Üs alma, çarpma ile yakından ilgili bir işlemdir, bu işlem bir sayının tek başına çarpılmasının sonucudur. Şu formülü gösterelim: a1 * a2 * ... * an = an.
Örneğin, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
Genel olarak, üs alma genellikle matematik ve fizikte çeşitli formüllerde kullanılır. Bu işlevin dört temel işlevden daha bilimsel bir amacı vardır: Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme.
Bir sayıyı bir güce yükseltmek zor bir işlem değildir. Çarpma ve toplama arasındaki ilişki gibi çarpma ile ilgilidir. Kayıt an - "a" sayılarının n'inci sayısının birbiriyle çarpımının kısa kaydı.
En basit örneklerde üs almayı düşünün, karmaşık olanlara geçin.
Örneğin, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Dört kare (ikinci kuvvete göre) on altıya eşittir. 4*4 çarpma işlemini anlamıyorsanız çarpma ile ilgili yazımızı okuyun.
Başka bir örneğe bakalım: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Beş küp (üçüncü kuvvete göre) yüz yirmi beşe eşittir.
Başka bir örnek: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Dokuz küp yedi yüz yirmi dokuza eşittir.
Doğru bir şekilde bir güce yükseltmek için aşağıdaki formülleri hatırlamanız ve bilmeniz gerekir. Bunda doğallığın ötesinde bir şey yok, asıl mesele özü anlamak ve o zaman sadece hatırlanmakla kalmayacak, aynı zamanda kolay görünecekler.
monomiyal nedir? Bu, herhangi bir miktardaki sayıların ve değişkenlerin ürünüdür. Örneğin, iki bir monomiyaldir. Ve bu makale, bu tür tek terimlileri bir güce yükseltmekle ilgilidir.
Üs formüllerini kullanarak, bir tek terimlinin bir kuvvete üsünü hesaplamak zor olmayacaktır.
Örneğin, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Bir tek terimliyi bir güce yükseltirseniz, tek terimlinin her bir bileşeni bir güce yükseltilir.
Zaten bir dereceye sahip olan bir değişkeni bir güce yükseltirken, dereceler çarpılır. Örneğin, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Negatif bir üs, bir sayının tersidir. karşılıklı nedir? Herhangi bir X sayısının tersi 1/X'tir. Bu X-1=1/X'dir. Negatif derecenin özü budur.
(3Y)^-3 örneğini düşünün:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Nedenmiş? Derecede bir eksi olduğu için, bu ifadeyi paydaya aktarır ve ardından üçüncü güce yükseltiriz. Tam kararında?
Belirli bir örnekle başlayalım. 43/2. Güç 3/2 ne anlama geliyor? 3 - pay, bir sayıyı (bu durumda 4) bir kübe yükseltmek anlamına gelir. 2 sayısı paydadır, bu sayının ikinci kökünün çıkarılmasıdır (bu durumda 4).
Sonra 43 = 2^3 = 8'in karekökünü alırız. Cevap: 8.
Dolayısıyla, bir kesir derecesinin paydası 3 veya 4 olabilir ve sonsuza kadar herhangi bir sayı olabilir ve bu sayı verilen bir sayıdan çıkarılan karekökün derecesini belirler. Elbette payda sıfır olamaz.
Kök, kökün kendi gücüne eşit bir güce yükseltilirse, cevap radikal ifadedir. Örneğin, (√x)2 = x. Ve böylece her durumda kökün derecesinin ve kökü yükseltme derecesinin eşitliği.
(√x)^4 ise. Sonra (√x)^4=x^2. Çözümü kontrol etmek için ifadeyi kesir dereceli bir ifadeye çeviriyoruz. Kök kare olduğundan payda 2'dir. Kök dördüncü kuvvete yükseltilirse pay 4'tür. 4/2=2 elde ederiz. Cevap: x = 2.
Her durumda, en iyi seçenek, ifadeyi kesirli bir üsse dönüştürmektir. Kesir azaltılmazsa, verilen sayının kökü tahsis edilmemek şartıyla böyle bir cevap verilir.
Karmaşık sayı nedir? Karmaşık sayı, a + b * i formülüne sahip bir ifadedir; a, b reel sayılardır. i, karesi alındığında -1 sayısını veren sayıdır.
