", 즉 1차 방정식입니다. 이번 강의에서 우리가 살펴볼 내용은 이차방정식이라고 불리는 것그리고 그것을 해결하는 방법.
중요한!
방정식의 차수는 미지수의 가장 높은 차수에 따라 결정됩니다.
미지수의 최대 전력이 "2"이면 이차 방정식이 됩니다.
| 1 |
| 3 |
중요한! 이차 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.
A x 2 + b x + c = 0
"a", "b" 및 "c"에는 숫자가 지정됩니다."a", "b" 및 "c"를 찾으려면 방정식을 2차 방정식 "ax 2 + bx + c = 0"의 일반 형식과 비교해야 합니다.
이차방정식에서 계수 "a", "b", "c"를 결정하는 연습을 해보세요.
| 방정식 | 승산 | |||
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| 3 |
같지 않은 선형 방정식이차 방정식을 풀기 위해 특별한 뿌리를 구하는 공식.
기억하다!
이차 방정식을 풀려면 다음이 필요합니다.
이차 방정식의 근을 찾기 위해 공식을 사용하는 방법에 대한 예를 살펴보겠습니다. 이차 방정식을 풀어 봅시다.
엑스 2 − 3x − 4 = 0
방정식 "x 2 − 3x − 4 = 0"은 이미 일반 형식 "ax 2 + bx + c = 0"으로 축소되었으며 추가 단순화가 필요하지 않습니다. 이를 해결하려면 신청만 하면 됩니다. 이차방정식의 근을 구하는 공식.
이 방정식의 계수 "a", "b" 및 "c"를 결정해 보겠습니다.
이차 방정식을 푸는 데 사용할 수 있습니다.
공식 “x 1;2 = ”에서 근호 표현은 종종 대체됩니다.
문자 "D"에 대한 "b 2 − 4ac"를 판별식이라고 합니다. 판별기의 개념은 "판별기란 무엇인가" 단원에서 더 자세히 설명합니다.
이차방정식의 또 다른 예를 살펴보겠습니다.
x 2 + 9 + x = 7x
이 형식에서는 계수 "a", "b" 및 "c"를 결정하는 것이 매우 어렵습니다. 먼저 방정식을 일반적인 형태인 "ax 2 + bx + c = 0"으로 줄여보겠습니다.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
이제 근에 대한 공식을 사용할 수 있습니다.
X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
이차방정식에는 근이 없는 경우가 있습니다. 이러한 상황은 수식의 루트 아래에 음수가 포함된 경우 발생합니다.
첫 번째 수준
이차 방정식이라는 용어에서 핵심 단어는 '이차'입니다. 이는 방정식이 반드시 제곱된 변수(동일한 x)를 포함해야 하며, 3승(또는 그 이상)의 x가 있어서는 안 된다는 것을 의미합니다.
많은 방정식의 해는 이차 방정식을 푸는 것으로 귀결됩니다.
이것이 다른 방정식이 아니라 이차 방정식인지 확인하는 방법을 배워 보겠습니다.
예시 1.
분모를 제거하고 방정식의 각 항에 다음을 곱해 봅시다.
모든 것을 왼쪽으로 이동하고 X의 거듭제곱이 내림차순으로 항을 정렬해 보겠습니다.
이제 우리는 이 방정식이 이차 방정식이라고 자신있게 말할 수 있습니다!
예시 2.
왼쪽과 곱셈을 해보자 오른쪽에:
이 방정식은 원래 포함되어 있었지만 이차 방정식이 아닙니다!
예시 3.
모든 것에 다음을 곱해 봅시다:
무서운? 4도 및 2도... 그러나 대체하면 간단한 이차 방정식이 있음을 알 수 있습니다.
예시 4.
있는 것 같지만 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 모든 것을 왼쪽으로 이동해 보겠습니다.
보세요, 그것은 줄어들었고 이제 그것은 단순한 선형 방정식이 되었습니다!
이제 다음 방정식 중 어느 것이 2차 방정식이고 어느 방정식이 아닌지 스스로 결정해 보십시오.
예:
답변:
수학자들은 전통적으로 모든 이차 방정식을 다음 유형으로 나눕니다.
일부 요소가 누락되어 불완전합니다. 하지만 방정식에는 항상 x 제곱이 포함되어야 합니다!!! 그렇지 않으면 더 이상 이차 방정식이 아니라 다른 방정식이 됩니다.
그들은 왜 그런 구분을 생각해 냈습니까? X 제곱이 있는 것 같습니다. 괜찮습니다. 이 구분은 솔루션 방법에 따라 결정됩니다. 각각을 더 자세히 살펴보겠습니다.
먼저, 불완전한 이차 방정식을 푸는 데 집중하겠습니다. 훨씬 간단합니다!
불완전한 이차 방정식에는 다음과 같은 유형이 있습니다.
1. 나. 추출하는 방법을 알고 있기 때문에 제곱근, 그러면 이 방정식으로 표현해보자
표현은 음수일 수도 있고 양수일 수도 있습니다. 두 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱할 때 결과는 항상 양수가 되기 때문에 제곱된 숫자는 음수가 될 수 없습니다. 즉, 그렇다면 방정식에는 해가 없습니다.
그리고 만약 그렇다면 우리는 두 개의 뿌리를 얻습니다. 이 공식을 외울 필요는 없습니다. 가장 중요한 것은 그것이 더 적을 수 없다는 것을 알고 항상 기억해야한다는 것입니다.
몇 가지 예를 해결해 봅시다.
예시 5:
방정식을 풀어보세요
이제 남은 것은 왼쪽과 오른쪽에서 루트를 추출하는 것뿐입니다. 결국 뿌리를 추출하는 방법을 기억하십니까?
답변:
음수 기호가 있는 뿌리를 잊지 마세요!!!
예시 6:
방정식을 풀어보세요
답변:
예시 7:
방정식을 풀어보세요
오! 숫자의 제곱은 음수가 될 수 없습니다. 즉, 방정식은 다음과 같습니다.
뿌리가 없어!
