluban, otthon lőtték le. És az épület ennek eredményeként megtörtént.
Egy másik szomszédos faluban, Darinában egy egész mezőt újonnan építettek ki, udvarházzal. Az emberek hozzáállása ezekhez az eseményekhez jól látszik abból a névből, amit a faluban ennek a beépített mezőnek adtak (a név sajnos még nem szerepel a térképeken): „tolvajmező”.
Ennek a mezőnek az új motoros lakói a tőlünk a Perhushkovo állomásra vezető autópályát az ellenkezőjükre fordították. A rajta lévő buszok az elmúlt években szinte leálltak. Kezdetben az új lakók-autósok pénzt gyűjtöttek a végállomáson azért, hogy a buszsofőr nyilvánítsa üzemképtelenné a buszt, az utasok pedig fizetnek a magánkereskedőknek. A „mező” új lakóinak autói most nagy sebességgel száguldanak végig ezen az autópályán (és egy furcsa, sokszor sávon). Én pedig, ha gyalog megyek az öt mérföldnyire lévő állomásra, megkockáztatom, hogy leütök, akárcsak számos gyalogos elődöm, akiknek halálozási helyeit nemrégiben koszorúkkal jelölték meg az utak szélén. Az elektromos vonatok azonban ma már szintén nem állnak meg a menetrendben meghatározott állomásokon.
Korábban a rendőrök próbálták mérni a gyilkosok-autósok sebességét és megakadályozni őket, de miután a radarral sebességet mérő rendőrt agyonlőtte egy járókelő őr, már senki sem meri megállítani az autókat. Időről időre találok elhasznált kagylóhüvelyeket közvetlenül az autópályán, de nem világos, hogy itt kit lőttek le. Ami a gyalogosok halálozási helye feletti koszorúkat illeti, a közelmúltban mindegyiket felváltották a „Lomtalanítás tilos” felirattal, amely ugyanazokra a fákra volt kifüggesztve, ahol korábban koszorúk voltak a kidobottak nevével.
Az Akszinintól Csesnokovig vezető régi úton, a II. Katalin által lefektetett gati segítségével eljutottam a piramishoz, és láttam benne "állványokat palackok és egyéb tárgyak töltésére okkult intellektuális energiával". Egy több négyzetméteres utasítás felsorolta, milyen előnyökkel jár egy tárgy vagy egy hepatitis A vagy B beteg néhány órás tartózkodása a piramisban (olvastam az újságban, hogy valaki még több kilogrammos köveket is küldött „felrakva” a piramist az űrállomásra közpénzért).
De ennek az utasításnak a készítői is tanúsítottak számomra váratlan őszinteséget: azt írták, hogy nem érdemes sorban tolongani a piramison belüli állványokért, hiszen „a piramistól több tíz méterrel, kívül a hatás ugyanaz lesz”. Ez szerintem teljesen igaz.
Úgyhogy igazi "retrográdként" ezt az egész piramisszerű vállalkozást egy ártalmas tudományellenes reklámnak tartom egy "tárakat rakodó" üzlet számára.
De az obskurantizmus mindig követte a tudományos eredményeket, az ókortól kezdve. Arisztotelész tanítványa, a macedón Alekszandr Filippovics számos „tudományos” felfedezést tett (amit társa, Arian ír le Anabasisban). Például felfedezte a Nílus forrását: szerinte ez az Indus. A "tudományos" bizonyíték a következő volt: "Ez az egyetlen két nagy folyó, amely hemzseg a krokodiloktól" (és megerősítés: "Ráadásul mindkét folyó partja benőtt lótuszokkal").
Azonban nem ez az egyetlen felfedezése: azt is „felfedezte”, hogy az Oxus folyó (ma Amu Darja) „észak felől, az Urál közelében kanyarodva ömlik a Pontus Euxinus meoti mocsárjába, ahol Tanaisnak hívják. " ("Tanais "a Don, és a "Meotian mocsár" az Azovi-tenger). A homályos eszmék befolyása az eseményekre nem mindig elhanyagolható:
Sándor szogdiánai (vagyis szamarkandi) nem keletre, Kínába ment tovább, ahogy először akarta, hanem délre, Indiába, attól tartva, hogy egy vízzár köti össze harmadik elmélete szerint a Kaszpi-tengert ("hirkáni". ") Tenger az Indiai-óceánnal (a Bengáli-öböl területén). Hiszen úgy gondolta, hogy a tengerek "definíció szerint" az óceán öblei. Ezek azok a "tudományok", amelyekhez elvezetnek bennünket.
Szeretném kifejezni azt a reményt, hogy katonaságunk nem lesz kitéve az obskurantisták ilyen erős befolyásának (sőt segítettek megmenteni a geometriát a "reformerek" iskolából való kizárására tett kísérleteitől). De még a mai kísérletek is, amelyek arra irányulnak, hogy az oroszországi iskolai szintet az amerikai színvonalra csökkentsék, rendkívül veszélyesek mind az ország, mind a világ számára.
A mai Franciaországban a hadsereg újoncainak 20%-a teljesen írástudatlan, nem érti a tisztek írásos parancsait (és rossz irányba küldhetik a rakétáikat robbanófejjel). Múljon el mellettünk ez a pohár! A mieink még olvasnak, de a „reformerek” le akarják állítani: „Puskin és Tolsztoj is túl sok!” ők írnak.
Matematikusként számomra túl könnyű lenne leírni, hogyan tervezik megszüntetni a hagyományosan magas színvonalú matematikai iskolai oktatásunkat. Ehelyett több hasonló, homályos elképzelést sorolok fel a többi tantárgy oktatásával kapcsolatban: közgazdaságtan, jog, társadalomtudomány, irodalom (a tantárgyakból viszont az iskolában mindent el kell törölni).
Az oroszországi oktatási minisztérium által közzétett, kétkötetes „Általános oktatási szabványok” projekt számos témakört tartalmaz, amelyek ismeretét a javaslat szerint a diákoktól már nem kell megkövetelni. Ez a lista adja a legélénkebb képet a „reformátorok” elképzeléseiről, és arról, hogy milyen „túlzott” tudástól kívánják „megvédeni” a következő generációkat.
Tartózkodni fogok a politikai kommentároktól, de itt vannak tipikus példák az állítólagos "fölösleges" információkra a négyszáz oldalas Standards projektből:
a Szovjetunió alkotmánya;
· Fasiszta „új rend” a megszállt területeken;
· Trockij és trockizmus;
a fő politikai pártok;
· kereszténydemokrácia;
· infláció;
· profit;
· valuta;
· értékpapírok;
többpártrendszer;
jogok és szabadságok garanciái;
bűnüldöző szervek;
pénz és egyéb értékpapírok;
Az Orosz Föderáció állami-területi szerkezetének formái;
· Yermak és Szibéria annektálása;
Orosz külpolitika (XVII., XVIII., XIX. és XX. század);
· a lengyel kérdés;
· Konfuciusz és Buddha;
· Cicero és Caesar;
Joan of Arc és Robin Hood
· Magán- és jogi személyek;
· a személy jogállása demokratikus jogállamban;
· a hatalmi ágak szétválasztása;
az igazságszolgáltatási rendszer;
Autokrácia, ortodoxia és nemzetiség (Uvarov elmélete);
Oroszország népei
· keresztény és iszlám világ;
· XIV. Lajos;
· Luther;
· Loyola;
· Bismarck;
· Az Állami Duma;
· munkanélküliség;
szuverenitás;
tőzsde (tőzsde);
állami bevételek;
családi bevétel.
A „társadalomtudomány”, a „történelem”, „közgazdaságtan” és „jog”, amelyek nélkülözik mindezen fogalmakat, csupán formális istentiszteletek, a diákok számára haszontalanok. Franciaországban az elvont témájú teológiai fecsegést a kulcsszóról ismerem fel: „Franciaország, mint a katolikus egyház legidősebb lánya...” már voltak és vannak tudósaink”), ahogy hallottam a Francia Köztársaság Tudományos és Kutatási Nemzeti Bizottságának ülése, amelyre a Francia Köztársaság tudományos, kutatási és technológiai minisztere jelölt ki.
Hogy ne legyek egyoldalú, adok egy listát a "nem kívánatos" (a komoly tanulmányuk "megengedhetetlenségének" értelmében) szerzőkről és művekről is, amelyeket a szégyenteljes "Standard" e minőségében emleget:
· Glinka;
· Csajkovszkij;
· Beethoven;
· Mozart;
Grieg;
· Raphael;
· Leonardo da Vinci;
· Rembrandt;
· Van Gogh;
· Omar Khayyam;
· "Tom Sawyer";
· "Twist Olivér";
· Shakespeare szonettek;
· Radiscsev „Utazás Szentpétervárról Moszkvába”;
· "Az állhatatos ónkatona";
· "Gobsek";
"Goriot atya";
"A kitaszítottak"
· "Fehér Agyar";
"Belkin meséi";
· "Borisz Godunov";
· "Poltava";
"Dubrovszkij";
· "Ruslan és Ludmila";
"Malac a tölgy alatt";
· "Esték egy farmon Dikanka közelében";
"Ló vezetékneve";
"A nap kamrája";
· "Meshcherskaya side";
"Csendes Don";
"Pygmalion"
"Hamlet"
· "Faust";
· „Viszlát fegyverek”;
· „Nemesfészek”;
· "Hölgy kutyával";
· "Jumper";
· "Felhő nadrágban";
· "Fekete ember";
· "Fuss";
· „Rák eset”;
· „Vanity Fair”;
· "Akiért a harang szól";
"Három elvtárs";
"Az első körben";
Ivan Iljics halála.
Más szóval, az Orosz Kultúra mint olyan törlését javasolják. Igyekeznek „megvédeni” az iskolásokat a „Szabványok” szerint „felesleges” kulturális központok befolyásától; az itt lévők nemkívánatosnak bizonyultak a „Szabványok” összeállítói szerint, az iskolai tanárok említésére:
· Ermitázs;
· Orosz Múzeum;
· Tretyakov Galéria;
· Puskin Szépművészeti Múzeum Moszkvában.
Nekünk szól a harang!
Továbbra is nehéz egyáltalán nem említeni, hogy az egzakt tudományokban pontosan mit is javasolnak „tanuláshoz választhatóvá” (mindenesetre a „Szabványok” azt javasolják, hogy „ne kötelezzék el a tanulókat ezeknek a részeknek az elsajátítására”):
az atomok szerkezete;
· a hosszú távú cselekvés fogalma;
az emberi szem eszköze;
· a kvantummechanika bizonytalansági viszonya;
alapvető kölcsönhatások;
a csillagos ég
A nap mint a csillagok egyike;
az élőlények sejtszerkezete;
· reflexek;
· genetika;
A földi élet eredete
az élővilág evolúciója;
· Kopernikusz, Galilei és Giordano Bruno elméletei;
Mengyelejev, Lomonoszov, Butlerov elméletei;
Pasteur és Koch érdemei;
nátrium, kalcium, szén és nitrogén (szerepük az anyagcserében);
· olaj;
polimerek.
A matematikából a „Szabványokban” ugyanazt a diszkriminációt alkalmazták olyan témákban, amelyek nélkül egyetlen tanár sem tud nélkülözni (és annak teljes megértése nélkül, hogy mely iskolások lesznek teljesen tehetetlenek mind a fizikában, mind a technológiában, valamint számos más alkalmazásban tudományok, beleértve a katonai és humanitárius tudományokat is):
szükségesség és elégségesség;
A pontok helye
30o, 45o, 60o szögek szinuszai;
a szögfelező felépítése;
egy szegmens felosztása egyenlő részekre;
a szög mérése;
egy szakasz hosszának fogalma;
egy aritmetikai sorozat tagjainak összege;
ágazati terület;
inverz trigonometrikus függvények;
a legegyszerűbb trigonometrikus egyenlőtlenségek;
· polinomok és gyökeik egyenlőségei;
A komplex számok geometriája (szükséges a fizikához
váltóáram, valamint a rádiótechnika és a kvantummechanika számára);
építési feladatok;
háromszög lapos sarkai;
komplex függvény deriváltja;
Egyszerű törtek tizedesjegyekké alakítása.
Csak az a remény, hogy az eddig meglevő több ezer jól képzett pedagógus a minisztériumi utasítás ellenére továbbra is teljesíti kötelességét, és tanítja mindezt az iskolások új generációinak. A józan ész erősebb, mint a bürokratikus fegyelem. Csak nem szabad megfeledkeznünk csodálatos tanárainkról, hogy megfelelően fizessenek bravúrjukért.
Az amerikai kollégák elmagyarázták nekem, hogy országukban az általános műveltség és iskolai végzettség alacsony szintje tudatos teljesítmény a gazdasági célok érdekében. A helyzet az, hogy könyvek olvasása után a művelt ember rosszabb vásárlóvá válik: kevesebb mosógépet és autót vesz, kezdi előnyben részesíteni Mozartot vagy Van Goghot, Shakespeare-t vagy a tételeket. Ettől szenved a fogyasztói társadalom gazdasága, és mindenekelőtt az élet birtokosainak jövedelme - ezért igyekeznek megakadályozni a kultúrát és az oktatást (amely ráadásul megakadályozza, hogy intelligenciátlan csordaként manipulálják a lakosságot ).
© V.I. Arnold, az Orosz Tudományos Akadémia akadémikusa. A 20. század egyik legnagyobb matematikusa. (Az "Új obskurantizmus és orosz felvilágosodás" cikkből)
A tanáromnak - Andrej Nyikolajevics Kolmogorovnak ajánlom
„Ne érintse a köreimet” – mondta Arkhimédész az őt megölő római katonának. Ez a prófétai mondat jutott eszembe az Állami Dumában, amikor az Oktatási Bizottság ülésének elnöke (2002. október 22.) megszakított a következő szavakkal: „Én nem a Tudományos Akadémia, ahol fenn lehet tartani az igazságot, hanem az Állami Duma, ahol minden azon alapszik, hogy a különböző embereknek más a véleménye a különböző kérdésekről.”
Az a vélemény, amit megvédtem, az volt, hogy háromszor hét az huszonegy, és nemzeti szükséglet, hogy gyermekeinket megtanítsuk a szorzótáblára és az egy- és páros törtek összeadására is. Említettem, hogy Kalifornia államban nemrégiben vezették be (a Nobel-díjas transzurán fizikus, Glen Seaborg kezdeményezésére) új követelményt az egyetemi hallgatók számára, hogy képesek legyenek a 111-es számot önállóan 3-mal osztani (számítógép nélkül).
A Duma hallgatói láthatóan nem tudtak megosztani, és ezért nem értettek sem engem, sem Seaborgot: az Izvesztyiában a mondatom jóindulatú bemutatásával a „száztizenegy” számot „tizenegy” váltotta fel (ami azt jelenti, hogy a kérdés sokkal nehezebb, mivel a tizenegy nem osztható hárommal).
Az obskurantizmus diadalára akkor bukkantam rá, amikor a Nezavisimaya Gazeta-ban olvastam egy cikket, amely a Moszkva melletti újonnan épített piramisokat, a Retrográdokat és a Charlatanokat dicsőítette, ahol
Az Orosz Tudományos Akadémiát a tudományok fejlődését akadályozó retrográdok gyűjteményének hirdették meg (hiába próbálnak mindent „természettörvényeikkel”) megmagyarázni. Azt kell mondanom, hogy én is retrográd vagyok, mert még mindig hiszek a természet törvényeiben, és hiszek abban, hogy a Föld forog a tengelye és a Nap körül, és a fiatalabb diákoknak továbbra is el kell magyarázniuk, miért van télen hideg és nyáron meleg, ne engedjük, hogy iskolai végzettségünk a forradalom előtti egyházközségi iskolákban elért szint alá süllyedjen (mégpedig jelenlegi reformátoraink az igazán alacsony amerikai iskolai szintre hivatkozva törekednek ilyen mértékű iskolai végzettség-csökkenésre).
Az amerikai kollégák ezt elmagyarázták nekem hazájukban az általános műveltség és iskolai végzettség alacsony szintje tudatos teljesítmény a gazdasági célok érdekében. A helyzet az, hogy könyvek olvasása után a művelt ember rosszabb vásárlóvá válik: kevesebb mosógépet és autót vesz, kezdi előnyben részesíteni Mozartot vagy Van Goghot, Shakespeare-t vagy a tételeket. Ettől szenved a fogyasztói társadalom gazdasága, és mindenekelőtt az élet tulajdonosainak jövedelme - ezért törekednek megakadályozzák a kultúrát és az oktatást(amelyek ráadásul megakadályozzák őket abban, hogy intelligenciától mentes csordaként manipulálják a lakosságot).
Mivel Oroszországban is tudományellenes propagandával szembesültem, úgy döntöttem, megnézem a házamtól mintegy húsz kilométernyire nemrég épült piramist, és ott bicikliztem az Istra és a Moszkva folyó közötti évszázados fenyvesek között. Itt egy nehézségbe ütköztem: bár Nagy Péter megtiltotta Moszkvától kétszáz mérföldnél közelebb eső erdők kivágását, utam során nemrég bekerítettek és megcsonkítottak egy fenyőerdő legjobb négyzetkilométereit (ahogy a helyi falusiak elmagyarázták nekem, ez „[rajtam kívül mindenki által ismert! - V. A.] Pashka bandita tette”. De még húsz évvel ezelőtt is, amikor vödröt kaptam ezen a most beépített tisztáson
málna, megkerültem, körülbelül tíz méter sugarú félkört tettem, egy egész csorda vaddisznó sétált a tisztáson.
Ilyen épületek zajlanak mindenhol. Nem messze a házamtól, egy időben a lakosság nem engedte (még a televízió tiltakozásával sem) az erdő fejlesztését mongol és más hivatalnokok részéről. Ám azóta a helyzet megváltozott: az egykori kormánypárti falvak mindenki szeme láttára foglalnak el újabb négyzetkilométereket az őserdőből, és már senki sem tiltakozik (a középkori Angliában a „bekerítések” keltettek felkelést!).
Igaz, a mellettem lévő Soloslovo faluban a községi tanács egyik tagja próbált kifogást emelni az erdő fejlesztése ellen. És akkor fényes nappal megérkezett egy autó fegyveres banditákkal, akik közvetlenül a faluban, otthon, és agyonlőtték.És az épület ennek eredményeként megtörtént.
Egy másik szomszédos faluban, Darinában egy egész mezőt újonnan építettek ki, udvarházzal. Az emberek hozzáállása ezekhez az eseményekhez jól látszik abból a névből, amit a faluban ennek a beépített mezőnek adtak (a név sajnos még nem szerepel a térképeken): „tolvajmező”.
Ennek a mezőnek az új motoros lakói a tőlünk a Perhushkovo állomásra vezető autópályát az ellenkezőjükre fordították. A rajta lévő buszok az elmúlt években szinte leálltak. Kezdetben az új lakók-autósok pénzt gyűjtöttek a végállomáson azért, hogy a buszsofőr nyilvánítsa üzemképtelenné a buszt, az utasok pedig fizetnek a magánkereskedőknek. A „mező” új lakóinak autói most nagy sebességgel száguldanak végig ezen az autópályán (és egy furcsa, sokszor sávon). Én pedig, ha gyalog megyek az öt mérföldnyire lévő állomásra, megkockáztatom, hogy leütök, akárcsak számos gyalogos elődöm, akiknek halálozási helyeit nemrégiben koszorúkkal jelölték meg az utak szélén. Az elektromos vonatok azonban ma már szintén nem állnak meg a menetrendben meghatározott állomásokon.
Korábban a rendőrök próbálták mérni a gyilkosok-autósok sebességét és megakadályozni őket, de miután a radarral sebességet mérő rendőrt agyonlőtte egy járókelő őr, már senki sem meri megállítani az autókat. Időről időre találok elhasznált kagylóhüvelyeket közvetlenül az autópályán, de nem világos, hogy itt kit lőttek le. Ami a gyalogosok halálozási helye feletti koszorúkat illeti, a közelmúltban mindegyiket felváltották a „Lomtalanítás tilos” felirattal, amely ugyanazokra a fákra volt kifüggesztve, ahol korábban koszorúk voltak a kidobottak nevével.
Az Akszinintól Csesnokovig vezető régi úton, a II. Katalin által lefektetett gati segítségével eljutottam a piramishoz, és láttam benne "állványokat palackok és egyéb tárgyak töltésére okkult intellektuális energiával". Utasítás ban ben több négyzetméteres méretben felsorolta, milyen előnyökkel jár egy tárgy vagy egy hepatitis A vagy B beteg néhány órás tartózkodása a piramisban (az újságban olvastam, hogy valaki még több kilogrammos köveket is küldött a piramis által „feltöltött” az űrállomásra közpénzért).
De ennek az utasításnak az összeállítói számomra váratlan őszinteségről tettek tanúbizonyságot: ezt írták a piramison belüli állványokért sorban tolongani nem éri meg, hiszen<в десятках метров от пирамиды, снаружи, эффект будет таким же». Ez szerintem teljesen igaz.
Úgyhogy igazi "retrográdként" ezt az egész piramisszerű vállalkozást egy ártalmas tudományellenes reklámnak tartom egy "tárakat rakodó" üzlet számára.
De az obskurantizmus mindig követte a tudományos eredményeket, az ókortól kezdve. Arisztotelész tanítványa, a macedón Alekszandr Filippovics számos „tudományos” felfedezést tett (amit társa, Arian ír le Anabasisban). Például, felfedezte a Nílus forrását: szerinte ez az Indus. A "tudományos" bizonyíték a következő volt: " Ez az egyetlen két nagy folyó, amely hemzseg a krokodiloktól.(és megerősítés: "Ráadásul mindkét folyó partja benőtt lótusszal").
Azonban nem ez az egyetlen felfedezése: ezt is "felfedezte". az Oxus folyó (ma Amu Darya néven) "északról, az Urál közelében kanyarodva a Pontus Euxinus meoti mocsárjába folyik, ahol Tanaisnak hívják"(A „Ta-nais” a Don, a „Meotian mocsár” pedig az Azovi-tenger). A homályos eszmék befolyása az eseményekre nem mindig elhanyagolható:
Sándor szogdianai (vagyis szamarkandi) nem ment tovább keletre, Kínába, ahogy először akarta, hanem délre, Indiába, félve. egy vízzár, amely harmadik elmélete szerint összeköti a Kaszpi-tengert ("Hirkáni") az Indiai-óceánnal(ban ben a Bengáli-öböl területe). Hiszen úgy gondolta, hogy a tengerek "definíció szerint" az óceán öblei. Ezek azok a "tudományok", amelyekhez elvezetnek bennünket.
Szeretném kifejezni azt a reményt, hogy katonaságunk nem lesz kitéve az obskurantisták ilyen erős befolyásának (sőt segítettek megmenteni a geometriát a "reformerek" iskolából való kizárására tett kísérleteitől). De még a mai kísérletek is, amelyek arra irányulnak, hogy az oroszországi iskolai szintet az amerikai színvonalra csökkentsék, rendkívül veszélyesek mind az ország, mind a világ számára.
A mai Franciaországban a hadsereg újoncainak 20%-a teljesen írástudatlan, nem érti a tisztek írásos parancsait (és rossz irányba küldhetik a rakétáikat robbanófejjel). Múljon el mellettünk ez a pohár! A mieink még olvasnak, de a „reformerek” le akarják állítani: „Puskin és Tolsztoj is túl sok!” ők írnak.
Matematikusként számomra túl könnyű lenne leírni, hogyan tervezik megszüntetni a hagyományosan magas színvonalú matematikai iskolai oktatásunkat. Ehelyett több hasonló, homályos elképzelést sorolok fel a többi tantárgy oktatásával kapcsolatban: közgazdaságtan, jog, társadalomtudomány, irodalom (a tantárgyakból viszont az iskolában mindent el kell törölni).
Az orosz oktatási minisztérium által kiadott „Általános oktatási szabványok” című kétkötetes tervezet a témák széles listáját tartalmazza. amelyek ismerete a gyakornokokat arra kéri, hogy hagyják abba az igényességet. Ez a lista adja a legélénkebb képet a „reformátorok” elképzeléseiről, és arról, hogy milyen „túlzott” tudástól kívánják „megvédeni” a következő generációkat.
Tartózkodni fogok a politikai kommentároktól, de itt vannak tipikus példák az állítólagos "fölösleges" információkra a négyszáz oldalas Standards projektből:
A „társadalomtudomány”, a „történelem”, „közgazdaságtan” és „jog”, amelyek nélkülözik mindezen fogalmakat, csupán formális istentiszteletek, a diákok számára haszontalanok. Franciaországban az elvont témákról folytatott teológiai fecsegést egy kulcsszóról ismerem fel: „Franciaország, mint a katolikus egyház legidősebb lánya..." (bármi következhet, pl.: "...nem kell tudományra költeni, hiszen már voltak és vannak tudósaink"), ahogy a Francia Köztársaság Nemzeti Bizottságának ülésén hallottam. a Tudomány és Kutatás területére, amelynek tagjává a Francia Köztársaság Tudományos, Kutatási és Technológiai Minisztere nevezett ki.
Hogy ne legyek egyoldalú, adok egy listát a "nem kívánatos" (a komoly tanulmányuk "megengedhetetlenségének" értelmében) szerzőkről és művekről is, amelyeket a szégyenteljes "Standard" e minőségében emleget:
Más szóval, az Orosz Kultúra mint olyan törlését javasolják. Igyekeznek „megvédeni” az iskolásokat a „Szabványok” szerint „felesleges” kulturális központok befolyásától; itt voltak a „Szabványok” összeállítói szerint nem kívánatos, ha az iskolai tanárok említik:
Nekünk szól a harang!
Mindazonáltal nehéz tartózkodni attól, hogy egyáltalán megemlítsem, hogy az egzakt tudományokban pontosan mit javasolnak a „tanulás számára választhatóvá” tenni (mindenesetre, A „szabványok” azt javasolják, hogy „ne kötelezzék el a tanulókat, hogy elsajátítsák ezeket a részeket”):
A matematikából a „Szabványokban” ugyanazt a diszkriminációt alkalmazták olyan témákban, amelyek nélkül egyetlen tanár sem tud nélkülözni (és annak teljes megértése nélkül, hogy mely iskolások lesznek teljesen tehetetlenek mind a fizikában, mind a technológiában, valamint számos más alkalmazásban tudományok, beleértve a katonai és humanitárius tudományokat is):
Az egyetlen remény az az eddig létező több ezer jól képzett tanár a minisztériumi utasítás ellenére továbbra is teljesíti kötelességét, és tanítja mindezt az iskolások új generációinak. A józan ész erősebb, mint a bürokratikus fegyelem. Csak nem szabad megfeledkeznünk csodálatos tanárainkról, hogy megfelelően fizessenek bravúrjukért.
A Duma képviselői elmagyarázták nekem a helyzet sokat javíthatna, ha figyelmet fordítana a már elfogadott oktatási törvények végrehajtására.
A helyzet alábbi leírását I. I. Melnyikov helyettes ismertette a Matematikai Intézetben készített jelentésében. V. A. Steklov, az Orosz Tudományos Akadémia Moszkvában, 2002 őszén.
Például az egyik törvény az oktatás költségvetési hozzájárulásának évi mintegy 20%-os emelését írja elő. A miniszter azonban kijelentette, hogy "nem érdemes aggódni a törvény végrehajtása miatt, hiszen csaknem éves szinten több mint 40%-os növekedés következik be". A miniszter e beszéde után nem sokkal a következő (2002-es) évre gyakorlatilag megvalósítható emelést jelentettek be (jóval kisebb százalékkal). És ha figyelembe vesszük az inflációt, akkor kiderül Elhatározták, hogy csökkentik az oktatáshoz való éves hozzájárulást.
Egy másik törvény meghatározza, hogy a költségvetési kiadások hány százalékát kell az oktatásra fordítani. A valóságban sokkal kevesebbet költenek (hányszor pontosan, nem tudtam pontosan megtudni). Ezzel szemben a „belső ellenség elleni védelemre” fordított kiadások a külső ellenség elleni védekezésre fordított kiadások harmadáról felére emelkedtek.
Természetes, hogy hagyjuk abba a gyerekeknek a törtek tanítását, különben ne adj isten, megértik!
Nyilvánvalóan a tanárok reakciójára számítottak, hogy a „Szabvány” összeállítói az ajánlott olvasmányok listáján számos író nevét (például Puskin, Krilov, Lermontov, Csehov és hasonlók nevét) tüntették fel. egy csillag, amelyet a következőképpen fejtenek meg: „Igény esetén a tanár bevezetheti a tanulókat egy vagy két további műbe ugyanattól a szerzőtől”(és nem csak az általuk Puskin esetében ajánlott „emlékművel”).
Hagyományos matematikai oktatásunk külföldhöz viszonyított magasabb szintje csak azután vált nyilvánvalóvá számomra, hogy ezt a szintet össze tudtam hasonlítani a külföldiekkel, sok szemesztert dolgoztam párizsi és New York-i, oxfordi és cambridge-i, pisai és bolognai egyetemeken és főiskolákon. , Bonn és Berkeley, Stanford és Boston, Hong Kong és Kiotó, Madrid és Toronto, Marseille és Strasbourg, Utrecht és Rio de Janeiro, Conakry és Stockholm.
„Semmiképpen nem követhetjük az ön elvét, miszerint tudományos eredményeik alapján választjuk ki a jelölteket” – mondták nekem kollégáim az egyik legjobb párizsi egyetemre új professzorok meghívásával foglalkozó bizottságban. - „Végül is ebben az esetben csak az oroszokat kellene választanunk – ennyire tudományos fölényükről egyértelmű!" (Ugyanakkor beszéltem a franciák közötti válogatásról).
Fennáll a veszélye annak, hogy csak a matematikusok félreértenek, továbbra is példákat hozok fel a párizsi egyetem matematikaprofesszori posztjára 2002 tavaszán a legjobb jelöltek válaszaira (minden pozícióra 200-an jelentkeztek).
A jelölt több éven át tanított lineáris algebrát különböző egyetemeken, megvédte disszertációját, és mintegy tucat cikket publikált Franciaország legjobb matematikai folyóirataiban.
A kiválasztás egy interjút is tartalmaz, ahol mindig elemi, de fontos kérdéseket kínálnak fel a jelöltnek (kérdésszint "Nevezd meg Svédország fővárosát" ha a tárgy földrajz lenne).
Ezért megkérdeztem: "Mi a másodfokú alak aláírása? xy?»
A jelölt 15 perc gondolkodási időt kért tőle, majd ezt mondta: „A toulouse-i számítógépemben van egy rutinom (programom), amivel egy-két óra alatt megtudja, hány plusz és hány mínusz van normál formában. . A különbség a két szám között az aláírás lesz - de csak 15 percet adsz, és számítógép nélkül, így nem tudok válaszolni, ez az űrlap HU Ez túl bonyolult."
Nem szakembereknek elmagyarázom, hogy ha az állattanról lenne szó, akkor ez a válasz ehhez hasonló lenne: "Linnaeus felsorolta az összes állatot, de hogy a nyír emlős-e vagy sem, arra nem tudok válaszolni könyv nélkül."
A következő jelölt az "elliptikus egyenletrendszerek parciális deriváltjaiban" szakértőnek bizonyult (másfél évtizeddel disszertációja és több mint húsz publikációja megvédése után).
Megkérdeztem ezt: „Mi a függvény lapláciája 1/r háromdimenziós euklideszi térben?
A válasz (a szokásos 15 perc után) megdöbbentő volt számomra; "Ha r a számlálóban állt, és nem a nevezőben, és az első származékra lenne szükség, és nem a másodikra, akkor fél óra alatt ki tudom számolni, különben túl nehéz a kérdés.
Hadd magyarázzam el, hogy a kérdés az elliptikus egyenletek elméletéből származott, mint például a „Ki a Hamlet szerzője?” az angol irodalom vizsgán. Segítségül próbáltam feltenni egy sor vezető kérdést (hasonlóan az Othellora és Opheliára vonatkozó kérdésekhez): „Tudja, mi az egyetemes gravitáció törvénye? Coulomb törvénye? Hogyan kapcsolódnak a laplákhoz? Mi a Laplace-egyenlet alapvető megoldása?
De semmi sem segített: sem Macbethet, sem Lear királyt nem ismerte a jelölt, ha irodalomról beszéltek.
Végül a vizsgabizottság elnöke elmagyarázta, mi a baj: – Végül is a jelölt nem egy elliptikus egyenletet, hanem azok rendszereit tanulmányozta, és Ön megkérdezi őt a Laplace-egyenletről, Teljes egy dolog - világos, hogy soha nem találkozott vele!
Egy irodalmi analógiában ez az „indoklás” a következő kifejezésnek felel meg: „A jelölt angol költőket tanult, honnan ismerhetné Shakespeare-t, mert drámaíró!
A harmadik jelölt (és több tucat volt) a "holomorf differenciálformákkal" foglalkozott, és megkérdeztem tőle: "Mi az érintő Riemann-felülete?" (Féltem kérdezni az ív érintőről).
Válasz: „A Riemann-metrika a koordináták differenciáljának másodfokú formája, de számomra egyáltalán nem világos, hogy az „érintő” függvényhez milyen forma társul.”
Hadd magyarázzam meg ismét egy hasonló válasz modelljével, amely ezúttal a matematikát a történelemre cseréli (amire a nagyvárosiak inkább hajlanak). Itt lenne a kérdés: Ki az a Julius Caesar?és a válasz: – Bizánc uralkodóit Caesarnak hívták, de Juliust nem ismerem közöttük.
Végül megjelent egy valószínűségszámító jelölt, aki érdekesen beszélt a szakdolgozatáról. Azt bizonyította benne az "A és B együtt igaz" állítás hamis(maguk a kijelentések DEés NÁL NÉL hosszúak, ezért itt nem reprodukálom).
Kérdés: „De mi van az állítással Aönmagukban, anélkül NÁL NÉL: igaz vagy nem?
Válasz: „Végül is azt mondtam, hogy az „A és B” állítás nem igaz. Ez azt jelenti, hogy A is téved." Azaz: „Mivel nem igaz, hogy „Petya és Misha megbetegedett kolerában”, Petya nem kapott kolerát.
Itt a tanácstalanságomat ismét eloszlatta a bizottság elnöke: kifejtette, hogy a jelölt nem valószínűségszámító, ahogy én gondoltam, hanem statisztikus (az önéletrajzban nem „valószínűség”, hanem „stat” van). .
„A valószínűségszámítók – magyarázta nekem tapasztalt elnökünk – normális logikájuk van, ugyanaz, mint a matematikusoké, Arisztotelészi. A statisztikusok számára ez teljesen más: nem hiába mondják, hogy „vannak hazugságok, kirívó hazugságok és statisztikák”. Minden okfejtésük nem bizonyított, minden következtetésük téves. De másrészt ezek a következtetések mindig nagyon szükségesek és hasznosak. Ezt a statisztikát mindenképpen el kell fogadnunk!”
A Moszkvai Egyetemen egy ilyen tudatlan nem tudta volna elvégezni a mechanikai és matematikai fakultás harmadik évfolyamát. A Riemann-felületeket a Moszkvai Matematikai Társaság alapítója, N. Bugaev (Andrej Belij apja) a matematika csúcsának tekintette. Igaz, úgy gondolta, hogy a 19. század végének kortárs matematikájában olyan tárgyak kezdtek megjelenni, amelyek nem illettek bele ennek a régi elméletnek a főáramába - a valós változók nem holomorf függvényei, amelyek véleménye szerint a szabad akarat eszméjének matematikai megtestesülései ugyanolyan mértékben, mint a Riemann-felületek és a holomorf függvények a fatalizmus és a predesztináció gondolatát.
Ezen elmélkedések eredményeként Bugajev fiatal moszkovitákat küldött Párizsba, hogy ott tanulják meg az új „a szabad akarat matematikáját” (Boreltől és Lebesgue-től). Ezt a programot N. N. Luzin zseniálisan hajtotta végre, aki Moszkvába való visszatérése után egy ragyogó iskolát hozott létre, amely magában foglalta sok évtized összes főbb moszkvai matematikusát: Kolmogorov és Petrovszkij, Alekszandrov és Pontrjagin, Menshov és Keldysh, Novikov és Lavrentiev, Gelfand és Lyusternik.
Kolmogorov egyébként a Parisiana szállodát ajánlotta nekem, amelyet Luzin később választott magának Párizs Latin negyedében (a Rue Tournefort-on, nem messze a Pantheontól). Az Első Európai Matematikai Kongresszuson Párizsban (1992) ebben az olcsó szállodában szálltam meg (19. századi felszereltséggel, telefon nélkül stb.). És ennek a hotelnek az idős háziasszonya, miután megtudta, hogy Moszkvából jöttem, azonnal megkérdezte: És hogy van ott régi vendégem, Luzin? Kár, hogy már régóta nem járt nálunk.