Bir örnek düşünün. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Hızlı ve doğru bir şekilde toplama, çıkarma, çarpma, bölme, kare sayıları ve hatta kök almayı öğrenmek için "Zihinsel saymayı hızlandırın, zihinsel aritmetik DEĞİL" kursuna kaydolun. 30 gün içinde, aritmetik işlemleri basitleştirmek için kolay hileleri nasıl kullanacağınızı öğreneceksiniz. Her ders yeni teknikler, net örnekler ve faydalı görevler içerir.
Hesaplayıcımızın yardımıyla, bir sayının üssünün bir kuvvete oranını hesaplayabilirsiniz:
Bir güce yükselmek, okul çocukları sadece yedinci sınıfta geçmeye başlar.
Üs alma, çarpma ile yakından ilgili bir işlemdir, bu işlem bir sayının tek başına çarpılmasının sonucudur. Şu formülü gösterelim: a1 * a2 * … * an=an .
Örneğin, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Çözüm Örnekleri:
Yedinci sınıf öğrencileri için tasarlanmış üslü anlatım sunumu. Sunum bazı anlaşılmaz noktalara açıklık getirebilir ama yazımız sayesinde muhtemelen böyle noktalar olmayacak.
Matematiği daha iyi anlamak için buzdağının sadece görünen kısmını düşündük - kursumuza kaydolun: Zihinsel saymayı hızlandırın - zihinsel aritmetik DEĞİL.
Kurstan sadece basitleştirilmiş ve hızlı çarpma, toplama, çarpma, bölme, yüzde hesaplama için onlarca hile öğrenmeyecek, aynı zamanda özel görevlerde ve eğitici oyunlarda da çalışacaksınız! Zihinsel sayma ayrıca, ilginç problemleri çözmek için aktif olarak eğitilmiş çok fazla dikkat ve konsantrasyon gerektirir.
Genel olarak bir sayının derecesinin ne olduğunu bulduk. Şimdi nasıl doğru hesaplayacağımızı anlamamız gerekiyor, yani. sayıları güçlere yükseltin. Bu materyalde, bir tamsayı, doğal, kesirli, rasyonel ve irrasyonel üs durumunda dereceyi hesaplamak için temel kuralları analiz edeceğiz. Tüm tanımlar örneklerle gösterilecektir.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Temel tanımların formülasyonu ile başlayalım.
tanım 1
üs alma bir sayının kuvvetinin değerinin hesaplanmasıdır.
Yani "derece değerinin hesaplanması" ve "üslü" kelimeleri aynı anlama gelmektedir. Yani, görev "0 , 5 sayısını beşinci kuvvete yükselt" ise, bu "kuvvetin (0 , 5) değerini hesapla 5 olarak anlaşılmalıdır.
Şimdi bu tür hesaplamalarda uyulması gereken temel kuralları veriyoruz.
Doğal üslü bir sayının kuvvetinin ne olduğunu hatırlayın. Tabanı a ve üssü n olan bir kuvvet için bu, her biri a'ya eşit olan n'inci faktör sayısının çarpımı olacaktır. Bu şu şekilde yazılabilir:
Derecenin değerini hesaplamak için çarpma işlemini gerçekleştirmeniz, yani derecenin tabanlarını belirtilen sayıda çarpmanız gerekir. Doğal bir göstergeye sahip bir derece kavramı, hızlı bir şekilde çarpma yeteneğine dayanır. Örnekler verelim.
örnek 1
Durum: Yükselt - 2 üzeri 4 .
Çözüm
Yukarıdaki tanımı kullanarak şunu yazarız: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Ardından, sadece bu adımları izlememiz ve 16 almamız gerekiyor.
Daha karmaşık bir örnek alalım.
Örnek 2
3 2 7 2 değerini hesaplayın
Çözüm
Bu girdi 3 2 7 · 3 2 7 olarak yeniden yazılabilir. Daha önce, koşulda belirtilen karışık sayıların doğru şekilde nasıl çarpılacağına baktık.