뿌리가 없는 방정식의 경우 수학자들은 특별한 아이콘(빈 세트)을 생각해 냈습니다. 그리고 대답은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
답변:
따라서 이 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 루트를 추출하지 않았으므로 여기에는 제한이 없습니다.
예시 8:
방정식을 풀어보세요
괄호에서 공통인수를 빼자:
따라서,
이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
답변:
가장 간단한 유형의 불완전 이차 방정식입니다(비록 모두 간단하지만). 분명히 이 방정식에는 항상 단 하나의 근이 있습니다.
여기서는 예제를 생략하겠습니다.
완전한 이차 방정식은 다음과 같은 형태의 방정식이라는 점을 상기시켜 드립니다.
완전한 이차 방정식을 푸는 것은 이것보다 조금 더 어렵습니다.
기억하다, 모든 이차 방정식은 판별식을 사용하여 풀 수 있습니다! 심지어 불완전합니다.
다른 방법을 사용하면 더 빨리 계산할 수 있지만, 2차 방정식에 문제가 있는 경우 먼저 판별식을 사용하여 해법을 익히십시오.
이 방법을 사용하여 이차 방정식을 푸는 것은 매우 간단하며, 가장 중요한 것은 일련의 동작과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다.
그렇다면 방정식에는 근이 있습니다. 특별한 관심한 발짝 떼다. 판별식()은 방정식의 근 개수를 알려줍니다.
방정식으로 돌아가서 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예시 9:
방정식을 풀어보세요
1 단계우리는 건너뜁니다.
2 단계.
우리는 판별식을 찾습니다:
이는 방정식에 두 개의 근이 있음을 의미합니다.
3단계.
답변:
예시 10:
방정식을 풀어보세요
방정식은 표준 형식으로 표시되므로 1 단계우리는 건너뜁니다.
2 단계.
우리는 판별식을 찾습니다:
이는 방정식의 근이 하나라는 것을 의미합니다.
답변:
예 11:
방정식을 풀어보세요
방정식은 표준 형식으로 표시되므로 1 단계우리는 건너뜁니다.
2 단계.
우리는 판별식을 찾습니다:
이는 판별식의 근을 추출할 수 없음을 의미합니다. 방정식의 뿌리는 없습니다.
이제 우리는 그러한 답변을 올바르게 작성하는 방법을 알고 있습니다.
답변:뿌리가 없다
기억하신다면 축소(계수 a가 다음과 같을 때)라고 불리는 방정식 유형이 있습니다.
이러한 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 매우 쉽게 풀 수 있습니다.
뿌리의 합 주어진이차방정식은 같고, 근의 곱은 같습니다.
실시예 12:
방정식을 풀어보세요
이 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 풀 수 있습니다. .
방정식의 근의 합은 같습니다. 즉, 우리는 첫 번째 방정식을 얻습니다.
그리고 제품은 다음과 같습니다.
시스템을 구성하고 해결해 봅시다:
시스템에 대한 솔루션은 다음과 같습니다.
답변: ; .
실시예 13:
방정식을 풀어보세요
답변:
실시예 14:
방정식을 풀어보세요
방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.
답변:
즉, 이차방정식은 다음과 같은 형태의 방정식입니다. 여기서 - 미지수, - 일부 숫자, 그리고.
그 숫자를 최고라고 부르거나 첫 번째 계수이차 방정식, - 두 번째 계수, ㅏ - 무료 회원.
왜? 왜냐하면 방정식이 즉시 선형이 된다면, 왜냐하면 사라질 것이다.
이 경우 및 는 0과 같을 수 있습니다. 이 의자 방정식에서는 불완전이라고 합니다. 모든 항이 제자리에 있으면 방정식이 완성됩니다.
먼저, 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다. 이 방법은 더 간단합니다.
다음 유형의 방정식을 구별할 수 있습니다.
I., 이 방정식에서 계수와 자유 항은 동일합니다.
II. , 이 방정식에서 계수는 동일합니다.
III. , 이 방정식에서 자유항은 다음과 같습니다.
이제 이러한 각 하위 유형에 대한 솔루션을 살펴보겠습니다.
분명히 이 방정식에는 항상 단 하나의 근이 있습니다.
두 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱하면 결과는 항상 양수가 되기 때문에 제곱된 숫자는 음수가 될 수 없습니다. 그 이유는 다음과 같습니다.
그렇다면 방정식에는 해가 없습니다.
뿌리가 두 개라면
이 공식을 외울 필요는 없습니다. 기억해야 할 가장 중요한 것은 그보다 적을 수 없다는 것입니다.
예:
솔루션:
답변:
음수 기호가 있는 뿌리를 잊지 마세요!
숫자의 제곱은 음수가 될 수 없습니다. 즉, 방정식은 다음과 같습니다.
뿌리가 없습니다.
문제에 해결책이 없다는 것을 간단히 기록하려면 빈 세트 아이콘을 사용합니다.
답변:
따라서 이 방정식에는 두 가지 근이 있습니다.
답변:
괄호에서 공통인수를 빼자:
요소 중 하나 이상이 0이면 곱은 0과 같습니다. 이는 다음과 같은 경우 방정식에 해가 있음을 의미합니다.
따라서 이 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
예:
방정식을 풀어보세요.
해결책:
방정식의 좌변을 인수분해하고 근을 찾아보겠습니다.
답변:
이 방법으로 이차 방정식을 푸는 것은 쉽습니다. 가장 중요한 것은 일련의 동작과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다. 모든 이차방정식은 판별식을 사용하여 풀 수 있다는 점을 기억하세요! 심지어 불완전합니다.
근에 대한 공식에서 판별식에서 근이 나오는 것을 보셨나요? 그러나 판별자는 음수가 될 수 있습니다. 무엇을 해야 할까요? 우리는 2단계에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 판별식은 방정식의 근의 수를 알려줍니다.
이러한 뿌리를 이중뿌리라고 합니다.
왜 가능합니까? 다른 수량뿌리? 이차 방정식의 기하학적 의미를 살펴보겠습니다. 함수 그래프는 포물선입니다.
이차방정식인 특별한 경우에는 . 이는 이차 방정식의 근이 가로축(축)과의 교차점임을 의미합니다. 포물선은 축과 전혀 교차하지 않을 수도 있고, 한 점(포물선의 정점이 축 위에 있는 경우)이나 두 점에서 교차할 수도 있습니다.