Néhány évvel később a szállodát bezárták javítás miatt (a háziasszony valószínűleg meghalt), és amerikai módon kezdtek újjáépíteni, így most már nem láthatja Párizsban ezt a 19. századi szigetet.
Visszatérve a 2002-es professzorválasztáshoz, megjegyzem, hogy a fent felsorolt tudatlanok mindegyike (mindenkitől rajtam kívül) a legjobb osztályzatot kapta. Ellenkezőleg, szinte egyhangúlag elutasította az egyetlen, szerintem arra érdemes jelölt. Több tucat új, teljesen integrálható matematikai fizika Hamilton-egyenletrendszert fedezett fel ("Gröbner-bázisok" és számítógépes algebra segítségével) (egyúttal megkapta, de nem vette fel az újak listájára a híres egyenleteket, Korteweg-de Vries, Sayn-Gordon és hasonlók).
Jövőbeli projektjeként a jelölt egy új számítógépes módszert is javasolt a cukorbetegség kezelésének modellezésére. Módszerének orvosok általi értékelésével kapcsolatos kérdésemre meglehetősen ésszerűen válaszolt: „A módszert jelenleg ilyen-olyan központokban, kórházakban tesztelik, és hat hónap múlva adják le a következtetéseiket, összehasonlítva az eredményeket más módszerekkel és betegek kontrollcsoportjaiban, de egyelőre erre a vizsgálatra nem kerül sor, és csak előzetes becslések vannak, jó.
Ezt a következő magyarázattal utasították el: "Diszertációjának minden oldalán szó esik vagy hazugság-csoportokról, vagy hazugság-algebrákról, és ezt itt senki sem érti, így egyáltalán nem fog illeszkedni a csapatunkba." Igaz, engem és az összes tanítványomat is el lehetne utasítani így, de egyes kollégák szerint az elutasítás oka más volt: az összes korábbi jelölttel ellentétben ez nem francia volt (egy híres amerikai professzor tanítványa volt). Minnesotából).
A leírt teljes kép szomorú gondolatokhoz vezet a francia tudomány, különösen a matematika jövőjével kapcsolatban. Bár a "Franciaországi Tudományos Nemzeti Bizottság" hajlamos volt egyáltalán nem új tudományos kutatásokat finanszírozni, hanem kész amerikai receptek vásárlására költeni (amit az Országgyűlés biztosított a tudomány fejlesztésére), én ezt élesen elleneztem. öngyilkossági politikát, és ennek ellenére elért legalább némi támogatást nyújtó új kutatást. A nehézségek azonban a pénz felosztását okozták. Az orvostudományt, az atomenergiát, a polimerkémiát, a virológiát, a genetikát, az ökológiát, a környezetvédelmet, a radioaktív hulladékok ártalmatlanítását és még sok mást a szavazás során (egy ötórás ülésen) következetesen támogatásra méltatlannak minősítettek. Végül mégis három „tudományt” választottak, amelyek állítólag megérdemelték új kutatásaik finanszírozását. Ez a három "tudomány" a következő: 1) AIDS; 2) pszichoanalízis; 3) a gyógyszerkémia összetett ága, amelynek tudományos nevét nem tudom reprodukálni, de a a pszichotróp szerek, például a könnygázok kifejlesztése, ami a lázadó tömeget engedelmes csordává változtatta.
Tehát most Franciaország meg van mentve!
Luzin tanítványai közül véleményem szerint a legfigyelemreméltóbb hozzájárulást a tudományhoz Andrej Nyikolajevics Kolmogorov tette. Andrej Nyikolajevics, aki egy faluban nőtt fel nagyapjával Jaroszlavl mellett, büszkén tulajdonította magának Gogol szavait: „egy gyors roszlavli paraszt”.
Egyáltalán nem szándékozott matematikus lenni, még akkor sem, ha már belépett a Moszkvai Egyetemre, ahol azonnal történelmet kezdett tanulni (Bahrusin professzor szemináriumán), és húszéves kora előtt megírta első tudományos munkáját.
Ezt a munkát a középkori Novgorodban a földgazdasági kapcsolatok tanulmányozásának szentelték. Itt őrizték meg az adózási dokumentumokat, amelyek nagy számának statisztikai módszerekkel történő elemzése váratlan következtetésekre vezette a fiatal történészt, amelyről Bahrusin találkozóján beszélt.
A riport nagyon jól sikerült, az előadót sok dicséret érte. De ragaszkodott egy másik jóváhagyáshoz: azt akarta, hogy következtetéseit helyesnek ismerjék el.
Végül Bahrusin azt mondta neki: „Ezt a jelentést közzé kell tenni; ő nagyon érdekes. De ami a következtetéseket illeti, nekünk, történészeknek mindig nem egy bizonyítékra van szükségünk, hanem legalább ötre, hogy bármilyen következtetést elfogadjunk!«
Másnap Kolmogorov a történelmet matematikára cserélte, ahol egy bizonyíték is elég. A jelentést nem tette közzé, és ez a szöveg az archívumában maradt mindaddig, amíg Andrej Nyikolajevics halála után meg nem mutatták a modern történészeknek, akik nemcsak nagyon újnak és érdekesnek, hanem egészen meggyőzőnek is ismerték. Most megjelent Kolmogorovnak ez a jelentése, és a történészek közössége kiemelkedő hozzájárulásnak tekinti tudományukhoz.
Hivatásos matematikussá válva Kolmogorov többségüktől eltérően elsősorban természettudós és gondolkodó maradt, és egyáltalán nem többértékű számok szorzója (ami főként a matematikusok tevékenységének elemzésekor jelenik meg a matematikában járatlan emberek számára, pl. még L. D. Landau is, aki a matematikában nagyra értékelte a számolási készség folytatását: öt öt - huszonöt, hat hat - harminchat, hét hét - negyvenhét, ahogy olvasom egy Landau-paródiában, amelyet Fiztekh tanítványai állítottak össze; , Landau leveleiben nekem, aki akkor még diák voltam, a matematika nem logikusabb, mint ebben a paródiában).
Majakovszkij ezt írta: „Végül is minden másodpercben ki tudja húzni a négyzetgyököt” (egy professzorról, aki „nem unja, hogy az ablak alatt a szakácsok aktívan a gimnáziumba járnak”).
De azt is tökéletesen leírta, hogy mi a matematikai felfedezés, mondván, hogy " Aki felfedezte, hogy kétszer kettő egyenlő négy, az nagyszerű matematikus volt, még akkor is, ha a cigarettacsikkek megszámlálásával fedezte fel. És aki ma sokkal nagyobb tárgyakat számol meg ugyanazzal a képlettel, például mozdonyokat, az egyáltalán nem matematikus!”
Kolmogorov – sokakkal ellentétben – soha nem félt az alkalmazott, „mozdonyos” matematikától, és örömmel alkalmazta a matematikai megfontolásokat az emberi tevékenység legkülönbözőbb területein: a hidrodinamikától a tüzérségig, az égi mechanikától a versifikációig, a számítógépek miniatürizálásától a a Brown-mozgás elmélete, a Fourier-sorok divergenciájától az információátvitel elméletéig és az intuicionista logikáig. Nevetett azon, hogy a franciák nagybetűvel írják az "Égi mechanikát", az "alkalmazott" pedig kicsivel.
Amikor 1965-ben először megérkeztem Párizsba, az idős Fréchet professzor melegen üdvözölt a következő szavakkal: „Végül is Ön Kolmogorov tanítványa, a fiatalember, aki egy szinte mindenhol eltérő Fourier-sorozat példáját építette fel!”
Kolmogorov itt említett munkáját tizenkilenc évesen fejezte be, megoldotta a klasszikus problémát, és azonnal a világ jelentőségű első osztályú matematikusai közé emelte. Negyven évvel később ez az eredmény még mindig jelentősebb volt Fréchet számára, mint Kolmogorov minden későbbi és sokkal fontosabb alapműve, amely az egész világon megfordult és a valószínűségelmélet, a függvényelmélet, a hidrodinamika és az égi mechanika, és a közelítések elmélete, az algoritmikus komplexitás elmélete, a topológiában a kohemológia elmélete és a dinamikus rendszerek szabályozásának elmélete (ahol Kolmogorov egyenlőtlenségei a különböző rendű származékok között ma is az egyik legnagyobb vívmány, bár a szabályozáselméleti szakemberek ezt ritkán értik meg).
De maga Kolmogorov mindig is szkeptikus volt szeretett matematikájával kapcsolatban, a természettudomány kis részeként felfogva, és könnyen feladva azokat a logikai megszorításokat, amelyeket az axiomatikus-deduktív módszer béklyói szabnak az ortodox matematikusokra.
„Hiába lenne – mondta nekem –, ha matematikai tartalmat keresnék a turbulenciával foglalkozó munkámban. Fizikusként beszélek itt, és egyáltalán nem érdekelnek a matematikai bizonyítások, vagy az, hogy következtetéseimet olyan feltevésekből vonjam le, mint a Navier-Stokes egyenletek. Ezeket a következtetéseket ne bizonyítsák – de igazak és nyíltak, és ez sokkal fontosabb, mint a bizonyítás!
Kolmogorov számos felfedezését nemhogy nem bizonyította (sem ő maga, sem követői), de még csak publikáció sem történt. Ennek ellenére számos tudományterületre (és nem csak a matematikára) döntő befolyást gyakoroltak és gyakorolnak továbbra is.
Csak egy híres példát mondok (a turbulencia elméletéből).
A hidrodinamika matematikai modellje egy olyan dinamikus rendszer a folyadéksebesség-terek terében, amely leírja a folyadékrészecskék kezdeti sebességmezőjének alakulását kölcsönhatásuk hatására: nyomás és viszkozitás (valamint külső erők esetleges hatására, például súlyerő folyó esetén vagy víznyomás a vízvezetékben).
Ennek az evolúciónak a hatására jöhet létre a dinamikus rendszer egyensúlyi (stacionárius) állapot, amikor az áramlási sebesség az áramlási terület egyes pontjaiban nem változik az időben(bár minden áramlik, és minden részecske mozog, és idővel változtat a sebességén).
Ilyen stacioner áramlások (például lamináris áramlások a klasszikus hidrodinamika szempontjából) azok a dinamikus rendszer pontjainak vonzása. Ezért (pont)attraktoroknak (attraktoroknak) nevezik őket.
Más szomszédokat vonzó halmazok is lehetségesek, például zárt görbék, amelyek a sebességmezők funkcionális terében az időben periodikusan változó áramlásokat ábrázolják. Egy ilyen görbe attraktor, ha a szomszédos kezdeti feltételek, amelyeket a sebességmezők funkcionális terének „perturbált” pontjai képviselnek, amelyek közel vannak a meghatározott zárt görbéhez, elkezdenek ugyan időben nem periodikusan változó áramlást, de megközelítik azt ( nevezetesen a zavart áramlás idővel a korábban leírt periodikusra hajlik).
Poincaré, aki először fedezte fel ezt a jelenséget, az ilyen zárt attraktor-görbéknek nevezte "stabil határciklusok". Fizikai szempontból nevezhetők periodikus egyenletes áramlási viszonyok: a zavar fokozatosan csökken az átmeneti folyamat során, amelyet a kezdeti állapot zavarása okoz,és egy idő után alig észrevehetővé válik a mozgás és a zavartalan periodikus mozgás közötti különbség.
Poincare után az ilyen határciklusokat alaposan tanulmányozta A. A. Andronov, aki erre a matematikai modellre alapozta a rádióhullám-generátorok, azaz a rádióadók tanulmányozását és kiszámítását.
Tanulságos, amit Poincaré fedezett fel és Andronov fejlesztett ki határciklusok születésének elmélete instabil egyensúlyi helyzetekből ma általában (még Oroszországban is) Hopf bifurkációnak nevezik. E. Hopf ennek az elméletnek egy részét néhány évtizeddel Andronov publikálása és több mint fél évszázaddal Poincaré után publikálta, de velük ellentétben ő Amerikában élt, így működött a jól ismert névadó elv: ha bármely objektum valakinek a nevét viseli, akkor ez nem a felfedező neve(például Amerikát nem Kolumbuszról nevezték el).
M. Berry angol fizikus ezt a névadó elvet "Arnold-elvnek" nevezte, kiegészítve egy második elvvel. Berry elve: Arnold elve önmagára vonatkozik(vagyis korábban is ismert volt).
Ebben teljesen egyetértek Berryvel. A névadó elvet a „Berry-fázisról” szóló előnyomásra válaszul mondtam el neki, aminek az általános elméletnél semmivel sem rosszabb példáit Berry előtt évtizedekkel publikálta S. M. Rytov („polarizációs irány tehetetlenség” néven), és A. Yu .Ishlinsky ("a tengeralattjáró giroszkópjának indulása a bázisra való visszatérés és az onnan való távozás útvonala közötti eltérés miatt" néven),
Térjünk azonban vissza az attraktorokhoz. Az attraktor vagy vonzáshalmaz egy állandó mozgásállapot, amelyeknek azonban nem kell időszakosnak lenniük. A matematikusok sokkal összetettebb mozgásokat is feltártak, amelyek szintén vonzhatják a zavart szomszédos mozgásokat, de amelyek önmagukban rendkívül instabilok lehetnek: a kis okok néha nagy hatásokat okoznak,– mondta Poincare. Egy ilyen határrendszer állapota vagy "fázisa" (azaz egy pont az attraktor felületén) bizarr "kaotikus" módon mozoghat az attraktor felületén, és kis eltéréssel a kiindulási ponttól. az attraktoron nagymértékben megváltoztathatja a mozgás menetét anélkül, hogy a határrendszert megváltoztatná. Az összes lehetséges megfigyelhető hosszú távú átlag közel lesz a kezdeti és a zavart mozgásokban, de a részletek egy meghatározott időpontban általában teljesen eltérőek lesznek.
Meteorológiai értelemben a "korlátozó rezsim" (vonzó) hasonlítható hozzá éghajlat,és a fázis időjárás. A kezdeti körülmények kis változása nagyban befolyásolhatja a holnapi időjárást (és még erősebben - egy hét és egy hónap múlva). Ám egy ilyen változástól a tundra még nem lesz trópusi erdő: pénteken kedd helyett csak zivatar törhet ki, ami nem változtathat az év (sőt, a havi) átlagon sem.
A hidrodinamikában a kezdeti perturbációk csillapításának mértékét általában azzal jellemezzük viszkozitás (úgymond a folyadék részecskéinek kölcsönös súrlódása, amint azok egymáshoz képest mozognak), vagy az inverz viszkozitás, ezt az értéket "Reynolds-számnak" nevezik. A Reynolds-szám nagy értékei a zavarok gyenge csillapításának felelnek meg, a nagy viszkozitásértékek (vagyis a kis Reynolds-számok), éppen ellenkezőleg, szabályozzák az áramlást, megakadályozva a zavarokat és azok kialakulását. A vesztegetés és a korrupció gyakran a „viszkozitás” szerepét tölti be a gazdaságban 1 .
1 A többlépcsős termelésirányítás instabil, ha a szakaszok száma (munkás, művezető, üzletvezető, üzemigazgató, központ stb.) kettőnél több, de fenntartható módon megvalósítható, ha legalább a vezetők egy része nem csak felülről (a parancsok követésére), hanem alulról is (az ügy érdekében, a termelést elősegítő döntések érdekében) ösztönzik. Utolsó biztatásként a korrupciót használják. A részletekért lásd a cikket: V. I. Arnold. Matematika és matematikai oktatás a modern világban. In: Matematika az oktatásban és nevelésben. - M.: FAZIS, 2000, p. 195-205.
A nagy viszkozitás miatt alacsony Reynolds-számoknál általában stabil álló (lamináris) áramlás jön létre, amelyet a sebességmezők terében egy pontattraktor ábrázol.
A fő kérdés az, hogy az áramlás jellege hogyan változik meg a Reynolds-szám növekedésével. Egy vízellátó rendszerben ez megfelel például a víznyomás növekedésének, ami a sima (lamináris) csapfolyamot instabillá teszi, de matematikailag a Reynolds-szám növelése érdekében célszerűbb csökkenteni a részecskesúrlódási együtthatót. viszkozitás (ami a kísérletben a folyadék technikailag bonyolult cseréjét igényelné). Néha azonban a Reynolds-szám megváltoztatásához elegendő a laboratóriumi hőmérséklet megváltoztatása. Láttam egy ilyen telepítést Novoszibirszkben a Pontos Mérések Intézetében, ahol a Reynolds-szám megváltozott (a negyedik számjegyben), amikor közelebb vittem a kezem ahhoz a hengerhez, ahol az áramlás történt (pontosan a hőmérséklet-változások miatt), és a képernyőn. A kísérletet feldolgozó számítógép esetében a Reynolds-szám változását az elektronikus automatizálás azonnal jelezte.
A lamináris (stabil stacionárius) áramlásból az erőszakos turbulens áramlásba való átmenet e jelenségeire gondolva Kolmogorov már régen számos hipotézist fogalmazott meg (amelyek még ma is bizonyítatlanok). Úgy gondolom, hogy ezek a hipotézisek a Landau-val a turbulencia természetéről folytatott vitájának idejére (1943) nyúlnak vissza. Mindenesetre kifejezetten megfogalmazta őket 1959-ben a Moszkvai Egyetemen tartott szemináriumán (a hidrodinamikáról és a dinamikus rendszerek elméletéről), ahol még a szemináriumról szóló közleményben is szerepeltek, amelyet akkor közzétett. De nem tudok arról, hogy Kolmogorovék hivatalosan publikálták volna ezeket a hipotéziseket, és Nyugaton általában Kolmogorov-epigonjaiknak tulajdonítják őket, akik megismerték őket, és évtizedekkel később publikálták őket.
Ezeknek a Kolmogorov-hipotéziseknek az a lényege, hogy a Reynolds-szám növekedésével az állandó áramlási rezsimnek megfelelő attraktor egyre bonyolultabbá válik, nevezetesen, hogy mérete megnő.
Először egy pont (nulladimenziós attraktor), majd egy kör (Poincaré határciklus, egydimenziós attraktor). Kolmogorov hipotézise a hidrodinamikai attraktorokról két állításból áll: ahogy a Reynolds-szám növekszik 1) egyre nagyobb méretű attraktorok jelennek meg; 2) minden kisdimenziós attraktor eltűnik.
1-ből és 2-ből együtt az következik Ha a Reynolds-szám elég nagy, az állandósult állapotnak számos szabadsági foka van, ezért sok paramétert kell megadni a fázisának (az attraktor egy pontjának) leírásához, amely aztán az attraktor mentén haladva szeszélyes és nem időszakos "kaotikus" módon változik, és az attraktor kezdőpontjának kis változása általában az "időjárás" (az attraktor aktuális pontja) nagy (hosszú idő után) megváltozásához vezet, bár magát az attraktort nem változtatja meg (pl. , nem okoz változást a „klímában”).
Az 1. állítás önmagában itt nem elég, hiszen különböző attraktorok létezhetnek együtt, beleértve a különböző méretű attraktorokat is egy rendszerben (amely tehát bizonyos kezdeti feltételek mellett nyugodt „lamináris” mozgást, mások esetén heves „turbulens” mozgást végezhet). kezdeti állapotától függően).
Az ilyen hatások kísérleti megfigyelése "kihajlás késleltetése" sokáig meglepte a fizikusokat, de Kolmogorov hozzátette Ha egy kisdimenziós attraktor nem is tűnik el, előfordulhat, hogy nem változtatja meg a megfigyelt turbulenciát abban az esetben, ha vonzási zónájának mérete erősen csökken a Reynolds-szám növekedésével. Ebben az esetben a lamináris rezsim, bár elvileg lehetséges (és még stabil is), gyakorlatilag nem figyelhető meg vonzási területének rendkívül kicsinysége miatt: A már kicsi, de a kísérletben mindig jelenlévő perturbációk a rendszert ennek az attraktornak a vonzási zónájából egy másik, már turbulens, állandósult állapot vonzási zónájába vezethetik, amelyet megfigyelni fognak.
Ez a vita megmagyarázhatja ezt a furcsa megfigyelést is: század néhány híres hidrodinamikai kísérletét nem sikerült megismételni a 20. század második felében, bár ugyanazt a berendezést próbálták ugyanabban a laboratóriumban használni. Kiderült azonban, hogy a régi kísérlet (a stabilitásvesztés késleltetésével) megismételhető, ha nem a régi laboratóriumban, hanem egy mély földalatti bányában végzik.
Az a tény, hogy a modern utcai forgalom nagymértékben megnövelte az „észrevehetetlen” zavarok nagyságát, amelyek elkezdtek hatni (a megmaradt „lamináris” attraktor vonzási zónájának kicsinysége miatt).
Sok matematikus számos kísérlete arra, hogy Kolmogorov 1. és 2. sejtését (vagy legalábbis az elsőt) bizonyítékokkal erősítse meg, eddig csak arra vezetett, hogy Az attraktor méreteinek becslése Reynolds-számok alapján felülről: ez a méret nem lehet túl nagy, amíg a viszkozitás ezt megakadályozza.
A dimenziót ezekben a munkákban a Reynolds-szám hatványfüggvényével (azaz a viszkozitás negatív fokával) becsülik meg, és a kitevő attól függ, hogy mekkora a tér, ahol az áramlás történik (a turbulencia erősebb a háromdimenziós áramlásban mint a síkbeli problémáknál).
Ami a probléma legérdekesebb részét, vagyis az alsó dimenzióbecslést illeti (legalábbis néhány attraktor esetében, mint az 1. sejtésben, vagy akár az összesre, mint a 2. sejtésben, amivel kapcsolatban Kolmogorov több kételyt fogalmazott meg), itt a matematikusok nem voltak magasban, mert szokás szerint a valódi természettudományi problémát formális axiomatikus absztrakt megfogalmazásukkal helyettesítették pontos, de alattomos definícióival.
Az a helyzet, hogy az attraktor axiomatikus fogalmát a matematikusok a fizikai korlátozó mozgásmód egyes tulajdonságainak elvesztésével fogalmazták meg, ezt a (nem szigorúan meghatározott) matematikai fogalmat az "attraktor" kifejezés bevezetésével próbálták axiomatizálni.
Tekintsünk például egy attraktort, amely egy kör (amelyhez a dinamika összes közeli pályája spirálisan közelít).
Magán a körön, amely vonzza a szomszédokat, a dinamika a következőképpen legyen elrendezve: két ellentétes pont (azonos átmérőjű végein) mozdulatlan, de az egyik attraktor (a szomszédokat vonzza), a másik pedig taszító. (taszítja őket).
Például elképzelhetünk egy függőlegesen álló kört, amelynek dinamikája a kör mentén bármely pontban lefelé tolódik, kivéve a fennmaradó rögzített pólusokat:
alul attraktor, felül taszító.
Ebben az esetben, annak ellenére, hogy a rendszerben létezik egy egydimenziós attraktor-kör, csak egy stabil álló helyzet lesz fizikailag állandósult állapot(az alsó attraktor a fenti "függőleges" modellben).
Egy tetszőleges kis perturbáció esetén a mozgás először attraktor-körré alakul. De akkor ennek az attraktornak a belső dinamikája szerepet fog játszani, és a rendszer állapota, lesz végül megközelíteni egy "lamináris" nulldimenziós attraktort, míg az egydimenziós attraktor, bár matematikailag létezik, nem alkalmas az "egyensúlyi állapot" szerepére.
Az ilyen problémák elkerülésének egyik módja az Attraktornak csak minimális attraktorokat tekintsünk, vagyis olyan attraktorokat, amelyek nem tartalmaznak kisebb attraktorokat. Kolmogorov sejtései pontosan az ilyen attraktorokra vonatkoznak, ha pontos megfogalmazást akarunk adni nekik.
A méretek alsó határairól azonban a számos így elnevezett publikáció ellenére semmit sem sikerült bizonyítani.
A matematika deduktív-axiomatikus megközelítésének veszélye Sok Kolmogorov előtti gondolkodó világosan megértette. Az első amerikai matematikus, J. Sylvester azt írta A matematikai elképzeléseket soha nem szabad megkövesíteni, mert elvesztik erejüket és alkalmazhatóságukat, amikor a kívánt tulajdonságokat axiomatizálják. Azt mondta, az ötleteket úgy kell venni, mint a vizet a folyóban: soha nem lépünk be pontosan ugyanabba a vízbe, pedig a gázló ugyanaz. Hasonlóképpen, egy ötlet sok különböző és nem egyenértékű axiomatikát eredményezhet, amelyek mindegyike nem tükrözi teljes mértékben az elképzelést.
Sylvester mindezekre a következtetésekre úgy jutott, hogy – szavai szerint – „egy furcsa intellektuális jelenséget gondolt végig, amely abból áll, hogy egy általánosabb állítás bizonyítása gyakran egyszerűbbnek bizonyul, mint a benne foglalt konkrét esetek bizonyítása. Példaként összehasonlította egy vektortér geometriáját (akkor még nem megalapozott) funkcionális elemzéssel.
Ezt a Sylvester ötletet később sokat használták. Például pontosan ez magyarázza Bourbaki azon vágyát, hogy minden fogalmat a lehető legáltalánosabbá tegyen. Még használnak is ban ben Franciaországban a „több” szót abban az értelemben, hogy más országokban (melyet megvetően angolszásznak neveznek) a „nagyobb vagy egyenlő” szavakkal fejezik ki, mivel Franciaországban az általánosabb „> =” fogalom. elsődlegesnek tekintették, a konkrétabb „>” - „nem fontos” példa. Emiatt azt tanítják a diákoknak, hogy a nulla pozitív szám (valamint negatív, nem pozitív, nem negatív és természetes szám), amelyet máshol nem ismernek fel.
De láthatóan nem jutottak el Sylvester következtetésére az elméletek megkövesedésének megengedhetetlenségéről (legalábbis Párizsban, az Ecole Normale Superieure könyvtárában összegyűjtött műveinek ezek a lapjai vágatlanok voltak, amikor nemrég hozzájuk jutottam).
Nem sikerül meggyőznöm a matematikai "szakembereket" az attraktorok dimenzióinak növekedésére vonatkozó hipotézisek helyes értelmezésére, mivel ők, akárcsak a jogászok, a létező dogmatikai törvénykönyvekre formális hivatkozásokkal tiltakoznak, amelyek az attraktorok "pontos formális meghatározását" tartalmazzák. a tudatlan.
Kolmogorov éppen ellenkezőleg, soha nem törődött valaki definíciójának betűjével, hanem a dolog lényegén gondolkodott 2 .
2 Miután 1960-ban megoldottam a nem rezonáns rendszerek fixpontjainak stabilitására vonatkozó Birkhoff-féle problémát, 1961-ben pontosan ennek a problémának a megoldását publikáltam. Egy évvel később J. Moser általánosította az eredményemet, stabilitást bizonyítva a négynél nagyobb rendű rezonanciák esetén is. Csak akkor vettem észre, hogy bizonyításaim ezt az általánosabb tényt igazolják, de mivel megbabonázott Birkhoff nem-rezonancia-definíciója, nem írtam, hogy többet bizonyítottam, mint amennyit Birkhoff megkövetelt.
Egyszer elmagyarázta nekem, hogy a topológiai kohomológia elméletét egyáltalán nem kombinatorikusan és nem algebrailag hozta létre, mint amilyennek látszik, hanem a hidrodinamikában a folyadékáramlásra, majd a mágneses mezőkre gondolva: ezt a fizikát a kombinatorikus szituációban akarta modellezni. egy absztrakt komplexet és megcsináltam.
Azokban az években naivan próbáltam elmagyarázni Kolmogorovnak, hogy mi történt a topológiában az évtizedek során, hogy minden tudását csak PS Aleksandrovtól merítette. Emiatt az elszigeteltség miatt Kolmogorov semmit sem tudott a homotópia topológiáról; erről meggyőzött „A spektrumsorozatokat Pavel Szergejevics kazanyi munkája tartalmazta 1942 az év ... ja",és az a kísérlet, hogy elmagyarázzam neki, mi az a pontos sorrend, semmivel sem voltak sikeresebbek, mint naiv próbálkozásaim, hogy vízisíre vagy biciklire ültessem őt, ezt a nagyszerű utazót és síelőt.
Meglepő volt azonban számomra, hogy egy szigorú szakértő, Vlagyimir Abramovics Rokhlin magasan értékelte Kolmogorov kohomológiáról szóló szavait. Elmagyarázta nekem, egyáltalán nem kritikusan, hogy Kolmogorov e szavai egyrészt mélyen helyes értékelést tartalmaznak a két teljesítménye közötti kapcsolatról (különösen nehéz, ha, mint itt, mindkét eredmény figyelemre méltó), másodszor pedig - a kohomológiai műveletek hatalmas értékeinek előrelátása.
A modern topológia vívmányai közül Kolmogorov Milnor szféráit értékelte a legjobban, amelyről utóbbi beszélt 1961-ben a leningrádi All-Union Matematikai Kongresszusán. Kolmogorov még rávett engem (akkor még kezdő végzős hallgatót), hogy vegyem fel ezeket a szférákat a posztgraduális programomba, ami arra késztetett, hogy Rokhlinnál, Fuchsnál és Novikovnál elkezdtem differenciáltopológiát tanulni (aminek eredményeként hamarosan ellenfele lettem az utóbbi doktorinak .D. tézis gömbtermékeken lévő differenciálható szerkezetekről).
Kolmogorov ötlete az volt, hogy Milnor gömbjei segítségével igazolja, hogy Hilbert 13. feladatában (valószínűleg algebrai függvények esetében) sok változó egy függvénye szuperpozíciókkal nem reprezentálható, de nem ismerem az e témában megjelent publikációit, sem a megfogalmazásait. sejtések.
Kolmogorov gondolatainak egy másik kevéssé ismert köre ehhez kapcsolódik dinamikus rendszerek optimális vezérlése.
Ennek a körnek az a legegyszerűbb feladata, hogy egy intervallumon vagy körön definiált függvény első deriváltját egy ponton maximalizálja, ismerve magának a függvénynek és a második deriváltjának moduljainak felső határait. A második derivált megakadályozza, hogy az első gyorsan kialudjon, és ha az első túl nagy, akkor a függvény túlnő a megadott határon.
Valószínűleg Hadamard publikált először megoldást erre a problémára a második származékkal kapcsolatban, majd később Littlewood fedezte fel újra, miközben tüzérségi pályákon dolgozott. Kolmogorov, úgy tűnik, nem ismerte sem egyik, sem másik kiadványát, és úgy döntött bármely köztes derivált felülről történő becslésének problémája egy differenciálható függvény moduljainak maximális értékei és a magas (fix) sorrendű deriváltja szempontjából.
Kolmogorov zseniális ötlete az volt kifejezetten jeleznek szélsőséges függvényeket, például Csebisev-polinomokat (amelyeken a bizonyított egyenlőtlenség egyenlőséggé válik).És ahhoz, hogy a funkció extrém legyen, természetesen kitalálta mindig a legmagasabb derivált értékét kell maximális modulonak választani, csak az előjelét változtatva.
Ez a különleges tulajdonságok figyelemre méltó sorozatához vezetett. Ennek a sorozatnak a nulla függvénye az argumentum szinuszának előjele (mindenhol, ahol a maximális modulus van). A következő, első függvény a nulla (azaz már folytonos) antideriváltja "fűrész", amelynek deriváltja mindenhol a maximális modulussal rendelkezik). A további függvényeket ugyanazzal az integrációval kapjuk meg az előzőtől (a deriváltok számát eggyel növelve). Csak úgy kell megválasztani az integrációs állandót, hogy az eredményül kapott antiderivatív függvény integrálja a periódus alatt minden alkalommal nulla legyen (akkor az összes szerkesztett függvény periodikus lesz).
Az így kapott darabonkénti polinomfüggvények explicit képletei meglehetősen bonyolultak (az integrációk még Bernoulli-számokhoz kapcsolódó racionális állandókat is bevezetnek).
A szerkesztett függvények értékei és deriváltjaik konstansokat szolgáltatnak Kolmogorov teljesítménybecslésében (a közbenső derivált modulusának felülről történő becslése a függvény modulusa maximumának és a legmagasabb deriváltnak a racionális hatványainak szorzatán keresztül). Ezek a racionális kitevők könnyen kitalálhatóak a Leonardo da Vinci és Kolmogorov turbulenciaelméletének hasonlósági törvényeihez nyúló hasonlóság megfontolásából, hogy a kombinációnak dimenzió nélkülinek kell lennie, hiszen világos (legalábbis Leibniz jelöléséből). ) hogyan viselkednek a különböző sorrendű deriváltak, amikor az egységek megváltoztatják az argumentum- és függvényméréseket. Például a Hadamard-probléma esetében mindkét racionális kitevő egyenlő a felével, így az első derivált négyzetét felülről becsüljük meg magának a függvény modulusának maximumának és második deriváltjának a szorzatából (a függvénytől függő együtthatóval). annak a szakasznak vagy körnek a hossza, ahol a függvényt figyelembe vesszük).
Mindezen becslések bizonyítása egyszerűbb, mint a fent leírt extrém függvények feltalálása (és többek között a Gauss-tétel: egy tört irreducibilitásának valószínűsége). p/q egész szám számlálóval és nevezővel 6/p 2, azaz körülbelül 2/3).
A mai menedzsmentelmélet szempontjából A Kolmogorov által választott stratégiát "ősrobbanásnak" hívják: a szabályozási paramétert mindig úgy kell megválasztani, hogy szélsőséges legyen, minden mértékletesség csak árt.
Ami azt a Hamilton-féle differenciálegyenletet illeti, amely megváltoztatja ennek a szélsőértéknek a választását a sok lehetséges közül, azt Kolmogorov nagyon jól ismerte, de Huygens-elvnek nevezte (ami valójában ekvivalens ezzel az egyenlettel, és amelyből Hamilton az egyenletét úgy kapta átmenet a borítékokról a differenciálokra) . Kolmogorov fel is mutatott nekem, akkor még diáknak A Huygens-elv geometriájának legjobb leírása Whittaker mechanika tankönyvében található, ahol megtanultam, és hogy bonyolultabb algebrai formában Sophus Lie „berurung-transzformáció”-elméletében szerepel (ehelyett Birkhoff „Dinamikus rendszerek” című művéből tanultam a kanonikus transzformációk elméletét, és amit ma kontaktgeometriának hívnak).
A modern matematika eredetének felkutatása a klasszikus írásokban általában nem könnyű, különösen az új tudományra átvett terminológia megváltozása miatt. Például szinte senki sem veszi észre, hogy a Poisson-sokaságok úgynevezett elméletét már Jacobi is kidolgozta. A helyzet az, hogy Jacobi az algebrai fajták - fajták, és nem sima fajták - sokaság útját követte. Ugyanis a Hamilton-féle dinamikus rendszer pályáinak sokfélesége érdekelte. Topologikus vagy sima objektumként szingularitásai és még kellemetlenebb patológiái ("nem Hausdorffness" és hasonlók) vannak kusza pályákkal (egy összetett dinamikus rendszer fázisgörbéi).
De a függvények algebrája ezen (esetleg rossz) "sokaságon" tökéletesen definiált: ez egyszerűen az eredeti rendszer első integráljainak algebrája. A Poisson-tétel szerint az első két integrál Poisson-zárójele ismét az első integrál. Ezért az integrálok algebrájában a szorzáson kívül van még egy bilineáris művelet - a Poisson-zárójel.
Ezen műveletek (szorzások és zárójelek) kölcsönhatása a függvények terében egy adott sima sokaságon Poisson sokasággá teszi. Meghatározásának formai részleteit kihagyom (nem nehezek), főleg, hogy nem mind teljesül a Jacobit érdeklő példában, ahol a Poisson-sokaság sem nem sima, sem nem Hausdorff.
Ily módon Jacobi elmélete általánosabb szingularitású változatokat tartalmaz, mint a modern Poisson-féle sima változatokat, ráadásul ezt az elméletet a gyűrűk és ideálok algebrai geometriájának stílusában konstruálta meg, nem pedig az alsokaságok differenciálgeometriáját.
Sylvester tanácsát követve a Poisson-sokaságokkal foglalkozó szakértőknek – anélkül, hogy axiomatikára korlátozódnának – vissza kell térniük egy általánosabb és érdekesebb esethez, amelyet Jacobi már megvizsgált. De Sylvester ezt nem tette meg (szerinte elkésett a Baltimore-ba induló gőzösről), és az újabb idők matematikusai teljesen alá vannak vetve az axiómisták parancsának.
Maga Kolmogorov, miután megoldotta a közbenső deriváltak felső becslésének problémáját, megértette, hogy sok más optimalizálási problémát is meg tud oldani Huygens és Hamilton azonos módszereivel, de ezt nem tette meg, különösen akkor, amikor Pontryagin, akinek mindig segíteni próbált, publikálta „elvmaximumát”, amely lényegében az elfeledett kontaktgeometria ugyanazon Huygens-elvének egy speciális esete, azonban egy nem túl általános problémára alkalmazva.