Bu adımları gerçekleştirin ve yanıtı alın: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Görev, irrasyonel sayıları doğal bir güce yükseltme ihtiyacını gösteriyorsa, önce tabanlarını istenen doğrulukta bir cevap almamızı sağlayacak bir basamağa yuvarlamamız gerekecek. Bir örnek alalım.
Örnek 3
π sayısının karesini alın.
Çözüm
Önce yüzlerceye yuvarlayalım. Sonra π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Eğer π ≈ 3 . 14159, o zaman daha doğru bir sonuç elde ederiz: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
Pratikte irrasyonel sayıların güçlerini hesaplama ihtiyacının nispeten nadiren ortaya çıktığını unutmayın. Daha sonra cevabı gücün kendisi olarak yazabiliriz (ln 6) 3 veya mümkünse çevirebiliriz: 5 7 = 125 5 .
Ayrı olarak, bir sayının ilk kuvvetinin ne olduğu belirtilmelidir. Burada, ilk güce yükseltilmiş herhangi bir sayının kendisinde kalacağını hatırlayabilirsiniz:
Bu, kayıtlardan açıkça anlaşılmaktadır. 
.
Derecenin temeline bağlı değildir.
Örnek 4
Yani, (− 9) 1 = − 9 ve ilk üsse yükseltilen 7 3, 7 3'e eşit kalır.
Kolaylık olması için, üç durumu ayrı ayrı analiz edeceğiz: üs pozitif bir tam sayıysa, sıfırsa ve negatif bir tam sayıysa.
İlk durumda, bu doğal bir güce yükselmekle aynıdır: sonuçta, pozitif tam sayılar doğal sayılar kümesine aittir. Yukarıda bu derecelerle nasıl çalışılacağını zaten açıkladık.
Şimdi sıfır güce nasıl düzgün bir şekilde yükseltileceğini görelim. Sıfır olmayan bir tabanla, bu hesaplama her zaman 1 çıktısını üretir. a'nın 0. kuvvetinin 0'a eşit olmayan herhangi bir gerçek sayı ve 0 = 1 için tanımlanabileceğini daha önce açıklamıştık.
Örnek 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - tanımlanmadı.
Negatif tamsayı üslü bir derece durumu ile karşı karşıyayız. Bu derecelerin, a'nın herhangi bir sayı ve z'nin bir negatif tam sayı olduğu 1 a z kesri olarak yazılabileceğini daha önce tartışmıştık. Bu kesrin paydasının, pozitif bir tamsayı ile sıradan bir dereceden başka bir şey olmadığını görüyoruz ve bunu nasıl hesaplayacağımızı zaten öğrendik. Görevlere örnekler verelim.
Örnek 6
3'ü -2'ye yükseltin.
Çözüm
Yukarıdaki tanımı kullanarak şunu yazıyoruz: 2 - 3 = 1 2 3
Bu kesrin paydasını hesaplıyoruz ve 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8 elde ediyoruz.
O halde cevap: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
Örnek 7
1, 43'ü -2'ye yükseltin.
Çözüm
Yeniden formüle et: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2
Paydadaki kareyi hesaplıyoruz: 1.43 1.43. Ondalık sayılar şu şekilde çarpılabilir: 
Sonuç olarak (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 elde ettik. Bu sonucu, 10 bin ile çarpmanın gerekli olduğu sıradan bir kesir biçiminde yazmak bize kalır (kesirlerin dönüştürülmesiyle ilgili materyale bakın).
Cevap: (1, 43) - 2 = 10000 20449
Ayrı bir durum, bir sayıyı eksi birinci güce yükseltiyor. Böyle bir derecenin değeri, tabanın orijinal değerinin karşısındaki sayıya eşittir: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.
Örnek 8
Örnek: 3 − 1 = 1 / 3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
Böyle bir işlemi gerçekleştirmek için, bir derecenin temel tanımını kesirli bir üsle hatırlamamız gerekir: herhangi bir pozitif a, tamsayı m ve doğal n için a m n \u003d a m n.
tanım 2
Bu nedenle, kesirli bir derecenin hesaplanması iki adımda yapılmalıdır: bir tamsayıya yükseltme ve n'inci derecenin kökünü bulma.
a m n = a m n eşitliğine sahibiz, köklerin özellikleri göz önüne alındığında, genellikle a m n = a n m biçimindeki problemleri çözmek için kullanılır. Bu, a sayısını m / n kesirli bir güce yükseltirsek, önce n'inci derecenin kökünü a'dan çıkarırız, sonra sonucu m tamsayılı bir güce yükseltiriz.