또한 계수는 포물선 가지의 방향을 담당합니다. 그렇다면 포물선의 가지는 위쪽으로 향하고, 그렇다면 아래쪽으로 향합니다.
예:
솔루션:
답변:
답변: .
답변:
즉, 해결책이 없습니다.
답변: .
Vieta의 정리를 사용하는 것은 매우 쉽습니다. 곱이 방정식의 자유 항과 같고 그 합이 반대 부호를 사용하여 취한 두 번째 계수와 같은 숫자 쌍을 선택하기만 하면 됩니다.
Vieta의 정리는 다음에만 적용될 수 있다는 점을 기억하는 것이 중요합니다. 축소된 2차 방정식().
몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예시 #1:
방정식을 풀어보세요.
해결책:
이 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 풀 수 있습니다. . 기타 계수: ; .
방정식의 근의 합은 다음과 같습니다.
그리고 제품은 다음과 같습니다.
곱이 같은 숫자 쌍을 선택하고 그 합이 같은지 확인해 보겠습니다.
시스템에 대한 솔루션은 다음과 같습니다.
따라서 와 는 우리 방정식의 뿌리입니다.
답변: ; .
예시 #2:
해결책:
제품에 제공되는 숫자 쌍을 선택한 다음 그 합계가 같은지 확인하겠습니다.
그리고 : 그들은 전체적으로 제공합니다.
그리고 : 그들은 전체적으로 제공합니다. 얻으려면 가정된 뿌리와 결국 제품의 표시를 간단히 변경하는 것으로 충분합니다.
답변:
예시 #3:
해결책:
방정식의 자유 항은 음수이므로 근의 곱은 음수입니다. 이는 근 중 하나가 음수이고 다른 하나가 양수인 경우에만 가능합니다. 따라서 근의 합은 다음과 같습니다. 모듈의 차이점.
제품에 제공되는 숫자 쌍을 선택하고 그 차이는 다음과 같습니다.
그리고: 그들의 차이는 동일합니다 - 맞지 않습니다.
그리고: - 적합하지 않음;
그리고: - 적합하지 않음;
그리고: - 적합합니다. 남은 것은 뿌리 중 하나가 음수라는 것을 기억하는 것입니다. 그 합은 동일해야 하므로 모듈러스가 더 작은 근은 음수여야 합니다. 우리는 다음을 확인합니다:
답변:
예시 #4:
방정식을 풀어보세요.
해결책:
방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.
자유 항은 음수이므로 근의 곱은 음수입니다. 그리고 이는 방정식의 한 근이 음수이고 다른 근이 양수인 경우에만 가능합니다.
곱이 동일한 숫자 쌍을 선택한 다음 음수 부호를 가져야 하는 근을 결정해 보겠습니다.
분명히 뿌리만 첫 번째 조건에 적합합니다.
답변:
예시 #5:
방정식을 풀어보세요.
해결책:
방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.
근의 합은 음수입니다. 이는 근 중 적어도 하나가 음수임을 의미합니다. 그러나 그들의 곱이 양수이므로 두 뿌리 모두 마이너스 기호가 있음을 의미합니다.
곱이 다음과 같은 숫자 쌍을 선택해 보겠습니다.
분명히 뿌리는 숫자와입니다.
답변:
이 불쾌한 판별식을 세는 대신 구두로 뿌리를 찾는 것이 매우 편리합니다. 가능한 한 자주 비에타의 정리를 사용해 보십시오.
그러나 근을 찾는 것을 촉진하고 속도를 높이려면 비에타의 정리가 필요합니다. 이를 사용하여 이익을 얻으려면 작업을 자동으로 수행해야 합니다. 이를 위해 다섯 가지 예를 더 풀어보세요. 하지만 속이지 마세요. 판별식을 사용할 수 없습니다! 비에타의 정리만:
독립적인 작업을 위한 작업 솔루션:
작업 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Vieta의 정리에 따르면:
평소와 같이 작품 선택을 시작합니다.
금액이 적당하지 않습니다.
: 딱 필요한 금액입니다.
답변: ; .
작업 2.
그리고 다시 우리가 가장 좋아하는 비에타 정리: 합은 동일해야 하고 곱도 동일해야 합니다.
그러나 그렇지 않아야 하기 때문에 뿌리의 부호를 변경합니다: 그리고 (전체적으로).
답변: ; .
작업 3.
흠... 그게 어디죠?
모든 용어를 하나의 부분으로 이동해야 합니다.
근의 합은 곱과 같습니다.
알았어, 그만해! 방정식은 제공되지 않습니다. 그러나 Vieta의 정리는 주어진 방정식에만 적용 가능합니다. 따라서 먼저 방정식을 제시해야 합니다. 이끌 수 없다면 이 아이디어를 포기하고 다른 방법(예를 들어 판별식을 통해)으로 해결하세요. 이차 방정식을 제공한다는 것은 주요 계수를 동일하게 만드는 것을 의미한다는 것을 상기시켜 드리겠습니다.
엄청난. 그러면 근의 합은 와 곱이 됩니다.
여기서 선택하는 것은 배 껍질을 벗기는 것만큼 쉽습니다. 결국 그것은 소수입니다(동어어가 같아 죄송합니다).
답변: ; .
작업 4.
무료 회원은 부정적입니다. 이것의 특별한 점은 무엇입니까? 그리고 사실 뿌리는 다른 징후를 가질 것입니다. 이제 선택하는 동안 루트의 합이 아니라 모듈의 차이점을 확인합니다. 이 차이는 동일하지만 제품입니다.
따라서 근은 and와 같지만 그 중 하나는 마이너스입니다. 비에타의 정리는 근의 합이 반대 부호를 갖는 두 번째 계수와 같다는 것을 말해줍니다. 이는 더 작은 루트에 마이너스가 있음을 의미합니다.
답변: ; .
작업 5.
먼저 무엇을 해야 할까요? 맞습니다. 방정식을 제시하십시오.
다시 말하지만, 숫자의 요소를 선택하고 그 차이는 다음과 같아야 합니다.