Kolmogorov helyesen gondolta, hogy Pontrjagin nem értette sem ezeket az összefüggéseket Hujgens elvével, sem elméletének összefüggését Kolmogorov deriváltbecslési munkájával, amely erősen megelőzte azt. És ezért nem akart beavatkozni Pontrjaginba, nem írt sehol erről a számára jól ismert kapcsolatról.
De most azt hiszem, ez már elmondható, abban a reményben, hogy valaki ezeket az összefüggéseket felhasználva új eredményeket fedezhet fel.
Tanulságos, hogy Kolmogorov deriváltjai közötti egyenlőtlenségei alapultak Yu. Moser figyelemre méltó eredményeinek az úgynevezett KAM-elméletben (Kolmogorov, Arnold, Moser), amely lehetővé tette számára, hogy Kolmogorov 1954-es eredményeit az analitikus Hamilton-rendszerek invariáns tori-ira vigye át. csak háromszázharmincháromszor differenciálható rendszerekre. Ez volt a helyzet 1962-ben, amikor Moser feltalálta a Nash-simítás és a Kolmogorov-féle gyorsított konvergencia módszer figyelemre méltó kombinációját.
Most jelentősen csökkent a bizonyításhoz szükséges deriváltok száma (elsősorban J. Mather), így a kétdimenziós gyűrűleképezési feladatban szükséges háromszázharminchárom derivált háromra csökkent (miközben ellenpéldák is születtek két származékra talált).
Érdekes módon Moser művének megjelenése után az amerikai "matematikusok" megpróbálták közzétenni "Moser-tételének analitikus rendszerekre vonatkozó általánosítását" (ez az általánosítás egyszerűen Kolmogorov tíz évvel korábban publikált tétele volt, amelyet Mosernek sikerült általánosítania). Moser azonban határozottan véget vetett azoknak a kísérleteknek, amelyek Kolmogorov klasszikus eredményét másoknak tulajdonították (jogosan jegyezte meg azonban, hogy Kolmogorov soha nem publikálta bizonyításának részletes kifejtését).
Nekem akkor úgy tűnt, hogy a Kolmogorov által a DAN-jegyzetben közölt bizonyítás elég egyértelmű (bár többet írt Poincarénak, mint Hilbertnek), ellentétben Moser bizonyításával, ahol egy részt nem értettem. Még 1963-ban újraírtam Moser csodálatos elméletéről szóló áttekintésemben. Ezt követően Moser elmagyarázta nekem, mit értett ezen a homályos szakaszon, de még most sem vagyok biztos abban, hogy ezeket a magyarázatokat megfelelően publikálták-e (az én átdolgozásomban választanom kell s < e /3, а не e /2, как указывалось в непонятном месте, вызвавшем затруднения не только у меня, но и у других читателей и допускающем неправильное истолкование неясно сказанного).
Az is tanulságos "Kolmogorov gyorsított konvergencia módszere"(Kolmogorov helyesen Newtonnak tulajdonította) hasonló céllal használta a nemlineáris egyenlet megoldására A. Cartan tíz évvel Kolmogorov előtt, annak bizonyítására, amit ma tételnek nevezünk. DE gerenda elmélet. Kolmogorov nem tudott erről semmit, és Cartan rámutatott erre 1965-ben, és megbizonyosodott arról, hogy Kolmogorov is hivatkozhat Cartanra (bár a gerendák elméletében valamivel egyszerűbb a helyzet, mivel a linearizált probléma megoldásakor nem volt a fő nehézség a rezonanciák és a kis nevezők égi mechanikájában, ami Kolmogorovnál és Poincarénál volt jelen). Kolmogorov kutatásának tágabb, semmint matematikai megközelítése egyértelműen megnyilvánult két társszerzőivel írt közleményében: egy M.A. hullámokkal foglalkozó cikkben.
A mű mindkét esetben tartalmazza a természettudományi probléma egyértelmű fizikai megfogalmazását, és egy összetett és nem triviális matematikai technikát annak megoldására.
És mindkét esetben Kolmogorov a munka nem matematikai, hanem fizikai részét fejezte be, mindenekelőtt a probléma megfogalmazásához és a szükséges egyenletek levezetéséhez kapcsolódnak, míg ezek tanulmányozása és a megfelelő tételek bizonyítása a társszerzőké.
A Brown-aszimptotika esetében ez a nehéz matematikai technika magában foglalja a Riemann-felületeken deformálható pályák mentén lévő integrálok tanulmányozását, figyelembe véve az ehhez szükséges integrációs kontúrok komplex deformációit a paraméterek megváltoztatásakor, vagyis amit ma vagy a „ Picard-Lefschetz elmélet” vagy „Gauss-Manina kapcsolatelmélet”.
Az integrálok aszimptotikájával foglalkozó egész tanulmány M. A. Leontovich, egy figyelemre méltó fizikusé (mellesleg, aki tanárával, L. I. Mandelstammal együtt olyan elméletet dolgozott ki, amely magyarázatot adott a radioaktív bomlásra az áthaladás kvantum-alagút-hatása segítségével a sorompó alatt, majd az általuk kiadott munkát utólag az USA-ba távozott tanítványuk, G. Gamov 3 foglalta össze, akinek nevén ma már ismertebb).
3 Honfitársam, az odesszai G. Gamov a következő három felfedezéséről a leghíresebb: az alfa-bomlás elmélete, az aminosavak hárombetűs kódolásának megoldása bázisokkal a DNS-ben, valamint az „ősrobbanás” elmélete. ” az Univerzum kialakulása során. Csodálatos könyvei immár az orosz olvasó számára is elérhetőek (akinek sokáig nem volt lehetősége Gamow nem tért vissza a Solvay Kongresszusról).
A fent említett Brown-pályáról szóló munka Leontovich és Kolmogorov összegyűjtött munkáiban is megjelent. És mindkét kiadás ezt mondja a munka fizikai része a matematikusé, a matematikai része a fizikusé. Ez megmagyarázza az orosz matematikai kultúra számos jellemzőjét.
Ugyanez a helyzet a "KPP" munkájában a környezeti hullámok terjedési sebességével kapcsolatban. Kolmogorov azt mondta nekem, hogy övé egy matematikai probléma megfogalmazása (melyet ő talált ki, miközben gondolkodott egy faj vagy gén szaporodási frontjának mozgásának ökológiai helyzete vándorlás és diffúzió jelenlétében).
A matematikai megoldási módszereket (olyan szokatlan, mint maga a probléma) I. G. Petrovsky dolgozta ki (akinek ez a nemlineáris munka is inkább kivétel). A cikket főleg Piskunov írta, aki nélkül ez sem létezne. Noha ezt a figyelemre méltó, „köztes aszimptotikáról” szóló munkát, ahogy Ya. B. Zeldovich nevezte, széles körben ismerik az alkalmazott tudósok, és folyamatosan használják, a matematikusok keveset ismerik, annak ellenére, hogy teljesen eredeti és briliáns ötletei vannak a versennyel kapcsolatban. különböző sebességgel mozgó hullámok.
Régóta várok arra, hogy egy komoly matematikus folytathassa ezeket a tanulmányokat, de eddig csak „alkalmazott” embert láttam, aki kész eredményeket alkalmaz, és nem tesz hozzá új ötleteket, módszereket.
A nagy alkalmazó Pasteur azt mondta nincsenek "alkalmazott tudományok", hanem csak hétköznapi alaptudományok vannak, ahol új igazságokat fedeznek fel, és vannak alkalmazásaik, ahol ezeket az igazságokat használják.
A "KPP" munkájának valódi folytatásához előre kell lépni az alaptudományban.
Marat azt írta, hogy "az összes matematikus közül a legjobbak Laplace, Monge és Cousin, akik mindent előre elkészített képletek alapján számítanak ki". Ez a kifejezés annak a jele, hogy a forradalmárok teljesen félreértették a matematikát, amiben a fő dolog a szabad gondolkodás az előre elkészített sémák keretein kívül.
Kicsit később Marat Abel Párizsból, ahol körülbelül egy évet töltött, azt írta, hogy „lehetetlen bármiről beszélni a helyi matematikusokkal, hiszen mindegyik mindenkit meg akar tanítani, és nem akar semmit megtanulni maga. Ennek eredményeként prófétailag írt, mindegyikük csak egy szűk területet ért, és azon kívül semmit sem ért. Van egy szakember a hőelméletben [Fourier], van egy szakértője a rugalmasság elméletében [Poisson], van egy szakértője az égi mechanikában [Laplace], és csak Cauchy [Lagrange élt Berlinben] érthetett bármit is, de őt csak a saját prioritása érdekli.” [például komplex számok alkalmazása Lame Fermat-probléma megoldására a binomiális kiterjesztésével xn+ynösszetett tényezőkre].
Mind Abel, mind (tíz évvel később) Galois nagymértékben túllépett a „kész sémák” keretein (Abel esetében kidolgozták a Riemann-felületek topológiáját, és ebből vezették le az ötödik fokú egyenletek megoldásának lehetetlenségét a gyökökben és az „elliptikus integrálok” elemi függvények formájában való kifejezhetetlensége, mint például egy harmadik vagy negyedik fokú polinom négyzetgyökének integrálja, amely kifejezi az ellipszis ívének hosszát, és inverz „elliptikus” funkciók").
Ezért Cauchy „elvesztette” mind Abel, mind Galois kéziratait, így Abel eldönthetetlenségről szóló munkája csak évtizedekkel azután jelent meg (Liouville-től), hogy egy korabeli párizsi újság szerint „ez a szegény ember visszatért Szibériájába, Norvégiának hívják , gyalog - pénz nélkül a hajóra - az Atlanti-óceán jegén.
A híres angol különc, Hardy már a 20. században azt írta, hogy "Abel, Riemann és Poincaré hiába élték le az életüket, nem hoztak semmit az emberiségnek".
A legtöbb modern matematika (és leginkább a fizikusok által használt matematika) Abel, Riemann, Poincaré csodálatos geometriai elképzeléseinek átdolgozása vagy továbbfejlesztése, amelyek áthatják az egész modern matematikát, ahol Jacobi szerint „egy és a Ugyanez a függvény megoldja a számok négyzetösszegként való ábrázolásának kérdését, valamint az inga nagy lengéseinek törvényének kérdését, megoldva az ellipszis hosszának kérdését is, amely ellipszis leírja a bolygók mozgását, ill. a műholdak zuhanása és a kúpszelvények. DE A Riemann-féle, a felületek, az Abeli-integrálok és a Poincaré-differenciálegyenletek a fő kulcsok a matematika csodálatos világához.
Kolmogorov nemcsak az egész matematikát, hanem az egész természettudományt is egészében fogta fel. Íme egy példa a számítógép miniatürizálásával kapcsolatos elmélkedéseire, amelyek legegyszerűbb modelljének egy grafikont (diagramot, diagramot) tekintett. P csúcsok (gömbök (fix sugarú), amelyek mindegyike legfeljebb k mások (csatlakozások segítségével: fix vastagságú "huzalok"). A legtöbb kapcsolat k minden csúcsot rögzített, és a csúcsok számát P nagyon nagynak tartják (az emberi agyban kb. 10 10 neuron található). A miniatürizálás kérdése az Melyik az a legkisebb golyó, amely önmetszés nélkül elfér egy adott gráfban a következő tulajdonságokkal: hogyan nő ennek a minimális golyónak a sugara az n csúcsok számával?
Egy korlát nyilvánvaló: a golyó térfogata nem nőhet lassabban, mivel a csúcsok-golyók össztérfogata ilyen sebességgel nő, és mindegyiknek illeszkednie kell.
De vajon sikerül-e a teljes gráfot egy olyan gömbbe illeszteni, amelynek sugara arányos a kockagyökével? n. Hiszen a csúcsok mellett a kapcsolatoknak is illeszkedniük kell! És bár számuk is ta nagyságrendű, a mennyiség jóval nagyobb lehet, mivel nagy ta esetén hosszú kötésekre is szükség lehet.
Továbbá Kolmogorov okoskodott, a gráfot agyként képzelve el. Egy nagyon ostoba agy ("féreg") egyetlen sorba kapcsolt csúcsláncból áll. Könnyű egy ilyen agyat „kígyóban” egy „koponyába” tenni, amelynek sugara a kockagyök nagyságrendje. n.
Ugyanakkor az állatok evolúciójának meg kellett volna próbálnia gazdaságosan egymásra rakni az agyat, a lehető legnagyobb mértékben csökkenteni a koponya méretét. Hogy van ez az állatokkal?
Ismeretes, hogy az agy szürkeállományból (neuroncsúcsok teste) és fehérállományból (kapcsolatok: axonok, dendritek) áll. A szürkeállomány az agy felszínén, míg a fehérállomány belül található. Ilyen elrendezéssel a felszínen a koponya sugarának nem kockaként kell növekednie, hanem gyorsabban, mint a csúcsok számának négyzetgyöke (a sugár sokkal nagyobb, mint a csúcsgömbök térfogata).
Kolmogorov tehát eljutott ahhoz a matematikai hipotézishez, hogy a minimális sugárnak a csúcsok számának négyzetgyökének nagyságrendjében kell lennie(azon a tényen alapul, hogy a valódi agysejtek elhelyezkedése az evolúció által olyan állapotba került, amely minimalizálja a koponya sugarát). Publikációiban Kolmogorov szándékosan kerülte az írást ezekről a biológiai megfontolásokról és általában az agyról, bár eleinte nem volt érve a négyzetgyök mellett, kivéve a biológiaiakat.
Bizonyítsuk be, hogy minden gráfban n csúcsok elférnek (a megkötéssel k a csúcshivatkozások számával) a ta négyzetgyökének nagyságrendjében lévő sugarú golyóvá, sikerült (bár nem könnyen). Ez már a szigorú bizonyítások tiszta matematikája.
De az a kérdés, hogy miért nem helyezhető el a gráf egy kisebb sugarú „koponyába”, bonyolultabbnak bizonyult (már csak azért is, mert nem mindig „lehetetlen”: A féreg "nagyon hülye" agya belefér egy koponyába, amelynek sugara az n kockagyökének nagyságrendje, ami sokkal kisebb, mint a négyzetgyök).
Végül Kolmogorovnak sikerült teljesen megbirkóznia ezzel a problémával is. Először is ezt bizonyította az n sugarú négyzetgyöknél kisebb "koponyában" való beágyazás nem teszi lehetővé az n "neuron" legtöbb "agyát": beágyazható (mint egy "egydimenziós" agy szekvenciálisan összefüggő csúcsokból álló lánc formájában) a hatalmas összszám jelentéktelen kisebb részét teszik ki n-csúcs gráfok (korlátos adott konstanssal k
Másodszor, felállított egy figyelemre méltó kritériumot a bonyolultságra, amely megakadályozza a kisebb „koponyába” való beágyazódást: a komplexitás ismertetőjele a sokoldalúság volt. Ugyanis az adott csúcsokkal rendelkező gráfot hívják egyetemes, ha részgráfként (valamivel kisebb számú csúcsgal) tartalmazza az összes gráfot ebből a kisebb számú csúcsból (természetesen korlátozottan azonosállandó k az egyes csúcsok linkjeinek száma).
A "valamivel kevesebb csúcs" szavak itt többféleképpen értelmezhetők: as an vagy hogyan n a, ahol a kevesebb, mint 1. Az egyetemesség helyes felfogásával a következő két tény bizonyítást nyer: először is egyesek számára c = const bármely n csúcsú univerzális gráfról kiderül, hogy nem beágyazható n négyzetgyökénél kisebb sugarú golyóba, másodszor pedig a nem univerzális gráfok jelentéktelen kisebbséget alkotnak(nagy számban n-csúcs gráfok a fenti megszorítással kérintésben).
Más szavakkal, bár a hülye agy kicsi is lehet, egy kellően intelligens agy (vagy számítógép) nem fér bele egy kis kötetbe, ráadásul a rendszer kellő összetettsége önmagában is túlnyomóan valószínű, hogy biztosítja a jó teljesítményt („univerzális”). vagyis az összes többi (majdnem olyan összetett, mint önmaga) rendszer helyettesítésére ("szimulálására") való képessége.
Ezek az eredmények Andrej Nyikolajevics egyik utolsó munkái voltak (a végső egyenlőtlenségeket Bardzin tanítványával együtt szerezte meg, a kezdeti Kolmogorov-egyenlőtlenségekben extra logaritmusok voltak, amelyeket Bardzinnak sikerült eltávolítania).
Kolmogorov hozzáállása a logaritmusokhoz az aszimptotikában nagyon sajátos volt. Ezt elmagyarázta a diákoknak számok a következő négy kategóriába sorolhatók:
A Logaritmus áthelyezi a számot az előző kategóriába. Ezért logaritmusok olyan aszimptotikumokban, mint az n 3 ln n - ezek csak állandók: n 3 log n nál nél n= 10 gyakorlatilag 2p 3, a logaritmus növekedése pedig olyan lassú, hogy az első közelítésben elhanyagolható, ha a logaritmust "korlátozottnak" tekintjük.
Természetesen, mindez teljesen téves a formális axiomatikus matematika szempontjából. De ez sokkal hasznosabb a gyakorlati munkához, mint a rafinált „szigorú érvelés” és a „vegyük a tizennyolc érv következő segédfüggvényét” szavakkal kezdődő becslések (amit másfél oldalas képlet követ, ami a semmiből származik).
Kolmogorov logaritmus-megközelítése emlékeztetett Ya.B. Zel'dovich matematikai elemzésre vonatkozó nézőpontjára. Zel'dovich a "kezdő fizikusok és technikusok számára" írt elemzési tankönyvében a származékot a következőképpen határozta meg. a függvény és az argumentum növekményeinek aránya, feltételezve, hogy az utolsó növekmény nem túl nagy.
Az ortodox matematikusok azon kifogásaira, hogy szükség van egy határra, Zel'dovich azt válaszolta, hogy a "kapcsolati határ" itt nem megfelelő, mivel az érvelés túl kicsi (mondjuk 10-10 méternél vagy másodpercnél kisebb) lépéseit nem lehet elfogadni, egyszerűen. mert ilyen léptékben a tér és az idő tulajdonságai kvantummá válnak, így leírásuk egy matematikai egydimenziós kontinuum segítségével R a modell pontosságának többletévé válik.
A "matematikai származékokat" Zel'dovich kényelmesnek látta közelítő aszimptotikus képletek kiszámítani a minket igazán érdeklő véges növekmények arányát, amelyet a matematikusok deriváltjainál összetettebb képlettel adunk meg.
Ami a matematikusok „szigorát” illeti, Kolmogorov soha nem becsülte túl annak jelentőségét (bár megpróbálta bevezetni a szög fogalmának többoldalas definícióját az iskolai geometriatanfolyamba annak érdekében, hogy szavai szerint szigorú jelentést adjon „egy 721 fokos szög”).
Diákoknak és iskolásoknak tartott előadásait nehéz volt megérteni, nemcsak azért, mert egyetlen mondat sem végződött, és a felének sem tárgya, sem predikátuma nem volt. Még rosszabb, hogy (ahogyan Andrej Nyikolajevics elmagyarázta nekem, amikor elkezdtem tanítani a hallgatókat), mély meggyőződése szerint „A hallgatókat nem érdekli, hogy mit mondanak nekik az előadásokon: a vizsgán a leggyakrabban előforduló vizsgakérdések közül csak a választ jegyzik meg, anélkül, hogy bármit is értenének.”
Ezek a szavak arról tanúskodnak, hogy Kolmogorov egészen helyesen értelmezte a helyzetet: előadásaival a hallgatók többsége számára pontosan az történt, amit leírt. De akik meg akarták érteni a dolog lényegét, ha akartak, sokkal többet tanulhattak tőlük, mint a szokásos levezetésekből, mint pl. "X több y, tehát y kisebb mint X". A "tizennyolc változó segédfunkciói" mögött megbúvó fő gondolatokat és titkos rugókat igyekezett érthetővé tenni, s ezekből a fő gondolatokból a formai következmények levezetését szívesen a hallgatókra bízta. Az különösen nehéz volt, ami Kolmogorovot elgondolkodtatta előadásai során, és ez feltűnt a hallgatóságnak.
Andrej Nyikolajevicsben mindig lenyűgözött az a nemes vágya, hogy minden beszélgetőtársban legalább egyenrangú intellektust lásson (ezért volt olyan nehéz őt megérteni). Ugyanakkor jól tudta, hogy a valóságban a legtöbb beszélgetőtárs szintje teljesen más. Andrej Nyikolajevics egyszer csak két matematikust nevezett meg nekem, egy beszélgetés során, akikkel "egy magasabb elme jelenlétét érezte" (az egyiket tanítványának, I. M. Gel'fandnak nevezte).
Andrej Nyikolajevics évfordulóján Gelfand az emelvényről elmondta, hogy nemcsak sokat tanult a tanártól, hanem meglátogatta Komarovkában, a Kljazma partján fekvő faluban, Bolsevo közelében, ahol Kolmogorov az idő nagy részében élt ( csak egy-két napra érkezik Moszkvába a héten).
Pavel Szergejevics Alekszandrov, aki jelen volt Gelfand ezen beszédén, és Kolmogorovval együtt megvásárolta a Komarovszkij házat (az Alekszejev családtól, azaz Sztanyiszlavszkijéktól) az 1920-as évek végén, készségesen megerősítette: „Igen, Israel Moiseevich valóban meglátogatta Komarovkát, és még nagyon hasznos is volt, mivel megmentett egy macskát a tűzhelyen való égéstől.
Az egyik hallgató mesélte, hogy Gelfand, aki már a jubileumi teremben ült, a következőképpen kommentálta ezeket a szavakat szomszédjának: "Ez a macska fél órája nyávog ott a sütőben, és régóta hallottam, de rosszul értelmeztem ezt a nyávogást, mivel nem tudtam a macskáról, és a hangokat más forrásnak tulajdonítottam."
Andrej Nyikolajevics dikcióját valóban nem volt könnyű megérteni; Én azonban gyakrabban sejtettem, mit akar mondani, mint elemeztem a kimondott félszavakat, így ez a dikció nem zavart.
Ennek ellenére az Andrej Nikolaevich által 1963-ban Moszkvában szervezett N18 matematikai bentlakásos iskolások sokat tanultak tőle. Természetesen ezek nem hétköznapi iskolások voltak, hanem a matematikai olimpiák győztesei Oroszország egész területéről gyűltek össze, és sikeresen teljesítették a nyári iskolát Krasznovidovóban a Mozhaisk-tenger mellett, és nemcsak maga Andrej Nyikolajevics dolgozott velük, hanem például sok kiváló tanár is. , Vlagyimir Mihajlovics Alekszejev matematikus, az egyik legjobb moszkvai iskolai tanár, Alekszandr Abramovics Sersevszkij és így tovább.
Külön erőfeszítéseket tettek a jólétkezésre, és érdekes módon nemcsak a matematika, hanem a fizika, az irodalom, a történelem, az angol nyelvtanításra is: Andrej Nyikolajevics sok tekintetben családjaként fogta fel a bentlakásos iskolát. Az első diplomások közül a legtöbben a legjobb matematikai és fizikai egyetemekre jelentkeztek (sikeresebb felvétellel a Moszkvai Fizikai és Technológiai Intézetbe, mint a Moszkvai Egyetem fizikai tanszékére, amely, ahogy Kolmogorov mondta, "rosszindulatáról" híres vizsgákon. ).
Most ezek közül a diplomások közül sokan már professzorok, tanszékvezetők, intézetigazgatók lettek; Nincs kétségem afelől, hogy némelyikük méltó az Orosz Tudományos Akadémiára, és olyan kitüntetésekre, mint a Fields-érem vagy az Abel-érem.
Nyehorosev tétele, amely messze megelőzi Littlewoodot, régóta klasszikus eredmény az égi mechanikában és a dinamikus rendszerek Hamilton-fejlődésének elméletében. Ju. Matiyasevics, aki később Leningrádba költözött, szintén együtt kezdett az első moszkvai bentlakásos matematikusokkal a Kolmogorov által szervezett nyári iskolában Krasznovidovóban a Mozhaisk-tenger mellett. A. Abramov sokáig egy olyan intézetet vezetett, amely az iskolások matematikai oktatásának javításával foglalkozott (de az Oktatási Minisztériumnak a tökéletesen működő rendszer lerombolására tett kísérletei ellen folytatott harca nemkívánatossá tette a „reformátorok” számára, akiknek homályos elképzelései Fentebb, a cikk elején leírtam).
A bentlakásos iskola első érettségijének egyik diákja, V. B. Alekszejev 1976-ban jelentette meg jegyzeteit az 1963-as internátusban tartott előadásaimról: „Ábel-tétel a problémákban”. Ezeken az előadásokon, Az ötödfokú (és magasabb fokú) algebrai egyenletek gyökökben (gyökök kombinációiban) való feloldhatatlanságáról szóló Abel-tétel topológiai bizonyítása. Az iskolában a 2. fokozat esetét tanítják, de megoldják a 3. és 4. fokos egyenleteket is a gyökökben.
Az előadások célja az volt, hogy egy fontos (és nehéz) matematikai eredményt mutassunk be, amely a modern fizika és a matematika számos területét összekapcsolja a teljesen felkészületlen (de nem buta) iskolásokkal egy hosszú, számukra érthető és érthető feladatsor formájában. hozzáférhető számukra, amellyel ők maguk is megbirkózhatnának, de ami a félév végén Ábel tételéhez vezetné őket.
Ennek érdekében az iskolások gyorsan megismerkedtek a komplex számok geometriai elméletével, beleértve a De Moivre-féle képleteket (amelyeket a jelenlegi "reformerek" igyekeznek kizárni az új programokból), majd áttértek a Riemann-felületekre és a topológiára, beleértve a számok alapvető csoportját is. felületi görbék és a burkolatok és elágazó borítások monodróma csoportjai (sokasága).
Ezek a geometriai alapfogalmak (amelyek a fizikában és a kémiában összevethetők az anyagszerkezet atomi elméletével, vagy a biológiában a növények és állatok sejtszerkezetével alapvető természetükben) azután azonos jelentőségű algebrai objektumokhoz, transzformációs csoportokhoz vezetnek. , ezek alcsoportjai, normál osztói, pontos sorozatai.
Különösen vannak szimmetria és dísztárgyak, kristályok és szabályos poliéderek: tetraéder, kocka, oktaéder, ikozaéder és dodekaéder, beleértve a Kepler által használt konstrukciókat (a bolygópályák sugarainak leírására), azok egymásba ágyazásának konstrukcióit (egy kocka nyolc csúcsa kettéosztható egy kockába „beírt” két tetraéder két négy csúcsára, és öt kockára „beírható” egy dodekaéderbe, amelynek csúcsai a dodekaéder csúcsainak részét képezik (amelynek húsz van), és a kocka élei a dodekaéder ötszöglapjainak átlóinak bizonyulnak. , mind a tizenkét arcon egy-egy). A „dodeca” görögül csak „tizenkettő”, a kockának pedig tizenkét éle van.
Keplernek ez a figyelemre méltó geometriai konstrukciója a dodekaéder szimmetriacsoportját öt objektum (nevezetesen a kockák) mind a százhúsz permutációjának csoportjához köti. Megállapítja algebrai értelemben mindkét csoport eldönthetetlenségét (azaz kommutatív csoportokra való irreducibilitásukat, amely redukálhatóság például a tetraéder, a kocka és az oktaéder szimmetriacsoportjaira, valamint a permutációs csoportokra) három vagy négy tárgy, például a négy nagy átlós kocka és az oktaéder három átlója). A kommutatív csoportokat (ahol a transzformációk szorzata - egymásutánja - nem függ a sorrendjüktől) az algebrában Abeli-nek nevezik, mivel elmélete számára fontos a kockák permutációinak nem kommutativitása.
DE egy ötödfokú egyenlet monodrómacsoportjának feloldhatatlanságából topológiailag levonható, hogy nincs olyan képlet, amely gyökökben fejezné ki a gyökereit. A lényeg az, hogy az egyes gyökök sokértékűségét mérő monodrómiacsoport kommutatív, a gyökkombináció monodrómiacsoportja pedig ugyanúgy monodrómacsoportjaikból áll, mint a megoldható csoport kommutatív csoportokból. Szóval azt A Riemann-felületek elméletének mindezen topológiai megfontolásai elvezetnek Abel algebrai tételének bizonyításához(amely lefektette a Galois-elmélet alapjait, a fiatal francia matematikusról nevezték el, aki Abel elméletét a komplex geometriáról a számelméletre vitte át, és elméletének publikálása nélkül meghalt egy párbajban).
Minden matematika mély egysége nagyon világosan megnyilvánult a topológia, a logika, az algebra, az elemzés és a számelmélet kölcsönhatásának ebben a példájában, amely egy új gyümölcsöző módszert hozott létre, amelynek segítségével a kvantumelmélet fizikája és a relativitáselmélet később messzire fejlődött, és A matematika számos más elemzési probléma megoldhatatlanságát is bebizonyította: például az integrációs feladatok elemi függvényekkel, illetve a differenciálegyenletek explicit megoldásának problémái integrációs művelettel.
Az a tény, hogy mindezek a kérdések topologikusak, teljesen elképesztő matematikai teljesítmény, amely véleményem szerint összevethető a fizikában az elektromosság és a mágnesesség, a kémiában a grafit és a gyémánt kapcsolatának felfedezésével.
Talán a leghíresebb lehetetlen eredmény a matematikában a felfedezés volt Lobacsevszkij geometriája, melynek központi eredménye az, hogy a "párhuzamossági axiómát" nem lehet levezetni Eukleidész geometriájának többi axiómájából, annak bizonyíthatatlanságát.
Tanulságos, hogy Lobacsevszkij ezt az eredményt egyáltalán nem a bizonyíthatatlanságra támasztotta, hanem csak saját hipotézisének hirdette, amelyet sokoldalas (sikertelen) kísérletek igazolnak a párhuzamok axiómájának bizonyítására, azaz ellentmondásra jutnak, a párhuzamok axiómájával ellentétes állításon: Egy egyenesen kívüli ponton keresztül több (sok) egyenes van, amelyek nem metszik egymást.
Bizonyítsd be a Lobacsevszkij-féle axiómából fakadó geometriában nincs több ellentmondás, mint az euklidesziben (a párhuzamos egyenes egyediségét feltételezve), csak Lobacsevszkij után találták meg (nyilván egymástól függetlenül több szerző, köztük Beltrami, Bogliai, Klein és Poincare, vagy éppen Gauss, aki nagyra értékelte Lobacsevszkij gondolatait).
Lobacsevszkij geometriája következetességének ez a bizonyítása nem egyszerű; Lobacsevszkij geometriájának olyan modelljének bemutatásával valósul meg, amelyben pontosan az axiómái érvényesek. Az egyik ilyen modell ("Klein-modell") a Lobacsevszkij-síkot egy kör belsejeként, a Lobacsevszkij-vonalakat pedig annak akkordjaiként ábrázolja. Nem nehéz áthúzni egy kör egy pontján sok akkordot, amelyek nem metszik egymást egyetlen olyan húrral sem, amely nem megy át ezen a ponton. A geometria többi axiómájának ellenőrzése ebben a modellben szintén nem túl nehéz, de időigényes, mivel sok ilyen axióma létezik. Például "a körön belül bármely két pont összekapcsolható Lobacsevszkij-vonallal (akkord), és csak egy" és így tovább. Mindez egyértelműen a tankönyvekben történik, és sok (unalmas) oldalt foglal el.
Klein Lobacsevszkij-sík-modelljének a körön túli folytatása, amely a Lobacsevszkij-síkot ábrázolta ebben a modellben, de Sitter relativisztikus világát adja át, de sajnos ezt a tényt kevesen értik (mind a matematikusok, mind a relativisták körében).
Az iskolai matematika kurzusának modern "reformátorai" bejelentették, hogy be kívánják vezetni a Lobacsevszkij-geometriát (amit Kolmogorov nem mert megtenni). De nem is említik annak fő eredményét (valószínűleg nem is tudva róla), és nem tervezik Lobacsevszkij tézisének bizonyítását (amely nélkül az egész vállalkozás csak reklámfogás lesz, de hazafias konnotáció).
Ezekkel a "reformerekkel" ellentétben Kolmogorov megpróbálta a gyerekeket valódi matematikára tanítani. Az ő véleménye szerint, Ez a legalkalmasabb a problémák megoldására például olimpiát, és többször is rendezett matematikai olimpiát iskolásoknak, különösen ragaszkodva ahhoz, hogy ez a vállalkozás ne csak Moszkvában legyen, hanem az ország összes városára, sőt falvaira is kiterjedjen (ma már az olimpiák az egész világra kiterjedtek, és iskolásaink sikere bennük vitathatatlan bizonyítéka az iskolák még mindig magas színvonalának).
Örömmel mesélte, hogy az egyik moszkvai olimpia zsűrijében vele együtt részt vevő tanár milyen boldogan adott át egy ajándék matematikai könyvet a tizedik osztályosnak, aki a győztesek ünnepélyes díjátadóján Moszkvában első díjat kapott. Állami Egyetem: "Olyan boldog, - azt mondta, hogy a díjat egy egyszerű falusi iskolás fiú kapta Khotkovo faluból!”
Ez a pedagógiai hölgy nem tudta, hogy az „egyszerű falusi iskolás” egy akadémikus fia, aki Abramtsevo akadémiai falujában élt, és Kolmogorov, bár nevetett, ezt nem kezdte el neki magyarázni.
Mára ez a „falusi kisiskolás” (aki már akkor is tanítványom volt az iskolában) egy bevett független matematikus, aki sok munkát publikált, és régen végzett a Moszkvai Állami Egyetem Mechanikai és Matematikai Karán. Egyébként érdekes kommentárt írt A. D. Szaharov káposztavágással kapcsolatos matematikai problémájához. Szaharov matematikát tanult az egyetemen az apámmal (amiről A. D. melegen ír emlékirataiban), és Andrej Dmitrijevics halála után kollégái megkérték, hogy kommentáljam matematikai kéziratait (amelyek több tucat érdekes, tisztán matematikai problémát tartalmaznak, amit kitaláltak és kigondoltak). általa).
Káposztavágási probléma Andrej Dmitrijevicstől származott, felesége felaprítási kérésére, amely egy káposztafej késsel történő körkörös rétegekre való felosztásával kezdődik. Ezután minden réteget véletlenszerű késvágással sok konvex "sokszögre" osztanak fel.
E munka közben Szaharov feltette a kérdést: hány oldala van ezeknek a sokszögeknek? Némelyikük háromszög, van, amelyiknek sok oldala van. A kérdést tehát matematikailag a következőképpen fogalmaztuk meg: Mennyi egy darab oldalainak átlagos száma?
Szaharov valamilyen (esetleg kísérleti?) úton jutott a (helyes) válaszhoz: négy.
F. Aicardi olasz tanítványom a kéziratának kommentálásakor Szaharov állításának a következő általánosítására jutott: amikor egy n-dimenziós testet nagyszámú véletlenszerű hipersík (dimenziósík) vág át. n- 1) konvex n-dimenziós poliédereken, a kapott darabokban bármely dimenzió lapjainak átlagos száma ugyanannyi lesz, mint egy n-dimenziós kockáé. Például a szokásos háromdimenziós terünkben egy darab csúcsainak átlagos száma az 8, az élek átlagos száma az 12, és egy darab lapjainak átlagos száma az 6.
Mindenesetre, még ha néha nehéz is volt a bentlakásos iskolások számára, a bentlakásos iskola előnyei óriásiak voltak és maradnak, véleményem szerint mérhetetlenül nagyobbak, mint Kolmogorov próbálkozásai a matematikai tudományok kurzusainak modernizálására a matematikai tudományok képzésének felváltásával. A. Kiselev klasszikus tankönyvei új, bourbakista típusú tankönyvekkel (a modern terminológiájukkal, amelyek a klasszikus euklideszi "háromszögek egyenlőségének tesztjeit" felváltották a homályos, bár logikailag előnyösebb "kongruencia-tesztekkel").
Ez a reform aláásta az iskolák, a tanárok és a tankönyvek tekintélyét, az áltudás tudományos illúzióját keltve, elfedve a legegyszerűbb tények teljes félreértését, például azt, hogy 5 + 8 = 13. Lobacsevszkij" a tizedes törtek helyett képzéstől és "szövegszámítási feladatoktól" az A pontból pontba követő legénységről NÁL NÉL, vagy a kereskedőkről, akik fejszékre ruhát árulnak, vagy az ásókról és a tározókat megtöltő csövekről - olyan feladatokról, amelyeken az előző generációk megtanultak gondolkodni.
A „reform” eredménye áloktatás lesz, ami olyan kijelentésekhez vezeti a tudatlanokat, mint az egyik politikus Sztálinnak tulajdonított kritikája: "Ez nem csak egy negatív érték, hanem egy negatív érték négyzetével!"