Bir örnekle açıklayalım.
Örnek 9
8 - 2 3 hesaplayın .
Çözüm
Yöntem 1. Temel tanıma göre bunu şu şekilde temsil edebiliriz: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3
Şimdi kökün altındaki dereceyi hesaplayalım ve sonuçtan üçüncü kökü çıkaralım: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
Yöntem 2. Temel eşitliği dönüştürelim: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2
Bundan sonra, 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 kökünü çıkarırız ve sonucun karesini alırız: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
Çözümlerin aynı olduğunu görüyoruz. İstediğiniz şekilde kullanabilirsiniz.
Derecenin, karışık sayı veya ondalık kesir olarak ifade edilen bir göstergeye sahip olduğu durumlar vardır. Hesaplama kolaylığı için, sıradan bir kesir ile değiştirmek ve yukarıda belirtildiği gibi saymak daha iyidir.
Örnek 10
44.89'u 2.5'in gücüne yükseltin.
Çözüm
Göstergenin değerini sıradan bir kesire dönüştürelim - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.
Ve şimdi yukarıda belirtilen tüm işlemleri sırasıyla yapıyoruz: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107
Cevap: 13501, 25107.
Bir kesirli üssün pay ve paydasında büyük sayılar varsa, bu tür üsleri rasyonel üslerle hesaplamak oldukça zor bir iştir. Genellikle bilgisayar teknolojisi gerektirir.
Ayrı olarak, sıfır tabanlı ve kesirli üslü derece üzerinde duruyoruz. 0 m n biçimindeki bir ifadeye şu anlam verilebilir: m n > 0 ise 0 m n = 0 m n = 0 ; eğer mn< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
İrrasyonel bir sayının olduğu bir derecenin değerini hesaplama ihtiyacı çok sık ortaya çıkmaz. Uygulamada, görev genellikle yaklaşık bir değer hesaplamakla sınırlıdır (belirli sayıda ondalık basamağa kadar). Bu, genellikle bu tür hesaplamaların karmaşıklığı nedeniyle bir bilgisayarda hesaplanır, bu nedenle bunun üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız, sadece ana hükümleri belirteceğiz.
A derecesinin değerini irrasyonel bir a ile hesaplamamız gerekirse, üssün ondalık yaklaşımını alır ve ondan sayarız. Sonuç yaklaşık bir cevap olacaktır. Alınan ondalık yaklaşım ne kadar doğru olursa, cevap o kadar doğru olur. Bir örnekle gösterelim:
Örnek 11
21 , 174367'nin yaklaşık değerini hesaplayın ....
Çözüm
Kendimizi a n = 1 , 17 ondalık yaklaşımıyla sınırlandırıyoruz. Bu sayıyı kullanarak hesaplamaları yapalım: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Örneğin, a n = 1 , 1743 yaklaşımını alırsak, cevap biraz daha kesin olacaktır: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833 .
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.
İstisnalar:
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.
birincil hedef
Öğrencilere derecelerin özelliklerini doğal göstergelerle tanıştırmak ve derecelerle eylemleri gerçekleştirmelerini öğretmek.
Konu "Derece ve özellikleri"üç soru içerir:
sınav soruları
Derecenin tanımı.
sayı derecesi a doğal bir gösterge ile n 1'den büyük, her biri eşit olan n faktörünün çarpımı olarak adlandırılır. a. sayı derecesi aüs 1 ile sayının kendisi denir a.
Tabanlı derece a ve gösterge nşöyle yazılır: bir. " aölçüde n”; " bir sayının n'inci kuvveti a ”.
Derece tanımına göre:
a 4 = a a a a
. . . . . . . . . . . .
Derecenin değerini bulmaya denir üs alma .
1. Üs örnekleri:
3 3 = 3 3 3 = 27
0 4 = 0 0 0 0 = 0
(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125
25 ; 0,09 ;
25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .
27 ; 0,001 ; 8 .
27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .
4. İfade değerlerini bulun:
a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000
b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7
seçenek 1
a) 0,3 0,3 0,3
c) b bb b b bb
d) (-x) (-x) (-x) (-x)
e) (ab) (ab) (ab)
2. Sayıların karesini alın:
3. Sayıları küp haline getirin:
4. İfade değerlerini bulun:
c) -1 4 + (-2) 3
d) -4 3 + (-3) 2
e) 100 - 5 2 4
Güçlerin çarpımı.
Herhangi bir a sayısı ve isteğe bağlı m ve n sayıları için aşağıdakiler doğrudur:
bir m bir n = bir m + n .
Kanıt:
kural : Aynı tabanla kuvvetler çarpılırken tabanlar aynı kalır ve üsler toplanır.
bir m bir n bir k = bir m + n bir k = bir (m + n) + k = bir m + n + k
a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9
b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7
c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11
d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6
e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5
a) 2 3 2 = 2 4 = 16
b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187
seçenek 1
1. Derece olarak sunun:
a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4
b) a 6 a 2 g) 3 3 9
c) y 4 y h) 7 4 49
d) a 8 i) 16 2 7
e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09
2. Derece olarak sunun ve tablodaki değeri bulun:
a) 2 2 2 3 c) 8 2 5
b) 3 4 3 2 d) 27 243
Derecelerin bölünmesi.
m>n olacak şekilde herhangi bir a0 sayısı ve rastgele m ve n doğal sayıları için aşağıdakiler geçerlidir:
bir m: bir n = bir m - n
Kanıt:
bir m - n bir n = bir (m - n) + n = bir m - n + n = bir m
özel tanımı gereği:
bir m: bir n \u003d bir m - n.
kural: Aynı tabana sahip kuvvetlerin bölünmesinde taban aynı bırakılır ve bölünenin üssü bölünenin üssünden çıkarılır.
Tanım: Sıfır üslü sıfır olmayan bir sayının derecesi bire eşittir:
çünkü a n: a n = 1 için a0 .
a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2
b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5
c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6
d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5
a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25
b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000
içinde)
G)
e)
seçenek 1
1. Bölümü bir güç olarak ifade edin:
2. İfadelerin değerlerini bulun:
Bir ürünün gücünü yükseltmek.
Herhangi bir a ve b ve rastgele bir doğal sayı n için:
(ab) n = bir n b n
Kanıt:
Derece tanımına göre
(ab) n = 
A ve b faktörlerini ayrı ayrı gruplandırırsak, şunu elde ederiz:
= 
Çarpım derecesinin kanıtlanmış özelliği, üç veya daha fazla faktörün çarpım derecesine kadar uzanır.
Örneğin:
(a b c) n = bir n b n cn ;
(ab c d) n = bir n b n c n d n .
kural: Bir ürünü bir güce yükseltirken, her faktör o güce yükseltilir ve sonuç çarpılır.
1. Bir güce yükseltin:
a) (a b) 4 = a 4 b 4
b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3
c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4
d) (-5 y) 3 \u003d (-5) 3 y 3 \u003d -125 y 3
e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 y 2 \u003d 0,04 x 2 y 2
f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4
2. İfadenin değerini bulun:
a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000
b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000
c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000
d) 0.25 11 4 11 = (0.25 4) 11 = 1 11 = 1
e)
seçenek 1
1. Bir güce yükseltin:
b) (2a c) 4
e) (-0,1 x y) 3
2. İfadenin değerini bulun:
b) (5 7 20) 2
üs alma.
Herhangi bir a sayısı ve isteğe bağlı doğal sayılar m ve n için:
(bir m) n = bir m n
Kanıt:
Derece tanımına göre
(bir m) n = 
Kural: Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken taban aynı kalır ve üsler çarpılır..