근은 and와 같지만 그 중 하나는 마이너스입니다. 어느? 그 합은 같아야 합니다. 즉, 마이너스의 근이 더 커집니다.
답변: ; .
미지수를 포함하는 모든 항이 약식 곱셈 공식(합 또는 차이의 제곱)의 항 형식으로 표시되는 경우 변수를 대체한 후 방정식은 해당 유형의 불완전한 이차 방정식 형식으로 표시될 수 있습니다.
예를 들어:
예시 1:
방정식을 푼다: .
해결책:
답변:
예 2:
방정식을 푼다: .
해결책:
답변:
안에 일반적인 견해변환은 다음과 같습니다.
이는 다음을 의미합니다.
아무것도 생각나지 않나요? 이건 차별적인 일이에요! 이것이 바로 우리가 판별 공식을 얻은 방법입니다.
이차 방정식- 이것은 다음 형식의 방정식입니다. - 미지수 - 이차 방정식의 계수 - 자유항.
완전한 이차 방정식- 계수가 0이 아닌 방정식.
축소된 이차 방정식- 계수가 다음과 같은 방정식: .
불완전한 이차 방정식- 계수 및/또는 자유항 c가 0인 방정식:
1. 불완전한 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘
1.1. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식:
1) 미지수를 표현해보자: ,
2) 표현식의 부호를 확인하십시오.
1.2. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식:
1) 괄호 안의 공통인수를 빼자: ,
2) 요소 중 하나 이상이 0이면 곱은 0과 같습니다. 따라서 방정식에는 두 가지 근이 있습니다.
1.3. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식입니다.
이 방정식에는 항상 단 하나의 근만 있습니다: .
2. 다음 형식의 완전한 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘
2.1. 판별식을 이용한 해
1) 방정식을 표준 형식으로 바꾸자: ,
2) 공식을 사용하여 판별식을 계산해 보겠습니다. , 이는 방정식의 근 수를 나타냅니다.
3) 방정식의 근을 찾으십시오.
2.2. 비에타의 정리를 이용한 해
축소된 이차 방정식(형태의 방정식)의 근의 합은 같고 근의 곱은 같습니다. 즉 , ㅏ.
2.3. 완전한 정사각형을 선택하는 방법에 의한 해법
이차 방정식 문제는 학교 커리큘럼과 대학에서 모두 연구됩니다. 이는 a*x^2 + b*x + c = 0 형식의 방정식을 의미합니다. 엑스-변수, a, b, c – 상수; ㅏ<>0 . 문제는 방정식의 근을 찾는 것입니다.
이차 방정식으로 표현되는 함수의 그래프는 포물선입니다. 2차 방정식의 해(근)는 포물선과 가로좌표(x) 축의 교차점입니다. 세 가지 가능한 경우가 있습니다.
1) 포물선에는 가로축과 교차점이 없습니다. 이는 가지가 위로 향하는 상부 평면에 있거나 가지가 아래로 향하는 바닥에 있음을 의미합니다. 그러한 경우, 이차 방정식에는 실수근이 없습니다(두 개의 복소근이 있음).
2) 포물선은 Ox 축과 하나의 교차점을 갖습니다. 이러한 점을 포물선의 꼭지점이라고 하며, 이 점의 이차 방정식은 최소값 또는 최대값을 얻습니다. 이 경우 이차 방정식에는 하나의 실수근(또는 두 개의 동일한 근)이 있습니다.
3) 마지막 경우는 실제로 더 흥미롭습니다. 포물선과 가로축의 교차점이 두 군데 있습니다. 이는 방정식의 실제 근이 두 개 있다는 것을 의미합니다.
변수의 거듭제곱 계수 분석을 기반으로 포물선 배치에 대한 흥미로운 결론을 도출할 수 있습니다.
1) 계수 a가 0보다 크면 포물선의 가지가 위쪽을 향하고, 음수이면 포물선의 가지가 아래쪽을 향합니다.
2) 계수 b가 0보다 크면 포물선의 꼭지점은 왼쪽 절반 평면에 있고, 음수 값을 취하면 오른쪽에 있습니다.
이차방정식의 상수를 옮겨보자 
등호에 대해서는 다음과 같은 표현을 얻습니다.
양변에 4a를 곱하세요 
왼쪽에 완전한 정사각형을 얻으려면 양쪽에 b^2를 더하고 변환을 수행하십시오.
여기에서 우리는 찾습니다
판별식은 근호식의 값입니다. 양수이면 방정식에는 다음 공식으로 계산된 두 개의 실수 근이 있습니다. 
판별식이 0일 때 이차방정식은 하나의 해(두 개의 일치하는 근)를 가지는데, 이는 위의 D=0 공식에서 쉽게 구할 수 있고, 판별식이 음수일 때 방정식에는 실수근이 없습니다. 그러나 이차 방정식의 해는 복소 평면에서 찾을 수 있으며 해당 값은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다. 
이차 방정식의 두 근을 고려하고 이를 기반으로 이차 방정식을 구성해 봅시다. Vieta의 정리 자체는 표기법에서 쉽게 따릅니다. 
그 근의 합은 다음에서 가져온 계수 p와 같습니다. 반대 기호, 그리고 방정식의 근의 곱은 자유 항 q와 같습니다. 위의 공식적 표현은 다음과 같습니다. 고전 방정식에서 상수 a가 0이 아닌 경우 전체 방정식을 이것으로 나눈 다음 Vieta의 정리를 적용해야 합니다.
작업을 설정하십시오. 이차 방정식을 인수분해합니다. 이를 위해 먼저 방정식을 풉니다(근을 찾습니다). 다음으로, 찾은 근을 이차방정식의 전개식에 대입하면 문제가 해결됩니다.
작업 1. 이차 방정식의 근을 찾아보세요
x^2-26x+120=0 .
해결 방법: 계수를 기록하고 이를 판별식에 대입합니다.
루트 주어진 값는 14와 같으며 계산기로 쉽게 찾을 수 있거나 자주 사용하여 기억할 수 있지만 편의상 기사 끝 부분에서 이러한 문제에서 자주 발생할 수 있는 숫자의 제곱 목록을 제공합니다.