A Matematikai Intézet Akadémiai Tanácsa az iskolareform projekt egyik megbeszélésén. Az Orosz Tudományos Akadémia Szteklov Intézetében említettem, hogy jó lenne visszatérni Kiszelev kiváló tankönyveihez és problémakönyveihez.
Az ülésen részt vevő oktatási osztály vezetője erre válaszul megdicsért: „Örülök, hogy Kiszeljov tevékenysége ilyen képzett szakemberek támogatását kapta!”
Később elmagyarázták nekem, hogy Kiszeljov ennek a vezetőnek az egyik fiatal beosztottjának a neve, aki az iskolai matematikát irányítja, és soha nem hallott a kiváló gimnáziumi tanár Kiszeljov csodálatos tankönyveiről, amelyeket több tucatszor nyomtak ki. Kiszeljov tankönyvei egyébként a kezdetektől nem voltak olyan jók. Az első kiadások számos hiányossággal bírtak, de több tucat és száz gimnáziumi tanár tapasztalata tette lehetővé e könyvek javítását, kiegészítését, amelyek (mintegy tíz első kiadás után) az iskolai tankönyvek monumentális példáivá váltak.
Andrej Nyikolajevics Kolmogorov fiatal korától szintén iskolai tanár volt (egy Potylikh-i iskolában), és annyira sikeres volt, hogy azt remélte, hogy az iskolások őt választják (akkor már általános volt) osztályfőnöküknek. De a testnevelő tanár nyerte a választást - ez közelebb áll az iskolásokhoz.
Érdekes ez egy másik nagy matematikus, K. Weierstrass testnevelő tanárként kezdte pályafutását az iskolában. Poincaré szerint különösen sikeres volt abban, hogy középiskolás diákjait megtanítsa párhuzamos rudak megmunkálására. Ám a porosz szabályok megkövetelték a gimnáziumi tanártól, hogy év végén nyújtson be szakmai alkalmasságát igazoló írásos munkát. Weierstrass pedig egy esszét mutatott be az elliptikus függvényekről és integrálokról.
Ezt az esszét a gimnáziumban senki sem értette, ezért elküldték az egyetemnek értékelésre. És hamarosan a szerzőt áthelyezték oda, ahol gyorsan a század egyik legkiválóbb és leghíresebb matematikusává vált, mind Németországban, mind a világon. Az orosz matematikusok közül a közvetlen tanítványa Sofia Kovalevskaya volt, akinek fő eredménye azonban nem megerősítése, hanem cáfolata volt a tanár nézetének (aki azt javasolta, hogy bizonyítsa be az új első integrálok hiányát a forgatás problémájában). egy merev test egy fix pont körül, és megtalálta ezeket az integrálokat, elemezve a szeretett tanára feltételezésének bizonyítására tett kísérleteinek kudarcának okait).
Kolmogorov testnevelő tanári preferenciáját befolyásolta az iskolások testnevelés iránti preferenciája: sokkal többet kezdett sportolni, sokat futott sílécen, vitorlázott távoli folyókon, megrögzött utazó lett (és elnyerte a jóváhagyást, bár nem Potylikha diákjai, hanem a Moszkvai Állami Egyetem első hallgatóinak sok generációja, majd az általa létrehozott bentlakásos iskola diákjai).
Kolmogorov szokásos napi síútjai körülbelül negyven kilométeresek voltak a Vori partján, körülbelül Radonezstől a berljuki kolostorig, néha pedig a Vori és a Kljazma találkozásánál fekvő Bryusovskie Glinka-ig. A kajakos és csónakos útvonalak között szerepel például Zaonezhie a csodálatos Szvjatukhával, a Seremo-tó a Granicsnaya, Shlina folyókkal, amelyek összekötik ezt a területet a Visnyevolocki víztározóval, ahonnan Meta (Ilmenbe, Volhovba, Szvirba) és Tvertsa (a vízbe ömlik) Volga) áramlását, továbbhajózással a Moszkvai-tengerig és Dubnáig.
Emlékszem Andrej Nyikolajevics történeteire egy szekérről, amely megijesztette Ilmen közepén, és egy sok kilométeres öblön gázolt, amely viharos hullámaival nehézségeket okozott a kajaknak. Valószínűleg a legnagyobb útja északon kezdődött Kuloitól, majd a Pechora és Shugor mentén az Urálon áthaladva, leereszkedett az Ob-ba, és azon felkapaszkodott az Altájig, ahol ennek a sok ezer kilométeres útnak a vége volt. akár lóháton, akár gyalog "mezítláb hegyi ösvényeken.
Andrej Nyikolajevics lenyűgözött azzal a képességével, hogy gyorsan fel tudott szerelni egy házilag készített ferde vitorlát rögtönzött anyagokból egy kajakra: ez a ma kevéssé ismert technológia valószínűleg a Sztyepan Razint megelőző volgai rablók idejére nyúlik vissza.
Andrei Nikolajevics földrajzi ismeretei változatosak és szokatlanok voltak. Kevés moszkvai tudja, miért hívják így a Rogozsskaja Zaszta és a Stromynka utcát, miért hívták (de már nem) Leninónak a Tsaritsyno állomást, ahol a Racska és a Khapilovka moszkvai folyók találhatók, de tudta. Akit érdekel, íme néhány válasz:
A Rogozsa Zastava a Rogozsa városába vezető út elején áll, amelyet II. Katalin (1781-ben) átnevezett Bogorodszkra (1781-ben) az eufónia kedvéért (de amelyet még nem neveztek át Kitaj-Gorodnak, bár megszabadultak a "Bogorodszk" névtől). a forradalomban).
A Stromynskaya utat ma Scselkovszkij országútnak hívják, de az ősi Stromyn városba vezetett (amelynek külvárosát ma Csernogolovkának hívják), Moszkvából Kirzsachba, Szuzdalba és Vlagyimirba. A Tsaritsynót a romok kedvéért építették, amelyek Katalinnak hiányoztak Oroszországban, és amelyeken most a hegymászók edzenek.
A Rachka folyón Chisty-tó alakult ki. Ami Khapilovkát illeti, teltebb, mint a Yauza Moszkva első topográfiai tervén (1739), amely közvetlenül az Elektrozavodszkij híd felett folyik a Yauza-ba. Most észrevehető rajta a Cserkizovszkij-tó, de nem tudtam megérteni, hogyan folyik hozzá Golyanovón keresztül a Balasikha és Reutov közötti forrásból.
A "Lenino" név Kantemir lányának nevéből származik, akitől Katalin megvásárolta a "fekete iszapot", amely mára Caricyn lett: a neki adományozott környező falvak közül többet lányai nevével nevezett el.
Andrej Nyikolajevics Kolmogorovot jóindulatú hozzáállás jellemezte a nyilvánvalóan gátlástalan ellenfelekkel szemben. Például azt állította T.D. Liszenko - lelkiismeretesen tévedett tudatlan,és leült az asztalához a Tudományos Akadémia ebédlőjében (ahonnan mások, a VASKhNIL hírhedt ülésétől kezdve 1948-ban, megpróbáltak más asztalokhoz költözni).
A helyzet az, hogy Andrej Nyikolajevics valamilyen módon elemezte Liszenko egyik tanítványának kísérleti munkáját a tulajdonságfelosztás Mendel-törvényeinek megcáfolásával kapcsolatban [N.I. Ermolaeva, Vernalizáció, 2(23) (1939)]. Ebben a kísérletben szerintem 4000 borsómagot vetettek el, és Mendel törvényei szerint 1000 egyik (recesszív) színű és 3000 másik (domináns) színű borsó kelését várták. A kísérletben 1000 helyett csak 970 recesszív színes napkelte és 3030 domináns derült ki, ha emlékezetem nem csal.
Kolmogorov ebből a cikkből a következő következtetést vonja le:
a kísérletet becsületesen végezték el, a megfigyelt eltérés az elméleti aránytól pont akkora nagyságrendű, mint amilyenre ilyen volumenű statisztikai adatok mellett számítani kell. Ha az elmélettel való egyetértés lenne a legjobb, akkor ez valójában a kísérlet becstelenségét és az eredmények manipulálását jelezné.
Andrej Nyikolajevics elmondta, hogy nem tette közzé teljes egészében a következtetéseit, mert a klasszikus genetikusok kifogásainak volt ideje megjelenni, akik azt állították, hogy megismételték a kísérletet, és megkapták. pontos megegyezés elmélettel. Kolmogorov tehát, hogy ne ártson nekik, egy üzenetre szorítkozott (DAN Szovjetunió, 1940, 27(1), 38-42), hogy a Liszenko tanítványa által végzett kísérlet nem cáfolata, hanem kiváló megerősítése Mendel törvényeinek.
Ez azonban nem akadályozta meg T. D. Liszenkót, aki „a tudomány véletlenszerűsége elleni harcosnak” vallotta magát, és így minden valószínűségelmélettel és statisztikával, tehát pátriárkájukkal, A. N. Kolmogorovval. Andrej Nyikolajevics azonban nem vesztegette az idejét Liszenkoval való vitára (nyilván követve Puskin tanácsát a „józan gondolatok” és a „véres utak” használatára vonatkozóan, amely egyértelműen megvéd minden obskurantistát – Liszenkót és az orosz iskola jelenlegi „reformátorait” egyaránt) .
Kolmogorov befolyása a matematika egész oroszországi fejlődésére ma is teljesen kivételes. Nemcsak az ő tételeiről beszélek, amelyek olykor több ezer éves problémákat oldanak meg, hanem arról is, hogy a tudomány és a felvilágosodás csodálatos kultuszát alkotta meg, amely Leonardora és Galileóra emlékeztet. Andrej Nyikolajevics sok ember előtt nagyszerű lehetőségeket nyitott arra, hogy szellemi erőfeszítéseiket a természet és a társadalom új törvényeinek alapvető felfedezésére fordítsák, és nem csak a matematika területén, hanem az emberi tevékenység minden területén: az űrrepüléstől a szabályozott termonukleáris reakciókig, a hidrodinamikától az ökológiáig, a tüzérségi lövedékek elméletétől az információátvitel elméletéig és az algoritmusok elméletéig, a költészettől Novgorod történetéig, Galilei hasonlósági törvényeitől Newton háromtest-problémájáig.
Newton, Euler, Gauss, Poincare, Kolmogorov -
csak öt élet választ el bennünket tudományunk eredetétől.
Puskin egyszer azt mondta, hogy nagyobb befolyása van az ifjúsági és orosz irodalomra, mint az egész közoktatási minisztérium, annak ellenére, hogy az anyagi egyenlőtlenség teljesen egyenlő. Ilyen volt Kolmogorov befolyása a matematikára.
Diákéveimben találkoztam Andrej Nyikolajevicsszel. Ezután a Moszkvai Egyetem Mechanikai és Matematikai Karának dékánja volt. Ezek voltak a kar fénykora, a matematika virágkora. Azt a szintet, amelyet a Kar akkor elért, elsősorban Andrej Nyikolajevics Kolmogorovnak és Ivan Georgievics Petrovszkijnak köszönhetően, soha többé nem érte el, és valószínűleg nem is fog.
Andrej Nyikolajevics csodálatos dékán volt. Azt mondta, hogy a tehetségeseknek meg kell bocsátani a tehetségüket, és most nagyon híres matematikusokat tudnék nevezni, akiket aztán megmentett az egyetemről való kizárástól.
Andrej Nikolajevics életének utolsó évtizedét súlyos betegség árnyékolta be. Eleinte látása miatt kezdett panaszkodni, a negyvenkilométeres síutakat húsz kilométerre kellett csökkenteni.
Később Andrej Nyikolajevics nehezen tudta megküzdeni a tenger hullámaival, de így is átszaladt az Uzkoye szanatórium kerítésén Anna Dmitrievna és az orvosok szigorú felügyelete mellett, hogy a tóban úszhasson.
Az elmúlt években Andrei Nikolaevich élete nagyon nehéz volt, néha szó szerint a karjában kellett hordoznia. Mindannyian nagyon hálásak vagyunk Anna Dmitrijevnának, Aszja Alekszandrovna Bukanovának, Andrej Nyikolajevics tanítványainak és az általa több éven át éjjel-nappali ügyeletre létrehozott N18-as fizika-matematikai internátusban végzetteknek.
Andrej Nyikolajevics néha csak néhány szót tudott kinyögni óránként. De mindazonáltal mindig érdekes volt vele - emlékszem, hogy néhány hónappal ezelőtt Andrej Nyikolajevics mesélte, hogyan repültek lassan a nyomjelző kagylók Komarovka felett, hogyan 70 évesen nem tudott kiszabadulni a fagyos Moszkva folyóból, hogyan Kalkuttában. először az Indiai-óceánban fürdette meg ottani tanítványait.
„Az ISKOLA AZ A TESZT, HOGY A SZÜLŐK MEGVÉDJÉK-E A GYERMEKÜKET, VAGY NEM” Képzeld el, hogy te, felnőtt ember, ilyen életet élsz. Reggel korán felkelsz és olyan munkába mész, amit egyáltalán nem szeretsz. Ebben a munkában hat-hét órát töltesz valami olyasmivel, amit általában nem szeretsz, és aminek semmi értelmét nem látod. Abszolút nincs lehetőséged arra, hogy átadd magad annak a munkának, ami érdekli, ami tetszik. A főnökei naponta többször (és elég sokan vannak) értékelik a munkáját, és nagyon konkrétan - ötpontos rendszerben pontokat. Ismétlem: naponta többször. Van egy bizonyos könyve, amelybe beírják a kapott pontokat, valamint megjegyzéseket. Bármely főnök észrevételt tehet neked, ha észreveszi, hogy nem úgy viselkedsz, ahogy neki, a főnöknek van igaza. Tegyük fel, hogy túl gyorsan sétál a folyosón. Vagy túl lassú. Vagy túl hangosan beszél. Elvileg bármelyik főnök könnyen megsérthet, vagy akár vonalzót is adhat a kezedbe. Elméletileg lehet panaszkodni a főnökre, de a gyakorlatban ez nagyon hosszú procedúra, kevesen szólnak bele: könnyebben elviselhető. Végül hazatérsz, de még itt sincs lehetőséged elterelni, mert még otthon is köteles vagy valami szükségeset megtenni, olyat csinálni, amit nem szeretsz. A főnök bármikor felhívhatja gyermekét, és mindenféle csúnya dolgot elmondhat rólad – hogy a fiatalabb generáció befolyásolni fogja. Este pedig a gyerek beöltözteti, mert túl gyorsan ment a szervizfolyosón, vagy kevés pontot kapott. És még egy pohár konyakot is megfosztanak minden este - nem érdemelték meg. Évente négyszer végső osztályzatot kapsz a munkádért. Ezután kezdődnek a vizsgák. És akkor - a legszörnyűbb vizsgák, olyan érthetetlenek és nehézek, hogy több évig fel kell készülni rájuk. Ennyire eltúloztam az iskolai életet? És mennyi időbe telne neked, felnőttnek, hogy megőrülj egy ilyen élettől? A gyerekeink pedig tizenegy évig élnek így! És semmi. És úgy néz ki, hogy kell. A gyerekek nagyon hamar megértik, hogy az iskola egy olyan világ, amely ellen küzdeni kell: az emberek többsége egyszerűen nem tud így létezni az iskolában. És akkor a gyerek elkezd gondolkodni: kinek az oldalán áll a szülő? Ő neki vagy a tanárnak? Anya és apa is úgy gondolja, hogy boldognak kell lenned, ha azt csinálod, amit nem szeretsz? Anya és apa is meg van győződve arról, hogy a tanárnak mindig igaza van és a gyereknek mindig a bűnös? A gyerekekkel való kapcsolatunkban az iskola egy próbája annak, hogy a szülők meg tudják-e védeni gyermeküket vagy sem. Igen, teljesen meg vagyok győződve arról, hogy a szülők számára a gyermek védelme a legfontosabb. Védeni, nem oktatni. Védd, ne kényszerítsd a leckéket. Védd, és ne szidd és kritizáld vég nélkül, mert ha akarod, mindig lesz valami, amiért szidhatsz és kritizálhatsz egy gyereket. Sok hülyeség folyik az iskolában. Szörnyű, ha a szülők nem látják. Szörnyű, amikor a diák tudja, hogy az iskolában szidják, megalázzák, aztán otthon is ugyanez folytatódik. És akkor hol van számára a kiút? Az iskola komoly próbatétel, amelyet a szülőknek és a gyerekeknek együtt kell átmenniük. Együtt. Egy iskolásnak meg kell értenie: van otthona, ahol mindig megértik, és nem sértődik meg. A szülőnek nem az a fő feladata, hogy a gyermekből kiváló tanuló nőjön ki, hanem az, hogy megtalálja hivatását, és minél több tudást kapjon e hivatás teljesítéséhez. Erre kellene törekednünk. Ostobaság azt mondani egy gyereknek, aki művészről álmodik, hogy algebra kell. Ez nem igaz. Az sem igaz, hogy egy matematikus is kinőhet egy fiúból, ha a fiú nem tudja, hány évesen ment el a bálba Natasha Rostova. De az igazság az, hogy matematikából és irodalomból legalább hármasnak kell lennie ahhoz, hogy másik osztályba léphessen. Nem szabad szidni a "humanitárius" gyereket amiatt, hogy kettőről háromra megszakad a matematika. Sajnálni kell – elvégre arra kényszerül, ami nem érdekli és nincs is rá szüksége. És segíts, ahogy csak tudsz. Ha a gyereknek nincs kapcsolata a tanárral, mert a tanár mondjuk egy hülye ember, akkor ezt meg kell vele beszélni. És magyarázd el, hogy az életben gyakran kell kapcsolatokat kiépíteni buta emberekkel. Lehetőséged van megtanulni. Miért nem használja ki ezt? Ha egy gyerek kettőst kap a teljesítetlen házi feladatért, az rossz. Nem félreértésért, hanem lustaságért kap kettőst. Könnyen nem kaptam meg, de sikerült. Érdemes beszélni róla. Ha egy gyereket szüntelenül szidnak azért, mert rosszul viselkedik az órán, ne folytassa azzal, hogy mennyire fontos a tanulás. Ha egy gyerek unatkozik az órán, az azt jelenti, hogy ott nem taníthatnak neki semmit. Mindazonáltal tisztázható: annak ellenére, hogy az embernek csak azt kell tennie, ami érdekes az életben, sajnos, néha unalmas dolgokat kell csinálni. Tanulj - nem nélkülözheted ezt a képességet az életben. Helyes szidni egy gyereket, amiért nem tanul olyan tárgyakat, amelyek hasznosak lesznek számára az életben. Egy kis embernek meg kell értenie: ha hivatást választott, mindent meg kell tennie annak teljesítése érdekében. Miért nem csinálod? Röviden: ne hazudj a gyereknek. Minden tőlünk telhetőt meg kell tennünk, hogy segítsünk neki értelmet találni olyan iskolai helyzetekben is, amikor ez a jelentés teljesen homályos. Andrey Maksimov (a "Hogyan ne legyél a gyermeked ellensége" című könyvből).
Vladimir Igorevics Arnold, matematikus és harcos
Információforrások - http://pedsovet.org/forum/index.php?autocom=blog&blogid=74&showentry=6105, http://www.svobodanews.ru/content/article/2061358.html(Közzétéve: 2010. 06. 03. 20:23).
Alexandra Egorova
Június 3-án elhunyt a kiváló orosz matematikus, Vladimir Arnold. Néhány nap múlva 73 éves lett volna. Emlékeztek rá barátok és kollégák - az Orosz Tudományos Akadémia akadémikusai, Jurij Ryzhov és Viktor Maslov.
Vladimir Igorevics Arnold 1937. június 12-én született Odesszában. A Moszkvai Állami Egyetem Mechanikai és Matematikai Karán szerzett diplomát, ahol Andrej Kolmogorov híres szovjet matematikusnál tanult. Húsz évesen megoldotta Hilbert tizenharmadik feladatát, bebizonyítva, hogy bármely több változóból álló folytonos függvény ábrázolható két változó véges számú függvényének kombinációjaként. Ezt követően Vladimir Arnold számos tudományos közleményt publikált, ahol különös figyelmet fordított a matematikai geometriai megközelítésre. A Moszkvai Matematikai Intézetben dolgozott. V.A.Steklov és a Paris-Dauphine Egyetemen.
Vladimir Arnold volt az Orosz Tudományos Akadémia akadémikusa, külföldi tagja az Egyesült Államok Nemzeti Tudományos Akadémiájának, a Francia Tudományos Akadémiának, a Londoni Királyi és Matematikai Társaságnak, a Pierre és Marie Curie Egyetem díszdoktora. Számos díj nyertese, köztük a Lenin-díj, az Orosz Tudományos Akadémia Lobacsevszkij-díja, a Svéd Királyi Tudományos Akadémia Crafoord-díja, a Harvey-díj, a Wolf-díj és a Danny Heineman-díj matematikai fizikában. Elnyerte a "Haza érdemeiért" IV fokozatot és az Oroszországi Állami Díjat "a matematika fejlesztéséhez való kiemelkedő hozzájárulásáért".
Az elmúlt években Vladimir Igorevics Arnold gyakran járt Párizsban - tanított és kezelni ment, mert nagyon beteg volt. június 3-án Párizsban halt meg. Erről Vladimir Arnold rokonai számoltak be a Szabadság Rádió tudósítójának.
A RAS akadémikusa, Jurij Ryzsov Vladimir Arnoldot "a matematikai oktatás harcosának" nevezi.
Ugyanabban az iskolában tanultunk - az 59-es moszkvai iskolában - emlékszik vissza Jurij Ryzsov akadémikus. - Ezt az iskolát "fehér lyuknak" nevezhetjük: egy másik neves matematikussal, Viktor Maslov akadémikussal ültem egy asztalnál. Vladimir Arnold 6-7 évvel később végzett rajta, mint mi. Az Orosz Akadémia néhány további akadémikusa, levelező tagja ugyanabban az iskolában végzett... Vladimir Igorevics Arnold karaktere az igazságért, a tudományért és az oktatásért harcoló karakter. Egy időben, úgy tűnik, még az akadémiai körök számára sem volt kényelmes, mert a szovjet akadémia levelező tagjaként először a francia akadémikus akadémikusa lett, és csak ezután választották meg az RSFSR akadémikusává.
Kibékíthetetlen harcosa volt mindenféle iskolai reformnak, amely elcsúfítja az oktatást, elsősorban a középiskolát, de a felsőoktatást is. Kiállt amellett, hogy minden ember számára matematikai oktatásra van szükség, nem csak a természettudományokra. Nyilvánvalóan úgy vélte, hogy a matematika tisztességes ismerete és megértése nélkül nem nevelik fel a logikus gondolkodást, és a logikára minden tevékenységi területen szükség van, ha valamit tenni akar - mondta Jurij Ryzhov.
A fizikai és matematikai tudományok doktora Viktor Maszlov, az Orosz Tudományos Akadémia akadémikusa, akivel Jurij Ryzsov ült egy asztalnál, 1965-ben találkozott Vladimir Arnolddal. Biztos benne, hogy ismerőse "a világ legjobb előadója" volt:
Úgy volt elfoglalva a tudománnyal, mint senki más. Gyorsan felfogta az ötleteket, és zseniálisan adta elő azokat – emlékszik vissza Viktor Maslov.
A cikk rövidített formában jelenik meg az oldalon.
Vladimir Igorevics Arnold
A tudatlanság kora jön
Beszélgetés egy akadémikussal az oktatás problémáiról
Kiváló tudósunk, Vlagyimir Igorevics Arnold akadémikus aggodalomra ad okot, és erről őszintén beszél, sőt néha keményen is - elvégre kedvenc matematikájáról beszélünk, amelynek a tudós egész életét szentelte.
- Mi aggaszt a legjobban?
„Leginkább az oktatás helyzete nagyon rossz a világon. Oroszországban azonban meglepő módon egy kicsit jobban, de még mindig - rossz! Egy párizsi találkozón elhangzott kijelentéssel kezdem, ahol a francia tudományos, oktatási és technológiai miniszter beszélt. Amit mondott, Franciaországra vonatkozik, de ugyanúgy igaz az Egyesült Államokra, Angliára és Oroszországra is. Csak Franciaországban kicsit korábban jött a katasztrófa, más országokban még előtte van. Az iskolai oktatás a huszadik század második felében intenzíven végrehajtott reformok következtében kezdett elhalni. És ami különösen szomorú, hogy néhány kiváló matematikus, például Kolmogorov akadémikus, akit tisztelek, közvetlen rokonságban áll velük... A francia miniszter megjegyezte, hogy a matematika fokozatosan kiszorul az iskolai oktatásból. A miniszter egyébként nem matematikus, hanem geofizikus. Tehát a kísérletéről beszélt. Megkérdezte egy iskolás fiút: „Mi az a kettő plusz három?” És ez az iskolás fiú, okos fiú, kitűnő tanuló, nem válaszolt, mert nem tudott számolni... Volt számítógépe, és az iskolában a tanár tanította, hogyan kell használni, de nem tudta összefoglalni, hogy „kettő plusz” három". Igaz, tehetséges fiú volt, és azt válaszolta: „Kettő plusz három annyi lesz, mint három plusz kettő, mert az összeadás kommutatív...” A minisztert megdöbbentette a válasz, és azt javasolta, hogy távolítsák el azokat a matematikatanárokat, akik így tanítják a gyerekeket. minden iskola.
- És miben látja a történtek fő okát?
„A tétlen beszéd virágzik, és átveszi a valódi tudomány helyét. Ezt egy másik példával is demonstrálhatom. Néhány évvel ezelőtt Amerikában zajlottak az úgynevezett „Kaliforniai háborúk”. Kalifornia állam hirtelen kijelentette, hogy a hallgatók nincsenek eléggé felkészülve az egyetemi tanulásra. Azok a gyerekek, akik például Kínából érkeznek Amerikába, sokkal jobban felkészültek, mint az amerikaiak. És nemcsak matematikából, hanem fizikából, kémiából és más tudományokból is. Az amerikaiak felülmúlják külföldi társaikat mindenféle "kapcsolódó" tárgyban - amit én "főzésnek" és "kötésnek" nevezek -, az alaptudományokban pedig jócskán le vannak maradva. Így az amerikaiak egyetemre belépve nem versenyezhetnek a kínaiakkal, koreaiakkal, japánokkal ...
- És hogyan reagált a szuperhazafias amerikai társadalom egy ilyen megfigyelésre?
- Viharos. Az amerikaiak azonnal létrehoztak egy bizottságot, amely meghatározta azokat a problémákat, kérdéseket és feladatokat, amelyeket egy középiskolásnak tudnia kell, amikor egyetemre kerül. A matematikai bizottság elnöke a Nobel-díjas Glenn Seaborg volt. Az iskolát végző diákkal szemben támasztotta a követelményeket. A legfontosabb az, hogy a 111-et el lehet osztani hárommal!
- Viccelsz?
- Egyáltalán nem! A tanulónak 17 éves koráig számítógép nélkül kell elvégeznie ezt a számtani műveletet. Kiderült, hogy az amerikaiak nem tudják, hogyan... Amerikában a modern matematikatanárok 80 százalékának fogalma sincs a törtekről. Felet és harmadát nem tudnak hozzátenni. A diákok körében ez a szám már 95 százalék!
Kalifornia államot azonban a kongresszus és a szenátorok elítélték, mert meg merték kérdőjelezni az amerikai oktatás minőségét. Az egyik szenátor beszédében elmondta, hogy a szavazatok 41,3 százalékát szerezte meg, ez jelzi az emberek belé vetett bizalmát, és az oktatásban mindig csak azért harcolt, amihez ő maga is ért. Ha nem, akkor nem szabad tanítani. A többi előadás is hasonló volt. Sőt, igyekeztek „faji” és „politikai” színezetet is adni a kaliforniai kezdeményezésnek. Ez a harc két évig tartott. Mégis Kalifornia állam győzött, mert egy nagyon aprólékos ügyvéd talált olyan precedenst az Egyesült Államok történelmében, amelyben az állam joga konfliktus esetén magasabb rendű lett, mint a szövetségi jog. Így az Egyesült Államokban átmenetileg még mindig nyert az oktatás...
Megpróbáltam a probléma mélyére jutni, és megtaláltam – kiderül, hogy minden Thomas Jeffersonnal, az Egyesült Államok második elnökével, Amerika alapító atyjával, az alkotmány megalkotójával, a függetlenség ideológusával kezdődött, stb. Virginiából származó leveleiben ez a rész található: "Biztosan tudom, hogy egyetlen néger sem lesz képes megérteni Eukleidészt és megérteni a geometriáját." Az amerikaiak korábban elutasították Eukleidészt, a matematikát és a geometriát. A reflexiókat, a gondolkodási folyamatot felváltja a mechanikus cselekvés, csak azt tudjuk, melyik gombot kell megnyomni. És ez ráadásul a rasszizmus elleni küzdelemként jelenik meg!
– Talán könnyebb nekik megvenni azokat, akik ismerik a törteket, mint maguk tanulni?
Vásárolnak! Az amerikai tudósok többnyire Európából érkezett bevándorlók, a végzős hallgatók pedig kínaiak és japánok.
– De nem tagadhatja le az amerikai tudomány sikereit?
— Most nem az Egyesült Államok tudományának állásáról vagy az amerikai "életmódról" beszélek. A matematikatanítás állapotáról beszélek az amerikai iskolákban, és itt a helyzet siralmas. Megbeszéltem ezt a problémát neves amerikai matematikusokkal, sokan közülük a barátaimmal, akiknek az eredményeire büszke vagyok. Feltettem nekik ezt a kérdést: „Hogyan sikerült ilyen magas szintű tudományt elérni ilyen alacsony iskolai végzettséggel?” Egyikük pedig így válaszolt nekem: „Az a helyzet, hogy korán megtanultam a „kettős gondolkodást”, vagyis egy témát értettem meg magamnak, mást a tanároknak az iskolában. A tanárom azt követelte, hogy válaszoljak neki, hogy kétszer három az nyolc, de én magam is tudtam, hogy hat... Sokat tanultam a könyvtárakban, szerencsére vannak kiváló könyvek...”
- De ma sok matematikus kezdett üzletelni ...
- És ez teljesen érthető. A matematika az elme torna, az oligarchák számára is szükséges. De véleményem szerint itt nem ez határozza meg a választást - egyszerűen vannak emberek, akiknek különleges tehetségük van a pénzszerzéshez.
Szeretett volna valaha saját maga is közgazdaságtanra és üzletre menni?
- Ez határozottan ellenzi velem. Nem az enyém. De a tudatlanság korának veszélye egészen valósnak tűnik...
— Néha azt mondják, hogy a matematika művészet.
- Egyáltalán nem értek egyet! A matematika tudomány. Mindig is volt, van és mindig is lesz! Én is úgy gondolom, hogy nincs "elméleti" tudomány és "alkalmazott". Teljes mértékben egyetértek a nagy Pasteurral, aki azt mondta: „Alkalmazott tudományok soha nem voltak, nincsenek és nem is lesznek, mert van tudomány és vannak alkalmazásai.”
— Egyre több időt tölt Párizsban, ahol tanít. Bevándorlónak érzi magát?
- Egyáltalán nem! Sőt, párizsi diákjaim gyakran jönnek Moszkvába, és moszkvai diákjaim Párizsba. Franciaország finanszírozza ezt a projektet. A világtudomány számára ez a fajta kapcsolat a norma. Francia kollégáim is hasonló életet élnek, idejük felét Németországban, Amerikában, Angliában töltik. Mindig is így volt az egész világon. És Oroszországban a forradalom előtt is. A forradalom után pedig néhány kiemelkedő tudós hosszú ideig külföldön dolgozott. Ismétlem, a tudomány és a tudósok számára ez egy normális élet, és nem is lehet más!
Térjünk vissza az iskolába. Mi fenyegeti Oroszországot, ha tovább folytatódik az a tendencia, hogy hazánkban kivonják a matematikát az oktatási folyamatból?
- Amerikába fog fordulni, amivel elkezdtünk beszélgetni!
Az, hogy még mindig vannak aktívan dolgozó matematikusaink, részben az orosz értelmiség számára hagyományos idealizmusnak (a legtöbb külföldi kollégánk szemszögéből csak butaságnak), részben pedig a nyugati matematikus közösség nagy segítségének köszönhető.
Az orosz matematikai iskola jelentőségét a világtudomány számára mindig is az orosz kutatás eredetisége és a nyugati divattól való függetlensége határozta meg. Az érzés, hogy olyan területen dolgozol, ami húsz év múlva is divat lesz, rendkívül ösztönző.
2008. március 13Az interjút Vladimir Gubarev készítette. Az interjút a Century információs ügynökség honlapján tették közzé..
Vladimir Igorevics Arnold
Mi vár az orosz iskolára?
Analitikai megjegyzés
Az információforrás - http://scepsis.ru/library/id_653.html
2001. december
Az alábbi rövid elemzés az oroszországi oktatás modernizálási tervének (2001-es tervezet) rövidített újramondása. Értékelése a „stratégia” leírásának 4. bekezdése után található.
1. Az oktatás fő céljainak deklaráltan "az önállóságra nevelés, a jogi kultúra, a másokkal való együttműködés és kommunikáció képessége, tolerancia, közgazdasági, jogi, menedzsment, szociológiai és államtudományi ismeretek, idegen nyelv ismerete". A „tanulási célok” között egyetlen tudomány sem szerepel.
2. E célok elérésének fő eszközei az „általános oktatási mag kirakása”, „a tudományos (azaz tudományos – V.A.) és a tantárgyközpontú megközelítések elutasítása” (azaz a szorzótábla tanításától – V.A.) jelentik, „az oktatás volumenének jelentős csökkentése” (lásd lent, 4. bekezdés). A szakembereket el kell távolítani a „szakaik” programjainak megbeszéléséből (ki ért egyet az obskurantizmussal? - V.A.)
3. Az értékelési rendszert „kell” megváltoztatni, „osztályozás nélküli oktatási rendszert biztosítani”, „nem tanulókat, hanem csapatokat értékelni”, „tagadni a tantárgyakat” (nagyon „szűk”: irodalomórák, földrajz, algebra ...), „a középiskola igényességének feladása az általános iskolával szemben” (miért ismeri az orosz ábécét, és miért tud az ujjakon számolni, ha vannak számítógépek! - V.A.), „áttérés az értékelés tárgyiasítására a nemzetközi tapasztalatokat figyelembe vevő eljárások” (vagyis vizsga helyett teszttel – V.A.), az „oktatási tartalom kötelező minimumának figyelembevételének” megtagadása (ez a megfontolás állítólag „túlterheli a színvonalat” – egyesek azt kezdik követelni, hogy az iskolások megértik, miért hideg télen, és miért meleg nyáron).
4. Középiskolában egy hét „kell”: három óra orosz nyelv, három óra matematika, három óra idegen nyelv, három óra társadalomtudomány, három óra természettudomány; ez az egész program, amely megszünteti a "zsákutcás tantárgy-orientált megközelítést", és lehetővé teszi "további modulok beillesztését", nevezetesen a "humanizálást és humanitarizálást", "a helyi népek kultúrájának tükrözését", "a világról alkotott elképzelések integrálását". ", "házi feladatok csökkentése", "differenciálás", "kommunikációs technológia és számítástechnika oktatása", "általános tanuláselméletek alkalmazása". Ez a terv az iskola "korszerűsítésére".
Röviden: a terv az összes tényismeret és tantárgy oktatásának megszüntetése (az „irodalom”, a „fizika” például teljesen kikerült még azokról a listákról is, ahol ma már megjelennek a katonai kiképzés különböző típusai, úgynevezett „differenciálás”): Shakespeare helyett Kalasnyikov).
Ahelyett, hogy tudnánk, hogy Franciaország fővárosa Párizs (ahogyan Manilov mondta Csicsikovnak), iskolásaink most azt fogják tanítani, hogy „Amerika fővárosa New York”, és hogy a Nap a Föld körül kering (ez csökkenti a cár a plébániai iskolában ).
Az obskurantizmusnak ez a diadala az új évezred elképesztő jellemzője, Oroszország számára pedig öngyilkossági tendencia, amely először a szellemi és ipari, majd később - és meglehetősen gyorsan - a védelmi és katonai szint csökkenéséhez vezet. ország.
Az egyetlen remény az, hogy (a mostanihoz hasonlóan) az oroszországi magas oktatási szint lerombolására tett kísérletek, amelyek a húszas-harmincas években a „dandárfolyam módszerrel” jellemezték, és mind a gimnáziumokat, mind a reáliskolákat lerombolták, sikertelenek voltak. : az oroszországi modern iskolák oktatási szintje továbbra is magas (amit még a tárgyalt dokumentum szerzői is elismernek, akik ezt a szintet „túlzottnak” tartják).