1. Bir güce yükseltin:
(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20
(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9
2. İfadeleri basitleştirin:
a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13
b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13
c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14
d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24
a)
b)
seçenek 1
1. Bir güce yükseltin:
a) (a 4) 2 b) (x 4) 5
c) (y 3) 2 d) (b 4) 4
2. İfadeleri basitleştirin:
a) 4 (a 3) 2
b) (b 4) 3 b 5+
c) (x 2) 4 (x 4) 3
d) (y y 9) 2
3. İfadelerin anlamını bulun:
Derecenin tanımı.
seçenek 2
1. Ürünü bir derece şeklinde yazın:
a) 0,4 0,4 0,4
c) a a a a a a a a
d) (-y) (-y) (-y) (-y)
e) (mc) (mc) (mc)
2. Sayıların karesini alın:
3. Sayıları küp haline getirin:
4. İfade değerlerini bulun:
c) -1 3 + (-2) 4
d) -6 2 + (-3) 2
e) 4 5 2 – 100
Seçenek 3
1. Ürünü derece olarak yazın:
a) 0,5 0,5 0,5
c) c c c c c c c c c
d) (-x) (-x) (-x) (-x)
e) (ab) (ab) (ab)
2. Sayının karesi şeklinde mevcut: 100; 0.49; .
3. Sayıları küp haline getirin:
4. İfade değerlerini bulun:
c) -1 5 + (-3) 2
d) -5 3 + (-4) 2
e) 5 4 2 - 100
Seçenek 4
1. Ürünü derece olarak yazın:
a) 0.7 0.7 0.7
c) x x x x x x
d) (-а) (-а) (-а)
e) (mc) (mc) (mc) (mc)
2. Sayıların karesini alın:
3. Sayıları küp haline getirin:
4. İfade değerlerini bulun:
c) -1 4 + (-3) 3
d) -3 4 + (-5) 2
e) 100 - 3 2 5
Güçlerin çarpımı.
seçenek 2
1. Derece olarak sunun:
a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5
b) a 7 a 3 g) 2 3 4
c) y 5 y s) 4 3 16
d) a 7 i) 4 2 5
e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04
2. Derece olarak sunun ve tablodaki değeri bulun:
a) 3 2 3 3 c) 16 2 3
b) 2 4 2 5 d) 9 81
Seçenek 3
1. Derece olarak sunun:
a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6
b) x 4 x 7 g) 3 5 9
c) b 6 b h) 5 3 25
d) y 8 i) 49 7 4
e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27
2. Derece olarak sunun ve tablodaki değeri bulun:
a) 3 3 3 4 c) 27 3 4
b) 2 4 2 6 d) 16 64
Seçenek 4
1. Derece olarak sunun:
a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6
b) x 7 x 8 g) 3 4 27
c) y 6 y s) 4 3 16
d) x x 10 i) 36 6 3
e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008
2. Derece olarak sunun ve tablodaki değeri bulun:
a) 2 6 2 3 c) 64 2 4
b) 3 5 3 2 d) 81 27
Derecelerin bölünmesi.
seçenek 2
1. Bölümü bir güç olarak ifade edin:
2. İfadelerin anlamını bulun.
MÖ beşinci yüzyılda, antik Yunan filozofu Elea Zeno, en ünlüsü "Aşil ve kaplumbağa" aporia olan ünlü aporlarını formüle etti. İşte kulağa nasıl geliyor:Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca, kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünür. Akhilleus yüz adım koştuğunda, kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Akhilleus kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıklı bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Hepsi bir şekilde Zeno'nun açmazlarını düşündüler. Şok o kadar güçlüydü ki" ... tartışmalar şu anda devam ediyor, bilim dünyası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı ... matematiksel analiz, küme teorisi, konunun çalışmasına yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. ; hiçbiri soruna evrensel olarak kabul edilmiş bir çözüm olmadı ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın ne olduğunu anlamıyor.
Matematiğin bakış açısından, Zeno aporia'sında değerden değere geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, sabitler yerine uygulama anlamına gelir. Anladığım kadarıyla, değişken ölçü birimlerini uygulamak için matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun aporia'sına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızın uygulanması bizi bir tuzağa düşürür. Biz, düşünmenin ataleti ile karşılıklı olana sabit zaman birimleri uygularız. Fiziksel bir bakış açısıyla, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda zamanın tamamen durması gibi görünüyor. Zaman durursa, Aşil artık kaplumbağayı geçemez.
Alıştığımız mantığı çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit bir hızla koşar. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, üstesinden gelmek için harcanan zaman öncekinden on kat daha azdır. Bu durumda "sonsuzluk" kavramını uygularsak, "Aşil kaplumbağayı sonsuz hızla geçecektir" demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı değerlere geçiş yapmayın. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Akhilleus'un bin adım koştuğu süre içinde kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünür. Bir sonraki zaman aralığında, birincisine eşit, Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım sürünecek. Şimdi Aşil, kaplumbağadan sekiz yüz adım önde.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmadan gerçekliği yeterince açıklar. Ancak bu, soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının aşılmazlığı hakkındaki ifadesi Zeno'nun "Aşil ve kaplumbağa" açmazına çok benzer. Henüz bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuz sayıda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oku anlatır:
Uçan ok hareketsizdir, çünkü zamanın her anında hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan, daima hareketsizdir.
Bu çıkmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - zamanın her anında uçan okun uzayda farklı noktalarda durduğunu ve aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada dikkat edilmesi gereken bir nokta daha var. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından, hareketinin gerçeğini veya ona olan mesafesini belirlemek imkansızdır. Arabanın hareket gerçeğini belirlemek için, aynı noktadan farklı zaman noktalarında çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyaç vardır, ancak bunlar mesafeyi belirlemek için kullanılamaz. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için, aynı anda uzayda farklı noktalardan çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız var, ancak onlardan hareket gerçeğini belirleyemezsiniz (doğal olarak, hesaplamalar için hala ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır). Özellikle belirtmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın farklı keşif fırsatları sunduğu için karıştırılmaması gereken iki farklı şey olduğudur.
Çok iyi set ve multiset arasındaki farklar Wikipedia'da açıklanmıştır. Bakıyoruz.
Gördüğünüz gibi, "küme iki özdeş öğeye sahip olamaz", ancak kümede özdeş öğeler varsa, böyle bir kümeye "çoklu küme" denir. Makul varlıklar böyle bir saçmalık mantığını asla anlayamazlar. Bu, zihnin "tamamen" kelimesinden yoksun olduğu konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler, saçma fikirlerini bize vaaz ederek sıradan eğitmenler gibi davranırlar.
Bir zamanlar köprüyü yapan mühendisler, köprünün testleri sırasında köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis yarattığı molozun altında öldü. Köprü yüke dayanabilirse, yetenekli mühendis başka köprüler inşa etti.
Matematikçiler "akıldayım, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansın, onları gerçekliğe ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.
Çok iyi matematik çalıştık ve şimdi kasada oturuyoruz, maaş ödüyoruz. Burada bir matematikçi parası için bize geliyor. Tüm tutarı ona sayarız ve masamıza aynı değerdeki faturaları koyduğumuz farklı yığınlara koyarız. Sonra her yığından bir fatura alıp matematikçiye "matematiksel maaş setini" veriyoruz. Sadece özdeş elemanları olmayan kümenin aynı elemanlara sahip kümeye eşit olmadığını kanıtladığı zaman faturaların geri kalanını alacağının matematiğini açıklıyoruz. eğlence burada başlıyor.
Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: "Başkalarına uygulayabilirsiniz ama bana değil!" Ayrıca, aynı değerdeki banknotların üzerinde farklı banknot numaralarının bulunduğuna dair güvenceler başlayacaktır, bu da bunların özdeş unsurlar olarak kabul edilemeyeceği anlamına gelir. Pekala, maaşı madeni para olarak sayıyoruz - madeni paralarda sayı yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlayacaktır: farklı madeni paraların farklı miktarlarda kirleri vardır, her madeni para için atomların kristal yapısı ve düzeni benzersizdir ...
Ve şimdi en ilginç sorum var: ötesinde bir çoklu kümenin öğelerinin bir kümenin öğelerine dönüştüğü ve bunun tersinin olduğu sınır nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, buradaki bilim yakın bile değil.
Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumları seçiyoruz. Alanların alanı aynıdır, yani bir multisetimiz var. Ama aynı statların isimlerini düşünürsek çok şey alırız çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi, aynı eleman kümesi aynı anda hem küme hem de çoklu kümedir. Nasıl doğru? Ve burada matematikçi-şaman-shuller kolundan bir koz ası çıkarır ve bize ya bir setten ya da bir multisetten bahsetmeye başlar. Her durumda, bizi haklı olduğuna ikna edecektir.
Modern şamanların onu gerçeğe bağlayarak küme teorisiyle nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri diğer kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadığını göstereceğim.
Bir sayının rakamlarının toplamı, matematikle ilgisi olmayan bir tef ile şamanların dansıdır. Evet, matematik derslerinde bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve onu kullanmamız öğretilir, ama onlar bunun için şamanlardır, torunlarına becerilerini ve bilgeliklerini öğretmek için, aksi takdirde şamanlar basitçe ölürler.
Kanıta ihtiyacınız var mı? Wikipedia'yı açın ve "Bir Sayının Rakamlarının Toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulabileceğiniz bir formül yoktur. Sonuçta, sayılar sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şöyle görünür: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu sorunu çözemezler, ancak şamanlar bunu temel olarak yapabilirler.
Verilen bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yaptığımızı bulalım. Ve diyelim ki 12345 sayımız var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapmak gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.
1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı bir sayı grafik sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değildir.
2. Alınan bir resmi, ayrı sayılar içeren birkaç resme böldük. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.
3. Bireysel grafik karakterlerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değildir.
4. Ortaya çıkan sayıları toplayın. Şimdi bu matematik.
12345 sayısının rakamları toplamı 15'tir. Bunlar, matematikçiler tarafından kullanılan şamanlardan gelen "kesme ve dikme kursları"dır. Ama hepsi bu değil.
Matematik açısından, sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımızın bir önemi yoktur. Yani farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi, sayının sağında bir alt simge olarak gösterilir. Çok sayıda 12345 ile kafamı kandırmak istemiyorum, makaledeki 26 sayısını düşünün. Bu sayıyı ikili, sekizli, ondalık ve onaltılık sayı sistemlerinde yazalım. Her adımı mikroskop altında ele almayacağız, bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.
Görüldüğü gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle ilgisi yoktur. Sanki bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre cinsinden bulmak size tamamen farklı sonuçlar verecektir.
Tüm sayı sistemlerinde sıfır aynı görünür ve rakamların toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehinde başka bir argümandır. Matematikçiler için bir soru: Sayı olmayan matematikte nasıl gösterilir? Ne, matematikçiler için sayılardan başka bir şey yok mu? Şamanlar için buna izin verebilirim ama bilim adamları için hayır. Gerçeklik sadece rakamlardan ibaret değildir.
Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak kabul edilmelidir. Sonuçta, sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı niceliğin farklı ölçü birimleriyle aynı eylemler, onları karşılaştırdıktan sonra farklı sonuçlara yol açıyorsa, bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur.
Gerçek matematik nedir? Bu, matematiksel bir eylemin sonucunun sayının değerine, kullanılan ölçü birimine ve bu eylemi kimin gerçekleştirdiğine bağlı olmadığı zamandır.
Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Bu, cennete yükselirken ruhların sınırsız kutsallığını incelemek için bir laboratuvardır! Nimbus üstte ve yukarı ok. Başka ne tuvaleti?
Dişi... Üstte hale ve aşağı ok erkektir.
Günde birkaç kez gözünüzün önünde yanıp sönen böyle bir tasarım sanat eseriniz varsa,
O zaman arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:
Şahsen, kaka yapan bir insanda (bir resim) eksi dört dereceyi görmek için çaba sarf ediyorum (birkaç resmin bileşimi: eksi işareti, dört numara, derece tanımı). Ve ben bu kızı fizik bilmeyen bir aptal olarak görmüyorum. Sadece grafik görüntülerin algılanmasının yay klişesine sahip. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretirler. İşte bir örnek.
1A, "eksi dört derece" veya "bir a" değildir. Bu, "kaka yapan adam" veya onaltılık sayı sisteminde "yirmi altı" sayısıdır. Bu sayı sisteminde sürekli çalışan kişiler, sayı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembolü olarak algılarlar.