찾은 값을 루트 공식으로 대체합니다. 
그리고 우리는 얻습니다 
작업 2. 방정식을 풀어보세요
2x2 +x-3=0.
해결책: 완전한 이차 방정식이 있고, 계수를 작성하고 판별식을 구합니다. 
알려진 공식을 사용하여 이차 방정식의 근을 찾습니다. 
작업 3. 방정식을 풀어보세요
9x2 -12x+4=0.
해결책: 완전한 이차 방정식이 있습니다. 판별식 결정
뿌리가 일치하는 경우가 있습니다. 공식을 사용하여 근의 값을 찾으십시오. 
작업 4. 방정식을 풀어보세요
x^2+x-6=0 .
해결 방법: x에 대한 계수가 작은 경우 Vieta의 정리를 적용하는 것이 좋습니다. 그 조건에 따라 우리는 두 가지 방정식을 얻습니다.
두 번째 조건에서 곱은 -6과 같아야 함을 알 수 있습니다. 이는 근 중 하나가 음수임을 의미합니다. 다음과 같은 가능한 솔루션 쌍이 있습니다 (-3;2), (3;-2) . 첫 번째 조건을 고려하여 두 번째 솔루션 쌍을 거부합니다.
방정식의 근은 같습니다.
문제 5. 둘레가 18cm이고 넓이가 77cm 2인 직사각형의 변의 길이를 구하십시오.
해결책: 직사각형 둘레의 절반은 인접한 변의 합과 같습니다. x를 더 큰 변으로 표시하고, 18-x를 더 작은 변으로 표시하겠습니다. 직사각형의 면적은 다음 길이의 곱과 같습니다.
x(18-x)=77;
또는
x 2 -18x+77=0.
방정식의 판별식을 구해보자
방정식의 근을 계산 
만약에 x=11,저것 18세=7 ,그 반대도 마찬가지입니다(x=7이면 21's=9).
문제 6. 2차 방정식 10x 2 -11x+3=0을 인수분해합니다.
해결책: 방정식의 근을 계산해 보겠습니다. 이를 위해 판별식을 찾습니다. 
찾은 값을 루트 공식에 대입하고 계산합니다. 
근으로 이차 방정식을 분해하는 공식을 적용합니다. 
괄호를 열면 신원을 알 수 있습니다.
예 1. 어떤 매개변수 값에서 ㅏ ,방정식 (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0은 근이 하나입니까?
해결책: a=3 값을 직접 대체하면 해결책이 없음을 알 수 있습니다. 다음으로, 판별식이 0인 방정식에는 다중도 2의 근이 하나 있다는 사실을 사용할 것입니다. 판별식을 써보자 
단순화해서 0과 동일시하자
우리는 매개변수 a에 대한 2차 방정식을 얻었으며, 그 해는 Vieta의 정리를 사용하여 쉽게 얻을 수 있습니다. 근의 합은 7이고 그 곱은 12입니다. 간단한 검색을 통해 숫자 3,4가 방정식의 근이 될 것임을 확인합니다. 계산 시작 시 이미 a=3이라는 해를 거부했기 때문에 유일한 올바른 해는 다음과 같습니다. a=4.따라서 a=4에 대해 방정식은 하나의 근을 갖습니다.
예 2. 어떤 매개변수 값에서 ㅏ ,방정식 a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0루트가 두 개 이상인가요?
해결 방법: 먼저 특이점을 고려해 보겠습니다. 이는 a=0 및 a=-3 값이 됩니다. a=0일 때 방정식은 6x-9=0 형식으로 단순화됩니다. x=3/2이고 루트는 하나입니다. a= -3에 대해 항등식 0=0을 얻습니다.
판별식을 계산해보자 
그리고 a가 양수인 값을 찾으세요. 
첫 번째 조건에서 a>3을 얻습니다. 두 번째로, 우리는 방정식의 판별식과 근을 찾습니다. 
함수가 양수 값을 취하는 간격을 결정해 보겠습니다. 점 a=0을 대입하면 다음을 얻습니다. 3>0
.
따라서 간격(-3;1/3) 외부에서는 함수가 음수입니다. 요점을 잊지 마세요 a=0,이는 원래 방정식에 하나의 근이 있기 때문에 제외되어야 합니다.
결과적으로 문제의 조건을 만족하는 두 개의 구간을 얻습니다. 
실제로는 유사한 작업이 많이 있으므로 작업을 직접 파악하려고 노력하고 상호 배타적인 조건을 고려하는 것을 잊지 마십시오. 이차 방정식을 풀기 위한 공식을 잘 연구하십시오. 이 공식은 다양한 문제와 과학의 계산에 종종 필요합니다.
8학년 때 이차 방정식을 공부하므로 여기에는 복잡한 것이 없습니다. 이를 해결하는 능력이 반드시 필요합니다.
2차 방정식은 ax 2 + bx + c = 0 형식의 방정식입니다. 여기서 계수 a, b 및 c는 임의의 숫자이고 a ≠ 0입니다.
특정 해법을 연구하기 전에 모든 이차 방정식은 세 가지 클래스로 나눌 수 있다는 점에 유의하세요.
이는 근이 항상 존재하고 고유한 이차 방정식과 선형 방정식 간의 중요한 차이점입니다. 방정식에 몇 개의 근이 있는지 확인하는 방법은 무엇입니까? 여기에는 놀라운 일이 있습니다. 판별력이 있는.
2차 방정식 ax 2 + bx + c = 0이 주어지면 판별식은 단순히 숫자 D = b 2 − 4ac입니다.
이 공식을 외워야 합니다. 그것이 어디서 왔는지는 이제 중요하지 않습니다. 또 다른 중요한 점은 판별식의 부호를 통해 이차 방정식의 근 수를 결정할 수 있다는 것입니다. 즉:
참고 사항: 판별식은 많은 사람들이 믿는 것처럼 루트의 수를 나타내는 것이지 모든 기호를 나타내는 것은 아닙니다. 예제를 살펴보면 모든 것을 스스로 이해할 수 있습니다.
일. 이차 방정식에는 몇 개의 근이 있습니까?