Vladimir Igorevics Arnold
Kötelező a matematika az iskolában?
Az információforrás- http://scepsis.ru/library/id_649.html
Jelentés az összoroszországi konferencián „Matematika és társadalom. Matematikai oktatás a századfordulón” címmel Dubnán 2000. szeptember 21-én.
Ma néhány meglehetősen szomorú körülményről fogok beszélni, amelyek a matematika oktatásának helyzetével kapcsolatosak világszerte. Leginkább természetesen Oroszországban ismerem a helyzetet, de Franciaországban és az Egyesült Államokban is. De azok a folyamatok, amelyekről beszélni fogok, nagyjából egy időben zajlanak világszerte. Kicsit hihetetlenek, de amit elmondok, akármilyen hihetetlen is, az a tiszta igazság.
Azt a fő folyamatot, amelyet most veszek észre, amely most zajlik, és amely a fő aggodalomra ad okot, ezt a folyamatot amerikanizációnak nevezném. Az amerikanizálódás az, hogy a földkerekség lakossága, azok a milliárdok, akik a földkerekségen élnek, mind azt akarják, hogy minden házban legyen egy McDonald's, és ennek megfelelően olyan "kultúrát" akarnak, mint Amerikában. De mi az amerikai „kultúra”? Talán mondok egy példát, hogy ne legyek alaptalan. A Harvardon láttam egy diákot, aki európai művészetből tanult a francia osztályában. Ott franciául kellett beszélni, és a tanárnő franciául kérdezi tőle: – Jártál már Európában? - "Volt." - Voltál Franciaországban? - "Elhajtottam." Láttad Párizst? - "Láttam." - "És láttad ott a Notre Dame de Paris-t (vagyis a Notre Dame katedrálist)?" - "Láttam." - "Tetszett?" - "Nem!" "Miert van az?" – Olyan öreg!
Az amerikai álláspont szerint minden régit ki kell dobni. Ha régi az autó, akkor újat kell cserélni, a Notre Dame katedrálist le kell bontani stb. Tehát a matematikát ki kell zárni az oktatásból. Hadd mondjak még egy példát.
Nemrég olvastam egy szöveget, amely Thomas Jeffersonhoz, az Egyesült Államok harmadik elnökéhez, a Függetlenségi Nyilatkozat szerzőjéhez, a „nemzet atyjához” tartozik. És már beszélt a matematikai oktatásról a Levelek Georgiából című művében. A következőket mondja (és véleményem szerint ez a kijelentés meghatározó a matematikai oktatásban az Egyesült Államokban): „Egyetlen fekete ember sem fogja megérteni Euklidész szót, és egyetlen tanár (vagy tankönyv) sem, aki megmagyarázná az euklideszi elméletet. neki a geometriát, soha nem fogja megérteni." Ez azt jelenti, hogy minden geometriát ki kell zárni az iskolai oktatásból, mert a demokratikus evolúciónak mindent érthetővé kell tennie a kisebbségek számára; "Kinek kell, ez a matematika..."
francia példa. Franciaország oktatási és tudományos minisztere (a matematikusok párizsi találkozóján a Palais des Discoveries-ben) olyan érveket mondott, amelyek azt mutatják, hogy a matematika iskolai oktatását teljesen le kell állítani. Ez egy meglehetősen ésszerű ember, Claude Allegre geofizikus, aki a kontinensek navigációjával foglalkozik, alkalmazza a matematikát, a dinamikus rendszerek elméletét. Érvelése ez volt. Egy francia iskolástól, egy nyolcéves fiútól megkérdezték, hogy mennyi lesz a 2+3, matematikából kitűnő tanuló volt, de nem tudott számolni, mert ott így tanítják a matematikát. Nem tudta, hogy öt lesz, de úgy válaszolt, mint egy kitűnő tanuló, így kapott ötöst: "2 + 3 3 + 2 lesz, mert az összeadás kommutatív." A francia oktatás e rendszer szerint zajlik. Megtanulnak ilyen dolgokat, és ennek eredményeként semmit sem tudnak. A miniszter pedig úgy véli, hogy jobb egyáltalán nem tanítani, mint így tanítani. Amikor szükség van valamire egy ügyön, amikor szükség van rá, akkor azt maguk tanulják meg, és ennek az áltudománynak a tanítása plusz időpocsékolás. Íme a mai francia nézőpont. Nagyon szomorú, de igaz.
Franciaországot is amerikanizálják. Különösen áprilisban kaptam levelet a Tudományos Akadémiától, hogy felülvizsgálják az Akadémia alapszabályát. A Francia Tudományos Akadémia alapszabályának megváltoztatásának egyik fontos pontja az volt, hogy ne legyenek levelező tagok, minden levelező tag akadémikusnak minősüljön, és hogy az új választásokon senki, csak akadémikusok legyenek. levelező tagok közé kell választani. És akkor - húsz oldalnyi ilyen teológiai jellegű indoklás, azt mondják, hogy Franciaország, mint a katolikus egyház legidősebb lánya, és így tovább... Nem feltétlenül vannak vallási igazolások, van mindenféle, de nem tudtam érteni bármit is, nagyon nehéz volt, míg valami távoli oldalon nem értem el az utolsó sort, aztán rájöttem, hogy ezt a sort már sokszor hallottam az alatt a húsz év alatt, amióta ezt a vitát hallom. Valószínűleg Franciaország vezet az élen, de el fogunk jutni idáig, és ehhez az érvhez, és ehhez az érveléshez – úgy gondolom, hogy mindez megtalálható az Orosz Tudományos Akadémiánkon is. Az az érv, amely véleményem szerint az egyetlen jelentős ezekben az indoklásokban, és amely a legfontosabbnak tűnik számukra, a következő: az Egyesült Államok Washingtoni Nemzeti Tudományos Akadémiájának nincsenek megfelelő tagjai.
A következő projekt az volt, hogy a modern emberiség nagyszámú problémával néz szembe, a tudományos akadémiák pedig nemzetiek, minden országnak megvan a saját akadémiája, amely megoldja a problémáit. Ez egy ereklye, nem jó. Létre kell hozni egy szuperbürokratikus szervezetet, egy szuperakadémiát, amely világméretű lesz, és amelynek hozzáállása a közönséges tudományos akadémiákhoz ugyanaz lesz, mint a rendõrség prefektusának az átlagos rendõrökhöz való viszonyulása. El fogja dönteni, hogy melyek az emberiség fő problémái, például a légkör globális felmelegedése, a túlnépesedés malthusi problémája, az ózonlyukak és mások, több tucat ilyen alapvető, alapvető probléma van felsorolva: túl sok az autó, ill. ólommal szennyezik a levegőt, és így tovább, nem emlékszem erre az egész listára. Tehát el kell dönteni, hogy mely problémák a kiemelt jelentőségűek, hogy az emberiség megmaradjon, melyik ország melyik problémát oldja meg.
A lista lejjebb pedig azt írták, hogy a katolikus egyház legidősebb lánya, Franciaország milyen problémát vállal fel, és mi a probléma, és mi a francia módszer a probléma megoldására. Ez a probléma közvetlenül kapcsolódik mai konferenciánk témájához. Ez a probléma a következő: az iskolázottság szintje katasztrofálisan csökken az egész világon. Jön a gyerekek új generációja, akik nem tudnak semmit: sem szorzótáblát, sem euklideszi geometriát – nem tudnak semmit, nem értenek és nem is akarnak tudni. Csak a számítógép gombjait akarják megnyomni, semmi mást. Mit tegyek, hogyan legyek itt? A miniszterek mindenhol, minden országban olyan emberek, akik nem értenek semmit, és nyilvánvaló, hogy minden civilizációt és kultúrát el kell pusztítaniuk, csak a túlélés érdekében, hogy a környezet magasabb kulturális szintjén maradjanak, ezek az emberek. meg kell semmisíteni minden kultúrát és oktatást. Hogyan kell csinálni? (Franciaországról beszélek.)
Tehát a francia projekt: hogyan lehet megoldani a helyzetet az oktatással. A Francia Tudományos Akadémia azt javasolja, hogy a nőket neveljék. Nos, ez megint egy amerikai ötlet - ez a feminizmus, amely Franciaországban és valószínűleg hazánkban is létezik. Előreláthatólag hamarosan hazánkban is elfogadnak egy hasonló tervezetet.
Most ezek után a szomorú szavak után szeretnék néhány szót szólni arról, hogyan éltük meg ezt az életet, hogyan alakult ki, hogyan alakult a matematika sok ezer éves fejlődése, hogyan jutottunk idáig. Azt kell mondanom, hogy az elmúlt években kicsit érdeklődtem a történelem iránt, és rájöttem, hogy minden, ami a tudománytörténeti tankönyvekben le van írva, a legtöbb ilyen dolog durva hiba, teljesen téves állítás. És most mesélek egy kicsit a matematika fejlődéstörténetéről, arról, amit tanultam, olyan dolgokról, amelyekről nem tudtam.
A történészek ezt persze tudták, vannak még történészek könyvei is, amelyekben mindez meg van írva. De ha megnézzük, mit írnak a matematikusok, mit írnak a tanárok, mi van megírva azokban a könyvekben, amelyeket ezen a konferencián kaptam, amelyekben még a barátaim is írnak arról, hogy milyen nagyszerű matematikusok voltak, milyen nagyszerű felfedezéseket tettek, mikor, mit, hogyan – sok minden más volt. Más embereket fedeztek fel, a felfedezéseknek más néven kell megjelenniük...
Most elmondok néhány ilyen igazságot, amelyeket a történészek általában ismernek, de a matematikusok általában ismeretlenek. Nemrég értesültem egy ilyen nagyszerű matematikus nagyszerű felfedezéseiről, akinek a neve ismeretlen, ő volt a fáraó főmérője Egyiptomban, és halála után istennek nyilvánították, és isteni neve ismert, de én esetben nem tudom az eredeti nevét. Egyiptomi istenként Thotnak hívták. A görögök ezután Hermész Triszmegisztosz néven kezdték terjeszteni elméleteit, és a középkorban megjelent a Smaragdtábla című könyv, amely évente többször is megjelent, és ennek a könyvnek számos kiadása volt, például Newton könyvében. könyvtárat, aki alaposan áttanulmányozta. És sok minden, amit Newtonnak tulajdonítanak, valójában már ott volt. Mit fedezett fel Thoth? Felsorolok néhányat a felfedezések közül. Véleményem szerint minden kulturált embernek tudnia kellett volna, hogy mi volt Thoth, mit fedezett fel, és mik a nagy találmányai. Kár, hogy erről egészen idén nem tudtam.
Az első dolog, amit kitalált, a számok, a természetes számok voltak. Előtte a számok természetesen a következők voltak: 2, 3, ... egészen addig a számig, ami az egyiptomi fáraónak fizetett teljes adó összegét fejezte ki – létezett a teljes éves adót kifejező szám, de ott nem voltak nagy számok. Az az elképzelés, hogy a számokat a végtelenségig lehet folytatni, hogy nincs legnagyobb szám, hogy mindig lehet egyet hozzáadni, hogy fel lehet építeni egy számrendszert, amelyben tetszőleges nagyságú számokat írhatunk - ez Thoth ötlete, ez az ő ötlete. első ötlet. Ma a tényleges végtelen gondolatának nevezzük.
A második felfedezés, amely szintén nagyon jelentős, az ábécé. Előtte voltak hieroglifák, amelyekben a szavakat jelek ábrázolták, például „kutya”. És azzal az ötlettel állt elő, hogy a fonémákat, hangokat le kell írni, a szavak ezrei helyett csak néhány tucat hieroglifát, például egy leegyszerűsített „kutyát”, amely mindig az „s” hangot ábrázolja, s” bármilyen szóban - hasonló lesz ehhez a „kutyához”, egy ilyen leegyszerűsített „kutyához”. Ő találta fel az egyiptomi ábécét. Minden európai ábécénk tőle származott. Van egy olyan legendánk, amely minden tankönyvben megtalálható, hogy ha Champollion felfedezte a "Rosetta-követ", mintha Champollion, aki ezt a "Rosetta-követ", az ott lévő háromnyelvű, talált volna egyezőt, elolvasta volna a hieroglifákat és hamar. Szóval ez az egész nem igaz. Sőt, kicsit eltávolodok a matematikától, ez egy másik tudomány története, ez még mindig nem igaz. Valójában Champollionnal volt egy ilyen történet: Champollion nagyon kitalálta ezt az ábécét, tényleg elolvasta, de minden „Rosetta kő” nélkül. Ezt a "Rosetta-követ" azután találták meg, hogy Champollion már publikálta elméletét. Amikor húsz évvel később megtalálták a „Rosetta követ”, fogta ezt a követ, és megmutatta ezen a kövön, mit ad az elmélete, és összehasonlította a kövön lévő görög fordítással, és minden összeállt. Ez tehát bizonyíték volt, de az elmélet már régen megjelent ekkorra. Champollion egészen más módon fedezte fel az egyiptomi ábécét. Mellesleg, a Champollion által használt fő felfedezés, amelyet Plutarchtól vett át, és a fő felfedezés, amely lehetővé tette számára, hogy hieroglifákat, hieroglif-szövegeket, ezt az ábécét olvassa, egy nagyon furcsa felfedezés volt, amelyet valamilyen oknál fogva előtte senki sem értett. Kiderült, hogy a hieroglif szövegeket nem balról jobbra írták, mint mi, hanem jobbról balra. Plutarkhosz tudta ezt, hogyan írták, Champollion megértette ezt, és elkezdett a másik irányba olvasni, aztán kiderült. Aztán előállt a megoldással. De nem megyek bele a dekódolás elméletének részleteibe.
Thoth harmadik felfedezése a geometria. A geometria szó szerinti értelemben földmérés. Thotot a fáraó bízta meg, tudnia kellett, egy darab földet, elkerített, ekkora és ekkora, milyen termést hoz. Területtől függ, meg kellett mérnie ezeket a területeket, meg kellett húznia a határokat, el kellett választania a vizet a Nílustól, el kellett végeznie a vízelvezetést és mindezen gyakorlati munkákat. És megtanulta. Ehhez kitalálta a geometriát, mindent, amit most tanulunk, az euklideszi geometriát, ez az egész geometria valójában Thoth. Különösen Thoth és később tanítványai mérték meg geometriai módszereikkel a Föld sugarát. A Föld sugarát, amit mértek, a mai adatokhoz képest egy százalékos hibával kapták meg, ez kolosszális pontosság. Tevekaravánok mentek a Nílus mentén, Thébától Memphisig, szinte a meridiánon mentek, és számolták a teve lépéseit, így tudták a távolságot. Ugyanakkor a sarkcsillag megfigyelésével meg lehet mérni a városok szélességi fokait, és a szélességi fokok különbségének és a meridián menti távolságnak a ismeretében meg lehet mérni a Föld sugarát, és ezt nagyon jól csinálták, és megtalálták a sugár 1%-os pontossággal.
És végül az utolsó felfedezése, amit megemlítek, viszonylag kicsi, de mégis érdekes, amit kitalált, az a dáma volt. Az indiánoknak volt sakkjuk, a sakkot ismerték, de ez egy összetett és nem népi játék, demokratizálta a sakkot és feltalálta a dámát. A dáma is tőle származik.
A történelemtankönyvben tucatnyi felfedezése, mindenféle találmánya található, a rövidség kedvéért persze most nem sorolom fel.
Honnan tudtuk mindezt? Itt ismerjük az euklideszi geometriát. Honnan származik az euklideszi geometria, honnan jött mindez? Kiderült, hogy a tudomány tanulmányozása, amelyet Thoth alkotott meg, Egyiptom üzleti titka volt. Alexandriában volt egy könyvtár (musium), amely hétmillió kötetet tartalmazott, amelyben minden tudományt feljegyeztek, de ehhez külön engedély kellett, hogy megismerje ezt az anyagot, és engedélyt kellett kérnie a papok engedélyétől. piramisok, hogy mindenki tanulmányozza azt. Legalább négy nagy görög tudós (ipari kém) lopta el ezt a tudományt az egyiptomiaktól, amit nem mind az egyiptomiak találtak ki, hanem sokat kölcsönöztek - a káldeusoktól, a babilóniaiaktól, a hinduktól -, de mindegy, minősítették.
Ezek közül az első láthatóan Pythagoras volt. Egyesek szerint tizennégy évig élt e papok között, mások szerint húsz évig. Engedélyt kapott, megismerkedett, megtanulta mindezt a tudományt, minden euklideszi geometriát, algebrát, aritmetikát, és kijelentette, hogy ezt a titkos információt soha nem fogja feloldani. Valóban, Pythagorastól egyetlen sor sem maradt fenn, soha nem írt le semmit. Pythagoras tanításait, amikor visszatért Görögországba, tanítványai szájról szájra terjesztették. Nem voltak Pythagoras könyvei. Eukleidész szövegei több nemzedéken keresztül – ezt Pythagoras különféle tanítványai készítették, akik később mindent leírtak. Pythagoras maga nem írt semmit, mert megesküdött, hogy nem fog. De ezt a tudást Görögországban terjesztette - egy axióma, kivéve talán az ötödik posztulátumot, amely nyilvánvalóan magához Eukleidészhez tartozik. Konkrétan a Pitagorasz-tételt szándékosan adták ki kétezer évvel előtte Babilonban, ékírással, és a tétel mellett a Pitagorasz-hármasokat is ismerték (nemrég kaptam egy könyvet, amelyben Tikhomirov, úgy tűnik, azt állítja, hogy ezek a hármasok valaki más találta meg). De mindezt már régen, ezer évvel Pythagoras előtt tudták, és az egyiptomi papok is tudták mindezt, és háromszögeket (3, 4, 5), (12, 13, 5) és másokat használtak a piramisok építésekor, és ismerte az általános képletet, hogyan kell felépíteni ezeket a háromszögeket. Mindez jól ismert volt, de Pythagorasnak tulajdonítják (a lélekvándorlás elméletével együtt).
Egyszer kaptam egy levelet Michael Berry angol fizikustól (a híres "Berry-fázisok"), aki levelet írt nekem a kiemelt kérdések megvitatása miatt. És azt írta, hogy ezeket a vitákat Arnold következő elvével lehet összefoglalni: ha bármely tárgynak van személyneve (például Pitagorasz-hármasok vagy a Pitagorasz-tétel; például Amerika), akkor az soha nem a felfedező neve. . Ez mindig egy másik személy neve. Amerikát nem Columbiának hívják, bár Kolumbusz felfedezte.
Egyébként miért fedezte fel Kolumbusz Amerikát? Ez szorosan kapcsolódik ahhoz, amit az imént mondtam. Amikor Kolumbusz Izabella spanyol királynőhöz ment, hogy expedíciót kérjen (nem Amerikát akarta felfedezni, hanem utat nyitott az Atlanti-óceánon át Indiába), a királynő azt mondta neki: nem, nem teheted. És itt volt a dolog. Kétszáz évvel az egyiptomiak után a Föld méretének kérdésével foglalkoztak a görögök. A görögök a Pitagorasz által ellopott információk alapján tudtak az egyiptomi mérésekről, de nem hittek az egyiptomiaknak (miféle mérések, valami tevék, mi ez...). És ismét méréseket végeztek. Vittek egy trirémet, a Földközi-tengeren délről északra, Alexandriától Rodosz szigetéig átkelt hajót, megmérték az utat, ismerve a hajó sebességét erős szélben, a szélességi különbség is mérhető, és megkapták. a Föld új mérete (sugara). De mivel természetesen az egyiptomi módszer megbízható volt, mivel a tevék jól számolják a távolságokat, és a hajó sebessége erős szélben olyan bizonytalan, a görög becslés kétszer olyan volt, mint az egyiptomi. A görögök pedig ezt kiadták, és azt mondták, hogy az egyiptomiak már mértek, de mivel fejletlen nép, nem tudtak jól mérni, és befogadták a Földet, ami fele akkora, mint a valódi; valójában hibás adatokkal rendelkeznek, és a Föld helyes mérete kétszer akkora.
És mivel az egész görög tudomány - Eukleidész, Pythagoras, mindez - mindenhol elterjedt, tanítottak az iskolában, Izabella királynő is úgy gondolta, hogy a Föld kétszer akkora, mint amilyen, és azt mondta Kolumbusznak: „Nem fogsz Indiába úszni. , mert egyetlen hajó sem fér el annyi hordó vizet, amennyit el kell vinnie egy ilyen hosszú táv megtételéhez. Mert nagyon messze van, és nincs semmi az út mentén (Amerikát nem feltételezték). Kolumbusz hatszor ment hozzá, és végül valahogy megúszta ezeket a tilalmakat, és mégis odajutott.
Természetesen a tudományos felfedezéseket kétségtelenül ellopják, mindig lopnak és lopnak.
(A közönségből: És lopni fognak!)
Lehet, hogy lopnak, de lehet, hogy nem, mert már nem érdekli őket a tudomány, mert nem lesz, aki kifizesse ezt az ellopott cuccot. Talán abbahagyják a tudománylopást, mert nem lesz több vásárló, ez a lényeg.
Felsorolok még néhány olyan felfedezést, amelyek nagyon fényesek, és amelyeket nem a felfedezőknek tulajdonítanak, hanem teljesen más embereknek. Platón ellopta Egyiptomban a logikát - az érvelés művészetét, ami később Arisztotelészen keresztül jutott Európába, az arisztotelészi logikát, a szofizmusokat, a szoritákat (a szillogizmusok hosszú láncolatait) - mindezt a tudományt az egyiptomi papoktól kapták, jól ismerték őket. Platón lopta el, aki szintén kém volt. Volt egy ilyen híres ember Orpheus is, aki zenét lopott: harmóniát, skálákat, oktávokat, kvinteket, terceket... Pythagoras is tanult zenét, és tudta, milyen hosszúak legyenek a húrok, hogy a megfelelő frekvenciaarányt elérjék, és milyen húrt. feszültséget kellett tenni – az egyiptomiaknál ez teljesen megszokott volt, csak a rituális zenéhez, ezt ők biztosan tudták, a görögök pedig kölcsönkapták az egészet. Minden zenénket a görögöktől kölcsönöztük az egyiptomiaktól. És végül, az utolsó felfedezés, amelyet meg szeretnék említeni, egy furcsa eset. Ez a név talán kevésbé ismert, bár a szerző olyan személy, aki nagyon megérdemli mély hálánkat - Eudoxus. Eudoxus elméletét ma számelméletnek hívják. Eudoxus a következőket fedezte fel. A püthagoreusok már tudták (bár nem egészen világos, hogy ki fedezte fel először, talán Püthagorasz, talán Pythagoras tanítványai), hogy egy négyzet átlója összemérhetetlen az oldalával, ezért vannak irracionális számok. Ezt a felfedezést maguk a görögök azonnal besorolták, mert mire szolgáltak a számok? A számok csak racionálisak voltak, és a mérést szolgálták. De ez a felfedezés azt mutatja, hogy a számok, vagyis a racionális törtek nem elegendőek a méréshez, mert a négyzet átlója már nem mérhető. Következésképpen az aritmetika a gyakorlati életre, a fizikára, minden alkalmazásra alkalmatlan tudomány. Ezért, ha a fogyasztók - fáraók, általában az emberek - tudomást szereznek az ilyesmiről, akkor minden matematikust kiszorítanak, mert arányokkal, törtekkel foglalkoznak - valami hülyeség, ami senkinek sem kell. Tehát Eudoxus legyőzte ezt a nehézséget. Emiatt a nehézség miatt betiltották a racionális számok elméletét, és ő alkotta meg. Ő alkotta meg azt, amit ma Dedekind szakaszelméletének vagy a Grothendieck-gyűrűnek hívnak, ami ugyanaz. Ezt az elméletet valójában teljesen Eudoxus alkotta meg, és Eukleidész fejtette ki az arányelméletben, véleményem szerint Eukleidész ötödik könyvében. Így kerültek be az irracionális számok a matematikába.
Most megengedem magamnak, hogy kicsit elkanyarodjak a matematikától, és a matematikához közeli felfedezésekről beszéljek (sőt szigorúan véve ezt is beszámítanám a matematikába, de néhány kortársam nem, erről is beszélek). Ezek csillagászati elméletek. A csillagászat és az égi mechanika óriási szerepet játszott a matematika és az elemzés fejlődésében – Newton és Kepler jól ismertek. Kepler törvényei, miszerint a vonzási erő fordítottan arányos a távolság négyzetével – mindezt megtanítjuk diákjainknak, elmagyarázzuk, milyen nagyszerű felfedezéseket tett Newton, stb. Tehát magának Newtonnak teljesen más álláspontja volt e kérdések történetéről. Kiadatlan, alkímiai és teológiai munkáiban, amelyek tízszer nagyobbak, mint megjelent matematikai és fizikai munkáiban, felismeri az egyiptomiak elsőbbségét, akik ezt párezer évvel előtte tudták. Valójában jól ismerték Egyiptomban – nem nagyon világos, hogy ki fedezte fel először, de mindenesetre az egyiptomi papok már ismerték egyrészt a fordított négyzettörvényt, másrészt Kepler törvényeit, harmadszor pedig azt, hogy Kepler törvényei. következnek a fordított négyzettörvényből. Newton azt írja, hogy sajnos az egyik következtetést a másikból rögzítették azokban a könyvekben, abban a több millió kötetben, amelyek az alexandriai könyvtárban égtek el tűzben, és ezért ez a csodálatos ősi érvelés évszázadokra elveszett, és büszke arra, hogy megvan az érdeme, hogy helyreállítsa ezt a bizonyítékot. Most a bizonyíték ismét megmagyarázza, hogy Kepler törvényei miért következnek a fordított négyzettörvényből. De valójában mindez jól ismert volt. A Kr.e. 7. században a nem sokkal Romulus után uralkodó római király, Numa Pompilius felépítette Rómában a Vesta-templomot, amelyben egy planetárium is helyet kapott, amely a kopernikuszi heliocentrikus rendszer szerint épült. Kopernikusz egyébként szintén idézi ezeket a régieket, és azt mondja, hogy a heliocentrikus rendszer nem az ő felfedezése, hanem régóta ismert volt, de egyszerűen felhívta a modern kor emberének figyelmét a régi időkben ismertekre. Vesta templomának közepén a Napot jelképező tűz volt. Körülötte a papok a megfelelő sebességgel, a megfelelő elliptikus pályán vitték a Merkúr képét, majd a Vénusz képét, majd a Föld képét, majd a Mars képét, és természetesen a Jupiter és a Szaturnusz képét. Bármelyik napon az ember ott állhat, ahol a papok tartották a Földet, és nézze, mondjuk az irányt arra a helyre, ahol a papok tartják a Marsot, majd este ki lehet menni, megnézni, és látni. Mars abba az irányba.
Így az égi mechanikai felfedezéseknek ez az egész forgószele – mindez kétezer évvel Newton előtt létezett. Ezt nem találod meg a tankönyvekben. Newton különösen Vitruvius építészeti tankönyvére hivatkozik, amelyben idézi, de ismét bizonyítás nélkül a pályák elliptikusságát, Kepler törvényeit, mindent idéznek, mindent tudtak, de mindent elpusztítottak. Minden elpusztult, mert a tiszta tudomány haszontalannak ítélte. Kinek kell ez a csillagászat, égi mechanika, bolygók... Senkit nem érdekelt, kivéve talán az asztrológusokat. De az építészet és az építőipar más kérdés. Ezért a katonai ügyekről, a navigációról és az építészetről szóló könyvek másolatait megőrizték az ősi könyvekből. És csak bennük lehet nyomokat találni, ha azt idézik, hogy valahol Alexandriában van egy könyv, amelyben ezt-azt bebizonyítják. Newton olvasott, használt, bizonyítékokat talált.
Itt szeretnék még egy kijelentést idézni, amelyet nemrégiben olvastam Hardy "Egy matematikus bocsánatkérése" című könyvében, amely most jelent meg Izhevszkben. Szörnyű könyv egy teljesen, borzasztóan analfabéta embertől, aki különösen a következő dolgokat írja. Dicséreteket ír Gaussnak, hogy Gauss sokat foglalkozott számelmélettel, és joggal nevezik a számelméletet a matematika királynőjének (még azt is mondanám, hogy a matematika királynője, de azt hiszem, hogy "királynő"). Hardy elmagyarázza, miért a számelmélet a matematika királynője. Íme, Hardy magyarázata, amit Jurij Ivanovics Manin nemrég ismételgett, kissé eltorzítva, de szinte ugyanazt mondta. Hardy csodálatos magyarázata a következő: a számelmélet – mondja – teljes haszontalansága miatt a matematika királynője. De Jurij Ivanovics egy kicsit más, mást magyaráz: hogy a matematika általában véve rendkívül hasznos tudomány, nem azért, mert ahogy egyesek mondják - tényleg én vagyok -, hogy a matematika hozzájárul a technika, az emberiség és így tovább, nem. ; mert hátráltatja ezt a haladást, ez az érdeme, ez a modern tudomány fő problémája - akadályozni a fejlődést, és a matematika teszi ezt elsősorban, mert ha a fermatikusok Fermat tételének bizonyítása helyett repülőgépeket, autókat építenének. sokkal több kárt. És így a matematika elvonja a figyelmet, elvonja a figyelmet néhány hülye, haszontalan feladatra, és akkor minden rendben van. Hardyban egyébként ez a gondolat is jelen van, kicsit más formában - elképesztő, milyen naiv tud lenni az ember a 20. században! - Hardy írja: a matematika szörnyű vonzereje, különösen a fizikához és a kémiához képest, hogy "abszolút alkalmatlan semmilyen katonai alkalmazásra". Nekünk most persze más nézőpontunk van, talán Jurij Ivanovics egyetért vele, de én nem. Ami a katonaságot illeti, nekik is teljesen más a nézőpontjuk, és el kell mondanunk, hogy Hardynak valahogy sikerült együtt dolgoznia Littlewooddal, aki sokat foglalkozott alkalmazott matematikával, és komolyan alkalmazta a katonai ügyekben, Littlewood pedig természetesen. soha nem jegyeznék fel ilyen hülye szavakat.
Manin azt állítja, hogy a matematika egyfajta nyelvészet, amelyben a nyelvtani szabályok kissé kibővültek, például, hogy 1 + 2 = 3, és a matematika tanítása csalás, mivel semmi újat nem lehet felfedezni a matematikusok által végzett azonos transzformációk révén. .
A matematika haszontalanságának gondolatának legteljesebb modern megtestesülése a Bourbaki szekta tevékenysége.
Valójában Bourbaki elveit részben Montaigne, részben Descartes fogalmazta meg a 16-17. Montaigne az egész francia tudománynak két alapelvét fogalmazta meg, amelyek szerint a francia tudomány különbözik más országok tudományaitól, és amelyek mindmáig vezérlik. Első elv. A siker érdekében egy francia tudósnak be kell tartania ezt a szabályt publikációiban: egyetlen szót sem szabad megértenie abból, amit publikál, mert ha valamit megért valaki, akkor mindenki azt mondja, hogy korábban is ismert volt. szóval nem fedeztél fel semmit. Ezért úgy kell írni, hogy ne legyen egyértelmű. Montaigne Tacitusra hivatkozik, aki rámutatott, hogy "az emberi elme hajlamos elhinni a felfoghatatlant". Descartes ebben az értelemben a tanítványa volt, és Bourbaki követte őt. Az első elv az összes szöveg megváltoztatása, hogy azok teljesen elérhetetlenek legyenek.
Íme Montaigne néhány érve, amivel igazolja, hogy érthetetlenül kell írni (a dőlt betű az enyém):
"Még a teljes tudatlanságnál is jobban utálom a tanulást." („Kísérletek”, III. könyv, VIII. fejezet)
„Aki a Merkúr epiciklusán ül, nekem úgy tűnik, hogy kihúzza a fogam. Hiszen ők maguk sem tudják sem a nyolcadik égi szféra mozgásának okait, sem a Níluson folyó árvíz idejét. (II. könyv XVII. fejezet)
„Könnyebb lenne megérteni a jelenségek kiváltó okait, de nem tudom, hogyan magyarázzam meg őket. Nem az egyszerűséget keresem. Az én ajánlásaim a legvulgárisabbak." (II. könyv XVII. fejezet)
„A tudományok túl finom és mesterséges elméleteket szolgáltatnak. Amikor írok, igyekszem mindent elfelejteni, ami a könyvekben van, hogy ezek az emlékek ne rontsák el kompozícióm formáját. (III. könyv, V. fejezet)
"Közös érthető nyelvünk használhatatlan a gyakorlati életben, hiszen érthetetlenné és ellentmondásokkal telivé válik, ha valaki szerződés vagy végrendelet megfogalmazására próbálja alkalmazni." (III. könyv, XIII. fejezet)
Quintilianus (Inst. Orat., x, 3) régóta megfigyelte, hogy "a megértés nehézségeit a tanok hozzák létre". (III. könyv, XIII. fejezet) Montaigne pedig pontosan tanokkal akarta lelkesíteni az olvasót.
Seneca (Epist., 89) szerint „minden részekre osztott tárgy, akár a porszemcsék, sötétté és érthetetlenné válik” (III. könyv, XIII. fej.). Seneca megjegyezte (Epist., 118), hogy „Miramur ex intervallo fallentia” (vagyis „az álnokság gyönyörködtet bennünket távoli elhelyezkedése miatt”). (III. könyv, XI. fej.) A csodálat felkeltéséhez szükséges a köd betöltése írásaikban.
"Minden kutatásom fő következtetése az egyetemes emberi butaság meggyőződése, amely a világ összes iskolájának legmegbízhatóbb jellemzője." (III. könyv, XIII. fejezet) Ez a Montaigne-i elv az ő iskolájában is érvényesül.
Nyilvánvaló, hogy Montaigne nem akarta egyértelműen leírni ezen iskolák eredményeit. Pascal megjegyezte, hogy nehéz megérteni, mi a helyes Montaigne-ban. Az Encyclopedia Britannica (1897) azt írja, hogy Montaigne-t félreértették, mert ez a humorista és szatirikus a humorérzék nélküli olvasókhoz szólt. Montaigne tapasztalata ragadós. Ezt írta: „A tudósok között gyakran találkozunk mentálisan szegény emberekkel” (III. könyv, VIII. fejezet), és „a tanulás jót tesz a zsebnek, de ritkán ad valamit a léleknek”. "A tudomány nem könnyű, gyakran összetöri."
Montaigne második alapelve az idegen terminológia teljes elkerülése. Minden terminológia legyen a tiéd, a sajátod. Új fogalmakat kell bevezetnie, hivatkozhat korábbi munkáira, ahol ezeket a kifejezéseket bevezették, hogy a következő műveit ne tudja elolvasni anélkül, hogy az előzőeket meg nem jegyezné. Más szerzők műveit pedig nem szabad idézni, különösen szigorúan tilos külföldieket idézni. Ez az az elv, amelyet ma is követnek. Áprilisban a francia tudományos minisztérium, valamint a biztonsági hatóságok meghívást küldött, hogy vegyek részt a bizottságuk munkájában, ami nagyon fontos (és mivel tudják, hogy elfoglalt vagyok, ha nem tudok jönni, akkor küldeni egy diákot, aki bemutatná a véleményemet, mert nagyon fontos, hogy tudják a véleményemet), ez a megbízatás. Bizottság a francia tudomány örökségének a külföldiektől való védelméért.
(Nevetés a teremben.)
A kozmopolitizmus elleni harc a negyvenes évek végén elérte Franciaországot, de valamiért csak most. Bár természetesen sok mindenféle idegengyűlöletben szenvednek, és ahhoz, hogy mindenhol megtalálják, hogy egy francia felfedezett valamit, például megvan a saját feltalálójuk a rádiónak - sem Popovot, sem Marconit nem ismerik fel -, megvan a saját saját emlékmű a párizsi luxemburgi pályaudvar közelében annak az embernek, aki "feltalálta a radart", és így tovább - mindent a franciák csináltak. Egyébként egy franciát is szeretnék idézni, akinek a kijelentése, éppen ellenkezőleg, nagyon tetszik, ez Pasteur. Pasteur általánosságban beszélt a tudományról, és egy figyelemre méltó kijelentést tett, amelyre szeretnék hivatkozni, mert véleményem szerint ez is nagyon fontos számunkra. Pasteur azt mondta: „Soha nem volt, nem volt és nem is lesz alkalmazott tudomány. Vannak tudományok és alkalmazásaik. Létezik egy tudományos felfedezés, aztán valamire alkalmazzák – igen, de alkalmazott matematika, alkalmazott fizika, alkalmazott kémia, alkalmazott biológia – mindez átverés, hogy pénzt csaljanak ki az adófizetőktől vagy üzletemberektől – semmi több. Nincs alkalmazott tudomány, egy tudomány van – csak közönséges.
Ez a gondolat egyébként Majakovszkijnál is megtalálható, aki szerint az az ember, aki felfedezte, hogy kétszer kettő az négy, nagyszerű matematikus volt, még ha cigarettacsikkeket is számolt. És aki most sokkal nagyobb tárgyakat, például mozdonyokat számol, ugyanezen képlet szerint, az egyáltalán nem matematikus. Ez az alkalmazott matematika. Nincs alkalmazott matematika, "alkalmazott matematikát" tanítani csalás. Csak matematika van, tudomány van, és ebben a tudományban van egy szorzótábla, például, hogy kétszer kettő az négy, van euklideszi geometria, mindezt tanítani kell. Ha abbahagyjuk – mihez vezet ez az amerikanizálódás vagy burbakizálás –, abbahagyjuk a tanítást, akkor mi fog történni? Egyik Csernobil a másik után fog bekövetkezni, és ennek megfelelően a tengeralattjárók elsüllyednek, és ennek megfelelően olyan tornyok, mint a Pisa és az Ostankino, ledőlnek ... Nemrég olvastam a Tudományos Akadémia Értesítőjében, hogy Moszkva hasonló katasztrófára vár. egy Uljanovszkban, ahol talán még a közelgő télen is alig egymillió embernek kellene meghalnia a hidegben, mert Moszkva fűtési rendszerei, hőerőművei, fűtése nincs adaptálva, nem áll készen a jellemző hidegre. klímánknak. Ha a tudomány véget ér, akkor mindezek az apokaliptikus természetű szerencsétlenségek az egész emberiséget, beleértve Oroszországot is, sújtják. Amerikai adatok szerint ma egyes országok, köztük Oroszország és Kína olyan oázisnak számítanak, amelyben még van némi remény arra, hogy ezek az oktatásdegradációs folyamatok lassabbak. Megállapították, hogy Amerikában az iskolai matematikatanárok 80%-ának fogalma sincs a törtekről: felét és harmadát nem tudnak összeadni, azt sem tudják, mi több, fele vagy harmada, nem értenek semmit. Nem tanítottak. Az iskolások pedig még rosszabb tudással rendelkeznek. Míg Japánban, Kínában és még Koreában is sokkal jobb a helyzet. Ezek az iskolások tökéletesen értik, hogy mi az a fele, mi a harmada, hozzátehetik a felét a harmadhoz... Mi, mint mindig, lemaradunk a haladó emberiség mögött. A tudomány tönkretétele, a kultúra pusztulása mindenhol zajlik, de lassabban haladunk, mint másutt, ami azt jelenti, hogy még van némi remény arra, hogy tovább őrizzük hagyományos kulturális színvonalunkat, mint az úgynevezett fejlettebb országok.
* * *
George Malati, finn egyetemi professzor. Nagyon örülök, hogy hallgatom a beszámolóját, és őszintén, szívemből mondhatom, hogy kifejezetten azért jöttem, hogy támogassam az elképzeléseiteket, mert ha a kultúra bukik, nagyon nehéz visszaállni, nyugaton jól tudjuk, hogy ti vagytok. nagyon könnyű megtörni egy kultúrát. És most már tudjuk, hogy természetesen, logikusan nagyon nehéz visszaállni. Köszönöm és remélem, hogy mindannyian hallgatunk rátok itthon és külföldön egyaránt. Köszönöm mégegyszer.
A hallgatóság köréből: Ön szerint az euklideszi geometriát kellene tanítani az iskolában?
- Véleményem szerint nem találtunk ki jobbat (és hogy euklideszinek nevezzük-e, vagy valami másnak – persze vannak különböző lehetőségek). Ismerek egy olyan ember esetét, aki nem tanított euklideszi geometriát az iskolában. Ez az ember Newton. Newton már az egyetemen olvasott Eukleidészt. Geometriát tanított Descartes szerint, a derékszögű koordinátarendszer segítségével, majd később megtanulta az euklideszi, és mindkettőnek hálás volt. Bár azt kell mondani, hogy Newton nem szerette Descartes-ot, mert Descartes, mint mondja, annyi hülyeséget mondott ki fizikából és matematikából is, hogy egyszerűen ártott a tudománynak. Mindazonáltal Newton hogyan tanulhatott meg tőle valamit, engem elképeszt. Descartes elmélete – elkészítettem, de nem volt időm elmondani – ez volt. (Franciaországban még mindig használják szolgáltatásra, Bourbaki ezt követi.) Négy alapelv van. Descartes első elve: nem számít, hogy a kezdeti axiómák megfelelnek-e bármely valóságnak. Ezek a kísérleti kérdések az alkalmazásokra és néhány speciális tudományra vonatkoznak. Descartes szerint a tudomány az önkényesen felvett axiómák következményeinek levezetése, amelyeknek semmi közük semmilyen kísérlethez vagy valósághoz. (Hilbert ezt később sokszor megismételte.) A második alapelv az, hogy éppoly kevéssé számít, ha a végső következtetések bármely kísérletnek megfelelnek. Valamilyen okoskodást végzünk, például többértékű számok szorzását, az eredeti axiómákból levezetünk néhány új következményt, és a történtek összehasonlítása valamilyen kísérlettel merő nonszensz, amit csak néhány kis ember tehet meg, mint például Newton (Descartes nem mondta, hogy utolsó mondata, Newtont nem ismerte). Harmadik alapelv: A matematika nem tudomány. Ahhoz, hogy a matematika tudománnyá váljon, mindenekelőtt ki kell irtani belőle a kísérletezés minden nyomát, ami rajzok formájában megjelenik benne. Amikor vonalakat, köröket rajzolunk, euklideszi geometriát csinálunk, akkor Descartes szerint szükségtelen tevékenységeket végzünk, amelyeknek semmi közük a tudományhoz. Ezért szükséges minden vonalat, kört és így tovább ideálokkal, modulokkal, gyűrűkkel helyettesíteni, csak az úgynevezett algebrai geometria marad meg. És Descartes szerint nincs szükség geometriára (ilyen hétköznapi értelemben). Valójában minden tudományból száműznünk kell minden olyan helyet, ahol a képzelet bármilyen szerepet játszik. A geometriában pedig óriási szerepet játszik, ezért ki kell zárni. És végül Descartes utolsó, negyedik alapelve, amely már közvetlenül az oktatási minisztériumra vonatkozik: „Minden más tanítási módszert azonnal meg kell tiltani, kivéve az enyémet, mert az én nevelési módszerem az egyetlen igazán demokratikus módszer. . Nevelési módszerem demokratikus jellege abban rejlik, hogy azok közül, akik az én módszerem szerint tanulnak, a legtompább, legközépszerűbb elme ugyanazt a sikert éri el, mint a legragyogóbb.
Például Descartes "felfedezte", hogy a fény sebessége a vízben 30%-kal nagyobb, mint a levegőben (ellentétben Fermat elvével és Huygens hullámburkoló-elméletével). De lehetett nem hivatkozni az elődökre.
Amikor Pascal tájékoztatta Descartes-t a hidrosztatikával kapcsolatos munkájáról és a Torricelli-üreggel végzett kísérleteken alapuló barometrikus mérésekről. Descartes megvetően elutasította a fiatal kísérletezőt, mert nem ismerte Arisztotelész axiómáját („a természet irtózik a vákuumtól”), és megsértette első két (kísérletiellenes) elvét. Ebből az alkalomból ezt írta a Tudományos Akadémia elnökének, Huygensnek: „Személy szerint én nem látok ürességet sehol a természetben, csak Pascal fejében.” Hat hónappal később Pascal elmélete általánosan elfogadottá vált, és Descartes már azt mondta, hogy Pascal eljött hozzá, hogy elmondja, de ő maga akkor még nem értett semmit; és most, amikor ő, Descartes, mindent elmagyarázott neki, Pascal sajátjaként elmondja (kartéziánus) elméletét.
Érdekes, hogy Leonardo da Vinci a kísérlethez való hozzáállása egészen más volt: hidrodinamikai tanulmányaiban (ahol már a turbulenciát is elemezték) ragaszkodik ahhoz, hogy ezen a területen mindenekelőtt a kísérletek, és csak azután az érvelés vezéreljenek. . Ezt követően a hasonlóság és az önhasonlóság törvényeit tárgyalja.
S.G. Sehovcov: Ön Montaigne állítólagosan létező elveiről beszélt... De tény, hogy oroszul, legalább kétszer, és most nagyon sok "kísérlet" van... Montaigne ezekben a "Kísérletekben" folyamatosan idézi az ókori szerzőket. Egyáltalán hogyan lehet ezt összehasonlítani? Lehet, hogy ez csak provokáció volt?
Nem, ez nem provokáció. És a lényeg ez. Montaigne külföldön tett utazásai után különösen kritikus volt a francia kultúrával szemben. Sokszor ír róla. Azt írja, ha összehasonlítjuk a franciaországi tudományt más országok tudományával: a németországi, az angliai, a római, a spanyolországi, a holland tudományokkal - mindezen országokban, akkor ott nem érvényesek azok az elvek, amelyek a tipikus franciák. és sokkal jobb. Montaigne kritizálja Franciaországot, és ezek az általam olvasott mondatok nem helyes kijelentések Montaigne-ra nézve, de ez egy kifejezetten francia gondolkodásmóddal kapcsolatos kritikája. Bourbaki tanításáról Montaigne ezt mondta: "Tout jugements universels sont laches et vaaraeux" ("minden egyetemes ítélet gyáva és veszélyes") - a "Kísérletek" című részben a III. könyvben, ch. VIII, 1588-as kiadás 35. old. Az esszékben sok szó esik a II. könyv XII. fejezetének, a III. könyv VIII. és IX. fejezetének előadásmódjáról. Az I. könyvben ch. A XXVI kifejezetten az oktatásnak szentel: „A fő az étvágy és az érzések serkentése: különben könyvekkel, ostorral megrakott szamarat nevelsz, és tudománnyal teletömöd a zsebed, amit nem csak magadban kell elhelyezned, hanem megházasodtak.” Ezért teljesen igaza van abban, hogy ő maga az elvek által kifejezett ellenkező álláspontot képviselte, igaz, de hangsúlyozta, hogy Franciaországban ez a nézőpont a domináns. Egyébként érdekes, hogy a francia nézőpont sokkal korábban is ilyen volt. Ha a gall császárháborúról vesszük a jegyzeteket, akkor már ott van a legsúlyosabb kritika a franciákat, nos, akkoriban persze a gallokat, de a kelta jelleg sok tekintetben megmaradt a jelenlegi franciák között, és a Franciaország jellemzése, amelyet Julius Caesar adott, nagyrészt ma is hűséges. Caesar keveset beszél a tudományról, bár erről is beszél. Azt mondja, a franciákat (gallokat) a teatralitás és az a vágy, hogy olyan színházi előadást rendezzenek, ahol nem igazán tudnak mit kezdeni. Nem érhetnek el semmit, de igényt tarthatnak. Itt van az a képesség, hogy azt állítsák és állítólag tökéletesnek adják ki, amit nem értek el – ez a rendkívül jellemző tulajdonságuk. Azt mondja, aláírtak egy megállapodást Rómával, hogy egyetlen németet sem engednek át, és Rómát teljesen megvédik a németektől, mert Franciaország fal lesz, és a német támadást megállítják (nem Franciaország, hanem Gallia). ). De – mondja Caesar – ez nem igaz. Ha nem etetik őket (a francia katonákat) olyan élelmiszerrel, amit általában lehetetlen megvenni, és ha nem adnak nekik olyan csodálatos bort, amelyet nem tudunk szállítani nekik, akkor egyáltalán nem tudnak harcolni, sem megmászni az Alpokat, és még inkább megállítani a németeket. Amint az első német ezred átkelt a Rajnán, az összes francia lefeküdt, hogy ne vegyék észre őket, és átengedjék a Rómát szétzúzó német légiókat. Ezért az egyetlen módja annak, hogy Rómának megvédje magát a németek ellen, ha meghódítja ezt a Galliát, és ő kezdte meg a gall háborút.
DV Anosov: Nagyszerű ötlet meghódítani egy országot, hogy megvédjük egy harmadik országtól.
A teremből: Felvázoltad nézeteidet a matematika fejlődéstörténetéről. És hogyan vélekedik az elméletről, Fomenko akadémikus történelemről alkotott nézeteiről?
- Van egy nagy könyv "Történelem és anti-történelem", amelyet a közelmúltban adott ki az "Orosz kultúra nyelvei" (M., 2000) kiadó, amelyben szakértők, történészek, csillagászok és mindenféle mások írtak erről. nagy részletességgel. Idézek onnan egy kis darabot, amelyet Andrej Zaliznyak, a novgorodi nyírfakéreg főspecialistája írt. Leírása szerint Fomenko elmagyarázza az angolul skótoknak nevezett skótok eredetét. Kétezer évvel ezelőtt szkíta törzsek éltek a Fekete-tengertől északra. A szkíták pásztorok voltak, és sok marhájuk volt. Ráadásul voltak csónakjaik, amelyeken különféle folyókon vitorláztak, nagyon szerettek úszni. Csónakokra rakták marháikat, felhajóztak a Dnyeperen, a Don mentén, megmászták az Okát, a Dvinát, átkeltek a Balti-tengeren, Dániába, az Északi-tengerre, Angliába, Skóciába, ott üres helyeket találtak, falvakat építettek, ott telepedett le. De nem szerették, mert rossz a klíma, állandóan esik az eső, hideg van. És úgy döntöttek, hogy visszatérnek. De mivel azokban az időkben a légi flotta nem működött jól, rájöttek, hogy nem tudják majd gyorsan berakni az összes jószágot, és nem tudnak gyorsan visszatérni. Ezért a jószágot ott kellett hagyniuk, és a jószág azóta is ott él, ez a skót.
E könyv másik szerzője felhívja a figyelmet arra, hogy Fomenko elméletének kereskedelmi sikerének tapasztalataiból egyértelműen következik az a történettudomány számára fontos következtetés, hogy lakosságunk kulturális és iskolai végzettsége a történelem területén rendkívül alacsony.
M.A. Tsfasman: Vlagyimir Igorevics, ha lenne néhány őrült ebben a hallgatóságban, aki meg szeretné őrizni a kultúrát, beleértve a matematika kultúráját is, mit javasolna nekik?
Tudod, ez egy nagyon nehéz kérdés. Azt javaslom, hogy térjen vissza Kiselevbe az iskolai tanítás terén. De ez az én személyes véleményem. Tanárom, Andrej Nyikolajevics Kolmogorov, amikor elkezdte a reformját, határozottan arra buzdított, hogy vegyek részt ebben a reformban, írjam át az összes tankönyvet, készítsem el új módon és mutassa be őket, ahogy akarja, burbakizálja az iskolai matematikát, és így tovább. Én kategorikusan visszautasítottam, szinte direkt veszekedtem vele, mert amikor elkezdte elmondani az ötletét, akkora hülyeség volt, amiről teljesen nyilvánvaló volt számomra, hogy nem lehet átengedni az iskolásoknak. Sajnos utána még néhány akadémikus hiányzott, és még nála is rosszabbul jártak. Félek megtenni, most nem vállalom ezt az üzletet, különösen kihasználva ezt a sok tapasztalatot. Kedves emberek, A.D. Alekszandrov, Pogorelov, Tikhonov, Pontryagin - mind részt vettek, és mind rosszul írtak. Biztosan állíthatom, hogy Kolmogorov rosszul írt, mondjuk hát, én is tudok másokról; Az általuk javasolt tankönyveket kritizálhatom, de a saját tankönyvemet nem tudom ajánlani...
Jómagam egy iskolában tanítottam (azonban bentlakásos iskolában - igaz, ez nem egy közönséges iskola, de történetesen egy közönséges iskolában tanítottam) - egy bentlakásos iskolában előadásokat tartottam, amelyekről még Alekseev könyve is. , aki itt van jelen, előadásaim szerint megjelent. Egyike volt azoknak a diákoknak, iskolásoknak, akik éppen ezeket az előadásokat, gyakorlatokat írták le, egy jó könyvet "Ábel tétele a problémákban és megoldásokban". Bizonyítéka van annak a tételnek, hogy az ötödik fokú egyenlet gyökökben megoldhatatlan. Útközben komplex számok, Riemann-felületek, fedőelmélet, csoportelmélet, megoldható csoportok és még sok más bemutatásra kerül. Azt a tapasztalatomat, hogy véleményem szerint hogyan kell matematikát tanítani, konkrét dolgokról konkrétan többször is megfogalmaztam. Különféle előadásokat tartottam, rögzítettem, publikáltam stb. Ezt meg tudom csinálni. De félelmetes lenne egy ilyen nagy projekt élén állni, mert véleményem szerint itt valamiféle versenyre van szükség, amelyben a legjobb tanárok tapasztalata kitörhet, ahogy az Kiselev esetében történt. magát, aki egyáltalán nem volt a legjobb matematikus Oroszországban, és aki kezdetben nem túl sikeres könyvének többszöri átdolgozásával érte el a legnagyobb sikert. Ide jó tanárokra van szükség, jó tanároknak kell ezt csinálniuk, és jól kell csinálniuk.
M.A. Tsfasman: És mi a helyzet a felsőoktatási és posztgraduális oktatással?
- Ebben persze rengeteg tapasztalatom van. Az első tétel, amely nagy károkat okozott a matematikai felsőoktatásban, a tézis, amely szintén főként a franciáktól származik. Jean-Pierre Serra barátomtól, egy francia matematikustól tanultam, és ez az érv a következő. Serre azt állítja: Ön szerinte sok helyen rosszul írja le, hogy a matematika a fizika része. Valójában a matematikának semmi köze a fizikához (Serre szerint), ezek teljesen ortogonális tudományok. Aztán Serre ír egy mondatot, amit én bumerángnak nevezek, vagyis önveszélyes. Ez a mondat így hangzik: "Azonban nekünk, matematikusoknak nem szabad megszólalnunk az ilyen filozófiai kérdésekben, mert még a legjobbak is - jól látható, hogy amikor beszéltünk vele, akkor ő az - még a legjobbak is képesek beszélni. ilyen kérdésekben, hogy teljes hülyeséget mondjak. Hilbert a harmincadik évben publikálta a "Matematika és természettudomány" című cikket, amelyben azt írta, hogy a geometria a fizika része. Ebből az alkalomból el kellett mondanom, hogy két nagy algebraista, Hilbert és Serre egymásnak ellentmondó módon jelenik meg itt. De a barátaim, különösen Dmitrij Viktorovics Anosov és mások is azt mondták nekem, hogy ez az állításom egyszerűen azon alapul, hogy rosszul vagyok a formális logikával, nem olvastam Arisztotelészt. Valójában e két állításból levonható következtetés egyáltalán nem ellentmondás, de logikus érveléssel, ahogy az iskolásokat tanítják, ebből a két állításból logikusan szigorú következtetést lehet levonni. Ez a következő: a geometriának semmi köze a matematikához. Ez a franciák logikája. Úgy döntöttek, és kizárták a geometriát az oktatásból. Az egyetemi oktatásban és az iskolai oktatásban is kidobják a geometriai tankönyveket, és kérdezzenek például a párizsi Ecole Normale Superier diákjától valamit az xy = z(2) felületről vagy az egyenletek által parametrikusan megadott síkgörbéről. x = t( 3) - 3t, y = t(4) - 2t(2) reménytelen, semmit nem tanítanak. A L'Hôpital, Goursat, Jordánia tankönyvei – mindazok a csodálatos tankönyvek, Klein, Poincaré könyvei – mind kikerülnek a diákkönyvtárakból.
D.V. Anosov: Hadamard...
– Hadamara is… Mindent kidobtak! Pusztán azért dobtak ki mindent, mert ahogy elmagyarázták nekem, ezek régi könyvek, elindul bennük egy vírus, amitől elrohad az egész könyvtár, beleértve Bourbaki könyveit is, ez lehetséges?
E.V. Yurchenko: A geometria tanulmányozásáról és Kiselev tankönyvéről akartam néhány szót szólni, amit mondtál. Úgy gondolom, hogy az utóbbi időben remek lehetőség a tanárok számára a különböző tankönyvek használatára, és van egy nagyon érdekes kérdés a geometria korai elsajátításával kapcsolatban, egészen az első osztálytól kezdődően, mert sokat fejleszti a gyerekek képzelőerejét, és nem ragaszkodnék ahhoz, hogy munkatapasztalatomból visszatérjek Kiszeljov tankönyvéhez.
- Nem vitatom, talán vannak jobb tankönyvek, mint Kiselev tankönyve, ez teljesen lehetséges. De mindenesetre szükségünk van egy tankönyvre ezen általános tudományos trükkök, bourbakiizmus nélkül, erre gondolok.
A.Yu. Ovchinnikov: Egy nagyon apró kérdés. A közönséges differenciálegyenletekről szóló csodálatos könyvedben szokatlanul sok mindenféle gyönyörű kép található, általában egy csodálatos könyv, nagyon érdekes és kellemes olvasni. Ám, amint egy nagyon egyszerű kísérlet segítségével könnyen belátható, tanítványai túlnyomó többsége ennek a könyvnek köszönhetően még nagyon egyszerű differenciálegyenleteket sem tud megoldani. Véleménye szerint ez miben hasonlít ahhoz a látszólag alkalmazott megközelítéshez, amelyet jelenleg hirdet?
- Nos, személyesen a tanítványaimra vonatkoztatva ez egyszerűen nem igaz, nagy tapasztalatom van... A tankönyv végén, a legújabb kiadásban közel száz probléma van, elég komoly egyenletekkel, ill. Rengeteg vizsgatapasztalatom van, írásbeli vizsgáim, amelyeken a diákok Moszkvában és Párizsban is tökéletesen megoldanak olyan egyenleteket, amelyeket más képzéseken nem tudnak megoldani a hallgatók. És ezek az egyenletek tökéletesen szabványosak, ugyanakkor; nem nehéz egyenletek, tudod? Kifejezetten foglalkoztam ezzel a témával - a követelményekkel, és többször írtam listákat azokról a feladatokról, amelyeket meg kell követelni a megoldáshoz. Például van egy ilyen nagy cikkem, nemcsak a differenciálegyenletekről, minden matematikáról, amit a Fizikotechnikai Intézetbe írtam, de alkalmas egy matematikusnak is, arról, hogy hány száz feladat teszi ki a matematika egészét. Ezt a száz feladatot az Uspekhiben publikálják, és nagyon ajánlom ezt a cikket, a The Mathematical Trivium. Könnyű feladatok ezek, sok van belőlük, száz, de könnyűek. Például az első feladat a következő: „Adott egy függvény grafikonja. Rajzolj derivált gráfot. Ha valaki nem tudja, hogyan kell ezt megtenni, akkor még ha tudja is, hogyan kell megkülönböztetni minden polinomot és racionális függvényt, semmit sem ért a deriváltokból. Én pontosan ugyanígy tanítottam differenciálegyenleteket, és van tapasztalatom, azt állítom, hogy ha valaki úgy tanított a tankönyveimből, hogy a diákok a legegyszerűbb egyenleteket sem tudják megoldani, akkor ez rossz tanár.
* * *
Nemrég szembe kellett néznem egy olyan problémával, amivel az ötévesek megbirkózni, de amit az egyik tudományos folyóirat (Uspekhi Fizicheskikh Nauk) szerkesztői nem értenek és torzítottak. Két Puskin-kötet van a polcon. Az egyes kötetek lapjai 2 cm-esek, borítói 2 mm-esek. A féreg az első kötet első oldalától a második utolsó oldaláig mart. Meddig rágta?
Hadd szóljak még néhány szót a feladatokról.
Íme egy tipikus példa egy olyan problémára, amelyet a francia diákok könnyen meg tudnak oldani: "Bizonyítsa be, hogy a Mars bolygón minden RER vonat piros és kék."
Íme egy mintamegoldás:
Jelölje Xn(Y) az Y rendszer összes menetének halmazát az n számú bolygón (a Naptól számítva, ha a Naprendszerről beszélünk).
A CNRS által ott és akkor közzétett táblázat szerint a Mars bolygó száma a Naprendszerben 4. Az X4(RER) halmaz üres. Az elemzés során a 999-c tétel szerint az üres halmaz minden eleme rendelkezik minden előre meghatározott tulajdonsággal.
Ezért a Marson minden RER vonat piros és kék színű.
A matematika, mint egyfajta, önkényesen választott törvényeken alapuló jogi kazuisztika tanítása már egészen korán elkezdődik: a francia iskolásoknak azt tanítják, hogy minden valós szám nagyobb önmagánál, hogy a 0 természetes szám, hogy minden általános és elvont fontosabb, mint a konkrét, konkrét.
A tudomány egyszerű és alapvető alapjai helyett a francia diákok gyorsan specializálódnak, így tudományuk valamely szűk területének szakértőivé válnak, és nem tudnak mást.
Már Leonardo da Vinci is megjegyezte, hogy minden tompa, aki csak egy szűk témával foglalkozik, és elég sokáig gyakorol, sikereket ér el benne. Művészeknek szóló utasításokba írta, de ő maga is a tudomány számos területével foglalkozott. Jegyzeteinek szomszédos részei részletes utasításokat tartalmaznak a víz alatti szabotőrök számára (beleértve a tűz használatát víz alatti munkákban és a mérgező anyagokra vonatkozó ajánlásokat).
Az amerikai iskolai teszt azonban évtizedekig magában foglalta a feladatot: meg kell találni egy derékszögű háromszög területét, amelynek befogója 10 hüvelyk és magassága 6 hüvelyk hosszú. Ez a pohár fújjon el minket.
Íme még néhány idézet régi forrásokból, amelyek elmagyarázzák, hogyan alakult ki a jelenlegi szomorú helyzet az oktatás területén és a lakosság jelenlegi analfabéta.
Rousseau Vallomásokban azt írta, hogy addig nem hiszi el a saját maga által bebizonyított formulát, hogy "az összeg négyzete egyenlő a tagok kettős szorzatának négyzeteinek összegével", amíg meg nem rajzolta a négyzet megfelelő felosztását négy téglalapra.
Leibniz elmagyarázta Sophia-Charlotte királynőnek, hogy meg akarja menteni őt az ateista Newton befolyásától, hogy Isten létezését legkönnyebben saját tudatunk megfigyelésével lehet bizonyítani. Mert ha tudásunk csak külső eseményekből származna, akkor soha nem ismerhetnénk meg egyetemes és feltétlenül szükséges igazságokat. Az a tény, hogy ismerjük őket - és így megkülönböztetünk az állatok között - Leibniz szerint isteni eredetünket bizonyítja.
Az iskolai oktatást megreformáló franciák 1880-ban ezt írták: „Minden dolog annyiba kerül, amennyiért eladják. Mi lesz az ingyenes oktatás ára?”
Ábel 1820-ban panaszkodott, hogy a francia matematikusok csak tanítani akartak, de nem hajlandók semmit megtanulni. Később megvetően írták, hogy ez a szegény ember (akinek munkáját a Tudományos Akadémia elveszítette) "a jégen gyalog tért vissza Párizsból Szibériájának Norvégiának nevezett részébe".
Ábel iskoláztatását apja kezdte, aki különösen arra tanította fiát, hogy 0 + 1 = 0. A franciák még mindig azt tanítják iskolásaiknak és diákjaiknak, hogy minden valós szám nagyobb önmagánál, és hogy a 0 természetes szám (Bourbaki szerint). és Leibniz szerint minden általános fogalom fontosabb, mint a magánjellegűek).
Balzac "hosszú és nagyon keskeny teret" említ.
Marat szerint "a matematikusok legjobbjai Laplace, Monge és Cousin: egyfajta automata, amely megszokta, hogy bizonyos képleteket követ, vakon alkalmazza azokat". Később azonban Napóleon leváltotta Laplace-t a belügyminiszteri poszton, "miért a végtelenül kicsiny szellemét próbálta bevezetni az adminisztrációba" (azt hiszem, Laplace azt akarta, hogy a számlák egy fillérhez közeledjenek).
Taft amerikai elnök 1912-ben kijelentette, hogy egy gömb alakú háromszög, amelynek csúcsai az Északi-sarkon, a Déli-sarkon és a Panama-csatornán vannak, egyenlő oldalú. Mivel amerikai zászlók lengenek a tetején, "az egész féltekét, amelyet ez a háromszög borít", az övének tekintette.
A. Dumas-fia a házak "furcsa építészetét" említi, amely "félig vakolat, fele tégla, fele fa" (1856). Egy párizsi lap azonban 1911-ben azt írta, hogy "Mahler Ötödik szimfóniája szünet nélkül másfél óráig tart, így a harmadik percben a hallgatók az órájukra néznek, és azt mondják magukban: még száztizenkét percet!" Valószínűleg az volt.
A következő történet Dubnához kapcsolódik. Két évvel ezelőtt a római Lynch Akadémia megemlékezett Bruno Pontecorvóról, aki 1950-től 1996-ban bekövetkezett haláláig Moszkvában vagy Dubnában élt. Halála előtt harminc évvel mesélte, hogy egyszer eltévedt (Dubna környékén?), és csak traktorral jutott haza. A traktoros, kedveskedni akarva, megkérdezte: Mit keresel ott a dubnai intézetben? Pontecorvo őszintén válaszolt: "Neutrinó fizika."
A traktoros nagyon örült a beszélgetésnek, de egy külföldi orosz nyelvezetét dicsérve megjegyezte: „Egy kis akcentus mégis megmarad: a fizika nem neutrínó, hanem neutron!”
A Lynch Akadémia egyik oktatója, akinek Proceedings-ben olvastam a fenti incidenst, ezt így kommentálja: „Most már kijelenthetjük, hogy Pontecorvo jóslata beigazolódott: ma már senki sem tudja nemcsak mi a neutrínó, hanem azt is, hogy mi a neutron az!"
Turaev B.A. Thoth isten. - Lipcse, 1898.
. "Orosz Champollion" N. A. Nyevszkij megfejtette a tangut hieroglifákat, és helyreállította ezt az elfeledett nyelvet; 1937-ben lelőtték, 1957-ben posztumusz rehabilitálták. A "Tangut-filológia" 1962-ben Lenin-díjat kapott.
Diodorus Siculus történész ezt írja: "Pitagorasz az egyiptomiaktól tanulta meg az istenekről szóló tanítását, geometriai tételeit és a számelméletet, a nappályát..." (The Library of History, I. könyv, 96-98).
Thothban a jelek szerint ennek a posztulátumnak a helyét több vele egyenértékű axióma foglalta el. Azt a tényt, hogy mindegyik egyből következik, Eukleidész bizonyította be.
Még azt is állították, hogy az egyiptomi nők nyilvánosan krokodilokkal prostituáltak (P.J. Proudhon "De la cel?bration du dimanche", 1850). Nagy Sándor azt állította, hogy a Nílus forrása az Indus folyó, mivel mindkét folyó tele van krokodilokkal, és partjaik lótuszokkal benőttek. Azt is hitte, hogy az Amu-darja a Tanais, amely északról a meoti mocsarakba ömlik (azaz a Donba, amely az Azovi-tengerbe ömlik), és hogy a Kaszpi-tengert szoros köti össze a Az Indiai-óceáni Bengáli-öböl (és ezért nem Indiából ment Kínába). A topológia ekkor gyengén fejlődött.
Newton eredeti bizonyítása (1666?) hibás volt, de erre sok év múlva rájött, amikor Halley tanácsára megpróbálta felhasználni a negyven shillinges bónuszt, amelyet a nagy londoni építész, Wren Hooke és Halley ígért egy alehouse-ban. , aki az elliptikus pályákat próbálta bizonyítani.
. A „karteziánus” koordinátarendszert az ókori rómaiak folyamatosan használták katonai tábor felállítása során, hogy minden légiót könnyen el lehessen helyezni. Ennek a koordinátarendszernek a nyomai ma is láthatók a párizsi latin negyed topográfiájában. Az eredettől nem messze ma egy Jeux Descartes (Descartes Games) üzlet található. Ez az elnevezés azonban aligha tekinthető kísérletnek arra, hogy Caesar érdemeit Descartes-nak tulajdonítsák: elvégre a „jeux des cartes” az említett boltban árult „kártyajátékok”.
Íme Montaigne kifejezett megfogalmazása: „Il ne faudra jamais rencontrer quelque idiome du pays (toscan, napolitan stb.) et de se joindre? quelqu "une des taut de forms. Ne faudra quelqu" un de dire "Voila d" o? il le print "" ("Kísérletek", II. könyv, XII. fejezet, 274. o., 1588-as kiadás). Azaz: "Ne használjon idegen nyelvű kifejezéseket – toszkán, nápolyi stb., és ne kövessen semmilyen - a számtalan forma bármelyike. Nem kell senkinek azt mondania: „Onnan szerezte!" Montaigne-t az is meglepte, hogy „bárhová mennek honfitársaim, mindig kerülik a külföldieket" (III. könyv, IX. fejezet).
Leibniz a deduktív gondolkodásra való veleszületett hajlamunkat Isten létezésének bizonyítékának tekintette, aki ezt a hajlamot eredetileg agyunk szerkezetébe helyezte. A Descartes és Leibniz indukció és Newton elleni harcának témájának irodalmát az "L" enfance de l "Homme" cikke tartalmazza, Jacques Cheminade, a Fusion folyóirat, mars-avril 2000, Ed. Alcuin, Paris, p. . 44.
. "A franciák számára a csalás és az árulás nem bűn, hanem életforma, becsületbeli ügy Valentinianus császár idejétől napjainkig." (II. könyv XVIII. fejezet)
A franciák azt állítják, hogy a geometriát és a komplex számok "trigonometrikus alakját" (modulok, argumentumok stb.) Argand találta ki. De sok évvel előtte Wessel mindezt Dániában tette (akinek ötletei hatással voltak Ábelre). Wessel egyébként hiperkomplex számokat (lényegében kvaterniókat) próbált alkalmazni a háromdimenziós tér forgásának leírására. A bi + cj + dk tengely körüli szögelfordulás (b2 + c2 + d2 = 1) megfelel a cos(/2) + sin( /2) kvaterniónak. Ebben a képletben a fele nagy topológiai jelentőséggel bír, és a fizikában ez magyarázza az úgynevezett részecske spint.
A francia forradalom arra kötelezte az összes állampolgárt, hogy csak „te”-nek szólítsák egymást, a szabálysértőket pedig guillotin alá vonhatták. Párizsban tehát ma is őrzik ezt a szokást.
A hozzám eljutott információk szerint a Fizikotechnikai Intézet professzorai átlagosan e feladatok harmadával megbirkóznak.
A „Lynch” szó jelentése „hiúz”: a résztvevőknek hiúz éberséggel és éleslátással kellett rendelkezniük. Emlékszem, Galileo hatodikként írta alá azt a vastag fóliót, ahol a Lynch Akadémia tagjai vannak bejegyezve (Newton száma a Londoni Királyi Társaság fóliójában sokkal nagyobb).
Vladimir Igorevics Arnold
Az "akadémiai" tankönyvek szomorú sorsáról
Az információforrás- http://scepsis.ru/library/id_652.html
Tragikusnak tartom a huszadik századi matematikusok tapasztalatát, akik középiskolai tankönyveket készítettek. Kedves tanárom, Andrej Nyikolajevics Kolmogorov sokáig próbált meggyőzni arról, hogy végre „igazi” geometriai tankönyvet kell adni az iskolásoknak, kritizálta az összes létező tankönyvet amiatt, hogy bennük olyan fogalmak vannak, mint a „721 fokos szög”. pontos definíció nélkül maradnak.
A szög meghatározása, amit tízéves iskolásoknak szánt, azt hiszem, nagyjából húsz oldalt vett igénybe, és csak egy leegyszerűsített változat jutott eszembe: a félsík meghatározása.
A komplementer pontjainak a síkon lévő egyenesével való "ekvivalenciájával" kezdődött (két pont ekvivalens, ha az őket összekötő szakasz nem metszi az egyenest). Aztán egy szigorú bizonyíték arra, hogy ez az összefüggés kielégíti az ekvivalenciarelációk axiómáit; A ekvivalens A-val, és így tovább.
Több további tétel is kimondta egymás után, hogy "az előző tétel által meghatározott ekvivalenciaosztályok halmaza véges", majd "az előző tétel által meghatározott véges halmaz számossága kettő".
És végül az ünnepélyesen abszurd "definíció": "Egy véges halmaz két elemének mindegyikét, amelynek számossága az előző tétel szerint kettővel egyenlő, félsíknak nevezzük."
Könnyű volt előre látni az ilyen "geometriában" tanuló iskolások gyűlöletét mind a geometria, mind általában a matematika iránt, ezt próbáltam elmagyarázni Kolmogorovnak. De Bourbaki tekintélyére hivatkozva válaszolt: a "Matematika története" című könyvükben (a Kolmogorov szerkesztésében megjelent "Matematika építészete" orosz fordításban) az áll, hogy "mint minden nagy matematikus, Dirichlet, mindig arra törekszünk, hogy az átlátható ötleteket vak számításokkal helyettesítsük."
A francia szövegben, akárcsak Dirichlet eredeti német nyilatkozatában, természetesen ez volt: "cserélje ki a vakszámításokat átlátható ötletekre." Kolmogorov azonban szerinte az orosz fordító által bevezetett változatot sokkal pontosabbnak tartotta Bourbaki szellemiségének kifejezésére, mint saját naiv szövegüket, amely Dirichletig nyúlik vissza.
Ennek ellenére Andrej Nyikolajevics arra kényszerített vagy rávett, hogy vegyek részt kísérleteiben, így a hatvanas évek elején előadásokat tartottam iskolásoknak (középiskolásoknak).
A komplex számok geometriájából és a Moavre-képletből kiindulva gyorsan áttértem az algebrai görbékre és a Riemann-felületekre, az alapcsoportokra és fedésekre, a monodromiára és a szabályos poliéderekre (beleértve az egzakt sorozatokat, normálosztókat, transzformációs csoportokat és megoldható csoportokat). Az ikozaéder szimmetriacsoportjának feloldhatatlansága könnyen levezethető a beleírt öt Kepler-kocka figyelembevételével. Ebből az elemi geometriából a félév végére bizonyítást kaptam Ábel tételére az ötödik és magasabb fokú egyenletek gyököiben való megoldhatatlanságáról.
A valóban modern iskolai tankönyvről alkotott elképzeléseimet ennek az iskolai kurzusnak a szövegéből érthetjük meg, amelyet később egyik akkori iskolásom, V.B. Alekszejev „Ábel-tétel a problémákban” című könyvében (Moszkva, Nauka, 1976), valamint a közelmúltban megjelent előadásomban az iskolásoknak: „A komplex számok, kvaterniók és spinek geometriája” a Moszkvai Központi Matematikai Központtól. Oktatás.
Mindkét könyv többsége egy átlagos diáknak szól, és a valódi matematikát magyarázza el neki (bár lehet, hogy néhányat nem ismer a legtöbb egyetemi matematika professzor).
Itt megemlíteném, hogy ennek az Abel-elméletnek a folytatása (amely jövőre lesz 200 éves) figyelemre méltó tételeket tartalmaz az elemi függvényekkel - integrálokkal (például a harmadfokú polinomok négyzetgyökével) való nem-reprezentálhatóságról.
Abel bevezette a topológiát ebbe az elméletbe (széles körben Riemann-felületeket használva algebrai függvények saját - Abeli -integráljainak tanulmányozására). Megállapította, hogy az integrálok nem elemiek abban az esetben, ha a Riemann-felület nem gömb, hanem "fogantyúi" vannak (mint a hármas fokú polinomok gyökeinek "elliptikus integráljainak" megfelelő tórusz). Feltételezem, hogy megfontolásai még az integrálok "topológiai nem-elemiségéhez" is vezetnek, vagyis sem az integrált kifejező felső határ (az ún. elliptikus, vagy Abeli-integrál), sem a vele fordított függvény nem ( az úgynevezett "elliptikus függvény", mint az elliptikus szinusz, amely az inga nem túl kicsi oszcillációit írja le súrlódás vagy a műhold tömegközéppontja körüli szabad forgása nélkül) - ezek a függvények nemcsak nem elemiek, hanem topológiailag nem egyenértékű semmilyen elemi függvénysel.
De sajnos a következő évek matematikusai rosszul értették Ábel érvelésének topológiai természetét (és nem vették bele elméleteit az iskolai kurzusokba).
Például az obskurantista Hardy (aki az Orosz Tudományos Akadémia külföldi tagja volt) a közelmúltban Izsevszkben megjelent orosz nyelvű könyvében "A matematika apológiája" ezt írta: "Abel, Riemann és Poincaré nélkül a matematika nem működne. elvesztettek semmit."
Ennek eredményeként a fent megfogalmazott két állítás (az elliptikus vagy Abel-féle integrálok és függvények topológiai nem-elemiségéről) bizonyítása láthatóan kiadatlan marad, és Abel, Riemann és Poincaré topológiai elméletei, amelyek mindkettőt egyformán átalakították. a matematika és a fizika, beleértve mindenekelőtt az ezekre az elméletekre épülőket, a kvantumtérelmélet – ezek a topológiai tudományok szükségtelenül maradnak teljesen ki a modern iskolások látóteréből, akiket ehelyett vagy a félsíkok meghatározásai vagy sajátosságai töltenek ki. különböző cégek számítógépei.
Véleményem szerint a rendelkezésre álló matematikai tankönyvek közül a legjobb a Ya.B. Zeldovich. Bár úgy tűnik, kezdő diákokat szólít meg, véleményem szerint így kellene beszélnie az iskolásokkal.
Aztán az egyik legjobb tankönyvünkben, amelyet a legnagyobb matematikus írt iskolásoknak (I. M. Gelfand, E. I. Shnol és E. G. Glagoleva „Függvények és grafikonok”), azt olvastam, hogy „az f (x) függvény értéke az a pontban f(a)-val jelöljük. E felfogás után, hogy f(x) függvény és f(a) egy szám, hogyan gondolnád f(y)-t és f(b)-t? Ugyanolyan lehetetlen megtanítani egy ilyen kezdet után, hogy mi az operátor vagy funktor, mint ahogy a borbély helyzete is nehéz volt a tábornok parancsa után, hogy "borotválja meg mindazokat, akik nem borotválkoznak".
A matematikai objektumok különböző szintjei közötti különbségtétel: elemek, halmazok, részhalmazok, leképezések és így tovább egészen a funktorokig és azon túl is, az elemi matematikai kultúra nélkülözhetetlen része, akárcsak az ár és a számla vagy az Uzi és a gyilkos megkülönböztetése.
Egy időben Kiselev matematikai tankönyvei elvitathatatlan érdemeikkel meghódították Oroszországot, bár semmiképpen sem volt nagy tudós. Ráadásul ezeknek a tankönyveknek az első tíz kiadása még mindig messze volt attól a szinttől, amelyet a tankönyveket gyakorlatilag alkalmazó tanárok megjegyzései miatti többszöri változtatások miatt sikerült elérni. Ezért azt gondolom, hogy jelenlegi vagy akár holnapi körülményeink között a legjobb tankönyvet nem a legnagyobb tudós és egyáltalán nem én, hanem a legtapasztaltabb tanár fogja megírni, és még akkor sem azonnal, hanem hosszú távon. sok iskolában hasonlóan tapasztalt kollégái által.
Csak a külföldi tapasztalatok kritikátlan kölcsönzésére szeretnék figyelmeztetni, különösen az amerikai (ahol eltörölték az egyszerű törteket, csak a számítógépes tizedesekre korlátozták) és a francia nyelvet (ahol a számolást teljesen abbahagyták, ismét a számológépekre hivatkozva, a rajzokat pedig tanácsra kidobták Descartes).
Nemrég találkoztam a párizsi matematikatanárok nagy örömével, amikor megválasztották képviselőjüket a Nemzetközi Matematikai Unió iskolások matematikai szakosztályába. Elmagyarázták nekem, hogy "feltolták", hogy ne zavarja párizsi kollégáit azzal az ötletével, hogy "a számítógépes didaktikát vezesse be az iskolásoknak a matematikai elemzés alapjainak tanításába".
Ez a „didaktika” az olyan hagyományos gyakorlatok felváltását jelenti, mint a „sin2 (x) és sin (x) 2 függvények grafikonjainak megrajzolása” a számítógép gombjainak megnyomására és a szabványos számítógépes képzés „matematika” (és hasonló) rendszereinek elérésére. .
Másrészt a párizsi tanítványaim elmagyarázták nekem, hogy a katonai kiképzésük magában foglalta az olvasás, írás és számolás megtanítását, hogy katonákat toborozzanak, akiknek ma körülbelül húsz százaléka teljesen analfabéta (és olyan írásos parancsra rakétákat küldhet, amelyeket nem érthetett meg). , nem azon az oldalon!).
Ebbe az állapotba vezetné iskolarendszerünket az a kísérlet, hogy a "fejlett" országok "modern" tanítási módszereit átadják nekünk. Hagyja, hogy ez a pohár robbanjon el minket!
Vladimir Igorevics Arnold
Új obskurantizmus és orosz felvilágosodás
Az információforrás- http://scepsis.ru/library/id_650.html
Tanáromnak, Andrej Nyikolajevics Kolmogorovnak ajánlom
Referencia: az obskurantizmus ellenséges hozzáállás az oktatáshoz és a tudományhoz.
"Ne nyúlj a köreimhez" - mondta Arkhimédész a római katonának, aki megölte. Ez a prófétai mondat jutott eszembe az Állami Dumában, amikor az Oktatási Bizottság ülésének elnöke (2002. október 22.) félbeszakított a következő szavakkal: „Nincs Tudományos Akadémiánk, ahol megvédhetnéd a igazság, hanem az Állami Duma, ahol minden azon alapul, hogy mi Különböző embereknek más a véleménye a különböző kérdésekről.
Az a vélemény, amit megvédtem, az volt, hogy háromszor hét az huszonegy, és nemzeti szükséglet, hogy gyermekeinket megtanítsuk a szorzótáblára és az egy- és páros törtek összeadására is. Említettem, hogy Kalifornia államban nemrégiben vezették be (a Nobel-díjas transzurán fizikus, Glen Seaborg kezdeményezésére) új követelményt az egyetemi hallgatók számára, hogy képesek legyenek a 111-es számot önállóan 3-mal osztani (számítógép nélkül).
A Duma hallgatói láthatóan nem tudtak megosztani, és ezért nem értettek sem engem, sem Seaborgot: az Izvesztyiában a mondatom jóindulatú bemutatásával a „száztizenegy” számot „tizenegy” váltotta fel (ami azt jelenti, hogy a kérdés sokkal nehezebb, mivel a tizenegy nem osztható hárommal).
Az obskurantizmus diadalával találkoztam, amikor a Nezavisimaya Gazetában olvastam egy „Retrográdok és sarlatánok” című cikket, amely a Moszkva melletti újonnan épült piramisokat dicsőítette, ahol az Orosz Tudományos Akadémiát a tudományok fejlődését akadályozó retrográdok gyűjteményének nyilvánították (hiába próbálták megmagyarázni). mindent a maguk „természettörvényeivel”). Azt kell mondanom, hogy én is retrográd vagyok, mert még mindig hiszek a természet törvényeiben, és hiszek abban, hogy a Föld forog a tengelye és a Nap körül, és a fiatalabb diákoknak továbbra is el kell magyarázniuk, miért hideg télen, nyáron melegben, anélkül, hogy az iskolai végzettségünk a forradalom előtti egyházi iskolákban elért szint alá süllyedhetne (ugyanis a mostani reformátoraink a valóban alacsony amerikai iskolára hivatkozva törekednek ilyen mértékű oktatási szint csökkentésére). szint).
Az amerikai kollégák elmagyarázták nekem, hogy országukban az általános műveltség és iskolai végzettség alacsony szintje tudatos teljesítmény a gazdasági célok érdekében. A helyzet az, hogy könyvek olvasása után a művelt ember rosszabb vásárlóvá válik: kevesebb mosógépet és autót vesz, kezdi előnyben részesíteni Mozartot vagy Van Goghot, Shakespeare-t vagy a tételeket. Ettől szenved a fogyasztói társadalom gazdasága, és mindenekelőtt az élet birtokosainak jövedelme - ezért igyekeznek megakadályozni a kultúrát és az oktatást (amely ráadásul megakadályozza, hogy intelligenciátlan csordaként manipulálják a lakosságot ).
Mivel Oroszországban is tudományellenes propagandával szembesültem, úgy döntöttem, megnézem a házamtól mintegy húsz kilométernyire nemrég épült piramist, és ott bicikliztem az Istra és a Moszkva folyó közötti évszázados fenyvesek között. Itt egy nehézségbe ütköztem: bár Nagy Péter megtiltotta Moszkvától kétszáz mérföldnél közelebb eső erdők kivágását, utam során nemrég bekerítettek és megcsonkítottak egy fenyőerdő legjobb négyzetkilométereit (ahogy a helyi falusiak elmagyarázták nekem, ez „[rajtam kívül mindenki által ismert! – V.A.] Pashka bandita” tette. De még vagy húsz évvel ezelőtt, amikor ezen a most kiépített tisztáson egy vödör málnát szereztem, megkerültek, egy körülbelül tíz méter sugarú félkört tettem meg, egy egész csorda vaddisznó sétált a tisztáson.
Ilyen épületek zajlanak mindenhol. Nem messze a házamtól, egy időben a lakosság nem engedte (még a televízió tiltakozásával sem) az erdő fejlesztését mongol és más hivatalnokok részéről. Ám azóta a helyzet megváltozott: az egykori kormánypárti falvak mindenki szeme láttára foglalnak el újabb négyzetkilométereket az őserdőből, és már senki sem tiltakozik (a középkori Angliában a „bekerítések” keltettek felkelést!).
Igaz, a mellettem lévő Soloslovo faluban a községi tanács egyik tagja próbált kifogást emelni az erdő fejlesztése ellen. És akkor fényes nappal érkezett egy autó felfegyverzett banditákkal, akik pont a faluban, otthon lőtték le. És az épület ennek eredményeként megtörtént.
Egy másik szomszédos faluban, Darinában egy egész mezőt újonnan építettek ki, udvarházzal. Az emberek hozzáállása ezekhez az eseményekhez jól látszik abból a névből, amit a faluban ennek a beépített mezőnek adtak (a név sajnos még nem szerepel a térképeken): „tolvajmező”.
Ennek a mezőnek az új motoros lakói a tőlünk a Perhushkovo állomásra vezető autópályát az ellenkezőjükre fordították. A rajta lévő buszok az elmúlt években szinte leálltak. Kezdetben az új lakók-autósok pénzt gyűjtöttek a végállomáson azért, hogy a buszsofőr nyilvánítsa üzemképtelenné a buszt, az utasok pedig fizetnek a magánkereskedőknek. A „mező” új lakóinak autói most nagy sebességgel száguldanak végig ezen az autópályán (és egy furcsa, sokszor sávon). Én pedig, ha gyalog megyek az öt mérföldnyire lévő állomásra, megkockáztatom, hogy leütök, akárcsak számos gyalogos elődöm, akiknek halálozási helyeit nemrégiben koszorúkkal jelölték meg az utak szélén. Az elektromos vonatok azonban ma már szintén nem állnak meg a menetrendben meghatározott állomásokon.
Korábban a rendőrök próbálták mérni a gyilkosok-autósok sebességét és megakadályozni őket, de miután a radarral sebességet mérő rendőrt agyonlőtte egy járókelő őr, már senki sem meri megállítani az autókat. Időről időre találok elhasznált kagylóhüvelyeket közvetlenül az autópályán, de nem világos, hogy itt kit lőttek le. Ami a gyalogosok halálozási helye feletti koszorúkat illeti, a közelmúltban mindegyiket felváltották a „Lomtalanítás tilos” felirattal, amely ugyanazokra a fákra volt kifüggesztve, ahol korábban koszorúk voltak a kidobottak nevével.
Az Akszinintól Csesnokovig vezető régi úton, a II. Katalin által lefektetett gati segítségével eljutottam a piramishoz, és láttam benne "állványokat palackok és egyéb tárgyak töltésére okkult intellektuális energiával". A több négyzetméteres utasításban egy tárgy vagy egy hepatitis A vagy B beteg több órás tartózkodásának előnyei szerepeltek a piramisban (olvastam az újságban, hogy valaki még több kilogrammos követ is küldött). terhelte” a piramis az űrállomásra közpénzért).
De ennek az utasításnak a készítői is tanúsítottak számomra váratlan őszinteséget: azt írták, hogy nem érdemes sorban tolongani a piramison belüli állványokért, hiszen „a piramistól több tíz méterrel, kívül a hatás ugyanaz lesz”. Ez szerintem teljesen igaz.
Úgyhogy igazi "retrográdként" ezt az egész piramisszerű vállalkozást egy ártalmas tudományellenes reklámnak tartom egy "tárakat rakodó" üzlet számára.
De az obskurantizmus mindig követte a tudományos eredményeket, az ókortól kezdve. Arisztotelész tanítványa, a macedón Alekszandr Filippovics számos „tudományos” felfedezést tett (amit társa, Arian ír le Anabasisban). Például felfedezte a Nílus forrását: szerinte ez az Indus. A "tudományos" bizonyíték a következő volt: "Ez az egyetlen két nagy folyó, amely hemzseg a krokodiloktól" (és megerősítés: "Ráadásul mindkét folyó partja benőtt lótuszokkal").
Azonban nem ez az egyetlen felfedezése: azt is „felfedezte”, hogy az Oxus folyó (ma Amu Darja) „észak felől, az Urál közelében kanyarodva ömlik a Pontus Euxinus meoti mocsárjába, ahol Tanaisnak hívják. " ("Tanais "a Don, és a "Meotian mocsár" az Azovi-tenger). A homályos eszmék befolyása az eseményekre nem mindig elhanyagolható:
Sándor szogdiánai (vagyis szamarkandi) nem keletre, Kínába ment tovább, ahogy először akarta, hanem délre, Indiába, attól tartva, hogy egy vízzár köti össze harmadik elmélete szerint a Kaszpi-tengert ("hirkáni". ") Tenger az Indiai-óceánnal (a Bengáli-öböl területén). Hiszen úgy gondolta, hogy a tengerek "definíció szerint" az óceán öblei. Ezek azok a "tudományok", amelyekhez elvezetnek bennünket.
Szeretném kifejezni azt a reményt, hogy katonaságunk nem lesz kitéve az obskurantisták ilyen erős befolyásának (sőt segítettek megmenteni a geometriát a "reformerek" iskolából való kizárására tett kísérleteitől). De még a mai kísérletek is, amelyek arra irányulnak, hogy az oroszországi iskolai szintet az amerikai színvonalra csökkentsék, rendkívül veszélyesek mind az ország, mind a világ számára.
A mai Franciaországban a hadsereg újoncainak 20%-a teljesen írástudatlan, nem érti a tisztek írásos parancsait (és rossz irányba küldhetik a rakétáikat robbanófejjel). Múljon el mellettünk ez a pohár! A mieink még olvasnak, de a „reformerek” le akarják állítani: „Puskin és Tolsztoj is túl sok!” ők írnak.
Matematikusként számomra túl könnyű lenne leírni, hogyan tervezik megszüntetni a hagyományosan magas színvonalú matematikai iskolai oktatásunkat. Ehelyett több hasonló, homályos elképzelést sorolok fel a többi tantárgy oktatásával kapcsolatban: közgazdaságtan, jog, társadalomtudomány, irodalom (a tantárgyakból viszont az iskolában mindent el kell törölni).
Az oroszországi oktatási minisztérium által közzétett, kétkötetes „Általános oktatási szabványok” projekt számos témakört tartalmaz, amelyek ismeretét a javaslat szerint a diákoktól már nem kell megkövetelni. Ez a lista adja a legélénkebb képet a „reformátorok” elképzeléseiről, és arról, hogy milyen „túlzott” tudástól kívánják „megvédeni” a következő generációkat.
Tartózkodni fogok a politikai kommentároktól, de itt vannak tipikus példák az állítólagos "fölösleges" információkra a négyszáz oldalas Standards projektből:
a Szovjetunió alkotmánya;
fasiszta "új rend" a megszállt területeken;
Trockij és trockizmus;
fő politikai pártok;
Kereszténydemokrácia;
infláció;
nyereség;
valuta;
értékpapír;
többpártrendszer;
jogok és szabadságok garanciái;
bűnüldöző szervek;
pénz és egyéb értékpapírok;
az Orosz Föderáció állami-területi szerkezetének formái;
Ermak és Szibéria annektálása;
Oroszország külpolitikája (XVII., XVIII., XIX. és XX. század);
a lengyel kérdés;
Konfuciusz és Buddha;
Cicero és Caesar;
Joan of Arc és Robin Hood;
Magán- és jogi személyek;
a személy jogállása demokratikus jogállamban;
a hatalmi ágak szétválasztása;
igazságszolgáltatási rendszer;
autokrácia, ortodoxia és nemzetiség (Uvarov elmélete);
Oroszország népei;
keresztény és iszlám világ;
XIV. Lajos;
Luther;
Loyola;
Bismarck;
Az Állami Duma;
munkanélküliség;
szuverenitás;
tőzsde (tőzsde);
állami bevételek;
családi bevétel.
A „társadalomtudomány”, a „történelem”, „közgazdaságtan” és „jog”, amelyek nélkülözik mindezen fogalmakat, csupán formális istentiszteletek, a diákok számára haszontalanok. Franciaországban az elvont témájú teológiai fecsegést a kulcsszóról ismerem fel: „Franciaország, mint a katolikus egyház legidősebb lánya...” már voltak és vannak tudósaink”), ahogy hallottam a Francia Köztársaság Tudományos és Kutatási Nemzeti Bizottságának ülése, amelyre a Francia Köztársaság tudományos, kutatási és technológiai minisztere jelölt ki.
Hogy ne legyek egyoldalú, adok egy listát a "nem kívánatos" (a komoly tanulmányuk "megengedhetetlenségének" értelmében) szerzőkről és művekről is, amelyeket a szégyenteljes "Standard" e minőségében emleget:
Glinka;
Csajkovszkij;
Beethoven;
Mozart;
Grieg;
Raphael;
Leonardo da Vinci;
Rembrandt;
Van Gogh;
Omar Khayyam;
"Tom Sawyer";
"Twist Olivér";
Shakespeare szonettjei;
Radishchev "Utazás Szentpétervárról Moszkvába";
"Az állhatatos ónkatona";
"Gobsek";
"Goriot atya";
"Nyomorultak";
"Fehér Agyar";
"Belkin meséi";
"Borisz Godunov";
"Poltava";
"Dubrovszkij";
"Ruslan és Ludmila";
"Malac a tölgy alatt";
"Esték egy farmon Dikanka közelében";
"Ló vezetékneve";
"A nap kamrája";
"Meshcherskaya oldal";
"Csendes Don";
"Pygmalion";
"Hamlet";
"Faust";
"Viszlát fegyverek";
„Nemesfészek”;
"Hölgy kutyával";
"Jumper";
"Felhő nadrágban";
"Fekete ember";
"Fuss";
"Rákosztály";
"Hiúságvásár";
"Akiért a harang szól";
"Három elvtárs";
"Az első körben";
"Iván Iljics halála".
Más szóval, az Orosz Kultúra mint olyan törlését javasolják. Igyekeznek „megvédeni” az iskolásokat a „Szabványok” szerint „felesleges” kulturális központok befolyásától; az itt lévők nemkívánatosnak bizonyultak a „Szabványok” összeállítói szerint, az iskolai tanárok említésére:
Remetelak;
Orosz Múzeum;
Tretyakov Galéria;
Puskin Szépművészeti Múzeum Moszkvában.
Nekünk szól a harang!
Továbbra is nehéz egyáltalán nem említeni, hogy az egzakt tudományokban pontosan mit is javasolnak „tanuláshoz választhatóvá” (mindenesetre a „Szabványok” azt javasolják, hogy „ne kötelezzék el a tanulókat ezeknek a részeknek az elsajátítására”):
Az atomok szerkezete;
a hosszú távú cselekvés fogalma;
az emberi szem eszköze;
a kvantummechanika bizonytalansági relációja;
alapvető kölcsönhatások;
csillagos égbolt;
A nap olyan, mint az egyik csillag;
az élőlények sejtszerkezete;
reflexek;
genetika;
a földi élet eredete;
az élővilág evolúciója;
Kopernikusz, Galilei és Giordano Bruno elméletei;
Mengyelejev, Lomonoszov, Butlerov elméletei;
Pasteur és Koch érdemei;
nátrium, kalcium, szén és nitrogén (szerepük az anyagcserében);
olaj;
polimerek.
A matematikából a „Szabványokban” ugyanazt a diszkriminációt alkalmazták olyan témákban, amelyek nélkül egyetlen tanár sem tud nélkülözni (és annak teljes megértése nélkül, hogy mely iskolások lesznek teljesen tehetetlenek mind a fizikában, mind a technológiában, valamint számos más alkalmazásban tudományok, beleértve a katonai és humanitárius tudományokat is):
Szükségszerűség és elégségesség;
pontok helye;
szögek szinuszai 30o, 45o, 60o-ban;
a szögfelező felépítése;
egy szegmens felosztása egyenlő részekre;
szögmérés;
egy szakasz hosszának fogalma;
egy aritmetikai sorozat tagjainak összege;
ágazati terület;
inverz trigonometrikus függvények;
a legegyszerűbb trigonometrikus egyenlőtlenségek;
polinomok és gyökeik egyenlősége;
komplex számok geometriája (szükséges a fizikához
váltóáram, valamint a rádiótechnika és a kvantummechanika számára);
építési feladatok;
háromszög lapos sarkai;
komplex függvény deriváltja;
egyszerű törtek tizedesjegyekké alakítása.
Csak az a remény, hogy az eddig meglevő több ezer jól képzett pedagógus a minisztériumi utasítás ellenére továbbra is teljesíti kötelességét, és tanítja mindezt az iskolások új generációinak. A józan ész erősebb, mint a bürokratikus fegyelem. Csak nem szabad megfeledkeznünk csodálatos tanárainkról, hogy megfelelően fizessenek bravúrjukért.
A Duma képviselői elmagyarázták nekem, hogy a helyzeten sokat lehetne javítani, ha figyelmet fordítanának a már elfogadott oktatási törvények végrehajtására.
Az alábbi helyzetleírást a helyettes I.I. Melnikov a Matematikai Intézetben írt jelentésében. V.A. Steklov, az Orosz Tudományos Akadémia Moszkvában 2002 őszén.
Például az egyik törvény az oktatás költségvetési hozzájárulásának évi mintegy 20%-os emelését írja elő. A miniszter azonban kijelentette, hogy "nem érdemes aggódni a törvény végrehajtása miatt, hiszen csaknem éves szinten több mint 40%-os növekedés következik be". A miniszter e beszéde után nem sokkal a következő (2002-es) évre gyakorlatilag megvalósítható emelést jelentettek be (jóval kisebb százalékkal). És ha az inflációt is figyelembe vesszük, akkor kiderül, hogy döntés született az oktatáshoz való éves reáljárulék csökkentéséről.
Egy másik törvény meghatározza, hogy a költségvetési kiadások hány százalékát kell az oktatásra fordítani. A valóságban sokkal kevesebbet költenek (hányszor pontosan, nem tudtam pontosan megtudni). Ezzel szemben a „belső ellenség elleni védelemre” fordított kiadások a külső ellenség elleni védekezésre fordított kiadások harmadáról felére emelkedtek.
Természetes, hogy hagyjuk abba a gyerekeknek a törtek tanítását, különben ne adj isten, megértik!
Nyilvánvalóan pontosan a tanárok reakciójára számítottak, hogy a „Szabvány” összeállítói számos író nevét feltüntették az ajánlott olvasmányok listáján (például Puskin, Krilov, Lermontov, Csehov és hasonlók). „csillag” jellel, általuk így megfejtve: „A tanár kérésére megismertetheti a tanulókkal még egy vagy két művet ugyanattól a szerzőtől” (és nem csak az általuk javasolt „emlékművel” Puskin).
Hagyományos matematikai oktatásunk külföldhöz viszonyított magasabb szintje csak azután vált nyilvánvalóvá számomra, hogy ezt a szintet össze tudtam hasonlítani a külföldiekkel, sok szemesztert dolgoztam párizsi és New York-i, oxfordi és cambridge-i, pisai és bolognai egyetemeken és főiskolákon. , Bonn és Berkeley, Stanford és Boston, Hong Kong és Kiotó, Madrid és Toronto, Marseille és Strasbourg, Utrecht és Rio de Janeiro, Conakry és Stockholm.
„Semmiképpen nem követhetjük az ön elvét, miszerint tudományos eredményeik alapján választjuk ki a jelölteket” – mondták kollégáim az egyik legjobb párizsi egyetemre új professzorok meghívásával foglalkozó bizottságban. "Végül is ebben az esetben csak az oroszokat kellene választanunk - tudományos fölényük annyira világos mindannyiunk számára!" (Ugyanakkor beszéltem a franciák közötti válogatásról).
Fennáll a veszélye annak, hogy csak a matematikusok félreértenek, továbbra is példákat hozok fel a párizsi egyetem matematikaprofesszori posztjára 2002 tavaszán a legjobb jelöltek válaszaira (minden pozícióra 200-an jelentkeztek).
A jelölt több éven át tanított lineáris algebrát különböző egyetemeken, megvédte disszertációját, és mintegy tucat cikket publikált Franciaország legjobb matematikai folyóirataiban.
A kiválasztás egy interjút is tartalmaz, ahol mindig elemi, de fontos kérdéseket tesznek fel a jelöltnek (a „Nevezd meg Svédország fővárosát” kérdés szintje, ha a tárgy földrajz).
Ezért megkérdeztem: "Mi az xy másodfokú alak aláírása?"
A jelölt 15 perc gondolkodási időt kért tőle, majd ezt mondta: „A toulouse-i számítógépemben van egy rutinom (programom), amivel egy-két óra alatt megtudja, hány plusz és hány mínusz van normál formában. . A különbség a két szám között az aláírás lesz - de csak 15 percet adsz, és számítógép nélkül, így nem tudok válaszolni, az xy ilyen formája túl bonyolult."
Nem szakembereknek elmagyarázom, hogy ha az állattanról beszélnénk, akkor ez a válasz ehhez hasonló lenne: „Linnaeus felsorolta az összes állatot, de hogy a nyír emlős-e vagy sem, arra nem tudok válaszolni. könyv."
A következő jelölt az "elliptikus egyenletrendszerek parciális deriváltjaiban" szakértőnek bizonyult (másfél évtizeddel disszertációja és több mint húsz publikációja megvédése után).
Ezt kérdeztem: "Mi az 1/r függvény laplaciusa háromdimenziós euklideszi térben?"
A válasz (a szokásos 15 perc után) megdöbbentő volt számomra; "Ha r szerepel a számlálóban és nem a nevezőben, és az első származékra van szükség, és nem a másodikra, akkor fél óra alatt ki tudnám számolni, különben túl nehéz a kérdés."
Hadd magyarázzam el, hogy a kérdés az elliptikus egyenletek elméletéből származott, mint például a „Ki a Hamlet szerzője?” az angol irodalom vizsgán. Segítségül próbáltam feltenni egy sor vezető kérdést (hasonlóan az Othellora és Opheliára vonatkozó kérdésekhez): „Tudja, mi az egyetemes gravitáció törvénye? Coulomb törvénye? Hogyan kapcsolódnak a laplákhoz? Mi a Laplace-egyenlet alapvető megoldása?
De semmi sem segített: sem Macbethet, sem Lear királyt nem ismerte a jelölt, ha irodalomról beszéltek.
Végül a vizsgabizottság elnöke elmagyarázta nekem, hogy mi a baj: „A vizsgázó végül is nem egy elliptikus egyenletet, hanem azok rendszereit tanulmányozta, és a Laplace-egyenletről kérdezed, ami csak egy – egyértelmű, hogy még soha nem találkozott vele!”
Egy irodalmi hasonlatban ez az "indoklás" a következő mondatnak felelne meg: "A jelölt angol költőket tanult, honnan ismerhetné Shakespeare-t, mert drámaíró!"
A harmadik jelölt (és több tucat volt) a "holomorf differenciálformákkal" foglalkozott, és megkérdeztem tőle: "Mi az érintő Riemann-felülete?" (Féltem kérdezni az ív érintőről).
Válasz: „A Riemann-metrika a koordináták differenciáljának másodfokú formája, de számomra egyáltalán nem világos, hogy az „érintő” függvényhez milyen forma társul.”
Hadd magyarázzam meg ismét egy hasonló válasz modelljével, amely ezúttal a matematikát a történelemre cseréli (amire a nagyvárosiak inkább hajlanak). Itt a kérdés a következő lenne: "Ki az a Julius Caesar?", És a válasz: "Bizánc uralkodóit Caesarnak hívták, de Juliust nem ismerem közöttük."
Végül megjelent egy valószínűségszámító jelölt, aki érdekesen beszélt a szakdolgozatáról. Bebizonyította benne, hogy az "A és B együtt igaz" állítás hamis (az A és B állítás maga is hosszú, ezért itt nem reprodukálom).
Kérdés: „De mi a helyzet az A állítással önmagában, B nélkül: igaz-e vagy sem?”
Válasz: „Végül is azt mondtam, hogy az „A és B” állítás nem igaz. Ez azt jelenti, hogy A is téved." Azaz: „Mivel nem igaz, hogy „Petya és Misha megbetegedett kolerában”, Petya nem kapott kolerát.
Itt megint eloszlatta tanácstalanságomat a bizottság elnöke: kifejtette, hogy a jelölt nem valószínűségszámító, mint gondoltam, hanem statisztikus (az önéletrajzban nem „proba”, hanem „stat”) van.
„A valószínűségszámítók – magyarázta nekem tapasztalt elnökünk – normális logikájuk van, ugyanaz, mint a matematikusoké, Arisztotelészi. A statisztikusok számára ez teljesen más: nem hiába mondják, hogy „vannak hazugságok, kirívó hazugságok és statisztikák”. Minden okfejtésük nem bizonyított, minden következtetésük téves. De másrészt ezek a következtetések mindig nagyon szükségesek és hasznosak. Ezt a statisztikát mindenképpen el kell fogadnunk!”
A Moszkvai Egyetemen egy ilyen tudatlan nem tudta volna elvégezni a mechanikai és matematikai fakultás harmadik évfolyamát. A Riemann-felületeket a Moszkvai Matematikai Társaság alapítója, N. Bugaev (Andrej Belij apja) a matematika csúcsának tekintette. Igaz, úgy vélte, hogy a kortárs matematikában a 19. század végén kezdtek megjelenni olyan tárgyak, amelyek nem illettek bele ennek a régi elméletnek a főáramába - a valós változók nem holomorf függvényei, amelyek véleménye szerint a matematikai megtestesítők. A szabad akarat eszméje ugyanolyan mértékben, mint a Riemann-felületek és a holomorf funkciók testesítik meg a fatalizmus és a predesztináció gondolatát.
Ezen elmélkedések eredményeként Bugajev fiatal moszkovitákat küldött Párizsba, hogy ott tanulják meg az új „a szabad akarat matematikáját” (Boreltől és Lebesgue-től). Ezt a programot remekül végrehajtotta N.N. Luzin, aki Moszkvába való visszatérése után ragyogó iskolát hozott létre, amely magában foglalta sok évtized összes főbb moszkvai matematikusát: Kolmogorov és Petrovszkij, Alekszandrov és Pontrjagin, Menshov és Keldysh, Novikov és Lavrentjev, Gelfand és Lyusternik.
Kolmogorov egyébként a Parisiana szállodát ajánlotta nekem, amelyet Luzin később választott magának Párizs Latin negyedében (a Rue Tournefort-on, nem messze a Pantheontól). Az Első Európai Matematikai Kongresszus idején Párizsban (1992) ebben az olcsó szállodában szálltam meg (19. századi létesítményekkel, telefon nélkül stb.). És ennek a hotelnek az idős háziasszonya, miután megtudta, hogy Moszkvából jöttem, azonnal megkérdezte: „És hogy van ott régi vendégem, Luzin? Kár, hogy már régóta nem járt nálunk.
Néhány évvel később a szállodát bezárták javítás miatt (a háziasszony valószínűleg meghalt), és amerikai módon kezdtek újjáépíteni, így most már nem láthatja Párizsban ezt a 19. századi szigetet.
Visszatérve a 2002-es professzorválasztáshoz, megjegyzem, hogy a fent felsorolt tudatlanok mindegyike (mindenkitől rajtam kívül) a legjobb osztályzatot kapta. Ellenkezőleg, az egyetlen, szerintem arra érdemes jelöltet szinte egyhangúan elutasították. Több tucat új, teljesen integrálható matematikai fizika Hamilton-egyenletrendszert fedezett fel ("Gröbner-bázisok" és számítógépes algebra segítségével) (egyúttal megkapta, de nem vette fel az újak listájára a híres egyenleteket, Korteweg-de Vries, Sayn-Gordon és hasonlók).
Jövőbeli projektjeként a jelölt egy új számítógépes módszert is javasolt a cukorbetegség kezelésének modellezésére. Módszerének orvosok általi értékelésével kapcsolatos kérdésemre meglehetősen ésszerűen válaszolt: „A módszert jelenleg ilyen-olyan központokban, kórházakban tesztelik, és hat hónap múlva adják le a következtetéseiket, összehasonlítva az eredményeket más módszerekkel és betegek kontrollcsoportjai, de egyelőre ez a vizsgálat nem történik meg, és csak előzetes becslések vannak, de jók.
A következő magyarázattal utasították el: "A dolgozatának minden oldalán szó van a hazugság-csoportokról vagy a hazugság-algebrákról, de ezt itt senki nem érti, így egyáltalán nem fog bejönni a csapatunkba." Igaz, engem és az összes tanítványomat is el lehetne utasítani így, de egyes kollégák szerint az elutasítás oka más volt: az összes korábbi jelölttel ellentétben ez nem francia volt (egy híres amerikai professzor tanítványa volt). Minnesotából).
A leírt teljes kép szomorú gondolatokhoz vezet a francia tudomány, különösen a matematika jövőjével kapcsolatban. Bár a "Franciaországi Tudományos Nemzeti Bizottság" hajlamos volt egyáltalán nem új tudományos kutatásokat finanszírozni, hanem kész amerikai receptek vásárlására költeni (amit az Országgyűlés biztosított a tudomány fejlesztésére), én ezt élesen elleneztem. öngyilkossági politikát, és ennek ellenére elért legalább némi támogatást nyújtó új kutatást.
A nehézségek azonban a pénz felosztását okozták. Az orvostudományt, az atomenergiát, a polimerkémiát, a virológiát, a genetikát, az ökológiát, a környezetvédelmet, a radioaktív hulladékok ártalmatlanítását és még sok mást a szavazás során (egy ötórás ülésen) következetesen támogatásra méltatlannak minősítettek. Végül mégis három „tudományt” választottak, amelyek állítólag megérdemelték új kutatásaik finanszírozását. Ez a három "tudomány" a következő:
2) pszichoanalízis;
3) a gyógyszerkémia egy összetett ága, amelynek tudományos nevét nem tudom megismételni, de amely pszichotróp szerek, például könnygázok kifejlesztésével foglalkozik, ami a lázadó tömeget engedelmes csordává változtatja.
Tehát most Franciaország meg van mentve!
Luzin tanítványai közül véleményem szerint a legfigyelemreméltóbb hozzájárulást a tudományhoz Andrej Nyikolajevics Kolmogorov tette. Andrej Nyikolajevics, aki egy faluban nőtt fel nagyapjával Jaroszlavl mellett, büszkén tulajdonította magának Gogol szavait: „egy gyors roszlavli paraszt”.
Egyáltalán nem szándékozott matematikus lenni, még akkor sem, ha már belépett a Moszkvai Egyetemre, ahol azonnal történelmet kezdett tanulni (Bahrusin professzor szemináriumán), és húszéves kora előtt megírta első tudományos munkáját.
Ezt a munkát a középkori Novgorodban a földgazdasági kapcsolatok tanulmányozásának szentelték. Itt őrizték meg az adózási dokumentumokat, amelyek nagy számának statisztikai módszerekkel történő elemzése váratlan következtetésekre vezette a fiatal történészt, amelyről Bahrusin találkozóján beszélt.
A riport nagyon jól sikerült, az előadót sok dicséret érte. De ragaszkodott egy másik jóváhagyáshoz: azt akarta, hogy következtetéseit helyesnek ismerjék el.
Végül Bahrusin azt mondta neki: „Ezt a jelentést közzé kell tenni; ő nagyon érdekes. De ami a következtetéseket illeti, nekünk, történészeknek mindig nem egy bizonyítékra van szükségünk, hanem legalább ötre, hogy bármilyen következtetést elfogadjunk!”
Másnap Kolmogorov a történelmet matematikára cserélte, ahol egy bizonyíték is elég. A jelentést nem tette közzé, és ez a szöveg az archívumában maradt mindaddig, amíg Andrej Nyikolajevics halála után meg nem mutatták a modern történészeknek, akik nemcsak nagyon újnak és érdekesnek, hanem egészen meggyőzőnek is ismerték. Most megjelent Kolmogorovnak ez a jelentése, és a történészek közössége kiemelkedő hozzájárulásnak tekinti tudományukhoz.
Hivatásos matematikussá válva Kolmogorov többségüktől eltérően elsősorban természettudós és gondolkodó maradt, és egyáltalán nem a többértékű számok szorzója (ami főként a matematikusok tevékenységének elemzésekor jelenik meg a matematikában, matematikában járatlan emberek számára pontosan a számolási készség folytatása: öt öt - huszonöt, hat hat - harminchat, hét hét - negyvenhét, amint azt egy Landau-paródiában olvasom, amelyet Fiztekhov tanítványai állítottak össze; azonban Landau leveleiben, aki akkor még diák volt, a matematika nem logikusabb, mint ebben a paródiában).
Majakovszkij ezt írta: „Végül is minden másodpercben ki tudja húzni a négyzetgyököt” (egy professzorról, aki „nem unja, hogy az ablak alatt a szakácsok aktívan a gimnáziumba járnak”).
De azt is tökéletesen leírta, hogy mi is a matematikai felfedezés, mondván: „Aki felfedezte, hogy kétszer kettő az négy, nagyszerű matematikus volt, még akkor is, ha a cigarettacsikkek megszámlálásával fedezte fel. És aki ma sokkal nagyobb tárgyakat számol meg ugyanazzal a képlettel, például mozdonyokat, az egyáltalán nem matematikus!”
Kolmogorov – sokakkal ellentétben – soha nem félt az alkalmazott, „mozdonyos” matematikától, és örömmel alkalmazta a matematikai megfontolásokat az emberi tevékenység legkülönbözőbb területein: a hidrodinamikától a tüzérségig, az égi mechanikától a versifikációig, a számítógépek miniatürizálásától a a Brown-mozgás elmélete, a Fourier-sorok divergenciájától az információátvitel elméletéig és az intuicionista logikáig. Nevetett azon, hogy a franciák nagybetűvel írják, hogy "Égi mechanika", kicsivel pedig "alkalmazták".
Amikor 1965-ben először megérkeztem Párizsba, az idős Fréchet professzor melegen üdvözölt, a következő szavakkal: „Végül is Ön Kolmogorov tanítványa, annak a fiatalembernek, aki egy szinte mindenhol eltérő Fourier-sorozat példáját építette fel!”
Kolmogorov itt említett munkáját tizenkilenc évesen fejezte be, megoldotta a klasszikus problémát, és azonnal a világ jelentőségű első osztályú matematikusai közé emelte. Negyven évvel később ez az eredmény még mindig jelentősebb volt Fréchet számára, mint Kolmogorov minden későbbi és sokkal fontosabb alapműve, amely az egész világon megfordult és a valószínűségelmélet, a függvényelmélet, a hidrodinamika és az égi mechanika, és a közelítések elmélete és az algoritmikus komplexitás elmélete, a topológiában a kohemológia elmélete és a dinamikus rendszerek szabályozásának elmélete (ahol a Kolmogorov-féle egyenlőtlenségek a különböző rendű származékok között ma is az egyik legnagyobb vívmány, bár a szabályozáselmélet specialistái ezt ritkán értik meg).
De maga Kolmogorov mindig is szkeptikus volt szeretett matematikájával kapcsolatban, a természettudomány kis részeként fogta fel, és könnyen feladta azokat a logikai megszorításokat, amelyeket az axiomatikus-deduktív módszer béklyói szabnak az ortodox matematikusokra.
„Hiába lenne – mondta nekem –, ha matematikai tartalmat keresnék a turbulenciával foglalkozó munkámban. Fizikusként beszélek itt, és egyáltalán nem érdekelnek a matematikai bizonyítások, vagy az, hogy következtetéseimet olyan feltevésekből vonjam le, mint a Navier-Stokes egyenletek. Ha ezek a következtetések nem is bizonyítottak, igazak és nyíltak, és ez sokkal fontosabb, mint a bizonyítás!”
Kolmogorov számos felfedezését nemhogy nem bizonyította (sem ő maga, sem követői), de még csak publikáció sem történt. Ennek ellenére számos tudományterületre (és nem csak a matematikára) döntő befolyást gyakoroltak és gyakorolnak továbbra is.
Csak egy híres példát mondok (a turbulencia elméletéből).
A hidrodinamika matematikai modellje egy olyan dinamikus rendszer a folyadéksebesség-terek terében, amely leírja a folyadékrészecskék kezdeti sebességmezőjének alakulását kölcsönhatásuk hatására: nyomás és viszkozitás (valamint külső erők esetleges hatására, például súlyerő folyó esetén vagy víznyomás a vízvezetékben).
Ennek az evolúciónak a hatására a dinamikus rendszer egyensúlyi (stacionárius) állapotba kerülhet, amikor az áramlási sebesség az áramlási terület egyes pontjain nem változik az idő múlásával (bár minden áramlik, és minden részecske mozog és változtatja sebességét idő).
Az ilyen stacioner áramlások (például a klasszikus hidrodinamika szempontjából lamináris áramlások) egy dinamikus rendszer vonzási pontjai. Ezért (pont)attraktoroknak (attraktoroknak) nevezik őket.
Más szomszédokat vonzó halmazok is lehetségesek, például zárt görbék, amelyek a sebességmezők funkcionális terében az időben periodikusan változó áramlásokat ábrázolják. Egy ilyen görbe attraktor, ha a szomszédos kezdeti feltételek, amelyeket a sebességmezők funkcionális terének „perturbált” pontjai képviselnek, amelyek közel vannak a meghatározott zárt görbéhez, elkezdenek ugyan időben nem periodikusan változó áramlást, de megközelítik azt ( nevezetesen a zavart áramlás idővel a korábban leírt periodikusra hajlik).
Poincaré, aki először fedezte fel ezt a jelenséget, az ilyen zárt attraktorgörbéket "stabil határciklusoknak" nevezte. Fizikai szempontból periodikus steady-state áramlási rezsimeknek nevezhetjük: a kezdeti állapot zavarása által okozott átmeneti folyamat során a zavar fokozatosan csillapodik, majd egy idő után a mozgás és a zavartalan időszakos közötti különbség. alig észrevehetővé válik.
Poincare után az ilyen határciklusokat alaposan tanulmányozta A.A. Andronov, aki erre a matematikai modellre alapozta a rádióhullám-generátorok, azaz a rádióadók tanulmányozását és kiszámítását.
Tanulságos, hogy a Poincaré által felfedezett és Andronov által kidolgozott határciklusok instabil egyensúlyi helyzetekből való születésének elméletét ma (még Oroszországban is) Hopf-bifurkációnak szokták nevezni. E. Hopf ennek az elméletnek egy részét néhány évtizeddel Andronov megjelenése és több mint fél évszázaddal Poincaré után publikálta, de tőlük eltérően Amerikában élt, így működött a jól ismert névadó elv: ha bármely tárgy valakinek a nevét viseli, akkor ez nem a felfedező neve (például Amerikát nem Kolumbuszról nevezték el).
M. Berry angol fizikus ezt a névadó elvet "Arnold-elvnek" nevezte, kiegészítve egy második elvvel. Berry-elv: Arnold elve önmagára is alkalmazható (vagyis korábban is ismert volt).
Ebben teljesen egyetértek Berryvel. A névadói elvet a „Berry-fázisról” szóló előnyomásra válaszolva mondtam el neki, amelynek példáit, az általános elméletnél semmivel sem rosszabb, évtizedekkel Berry előtt publikálta S.M. Rytov ("polarizációs irány tehetetlensége" néven) és A.Yu. Ishlinsky ("a tengeralattjáró giroszkóp indulása a bázishoz vezető út és az onnan távoli út közötti eltérés miatt" néven),
Térjünk azonban vissza az attraktorokhoz. Az attraktor vagy vonzáshalmaz egy állandó mozgásállapot, amelynek azonban nem kell periodikusnak lennie. A matematikusok sokkal összetettebb mozgásokat is feltártak, amelyek ugyancsak vonzhatják a zavart szomszédos mozgásokat, de amelyek önmagukban rendkívül instabilok lehetnek: a kis okok néha nagy hatásokat okoznak - mondta Poincaré. Egy ilyen határrendszer állapota vagy "fázisa" (azaz egy pont az attraktor felületén) bizarr "kaotikus" módon mozoghat az attraktor felületén, és kis eltéréssel a kiindulási ponttól. az attraktoron nagymértékben megváltoztathatja a mozgás menetét anélkül, hogy a határrendszert megváltoztatná. Az összes lehetséges megfigyelhető hosszú távú átlag közel lesz a kezdeti és a zavart mozgásokban, de a részletek egy meghatározott időpontban általában teljesen eltérőek lesznek.
Meteorológiai szempontból a "korlátozó rezsim" (vonzó) az éghajlathoz, a fázis pedig az időjáráshoz hasonlítható. A kezdeti körülmények kis változása nagyban befolyásolhatja a holnapi időjárást (és még inkább - egy hét és egy hónap múlva). Ám egy ilyen változástól a tundra még nem lesz trópusi erdő: pénteken kedd helyett csak zivatar törhet ki, ami nem változtathat az év (sőt, a havi) átlagon sem.
A hidrodinamikában a kezdeti zavarok csillapításának mértékét általában a viszkozitás jellemzi (úgymond a folyadékrészecskék kölcsönös súrlódása, amikor egymáshoz képest mozognak), vagy az inverz viszkozitás a "Reynolds-számnak" nevezett mennyiséggel. ". A Reynolds-szám nagy értékei a zavarok gyenge csillapításának felelnek meg, míg a nagy viszkozitásértékek (vagyis a kis Reynolds-számok) éppen ellenkezőleg, szabályozzák az áramlást, megakadályozva a zavarokat és azok kialakulását. A vesztegetés és a korrupció gyakran a „viszkozitás” szerepét tölti be a gazdaságban.
A nagy viszkozitás miatt alacsony Reynolds-számoknál általában stabil álló (lamináris) áramlás jön létre, amelyet a sebességmezők terében egy pontattraktor ábrázol.
A fő kérdés az, hogy az áramlás jellege hogyan változik meg a Reynolds-szám növekedésével. Egy vízellátó rendszerben ez megfelel például a víznyomás növekedésének, ami a sima (lamináris) csapfolyamot instabillá teszi, de matematikailag a Reynolds-szám növelése érdekében célszerűbb csökkenteni a részecskesúrlódási együtthatót. viszkozitás (ami a kísérletben a folyadék technikailag bonyolult cseréjét igényelné). Néha azonban a Reynolds-szám megváltoztatásához elegendő a laboratóriumi hőmérséklet megváltoztatása. Láttam egy ilyen telepítést Novoszibirszkben a Pontos Mérések Intézetében, ahol a Reynolds-szám megváltozott (a negyedik számjegyben), amikor közelebb vittem a kezem ahhoz a hengerhez, ahol az áramlás történt (pontosan a hőmérséklet-változások miatt), és a képernyőn. A kísérletet feldolgozó számítógép esetében a Reynolds-szám változását az elektronikus automatizálás azonnal jelezte.
A lamináris (stabil stacionárius) áramlásból az erőszakos turbulens áramlásba való átmenet e jelenségeire gondolva Kolmogorov már régen számos hipotézist fogalmazott meg (amelyek még ma is bizonyítatlanok). Úgy gondolom, hogy ezek a hipotézisek a Landau-val a turbulencia természetéről folytatott vitájának idejére (1943) nyúlnak vissza. Mindenesetre kifejezetten megfogalmazta őket 1959-ben a Moszkvai Egyetemen tartott szemináriumán (a hidrodinamikáról és a dinamikus rendszerek elméletéről), ahol még a szemináriumról szóló közleményben is szerepeltek, amelyet akkor közzétett. De nem tudok arról, hogy Kolmogorovék hivatalosan publikálták volna ezeket a hipotéziseket, és Nyugaton általában Kolmogorov-epigonjaiknak tulajdonítják őket, akik megismerték őket, és évtizedekkel később publikálták őket.
Ezeknek a Kolmogorov-hipotéziseknek az a lényege, hogy a Reynolds-szám növekedésével az állandó áramlási rezsimnek megfelelő attraktor egyre bonyolultabbá válik, nevezetesen, hogy a dimenziója nő.
Először egy pont (nulladimenziós attraktor), majd egy kör (Poincaré határciklus, egydimenziós attraktor). Kolmogorov hipotézise az attraktorokról a hidrodinamikában pedig két állításból áll: a Reynolds-szám növekedésével 1) egyre nagyobb méretű attraktorok jelennek meg; 2) minden kisdimenziós attraktor eltűnik.
1-ből és 2-ből együtt az következik, hogy ha a Reynolds-szám elég nagy, akkor az állandósult állapotnak szükségszerűen sok szabadsági foka lesz, így a fázisának (az attraktor egy pontjának) leírásához sok paramétert kell beállítani, amelyek akkor amikor az attraktor mentén mozog, szeszélyes és nem periodikus változás lesz „kaotikus” módon, és az attraktor kezdeti pontjának kis változása általában nagy (hosszú idő után) változáshoz vezet. „időjárás” (az attraktor aktuális pontja), bár magát az attraktort nem változtatja meg (vagyis nem okoz változást a „klímában”).
Az 1. állítás önmagában itt nem elég, hiszen különböző attraktorok létezhetnek együtt, beleértve a különböző méretű attraktorokat is egy rendszerben (amely tehát bizonyos kezdeti feltételek mellett nyugodt „lamináris” mozgást, mások esetén heves „turbulens” mozgást végezhet). kezdeti állapotától függően).
A „stabilitásvesztés késleltetésének” ilyen hatásainak kísérleti megfigyelése sokáig meglepte a fizikusokat, de Kolmogorov hozzátette, hogy még egy kis dimenziós attraktor el nem tűnése esetén sem változtat a megfigyelt turbulencián. eset, amikor vonzási zónájának mérete erősen csökken a Reynolds-szám növekedésével. Ebben az esetben a lamináris rezsim, bár elvileg lehetséges (és még stabil is), gyakorlatilag nem figyelhető meg a vonzáskörzetének rendkívül kicsinysége miatt: már kicsi, de a kísérletben mindig jelen van, a zavarok kivehetik a rendszert. ennek az attraktornak a vonzási zónájából a vonzási zónába egy másik, már turbulens, állandósult állapot, amelyet megfigyelni fogunk.
Ez a megbeszélés magyarázatot adhat arra a furcsa megfigyelésre is, hogy a 19. század híres hidrodinamikai kísérletei közül néhányat nem lehetett megismételni a 20. század második felében, bár ugyanazt a készüléket ugyanabban a laboratóriumban próbálták használni. Kiderült azonban, hogy a régi kísérlet (a stabilitásvesztés késleltetésével) megismételhető, ha nem a régi laboratóriumban, hanem egy mély földalatti bányában végzik.
Az a tény, hogy a modern utcai forgalom nagymértékben megnövelte az „észrevehetetlen” zavarok nagyságát, amelyek elkezdtek hatni (a megmaradt „lamináris” attraktor vonzási zónájának kicsinysége miatt).
Sok matematikus számos kísérlete arra, hogy Kolmogorov 1. és 2. sejtését (vagy legalábbis az elsőt) bizonyítékokkal erősítse meg, eddig csak az attraktorok dimenzióinak Reynolds-számokkal való felülről való becsléséhez vezetett: ez a dimenzió nem lehet túl nagy, amíg a viszkozitás megakadályozza.
A dimenziót ezekben a munkákban a Reynolds-szám hatványfüggvényével (azaz a viszkozitás negatív fokával) becsülik meg, és a kitevő attól függ, hogy mekkora a tér, ahol az áramlás történik (a turbulencia erősebb a háromdimenziós áramlásban mint a síkbeli problémáknál).
Ami a probléma legérdekesebb részét, vagyis az alsó dimenzióbecslést illeti (legalábbis néhány attraktor esetében, mint az 1. sejtésben, vagy akár az összesre, mint a 2. sejtésben, amivel kapcsolatban Kolmogorov több kételyt fogalmazott meg), itt a matematikusok nem voltak magasban, mert szokásuk szerint a valódi természettudományi problémát formális-axiomatikus absztrakt megfogalmazásukkal helyettesítették annak pontos, de árulkodó definícióival.
Az a helyzet, hogy az attraktor axiomatikus fogalmát a matematikusok a fizikai korlátozó mozgásmód egyes tulajdonságainak elvesztésével fogalmazták meg, ezt a (nem szigorúan meghatározott) matematikai fogalmat az "attraktor" kifejezés bevezetésével próbálták axiomatizálni.
Tekintsünk például egy attraktort, amely egy kör (amelyhez a dinamika összes közeli pályája spirálisan közelít).
Magán a körön, amely vonzza a szomszédokat, a dinamika a következőképpen legyen elrendezve: két ellentétes pont (azonos átmérőjű végein) mozdulatlan, de az egyik attraktor (a szomszédokat vonzza), a másik pedig taszító. (taszítja őket).
Például elképzelhetünk egy függőlegesen álló kört, amelynek dinamikája a kör bármely pontján lefelé tolódik, kivéve a fennmaradó rögzített pólusokat: az attraktort alul és a taszítót felül.
Ebben az esetben annak ellenére, hogy a rendszerben létezik egydimenziós attraktor-kör, csak egy stabil stacionárius helyzet (a fenti "függőleges" modellben az alsó attraktor) lesz fizikailag megalapozott mód.
Egy tetszőleges kis perturbáció esetén a mozgás először attraktor-körré alakul. Ekkor azonban ezen az attraktoron a belső dinamika játszik szerepet, és a rendszer állapota végül megközelíti a „lamináris” nulldimenziós attraktort, míg az egydimenziós attraktor, bár matematikailag létezik, nem alkalmas a szerepére. „állandó rezsim”.
Az ilyen problémák elkerülésének egyik módja, ha csak minimális attraktorokat tekintünk attraktornak, vagyis olyan attraktorokat, amelyek nem tartalmaznak kisebb attraktorokat. Kolmogorov sejtései pontosan az ilyen attraktorokra vonatkoznak, ha pontos megfogalmazást akarunk adni nekik.
A méretek alsó határairól azonban a számos így elnevezett publikáció ellenére semmit sem sikerült bizonyítani.
A matematika deduktív-axiomatikus megközelítésének veszélyét sok gondolkodó világosan megértette már Kolmogorov előtt. Az első amerikai matematikus, J. Sylvester azt írta, hogy a matematikai elképzeléseket semmi esetre sem szabad megkövesíteni, mert elvesztik erejüket és alkalmazhatóságukat, amikor megpróbálják axiomatizálni a kívánt tulajdonságokat. Azt mondta, az ötleteket úgy kell venni, mint a vizet a folyóban: soha nem lépünk be pontosan ugyanabba a vízbe, pedig a gázló ugyanaz. Hasonlóképpen, egy ötlet sok különböző és nem egyenértékű axiomatikát eredményezhet, amelyek mindegyike nem tükrözi teljes mértékben az elképzelést.
Mindezekre a következtetésekre Sylvester úgy jutott, hogy – szavai szerint – „egy furcsa intellektuális jelenséget gondolt végig, amely abban áll, hogy egy általánosabb állítás bizonyítása gyakran egyszerűbbnek bizonyul, mint a benne foglalt konkrét esetek bizonyítása. " Példaként összehasonlította egy vektortér geometriáját (akkor még nem megalapozott) funkcionális elemzéssel.
Ezt a Sylvester ötletet később sokat használták. Például pontosan ez magyarázza Bourbaki azon vágyát, hogy minden fogalmat a lehető legáltalánosabbá tegyen. Sőt a "több" szót Franciaországban abban az értelemben használják, hogy más országokban (amelyeket megvetően "angolszásznak" neveznek) a "több vagy egyenlő" szavakkal fejezik ki, mivel Franciaországban az általánosabb fogalmat tartották. u003e\u003e" legyen az elsődleges, a pontosabb " >" pedig egy "kisebb" példa. Emiatt azt tanítják a diákoknak, hogy a nulla pozitív szám (valamint negatív, nem pozitív, nem negatív és természetes szám), amelyet máshol nem ismernek fel.
De láthatóan nem jutottak el Sylvester következtetésére az elméletek megkövesedésének megengedhetetlenségéről (legalábbis Párizsban, az Ecole Normale Superieure könyvtárában összegyűjtött műveinek ezek a lapjai vágatlanok voltak, amikor nemrég hozzájuk jutottam).
Nem sikerül meggyőznöm a matematikai "szakembereket" az attraktorok dimenzióinak növekedésére vonatkozó hipotézisek helyes értelmezésére, mivel ők, akárcsak a jogászok, a létező dogmatikai törvénykönyvekre formális hivatkozásokkal tiltakoznak, amelyek az attraktorok "pontos formális meghatározását" tartalmazzák. a tudatlan.
Kolmogorov éppen ellenkezőleg, soha nem törődött valaki definíciójának betűjével, hanem a dolog lényegén gondolkodott.
Egyszer elmagyarázta nekem, hogy a topológiai kohomológia elméletét egyáltalán nem kombinatorikusan és nem algebrailag hozta létre, mint amilyennek látszik, hanem először a hidrodinamikában folyó folyadékáramlásokra gondolva, majd a mágneses mezőkre: ezt a fizikát akarta modellezni a kombinatorikus helyzetben. egy absztrakt komplexumról, és meg is tette.
Azokban az években naivan próbáltam elmagyarázni Kolmogorovnak, hogy mi történt a topológiában az évtizedek során, hogy minden tudását csak P.S.-ből merítette. Alexandrova. Emiatt az elszigeteltség miatt Kolmogorov semmit sem tudott a homotópia topológiáról; meggyőzött arról, hogy Pavel Szergejevics 1942-es kazanyi munkája színképsorozatokat tartalmazott, és az a kísérlet, hogy elmagyarázzam neki, mi is az a pontos sorozat, semmivel sem voltak sikeresebbek, mint az én naiv próbálkozásaim, hogy vízisíre vagy vízisíre ültessem. kerékpár, ez a nagyszerű utazó és síelő.
Meglepő volt azonban számomra, hogy egy szigorú szakértő, Vlagyimir Abramovics Rokhlin magasan értékelte Kolmogorov kohomológiáról szóló szavait. Elmagyarázta nekem, egyáltalán nem kritikusan, hogy Kolmogorov szavai egyrészt mélyen helyes értékelést tartalmaznak a két teljesítménye közötti kapcsolatról (különösen nehéz abban az esetben, amikor, mint itt, mindkét teljesítmény figyelemre méltó), másrészt pedig , a kohomológiai műveletek hatalmas értékeinek előrelátó előrelátása.
A modern topológia vívmányai közül Kolmogorov Milnor szféráit értékelte a legjobban, amelyről utóbbi beszélt 1961-ben a leningrádi All-Union Matematikai Kongresszusán. Kolmogorov még rávett engem (akkor még kezdő végzős hallgatót), hogy vegyem fel ezeket a szférákat a posztgraduális programomba, ami arra késztetett, hogy Rokhlinnál, Fuchsnál és Novikovnál elkezdtem differenciáltopológiát tanulni (aminek eredményeként hamarosan ellenfele lettem az utóbbi doktorinak .D. tézis gömbtermékeken lévő differenciálható szerkezetekről).
Kolmogorov ötlete az volt, hogy Milnor gömbjei segítségével igazolja, hogy Hilbert 13. feladatában (valószínűleg algebrai függvények esetében) sok változó egy függvénye szuperpozíciókkal nem reprezentálható, de nem ismerem az e témában megjelent publikációit, sem a megfogalmazásait. sejtések.
Kolmogorov gondolatainak egy másik kevéssé ismert köre a dinamikus rendszerek optimális vezérléséhez kapcsolódik.
Ennek a körnek az a legegyszerűbb feladata, hogy egy intervallumon vagy körön definiált függvény első deriváltját egy ponton maximalizálja, ismerve magának a függvénynek és a második deriváltjának moduljainak felső határait. A második derivált megakadályozza, hogy az első gyorsan kialudjon, és ha az első túl nagy, akkor a függvény túlnő a megadott határon.
Valószínűleg Hadamard publikált először megoldást erre a problémára a második származékkal kapcsolatban, majd később Littlewood fedezte fel újra, miközben tüzérségi pályákon dolgozott. Kolmogorov láthatóan nem ismerte sem az egyik, sem a másik publikációit, és megoldotta azt a problémát, hogy felülről becsüljön meg bármely köztes deriváltot egy differenciálható függvény modulusának maximális értéke és a magas (fix) deriváltja alapján. ) rendelés.
Kolmogorov zseniális ötlete az volt, hogy explicit módon határozzon meg extrém függvényeket, például Csebisev-polinomokat (amelyeken a bizonyított egyenlőtlenség egyenlőséggé válik). És ahhoz, hogy a függvény szélsőséges legyen, természetesen sejtette, hogy mindig a legmagasabb derivált értékét kell maximális moduloként választani, csak az előjelét változtatva.
Ez a különleges tulajdonságok figyelemre méltó sorozatához vezetett. Ennek a sorozatnak a nulla függvénye az argumentum szinuszának előjele (mindenhol, ahol a maximális modulus van). A következő, első függvény a nulla antideriváltja (vagyis már egy folytonos „fűrész”, melynek deriváltja mindenhol maximum modullal rendelkezik). A további függvényeket ugyanazzal az integrációval kapjuk meg az előzőtől (a deriváltok számát eggyel növelve). Csak úgy kell megválasztani az integrációs állandót, hogy az eredményül kapott antiderivatív függvény integrálja a periódus alatt minden alkalommal nulla legyen (akkor az összes szerkesztett függvény periodikus lesz).
Az így kapott darabonkénti polinomfüggvények explicit képletei meglehetősen bonyolultak (az integrációk még Bernoulli-számokhoz kapcsolódó racionális állandókat is bevezetnek).
A szerkesztett függvények értékei és deriváltjaik konstansokat szolgáltatnak Kolmogorov teljesítménybecslésében (a közbenső derivált modulusának felülről történő becslése a függvény modulusa maximumának és a legmagasabb deriváltnak a racionális hatványainak szorzatán keresztül). Ezek a racionális kitevők könnyen kitalálhatóak a Leonardo da Vinci és Kolmogorov turbulenciaelméletének hasonlósági törvényeihez nyúló hasonlóság megfontolásából, hogy a kombinációnak dimenzió nélkülinek kell lennie, hiszen világos (legalábbis Leibniz jelöléséből). ) hogyan viselkednek a különböző sorrendű deriváltak, amikor az egységek megváltoztatják az argumentum- és függvényméréseket. Például a Hadamard-probléma esetében mindkét racionális kitevő egyenlő a felével, így az első derivált négyzetét felülről becsüljük meg magának a függvény modulusának maximumának és második deriváltjának a szorzatából (a függvénytől függő együtthatóval). annak a szakasznak vagy körnek a hossza, ahol a függvényt figyelembe vesszük).
Mindezen becslések bizonyítása egyszerűbb, mint a fent leírt extremális függvények kitalálása (és többek között a Gauss-tétel: az egész számlálós és nevezős p/q tört irreducibilitásának valószínűsége 6/P(2), azaz , körülbelül 2/3).
A mai szabályozáselmélet szempontjából a Kolmogorov által választott stratégiát "ősrobbanásnak" nevezik: a szabályozási paramétert mindig úgy kell megválasztani, hogy szélsőséges legyen, minden mértékletesség csak árt.
Ami azt a Hamilton-féle differenciálegyenletet illeti, amely megváltoztatja ennek a szélsőértéknek a választását a sok lehetséges közül, azt Kolmogorov nagyon jól ismerte, de Huygens-elvnek nevezte (ami valójában ekvivalens ezzel az egyenlettel, és amelyből Hamilton az egyenletét úgy kapta átmenet a borítékokról a differenciálokra) . Kolmogorov még arra is rámutatott, hogy a Huygens-elv e geometriájának legjobb leírása a Whittaker mechanika tankönyvben található, ahol tanultam, és bonyolultabb algebrai formában Sophus Lie elméletében található. "berurung transzformáció" (ehelyett megtanultam a kanonikus transzformációk elméletét Birkhoff "Dinamikus rendszerek" szerint, és amelyet ma kontaktgeometriának neveznek).
A modern matematika eredetének felkutatása a klasszikus írásokban általában nem könnyű, különösen az új tudományra átvett terminológia megváltozása miatt. Például szinte senki sem veszi észre, hogy a Poisson-sokaságok úgynevezett elméletét már Jacobi is kidolgozta. A helyzet az, hogy Jacobi az algebrai fajták - fajták, és nem sima fajták - sokaság útját követte. Ugyanis a Hamilton-féle dinamikus rendszer pályáinak sokfélesége érdekelte. Topologikus vagy sima objektumként szingularitásai és még kellemetlenebb patológiái ("nem Hausdorffness" és hasonlók) vannak kusza pályákkal (egy összetett dinamikus rendszer fázisgörbéi).
De a függvények algebrája ezen (esetleg rossz) "sokaságon" tökéletesen definiált: ez egyszerűen az eredeti rendszer első integráljainak algebrája. A Poisson-tétel szerint az első két integrál Poisson-zárójele ismét az első integrál. Ezért az integrálok algebrájában a szorzáson kívül van még egy bilineáris művelet - a Poisson-zárójel.
Ezen műveletek (szorzások és zárójelek) kölcsönhatása a függvények terében egy adott sima sokaságon Poisson sokasággá teszi. Meghatározásának formai részleteit kihagyom (nem nehezek), főleg, hogy nem mind teljesül a Jacobit érdeklő példában, ahol a Poisson-sokaság sem nem sima, sem nem Hausdorff.
Így Jacobi elmélete általánosabb szingularitású változatokat tartalmaz, mint a modern Poisson-féle sima változatokat, ráadásul ezt az elméletet a gyűrűk és ideálok algebrai geometriájának stílusában konstruálta meg, nem pedig az alsokaságok differenciálgeometriáját.
Sylvester tanácsát követve a Poisson-sokaságokkal foglalkozó szakértőknek – anélkül, hogy axiomatikára korlátozódnának – vissza kell térniük egy általánosabb és érdekesebb esethez, amelyet Jacobi már megvizsgált. De Sylvester ezt nem tette meg (szerinte elkésett a Baltimore-ba induló gőzösről), és az újabb idők matematikusai teljesen alá vannak vetve az axiómisták parancsának.
Maga Kolmogorov, miután megoldotta a közbenső deriváltak felső becslésének problémáját, megértette, hogy sok más optimalizálási problémát is meg tud oldani Huygens és Hamilton azonos módszereivel, de ezt nem tette meg, különösen akkor, amikor Pontryagin, akinek mindig segíteni próbált, publikálta „elvmaximumát”, amely lényegében az elfeledett kontaktgeometria ugyanazon Huygens-elvének egy speciális esete, azonban egy nem túl általános problémára alkalmazva.
Kolmogorov helyesen gondolta, hogy Pontrjagin nem értette sem ezeket az összefüggéseket Hujgens elvével, sem elméletének összefüggését Kolmogorov deriváltbecslési munkájával, amely erősen megelőzte azt. És ezért nem akart beavatkozni Pontrjaginba, nem írt sehol erről a számára jól ismert kapcsolatról.
De most azt hiszem, ez már elmondható, abban a reményben, hogy valaki ezeket az összefüggéseket felhasználva új eredményeket fedezhet fel.
Tanulságos, hogy Kolmogorov deriváltjai közötti egyenlőtlenségei alapultak Yu. Moser figyelemre méltó eredményeinek az úgynevezett KAM-elméletben (Kolmogorov, Arnold, Moser), amely lehetővé tette számára, hogy Kolmogorov 1954-es eredményeit az analitikus Hamilton-rendszerek invariáns tori-ira vigye át. csak háromszázharmincháromszor differenciálható rendszerekre. Ez volt a helyzet 1962-ben, amikor Moser feltalálta a Nash-simítás és a Kolmogorov-féle gyorsított konvergencia módszer figyelemre méltó kombinációját.
Most jelentősen csökkent a bizonyításhoz szükséges deriváltok száma (elsősorban J. Mather), így a kétdimenziós gyűrűleképezési feladatban szükséges háromszázharminchárom derivált háromra csökkent (miközben ellenpéldák is születtek két származékra talált).
Érdekes módon Moser művének megjelenése után az amerikai "matematikusok" megpróbálták közzétenni "Moser-tételének analitikus rendszerekre vonatkozó általánosítását" (ez az általánosítás egyszerűen Kolmogorov tíz évvel korábban publikált tétele volt, amelyet Mosernek sikerült általánosítania). Moser azonban határozottan véget vetett azoknak a kísérleteknek, amelyek Kolmogorov klasszikus eredményét másoknak tulajdonították (jogosan jegyezte meg azonban, hogy Kolmogorov soha nem publikálta bizonyításának részletes kifejtését).
Nekem akkor úgy tűnt, hogy a Kolmogorov által a DAN-jegyzetben közölt bizonyítás elég egyértelmű (bár többet írt Poincarénak, mint Hilbertnek), ellentétben Moser bizonyításával, ahol egy részt nem értettem. Még 1963-ban újraírtam Moser csodálatos elméletéről szóló áttekintésemben. Ezt követően Moser elmagyarázta nekem, mit értett ezen a homályos szakaszon, de még most sem vagyok biztos abban, hogy ezeket a magyarázatokat megfelelően publikálták-e (az én átdolgozásomban választanom kell