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
첫 번째 방정식의 계수를 작성하고 판별식을 찾아보겠습니다.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
따라서 판별식은 양수이므로 방정식에는 두 개의 서로 다른 근이 있습니다. 비슷한 방식으로 두 번째 방정식을 분석합니다.
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
판별식이 음수이고 뿌리가 없습니다. 남은 마지막 방정식은 다음과 같습니다.
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
판별식은 0입니다. 근은 1이 됩니다.
각 방정식에 대한 계수가 기록되어 있습니다. 예, 길고, 지루합니다. 하지만 확률을 혼동하거나 어리석은 실수를 저지르지는 않을 것입니다. 속도나 품질 중에서 직접 선택하세요.
그건 그렇고, 익숙해지면 잠시 후에 모든 계수를 적을 필요가 없습니다. 당신은 당신의 머리 속에서 그러한 작업을 수행하게 될 것입니다. 대부분의 사람들은 50~70개의 방정식을 풀고 나서 이 작업을 시작합니다. 일반적으로 그렇게 많지는 않습니다.
이제 솔루션 자체로 넘어 갑시다. 판별식 D > 0이면 다음 공식을 사용하여 근을 찾을 수 있습니다.
이차 방정식의 근에 대한 기본 공식
D = 0이면 다음 공식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 답이 되는 동일한 숫자를 얻게 됩니다. 마지막으로 만약 D라면< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
첫 번째 방정식:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 찾아보자:
두 번째 방정식:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ 방정식에는 다시 두 개의 근이 있습니다. 찾아보자
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(정렬)\]
마지막으로 세 번째 방정식은 다음과 같습니다.
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ 방정식의 근은 1개입니다. 어떤 수식이라도 사용할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째는 다음과 같습니다.
예제에서 볼 수 있듯이 모든 것이 매우 간단합니다. 공식을 알고 셀 수 있다면 문제가 없습니다. 대부분의 경우 음수 계수를 공식에 대체할 때 오류가 발생합니다. 여기서도 위에서 설명한 기술이 도움이 될 것입니다. 공식을 문자 그대로 보고 각 단계를 기록하면 곧 오류가 제거됩니다.
이차 방정식이 정의에 제공된 것과 약간 다른 경우가 있습니다. 예를 들어:
이 방정식에는 항 중 하나가 누락되어 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 이러한 이차 방정식은 표준 방정식보다 풀기 훨씬 쉽습니다. 판별식을 계산할 필요도 없습니다. 이제 새로운 개념을 소개하겠습니다.
방정식 ax 2 + bx + c = 0은 b = 0 또는 c = 0인 경우 불완전 이차 방정식이라고 합니다. 즉, 변수 x의 계수 또는 자유 요소는 0과 같습니다.
물론, 이 두 계수가 모두 0일 때 매우 어려운 경우가 가능합니다: b = c = 0. 이 경우 방정식은 ax 2 = 0 형식을 취합니다. 분명히 이러한 방정식에는 단일 근이 있습니다. x = 0.
나머지 경우를 고려해 봅시다. b = 0이라고 하면 ax 2 + c = 0 형식의 불완전한 2차 방정식을 얻습니다. 이를 조금 변형해 보겠습니다.
산술 제곱근은 음수가 아닌 숫자로만 존재하므로 마지막 동일성은 (−c /a) ≥ 0인 경우에만 의미가 있습니다. 결론:
보시다시피 판별식은 필요하지 않습니다. 불완전한 이차 방정식에는 복잡한 계산이 전혀 없습니다. 실제로 부등식 (−c /a) ≥ 0을 기억할 필요조차 없습니다. x 2 값을 표현하고 등호 반대편에 무엇이 있는지 확인하는 것만으로도 충분합니다. 양수가 있으면 두 개의 근이 있습니다. 음수이면 뿌리가 전혀 없습니다.
이제 자유 요소가 0인 ax 2 + bx = 0 형식의 방정식을 살펴보겠습니다. 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 항상 두 개의 뿌리가 있습니다. 다항식을 인수분해하는 것으로 충분합니다:
괄호에서 공통인수 빼기요인 중 하나 이상이 0이면 제품은 0입니다. 여기에서 뿌리가 나옵니다. 결론적으로 다음 방정식 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.
일. 2차 방정식을 푼다:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. 뿌리가 없으니까 정사각형은 음수와 같을 수 없습니다.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.
참고문헌 설명: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. 이차 방정식 풀기 방법 // 젊은 과학자. 2016. 6.1호. 페이지 17-20..02.2019).
우리 프로젝트는 이차방정식을 푸는 방법에 관한 것입니다. 프로젝트 목표: 학교 커리큘럼에 포함되지 않은 방식으로 이차 방정식을 푸는 방법을 배웁니다. 작업: 모든 것을 찾아보세요 가능한 방법이차 방정식을 풀고 이를 사용하는 방법을 스스로 배우고 이러한 방법을 반 친구들에게 소개합니다.
"이차 방정식"이란 무엇입니까?
이차 방정식- 형태의 방정식 도끼2 +bx +c = 0, 어디 ㅏ, 비, 씨- 일부 숫자( a ≠ 0), 엑스- 알려지지 않은.
숫자 a, b, c를 이차 방정식의 계수라고 합니다.
이차 방정식을 최초로 "발명"한 사람은 누구입니까?
일차방정식과 이차방정식을 풀기 위한 일부 대수적 기법은 4000년 전 고대 바빌론에서 알려졌습니다. 기원전 1800년에서 1600년 사이에 만들어진 고대 바빌로니아 점토판의 발견은 이차 방정식 연구에 대한 최초의 증거를 제공합니다. 동일한 태블릿에는 특정 유형의 이차 방정식을 푸는 방법이 포함되어 있습니다.
고대에도 1차 방정식뿐만 아니라 2차 방정식을 풀어야 할 필요성은 토지 구역 찾기 및 군사적 성격의 발굴 작업과 관련된 문제를 해결해야 할 필요성 때문에 발생했습니다. 천문학과 수학 자체의 발전과 마찬가지로.
바빌로니아 문헌에 제시된 이러한 방정식을 푸는 규칙은 본질적으로 현대의 규칙과 일치하지만 바빌로니아인들이 어떻게 이 규칙에 도달했는지는 알려져 있지 않습니다. 지금까지 발견된 거의 모든 설형 문자 텍스트는 조리법 형식으로 제시된 해결책에 대한 문제만 제공하며, 어떻게 발견되었는지에 대한 표시는 없습니다. 에도 불구하고 높은 레벨바빌론에서 대수학이 발달하면서 설형 문자 텍스트에는 음수 개념과 이차 방정식을 푸는 일반적인 방법이 부족합니다.
기원전 4세기경 바빌로니아의 수학자. 양의 근이 있는 방정식을 풀기 위해 제곱의 보수법을 사용했습니다. 기원전 300년경 유클리드는 보다 일반적인 기하학적 해법을 생각해 냈습니다. 다음 형식의 음근을 갖는 방정식의 해를 찾은 최초의 수학자 대수 공식, 인도 과학자였습니다 브라마굽타(인도, 서기 7세기).
브라마굽타(Brahmagupta)는 단일 표준 형식으로 축소된 이차 방정식을 풀기 위한 일반 규칙을 제시했습니다.
ax2 + bx = c, a>0
이 방정식의 계수는 음수일 수도 있습니다. 브라마굽타의 법칙은 본질적으로 우리의 법칙과 동일합니다.
인도에서는 문제 해결을 위한 공개 경쟁이 흔했습니다. 어려운 작업. 인도의 오래된 책 중 하나는 그러한 대회에 관해 다음과 같이 말합니다. “태양이 그 광채로 별들을 가릴 때, 식자대수 문제를 제안하고 해결함으로써 공개 집회에서 그의 영광을 가릴 것입니다.” 문제는 종종 시적인 형태로 제시되었습니다.
대수학 논문에서 알콰리즈미선형 및 이차 방정식의 분류가 제공됩니다. 저자는 6가지 종류의 방정식을 세어 다음과 같이 표현한다.
1) "제곱은 근과 같습니다", 즉 ax2 = bx.
2) "제곱은 숫자와 같습니다", 즉 ax2 = c.
3) “근은 숫자와 같습니다.” 즉, ax2 = c입니다.
4) "제곱과 숫자는 근과 같습니다", 즉 ax2 + c = bx.
5) “제곱근과 제곱근은 숫자와 같습니다.” 즉, ax2 + bx = c입니다.
6) “근과 숫자는 제곱과 같습니다.” 즉, bx + c == ax2입니다.
음수의 사용을 피한 알콰리즈미의 경우, 이러한 방정식 각각의 항은 뺄셈이 아닌 덧셈입니다. 이 경우, 없는 방정식은 긍정적인 결정. 저자는 al-jabr 및 al-mukabal 기술을 사용하여 이러한 방정식을 푸는 방법을 제시합니다. 물론 그의 결정은 우리의 결정과 완전히 일치하지는 않습니다. 순전히 수사적이라는 점은 말할 것도 없고, 예를 들어 첫 번째 유형의 불완전한 이차 방정식을 풀 때 Al-Khorezmi는 17세기까지의 모든 수학자처럼 영점 해를 고려하지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 아마도 특정 실무에서는 작업에 중요하지 않기 때문일 것입니다. 완전한 이차 방정식을 풀 때 Al-Khwarizmi는 특정 수치 예와 기하학적 증명을 사용하여 방정식을 풀기 위한 규칙을 제시합니다.
유럽의 알콰리즈미(Al-Khwarizmi) 모델을 따라 이차방정식을 푸는 형식은 1202년에 작성된 "주판서(Book of the Abacus)"에 처음으로 명시되어 있습니다. 이탈리아 수학자 레너드 피보나치. 저자는 독립적으로 몇 가지 새로운 것을 개발했습니다. 대수적 예문제를 해결하고 유럽 최초로 음수를 도입했습니다.
이 책은 이탈리아뿐만 아니라 독일, 프랑스 및 기타 유럽 국가에서도 대수학 지식의 확산에 기여했습니다. 이 책의 많은 문제는 14~17세기 유럽의 거의 모든 교과서에 사용되었습니다. 일반 규칙부호와 계수 b, c의 가능한 모든 조합에 대해 단일 표준 형식 x2 + bх = с로 축소된 2차 방정식의 해는 1544년 유럽에서 공식화되었습니다. M. 슈티펠.
일반 형태의 2차 방정식을 풀기 위한 공식의 유도는 Viète에서 가능하지만 Viète는 양수 근만 인식했습니다. 이탈리아 수학자 타르탈리아, 카르다노, 봄벨리 16세기 최초의 것 중 하나이다. 긍정적인 것 외에도 부정적인 뿌리도 고려됩니다. 17세기에만요. 노력 덕분에 지라르, 데카르트, 뉴턴다른 사람 과학자들의 길이차 방정식을 푸는 것은 현대적인 형태를 취합니다.
이차 방정식을 푸는 몇 가지 방법을 살펴보겠습니다.
2차 방정식을 풀기 위한 표준 방법 학교 커리큘럼:
Vieta의 정리를 사용하여 약식 및 비환원 이차 방정식의 해에 대해 더 자세히 살펴보겠습니다.
위의 2차 방정식을 풀려면 곱이 자유항과 같고 그 합이 반대 부호를 갖는 두 번째 계수와 같은 두 숫자를 찾는 것으로 충분합니다.
예.엑스 2 -5x+6=0
곱이 6이고 합이 5인 숫자를 찾아야 합니다. 이 숫자는 3과 2가 됩니다.
답: 엑스 1 =2,x 2 =3.
그러나 첫 번째 계수가 1이 아닌 방정식에도 이 방법을 사용할 수 있습니다.
예.3배 2 +2x-5=0
첫 번째 계수를 취하고 자유항을 곱합니다: x 2 +2x-15=0
이 방정식의 근은 곱이 -15이고 합이 -2인 숫자입니다. 이 숫자는 5와 3입니다. 원래 방정식의 근을 찾으려면 결과 근을 첫 번째 계수로 나눕니다.
답: 엑스 1 =-5/3, x 2 =1
6. "던지기" 방법을 사용하여 방정식을 푼다.
2차 방정식 ax 2 + bx + c = 0을 생각해 보세요. 여기서 a≠0입니다.
양변에 a를 곱하면 방정식 a 2 x 2 + abx + ac = 0을 얻습니다.
x = y라고 가정하면 x = y/a입니다. 그런 다음 우리는 주어진 것과 동일한 방정식 y 2 + by + ac = 0에 도달합니다. 우리는 비에타의 정리를 사용하여 1과 2의 근을 찾습니다.
우리는 마침내 x 1 = y 1 /a와 x 2 = y 2 /a를 얻습니다.
이 방법을 사용하면 계수 a에 마치 "던지는" 것처럼 자유항을 곱하므로 "던지기" 방법이라고 합니다. 이 방법은 비에타의 정리(Vieta's theorem)를 사용하여 방정식의 근을 쉽게 찾을 수 있을 때, 그리고 가장 중요한 것은 판별식이 정제곱인 경우에 사용됩니다.
예.2배 2 - 11x + 15 = 0.
계수 2를 자유 항에 "던지고" 대입하여 방정식 y 2 - 11y + 30 = 0을 얻습니다.
비에타의 역정리에 따르면
y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5, y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.
답: 엑스 1 =2.5; 엑스 2 = 3.
7. 이차 방정식 계수의 속성.
2차 방정식 ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0이 주어집니다.
1. a+ b + c = 0이면(즉, 방정식 계수의 합이 0이면) x 1 = 1입니다.
2. a - b + c = 0 또는 b = a + c이면 x 1 = - 1입니다.
예.345배 2 - 137x - 208 = 0.
a + b + c = 0(345 - 137 - 208 = 0)이므로 x 1 = 1, x 2 = -208/345입니다.
답: 엑스 1 =1; 엑스 2 = -208/345 .
예.132배 2 + 247x + 115 = 0
왜냐하면 a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), 그러면 x 1 = - 1, x 2 = - 115/132
답: 엑스 1 = - 1; 엑스 2 =- 115/132
이차 방정식의 계수에는 다른 속성이 있습니다. 그러나 그 사용은 더 복잡합니다.
8. 노모그램을 사용하여 이차방정식을 푼다.
그림 1. 노모그램
이것은 2차 방정식을 푸는 오래되고 현재 잊혀진 방법으로, 컬렉션의 83페이지에 있습니다: Bradis V.M. 네 자리 수학 테이블. - 석사, 교육학, 1990.
표 22. 방정식을 풀기 위한 노모그램 z 2 + pz + q = 0. 이 노모그램을 사용하면 이차 방정식을 풀지 않고도 계수에서 방정식의 근을 결정할 수 있습니다.
노모그램의 곡선 척도는 다음 공식에 따라 작성됩니다(그림 1).
믿음 OS = p, ED = q, OE = a(모두 cm 단위), 그림 1에서 삼각형의 유사점 SAN그리고 CDF우리는 비율을 얻습니다
대체 및 단순화 후에 다음 방정식이 생성됩니다. z 2 + pz + q = 0,그리고 그 편지 지곡선 눈금의 임의 지점의 표시를 의미합니다.
쌀. 2 노모그램을 사용하여 이차방정식 풀기
예.
1) 방정식의 경우 지 2 - 9z + 8 = 0노모그램은 근 z 1 = 8.0 및 z 2 = 1.0을 제공합니다.
답변:8.0; 1.0.
2) 노모그램을 사용하여 방정식을 푼다.
2z 2 - 9z + 2 = 0.
이 방정식의 계수를 2로 나누면 방정식 z 2 - 4.5z + 1 = 0을 얻습니다.
노모그램은 근 z 1 = 4 및 z 2 = 0.5를 제공합니다.
답: 4; 0.5.
9. 2차 방정식을 풀기 위한 기하학적 방법.
예.엑스 2 + 10x = 39.
원문에서는 이 문제를 다음과 같이 공식화했습니다. “제곱과 열 근은 39와 같습니다.”
측면 x가 있는 정사각형을 고려하면 직사각형은 각 측면에 구성되어 각 측면의 다른 측면이 2.5이므로 각 영역은 2.5x입니다. 그런 다음 결과 그림은 모서리에 4개의 사각형을 추가하여 새로운 사각형 ABCD로 완성됩니다. 등제곱, 각각의 변은 2.5이고 면적은 6.25입니다.
쌀. 3 방정식 x 2 + 10x = 39를 푸는 그래픽 방법
정사각형 ABCD의 면적 S는 원래 정사각형 x 2, 직사각형 4개(4∙2.5x = 10x) 및 추가 정사각형 4개(6.25∙4 = 25)의 면적의 합으로 나타낼 수 있습니다. S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x를 숫자 39로 바꾸면 S = 39 + 25 = 64가 됩니다. 이는 정사각형의 변이 ABCD라는 것을 의미합니다. 즉, 세그먼트 AB = 8. 원래 정사각형의 필수 변 x에 대해 우리는 다음을 얻습니다.
10. Bezout의 정리를 사용하여 방정식을 푼다.
베주의 정리. 다항식 P(x)를 이항식 x - α로 나눈 나머지는 P(α)(즉, x = α에서 P(x)의 값)와 같습니다.
숫자 α가 다항식 P(x)의 근이면 이 다항식은 나머지 없이 x -α로 나눌 수 있습니다.
예.x²-4x+3=0
Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x)를 (x-1)로 나눕니다: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3
x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0
x-1=0; x=1, 또는 x-3=0, x=3; 답: 엑스1 =2,x2 =3.
결론:이차 방정식을 빠르고 합리적으로 푸는 능력은 분수 유리 방정식, 방정식과 같이 더 복잡한 방정식을 푸는 데 필요합니다. 더 높은 학위, 이차 방정식, 고등학교 삼각법, 지수 및 대수 방정식. 2차 방정식을 풀기 위해 발견된 모든 방법을 연구한 후, 우리는 표준 방법 외에도 전달 방법(6)으로 풀고 계수의 속성(7)을 사용하여 방정식을 풀도록 조언할 수 있습니다. 이해에.
문학:
