두 개의 벡터를 놓고 공간에 주어진다. 임의의 지점에서 따로 설정 영형벡터와 . 모서리벡터 사이의 각도 중 가장 작은 각도라고 합니다. 표시 .
축을 고려하십시오 엘그리고 그 위에 단위 벡터(즉, 길이가 1인 벡터)를 플로팅합니다.
벡터와 축 사이의 각도 엘벡터와 사이의 각도를 이해합니다.
그러니 보자 엘는 축이고 벡터입니다.
로 표시 A1그리고 B1축에 투영 엘포인트들 ㅏ그리고 비. 그런 척하자 A1좌표가 있다 × 1, ㅏ B1- 좌표 x2차축에 엘.
그 다음에 투사축당 벡터 엘차이라고 한다 × 1 – x2이 축에 대한 벡터의 끝과 시작의 투영 좌표 사이.
벡터를 축에 투영 엘우리는 를 나타낼 것입니다.
벡터와 축 사이의 각도가 엘날카로운 다음 x2> × 1, 투영 x2 – × 1> 0; 이 각도가 둔각이면 x2< × 1및 프로젝션 x2 – × 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси 엘, 그 다음에 x2= × 1그리고 x2– × 1=0.
따라서 축에 대한 벡터의 투영 엘세그먼트의 길이입니다 A1B1특정 기호로 촬영. 따라서 축에 대한 벡터의 투영은 숫자 또는 스칼라입니다.
한 벡터를 다른 벡터에 투영하는 것도 유사하게 정의됩니다. 이 경우 이 벡터 끝의 투영은 두 번째 벡터가 있는 선에서 발견됩니다.
몇 가지 주요 내용을 살펴보겠습니다. 프로젝션 속성.
벡터의 선형 의존 및 선형 독립 시스템
여러 벡터를 고려해 봅시다.
선형 조합이 벡터 중 형식의 벡터는 이며 일부 숫자는 입니다. 숫자를 선형 조합의 계수라고 합니다. 또한 이 경우 주어진 벡터의 관점에서 선형으로 표현된다고 합니다. 즉, 선형 연산에 의해 그들로부터 얻습니다.
예를 들어 세 개의 벡터가 주어지면 벡터는 선형 조합으로 간주될 수 있습니다. 
벡터가 일부 벡터의 선형 조합으로 표시되면 다음과 같이 말합니다. 분해이 벡터를 따라.
벡터는 선형 종속, 모두 0이 아닌 숫자가 있는 경우 
. 이러한 벡터 중 하나가 다른 벡터에 대해 선형으로 표현되는 경우 주어진 벡터는 선형 종속이 될 것임이 분명합니다.
그렇지 않으면, 즉 비율 때 경우에만 수행 
, 이러한 벡터를 선형 독립.
정리 1.두 벡터는 동일선상에 있는 경우에만 선형 종속입니다.
증거:
다음 정리도 비슷하게 증명할 수 있습니다.
정리 2.세 벡터는 동일 평면에 있는 경우에만 선형 종속입니다.
증거.
기초
기초 0이 아닌 선형 독립 벡터의 모음입니다. 기본 요소는 로 표시됩니다.
이전 하위 섹션에서 우리는 평면에서 두 개의 비동일선 벡터가 선형적으로 독립적임을 보았습니다. 따라서 앞 단락의 정리 1에 따르면 평면의 기저는 이 평면에서 동일 선상에 있지 않은 임의의 두 벡터입니다.
마찬가지로 동일 평면에 있지 않은 세 벡터는 공간에서 선형적으로 독립적입니다. 따라서 동일 평면에 있지 않은 세 개의 벡터를 공간에서 기저라고 합니다.
다음 주장은 사실입니다.
정리.공간에 기초를 두십시오. 그런 다음 모든 벡터는 선형 조합으로 나타낼 수 있습니다. 
, 어디 엑스, 와이, 지- 일부 숫자. 이러한 분해는 독특합니다.
증거.
따라서 기본을 사용하면 각 벡터를 기본 벡터의 관점에서 이 벡터의 확장 계수인 3개의 숫자와 고유하게 연결할 수 있습니다. . 그 반대도 마찬가지입니다. 숫자의 각 세 배 엑스, 와이, 지기저를 사용하여 선형 조합을 만들면 벡터를 일치시킬 수 있습니다. 
.
만약 근거와 , 숫자 엑스, 와이, 지~라고 불리는 좌표주어진 기준의 벡터. 벡터 좌표는 를 나타냅니다.
직교 좌표계
공간에 포인트를 주자 영형 3개의 동일 평면이 아닌 벡터.
직교 좌표계공간에서 (평면에서) 점과 기저의 집합이라고합니다. 한 점과 이 점에서 나가는 3개의 비동일면 벡터(2개의 비동일선 벡터)의 집합입니다.
점 영형원산지라고 함; 기준 벡터 방향으로 원점을 통과하는 직선을 좌표축 - 가로 좌표, 세로 좌표 및 적용 축이라고 합니다. 좌표축을 통과하는 평면을 좌표평면이라고 합니다.
선택한 좌표계에서 임의의 점을 고려하십시오. 중. 점 좌표의 개념을 소개하겠습니다. 중. 원점과 점을 연결하는 벡터 중. ~라고 불리는 반지름 벡터포인트들 중.
선택한 기준의 벡터는 세 개의 숫자와 연결될 수 있습니다. 좌표는 다음과 같습니다. 
.
점 반경 벡터 좌표 중. ~라고 불리는 점 M의 좌표. 고려된 좌표계에서. M(x,y,z). 첫 번째 좌표를 가로 좌표, 두 번째 좌표를 세로 좌표, 세 번째 좌표를 적용 좌표라고 합니다.
평면의 데카르트 좌표도 유사하게 정의됩니다. 여기서 점에는 가로 좌표와 세로 좌표라는 두 개의 좌표만 있습니다.
주어진 좌표계에 대해 각 점에 특정 좌표가 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 반면에 숫자의 각 삼중 항에 대해 이러한 숫자를 좌표로 갖는 단일 점이 있습니다.
선택한 좌표계에서 기준으로 삼은 벡터가 단위 길이를 갖고 쌍으로 수직이면 좌표계를 호출합니다. 데카르트 직사각형.
그것을 보여주는 것은 쉽습니다.
벡터의 방향 코사인은 방향을 완전히 결정하지만 길이에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다.
평면에 다양한 선과 표면을 투영하면 드로잉 형식으로 개체를 시각적으로 표현할 수 있습니다. 투영 광선이 투영 평면에 수직인 직사각형 투영을 고려할 것입니다. 평면에 벡터 투영 시작과 끝에서 떨어진 수직선 사이에 둘러싸인 벡터 \u003d (그림 3.22)를 고려하십시오.
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쌀. 3.23. 축에 대한 벡터의 벡터 투영입니다.
벡터 대수학에서는 AXIS, 즉 특정 방향을 가진 직선에 벡터를 투영해야 하는 경우가 종종 있습니다. 이러한 설계는 벡터와 축 L이 같은 평면에 있으면 쉽습니다(그림 3.23). 그러나 이 조건이 충족되지 않으면 작업이 더 어려워집니다. 벡터와 축이 같은 평면에 있지 않을 때 축에 대한 벡터의 투영을 구성해 봅시다(그림 3.24).
쌀. 3.24. 축에 벡터 투영
일반적으로.
벡터의 끝을 통해 선 L에 수직인 평면을 그립니다. 이 선과의 교차점에서 이 평면은 두 점 A1과 B1을 정의합니다. 벡터는 이 벡터의 벡터 투영이라고 합니다. 벡터 투영법을 찾는 문제는 벡터 대수학에서 자유 벡터를 고려하기 때문에 벡터를 축과 동일한 평면으로 가져오면 더 간단하게 해결할 수 있습니다.
벡터 투영과 함께 SCALAR 투영도 있는데, 벡터 투영이 L축 방향과 일치하면 벡터 투영의 계수와 같고, 벡터 투영과 L축 방향이 일치하면 그 반대 값과 같습니다. L 축은 반대 방향입니다. 스칼라 프로젝션은 다음과 같이 표시됩니다.
벡터 투영법과 스칼라 투영법은 실제로 용어적으로 항상 엄격하게 구분되는 것은 아닙니다. "벡터 투영"이라는 용어는 일반적으로 벡터의 스칼라 투영을 의미하는 데 사용됩니다. 결정할 때 이러한 개념을 명확하게 구분할 필요가 있습니다. 확립된 전통에 따라 스칼라 투영을 의미하는 "벡터 투영"이라는 용어와 확립된 의미에 따라 "벡터 투영"이라는 용어를 사용합니다.
주어진 벡터의 스칼라 투영을 계산할 수 있는 정리를 증명해 보겠습니다.
정리 5. 축 L에 대한 벡터의 투영은 해당 모듈의 곱과 벡터와 축 사이의 각도의 코사인과 같습니다.
(3.5)
쌀. 3.25. 벡터와 스칼라 찾기
L 축의 벡터 투영
(그리고 L 축은 동일한 방향입니다).
증거. 각도를 찾을 수 있는 예비 공사를 해봅시다. G벡터와 L 축 사이 이를 위해 L 축에 평행하고 벡터의 시작점인 O 점을 통과하는 직선 MN을 구성합니다(그림 3.25). 각도는 원하는 각도가 됩니다. 점 A와 O를 통해 축 L에 수직인 두 평면을 그립니다. 우리는 다음을 얻습니다.
L 축과 선 MN이 평행하기 때문입니다.
우리는 두 가지 경우를 골라냅니다. 상대 위치벡터 및 축 L.
1. 벡터 투영과 L축이 같은 방향이 되도록 합니다(그림 3.25). 그런 다음 해당 스칼라 투영 
.
2. 및 L이 다른 측면(그림 3.26).
쌀. 3.26. L 축에서 벡터 및 벡터의 스칼라 투영을 찾습니다(L 축은 반대 방향으로 향함).
따라서 정리의 주장은 두 경우 모두에 적용됩니다.
정리 6. 벡터의 시작을 L축의 특정 지점으로 축소하고 이 축이 s 평면에 있으면 벡터는 s 평면에 대한 벡터 투영과 각도를 형성하고 벡터와 각도를 형성합니다. L 축에 대한 투영, 또한 벡터 투영 자체는 그들 사이에 각도를 형성합니다. 그런 다음
축이나 다른 벡터에는 기하학적 투영과 수치적(또는 대수적) 투영의 개념이 있습니다. 기하 투영의 결과는 벡터이고 대수 투영의 결과는 음수가 아닙니다. 실수. 그러나 이러한 개념으로 이동하기 전에 기억해 봅시다. 필요한 정보.
주요 개념은 바로 벡터의 개념입니다. 기하학적 벡터의 정의를 소개하기 위해 세그먼트가 무엇인지 생각해 봅시다. 다음 정의를 소개합니다.
정의 1
세그먼트는 점 형태의 두 경계가 있는 직선의 일부입니다.
세그먼트는 2가지 방향을 가질 수 있습니다. 방향을 나타내기 위해 세그먼트의 경계 중 하나를 시작 부분이라고 하고 다른 경계를 끝 부분이라고 합니다. 방향은 세그먼트의 처음부터 끝까지 표시됩니다.
정의 2
벡터 또는 방향성 세그먼트는 세그먼트의 경계 중 어느 것이 시작으로 간주되고 어느 것이 끝인지를 알 수 있는 세그먼트입니다.
표기법: 두 글자: $\overline(AB)$ – (여기서 $A$는 시작이고 $B$는 끝임).
하나의 소문자: $\overline(a)$ (그림 1).
벡터 개념과 관련된 몇 가지 개념을 더 소개하겠습니다.
정의 3
두 개의 0이 아닌 벡터는 동일한 선 또는 서로 평행한 선에 있는 경우 공선형이라고 합니다(그림 2).
정의 4
두 개의 0이 아닌 벡터는 다음 두 조건을 충족하는 경우 공동 방향성이라고 합니다.
지정: $\overline(a)\overline(b)$
정의 5
두 개의 0이 아닌 벡터는 두 가지 조건을 충족하는 경우 반대 방향으로 호출됩니다.
지정: $\overline(a)↓\overline(d)$
정의 6
벡터 $\overline(a)$의 길이는 세그먼트 $a$의 길이입니다.
표기법: $|\overline(a)|$
두 벡터의 평등 정의로 넘어 갑시다
정의 7
두 벡터는 다음 두 조건을 만족하는 경우 동일하다고 합니다.
앞에서 말했듯이 기하학적 투영의 결과는 벡터가 됩니다.
정의 8
$\overline(AB)$ 벡터의 축에 대한 기하학적 투영은 다음과 같이 얻은 벡터입니다. 벡터 $A$의 원점은 이 축. 원하는 벡터의 시작점인 $A"$ 점을 얻습니다. $B$ 벡터의 끝점이 이 축에 투영됩니다. 원하는 벡터의 끝점인 $B"$ 점을 얻습니다. $\overline(A"B")$ 벡터가 원하는 벡터가 됩니다.
문제를 고려하십시오.
예 1
그림 6에 표시된 $l$ 축에 기하학적 투영 $\overline(AB)$를 만듭니다.
$A$ 점에서 $l$ 축에 수직선을 그리고 그 위에 점 $A"$를 얻습니다. 다음으로 $B$ 점에서 $l$ 축에 수직선을 그리고 $B" 점을 얻습니다. 그것에 $ (그림 7).
소개 ..................................................................................................................3
1. 벡터와 스칼라의 값...........................................................4
2. 점의 투영, 축 및 좌표의 정의 ........................5
3. 축에 대한 벡터 투영 ...........................................................................6
4. 벡터 대수학의 기본 공식 ..................................8
소개:
물리학은 수학과 불가분의 관계에 있습니다. 수학은 물리학에 사이의 관계를 일반적이고 정확하게 표현하는 수단과 기술을 제공합니다. 물리량, 실험 또는 이론적 연구의 결과로 발견됩니다 결국 물리학의 주요 연구 방법은 실험적입니다. 이것은 과학자가 측정을 통해 계산을 공개한다는 것을 의미합니다. 서로 다른 물리량 간의 관계를 나타냅니다. 그러면 모든 것이 수학의 언어로 번역됩니다. 형성된 수학적 모델. 물리학은 가장 단순하면서도 동시에 가장 일반적인 법칙을 연구하는 과학입니다. 물리학의 임무는 우리 마음 속에 그러한 그림을 창조하는 것입니다. 물리적 세계, 속성을 가장 완벽하게 반영하고 요소 사이에 존재하는 모델 요소 간의 관계를 제공합니다.
따라서 물리학은 우리 주변 세계의 모델을 만들고 그 속성을 연구합니다. 그러나 모든 모델은 제한적입니다. 특정 현상의 모델을 만들 때 주어진 현상 범위에 필수적인 특성과 연결만 고려됩니다. 이것은 모든 다양성에서 중요한 것을 선택하는 과학자의 예술입니다.
물리적 모델은 수학적이지만 수학은 그 기초가 아닙니다. 물리량 간의 정량적 관계는 측정, 관찰 및 실험 연구의 결과로 명확해지며 수학 언어로만 표현됩니다. 그러나 물리 이론을 구성하기 위한 다른 언어는 없습니다.
1. 벡터와 스칼라의 값.
물리학과 수학에서 벡터는 숫자 값과 방향으로 특징지어지는 양입니다. 물리학에는 힘, 위치, 속도, 가속도, 토크, 운동량, 전기장 및 자기장과 같은 벡터인 중요한 양이 많이 있습니다. 그것들은 질량, 부피, 압력, 온도, 밀도와 같은 보통의 숫자로 기술될 수 있는 다른 양들과 대조될 수 있으며, 그것들을 " 스칼라" .
일반 글꼴의 문자 또는 숫자 (a, b, t, G, 5, -7 ....)로 작성됩니다. 스칼라는 양수 또는 음수일 수 있습니다. 동시에 일부 연구 대상은 그러한 속성을 가질 수 있습니다. 전체 설명수치적 척도에 대한 지식만으로는 불충분한 것으로 밝혀졌기 때문에 이러한 속성을 공간 방향으로 특성화하는 것도 필요합니다. 이러한 속성은 벡터 수량(벡터)으로 특징지어집니다. 스칼라와 달리 벡터는 a, b, g, F, C ...와 같이 굵은 문자로 표시됩니다.
종종 벡터는 일반(굵지 않은) 문자로 표시되지만 그 위에 화살표가 있습니다.
벡터의 모듈, 즉 방향이 있는 직선 세그먼트의 길이는 벡터 자체와 동일한 문자로 표시되지만 일반적인(굵지 않은) 쓰기 및 그 위에 화살표가 없거나 벡터(즉, 굵게 또는 일반이지만 화살표가 있음), 벡터 지정은 세로 대시로 묶여 있습니다.
벡터는 크기와 방향을 동시에 특징으로 하는 복잡한 객체입니다.
양수 및 음수 벡터도 없습니다. 그러나 벡터는 서로 같을 수 있습니다. 예를 들어 a와 b가 동일한 모듈을 갖고 동일한 방향으로 향하는 경우입니다. 이 경우 기록 ㅏ= 나. 벡터 기호 앞에는 빼기 기호(예: -c)가 올 수 있지만 이 기호는 벡터 -c가 벡터 c와 동일한 모듈러스를 갖지만 반대 방향.
벡터 -c는 벡터 c의 반대(또는 역)라고 합니다.
그러나 물리학에서 각 벡터는 특정 내용으로 채워져 있으며 동일한 유형(예: 힘)의 벡터를 비교할 때 적용 지점도 매우 중요할 수 있습니다.
2. 점의 투영, 축 및 좌표 결정.
중심선방향이 주어진 직선이다.
축은 임의의 문자로 표시됩니다. X, Y, Z, s, t ... 일반적으로 점은 원점이라고 하는 축에서 (임의로) 선택되며 일반적으로 문자 O로 표시됩니다. . 이 지점에서 다른 관심 지점까지의 거리를 측정합니다.
점 투영이 점에서 주어진 축으로 떨어지는 수직선의 밑면이라고합니다. 즉, 점을 축에 투영한 것이 점입니다.
포인트 좌표주어진 축에서 절대 값이 축의 시작과이 축에 대한 점의 투영 사이에 둘러싸인 (선택한 축척에서) 축 세그먼트의 길이와 같은 숫자라고합니다. 이 숫자는 점의 투영이 처음부터 축 방향에 있으면 더하기 기호로, 반대 방향이면 빼기 기호로 가져옵니다.
3. 벡터를 축에 투영합니다.
축에 대한 벡터의 투영은 이 축에 대한 벡터의 스칼라 투영과 이 축의 단위 벡터를 곱하여 얻은 벡터입니다. 예를 들어, x가 X 축에 대한 벡터 a의 스칼라 투영인 경우 x i는 이 축에 대한 벡터 투영입니다.
벡터 자체와 동일한 방식으로 벡터 투영을 나타내지만 벡터가 투영되는 축의 인덱스를 사용합니다. 따라서 X축에서 벡터 a의 벡터 투영은 x(벡터를 나타내는 굵은 문자와 축 이름의 첨자)로 표시됩니다.
(벡터를 나타내는 굵지 않은 문자이지만 상단에 화살표(!)와 축 이름의 아래 첨자가 있음).
스칼라 투영축당 벡터를 호출합니다. 숫자, 절대 값은 벡터의 시작점과 끝점의 투영 사이에 둘러싸인 (선택한 축척에서) 축 세그먼트의 길이와 같습니다. 보통 표현 대신 스칼라 투영간단히 말해 - 투사. 투영은 투영된 벡터와 동일한 문자(일반적으로 굵게 쓰지 않음)로 표시되며, 이 벡터가 투영되는 축 이름의 아래 첨자(보통)가 있습니다. 예를 들어 벡터가 x축에 투영된 경우 ㅏ,투영은 x 로 표시됩니다. 동일한 벡터를 다른 축에 투영할 때 축이 Y이면 투영은 y로 표시됩니다.
투영을 계산하려면 벡터축(예: X축)에서 끝점 좌표에서 시작점 좌표를 빼야 합니다.
및 x \u003d x k-xn.
축에 대한 벡터의 투영은 숫자입니다.또한 x k 값이 x n 값보다 크면 프로젝션이 양수가 될 수 있습니다.
x k 값이 x n 값보다 작으면 음수
x k가 x n과 같으면 0과 같습니다.
축에 대한 벡터의 투영은 벡터의 모듈러스와 해당 축과 이루는 각도를 알면 찾을 수도 있습니다.
그림에서 a x = a Cos α임을 알 수 있습니다.
즉, 축에 대한 벡터의 투영은 벡터 계수와 축 방향과 축 방향 사이의 각도의 코사인의 곱과 같습니다. 벡터 방향. 각도가 예각이면
Cos α > 0 및 a x > 0, 둔각인 경우 둔각의 코사인은 음수이고 축에 대한 벡터의 투영도 음수입니다.
축에서 시계 반대 방향으로 세는 각도는 양수로 간주되고 방향은 음수로 간주됩니다. 그러나 코사인은 짝수 함수, 즉 Cos α = Cos (− α)이기 때문에 투영을 계산할 때 시계 방향과 반시계 방향 모두 각도를 계산할 수 있습니다.
축에 대한 벡터의 투영을 찾으려면 이 벡터의 모듈에 축 방향과 벡터 방향 사이의 각도의 코사인을 곱해야 합니다.
4. 벡터 대수학의 기본 공식.
X축과 Y축에 벡터 a를 설계해 봅시다. 직사각형 시스템좌표. 다음 축에서 벡터 a의 벡터 투영을 찾습니다.
및 x = a x i, 및 y = a y j.
그러나 벡터 추가 규칙에 따라
a \u003d x + ay.
a = a x i + a y j.
따라서 직각 좌표계의 투영 및 ort(또는 벡터 투영)로 벡터를 표현했습니다.
벡터 투영 a x 및 a y는 벡터 a의 구성 요소 또는 구성 요소라고 합니다. 우리가 수행한 작업을 직각 좌표계의 축을 따라 벡터를 분해하는 작업이라고 합니다.
벡터가 공간에 주어지면
a = a x i + a y j + a z k.
이 공식을 벡터 대수학의 기본 공식이라고 합니다. 물론 이렇게 쓸 수도 있습니다.
평면 위에 직선 l과 이를 교차하는 직선 m이 있다고 하자. 벡터 투영선 m에 평행한 선 l(선 m을 따라)을 벡터라고 합니다(그림 1.13, a). 선 m이 선 l에 수직이면 투영을 직교라고 합니다.
공간에 직선 l과 교차하는 평면 \rho가 있다고 하자. 벡터 투영 \vec(a)=\overrightarrow(AB)평면 \rho(평면 \rho를 따라)에 평행한 직선 l을 벡터라고 합니다. \vec(a)_l=\overrightarrow(AB)_l, 시작은 투영 A_l 이고 시작은 A 이며 끝은 벡터의 끝 B의 투영 B_l 입니다. \overrightarrow(AB)(그림 1.13,6). 평면 \rho가 직선 l에 수직이면 투영을 직교라고 합니다.
공간에 평면 i와 교차하는 직선 \rho가 있다고 하자. 벡터 투영 \vec(a)=\overrightarrow(AB)직선 m에 평행한 평면 \rho(선 m을 따라)을 벡터라고 합니다. \vec(a)_(\rho)=\overrightarrow(AB)_(\rho)시작은 시작 A 의 투영 A_(\rho) 이고 끝은 벡터의 끝 B 의 투영 B_(\rho) 입니다. \overrightarrow(AB)(그림 1.14). 선 m이 평면 \rho에 수직이면 투영을 직교라고 합니다.
1. 평행선(또는 평행면)에 대한 벡터의 투영은 동일합니다.
2. 동일한 벡터의 투영은 동일합니다.
3. 벡터 합의 투영은 투영의 합과 같습니다.
4. 숫자에 의한 벡터 곱의 투영은 이 숫자의 곱과 벡터의 투영과 같습니다. 즉, 공선 벡터의 비율은 투영의 비율과 같습니다(정의된 경우). ).
5. 벡터의 선형 조합의 투영은 투영의 선형 조합과 같습니다.
선 m에 평행한 선 l에 대한 벡터의 투영에 대해 이러한 속성을 고려하십시오. 평면이나 평면에 평행한 선에 벡터를 투영하는 경우 증명은 비슷합니다.
첫 번째 속성을 증명해 봅시다. \vec(a)_l은 벡터 \vec(a)가 선 m을 따라 선 l에 투영된 것이고, \vec(a)_l은 벡터 \vec(a)가 선 l에 투영된 것입니다. 같은 라인을 따라 m , 라인 l 과 l "평행합니다 (그림 1.15). 한 쌍의 평행선 l과 l "점선 m에 평행한 점선의 교차점에 의해 형성된 사변형은 평행 사변형입니다. 따라서, \vec(a)_(l")=\vec(a)_l, 즉. 동일한 벡터 \vec(a)의 평행선에 대한 투영은 동일합니다.
두 번째 성질을 증명해 보자. 평면에 동일한 벡터를 부여하자 \overrightarrow(AB)그리고 \overrightarrow(CD), 선 m과 평행하지 않습니다(그림 1.16 참조). 그들과 같은 벡터를 구성합시다 \mathop(\overrightarrow(A_lB")= \overrightarrow(AB))\limits_(.)그리고 \mathop(\overrightarrow(C_lD")= \overrightarrow(CD))\limits_(.). 평등에서 \mathop(\overrightarrow(A_lB")= \overrightarrow(C_lD"))\limits_(.)사변형 A_lB "D" C_l은 평행 사변형이고 삼각형 A_lB "B_l 및 C_lD" D_l은 측면이 같고 두 개의 인접한 각도가 같습니다.
\big(A_lB"=C_lD",\qquad \angle B"A_lB_l=\angle D"C_lD_l,\qquad \angle A_lB"B_l=\angle C_lD"D_l
각각 평행한 면을 가진 각도로). 따라서, \mathop(\overrightarrow(A_lB_l)= \overrightarrow(C_lD_l))\limits_(.), 즉. 선 m에 평행하지 않은 동일한 벡터는 동일한 투영을 갖습니다. 벡터가 직선 m에 평행하면 영점 벡터와 마찬가지로 투영도 동일합니다. 두 번째 속성이 증명되었습니다.
세 번째 속성의 증명은 벡터에 대해 명백합니다. \overrightarrow(AB)및 (그림 1.17): 벡터 투영 \overrightarrow(AC)=\overrightarrow(AB)+\overrightarrow(BC)예측의 합과 같습니다. \overrightarrow(B_lC_l), 벡터 \overrightarrow(AB)그리고 \overrightarrow(BC), 즉. \overrightarrow(A_lC_l)= \overrightarrow(A_lB_l)+ \overrightarrow(B_lC_l). 임의의 벡터 \vec(a) 및 \vec(b)(벡터 \vec(a)의 끝이 벡터 \vec(b)의 시작과 일치하지 않음)에 대해 증명은 고려된 경우로 축소됩니다. 그들과 같은 벡터에 대해 \overrightarrow(AB)=\vec(a)그리고 \overrightarrow(BC)=\vec(b), 동일한 벡터는 동일한 프로젝션을 갖기 때문입니다(두 번째 속성에 의해).
네 번째 속성의 증명은 탈레스 정리(섹션 B.2 참조)에서 따릅니다. 그림 1.18은 벡터를 보여줍니다. \overrightarrow(AB)그리고 \overrightarrow(AC)=\lambda\overrightarrow(AB)(\lambda>0) 뿐만 아니라 그들의 투영 \overrightarrow(A_lB_l)그리고 \overrightarrow(A_lC_l). 탈레스 정리에 따르면 \frac(AC)(AB)=\frac(A_lC_l)(A_lB_l)=\lambda, 결과적으로, \overrightarrow(A_lC_l)= \lambda\overrightarrow(A_lB_l), 증명해야 할 것입니다. \lambda의 경우<0 доказательство аналогичное.
투영의 다섯 번째 속성은 세 번째와 네 번째에 이어집니다.
정리 1.1(교차선에 대한 벡터 투영).
1. 두 개의 교차선 l_1과 l_2가 평면에 주어지면 평면의 모든 벡터 \vec(a)는 투영 \vec(a)_1과 \vec(a)_2의 합으로 고유하게 표현될 수 있습니다. 이 선들(각 직선에 대한 투영은 다른 직선을 따라 취함), 즉 .
2. 세 개의 직선 l_1, l_2 및 l_3이 공간에 주어지고 한 점에서 교차하고 동일한 평면에 있지 않으면 공간의 모든 벡터 \vec(a)는 투영의 합으로 고유하게 표현될 수 있습니다. \vec(a)_1,\vec(a)_2,\vec(a)_3이 라인에(각 라인에 대한 투영은 다른 두 라인을 포함하는 평면을 따라 취함), 즉 .
실제로 l_1과 l_2 선이 점 O에서 교차하도록하십시오 (그림 1.19, a). 벡터 \vec(a)를 점 O에 적용합니다. 벡터를 고려 \overrightarrow(OA)=\vec(a). 벡터 추가의 평행사변형 규칙(섹션 1.2 참조)에 따라 다음과 같은 평등을 얻습니다. \overrightarrow(OA)=\vec(a)_1+\vec(a)_2, 이는 증명되는 평등과 동일합니다. \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2, 동일한 벡터는 동일한 투영을 갖기 때문입니다(투영의 속성 2 참조). 표현의 고유성은 벡터의 투영을 찾는 고유성에서 비롯됩니다.
벡터 \vec(a)가 선 중 하나와 동일 선상에 있으면(예: l_1) 해당 투영은 다음과 같습니다. \vec(a)_1=\vec(a),~\vec(a)_2=\vec(o)그리고 평등 \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2=\vec(a)+\vec(o)분명히 만족합니다.
두 번째 주장도 비슷하게 증명됩니다.
비고 1.3.
정리 1.1에 명시된 것과 반대되는 진술은 사실입니다.
평면의 벡터가 두 개의 비동일선 벡터의 합과 같은 경우, 즉 \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2, \vec(a)_1 및 \vec(a)_2 항은 각각 \vec(a)_1 및 \vec(a)_2 벡터를 포함하는 선에 대한 벡터 \vec(a)의 투영입니다.
공간의 벡터가 동일 평면에 있지 않은 세 벡터의 합과 같다면, 즉 \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2+\vec(a)_3, 다음 용어 \vec(a)_,\vec(a)_2및 \vec(a)_3은 벡터 \vec(a)를 벡터를 포함하는 라인에 투영한 것입니다. \vec(a)_,\vec(a)_2,\vec(a)_3각기.
실제로 임의의 점 O에서 벡터를 따로 설정합니다. \overrightarrow(OA)=\vec(a),\,\overrightarrow(OA_1)=\vec(a)_1,\,\overrightarrow(OA_2)=\vec(a)_2,\,\overrightarrow(OA_3)= \vec(a)_3(그림 1.19.6). 그런 다음 평등에서 \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2+\vec(a)_3그 다음 \overrightarrow(OA)=\overrightarrow(OA_1)+\overrightarrow(OA_2)+\overrightarrow(OA_3), 즉. 벡터 - 벡터에 구축된 상자의 대각선입니다(따라서 3개의 동일 평면에 있지 않은 벡터를 추가하는 상자 규칙을 따릅니다). 그래서 \overrightarrow(OA_1),\,\overrightarrow(OA_2),\,\overrightarrow(OA_3)- 벡터 투영 \overrightarrow(OA) l_1,\,l_2,\,l_3 라인에 (각 라인에 대한 투영은 다른 두 라인을 통과하는 평면을 따라 수행됩니다). 같은 벡터 \vec(a)와 \overrightarrow(OA)동일한 프로젝션(속성 2)을 가지면 벡터 \vec(a)의 라인 l_1,\,l_2,\,l_3에 대한 프로젝션이 각각 동일하다는 결론을 내립니다. 마지막으로, 직선 l_1,\,l_2,\,l_3에 대한 투영은 벡터를 포함하는 평행선에 대한 투영과 동일합니다. \vec(a)_1,\,\vec(a)_2,\,\vec(a)_3각기.
예 1.5. 선이 각각 점 C_1, ~B_1, ~C_1에서 삼각형 ABC의 변 AB, ~BC, ~CA(또는 연장선)와 교차하면
\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1 ))=1.
해결책.선 A_1C_1을 따라 선 AB에 대한 벡터의 투영 비율을 찾아봅시다(그림 1.20). 이렇게 하려면 선 A_1C_1 에 평행하게 점 B BB_2 를 통과하는 선을 그립니다. 속성 4 프로젝션에 따라 다음이 있습니다.
\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(B_2B_1));~~\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow (CA_1))=\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(CB_1)).
이 비율을 곱하면 \frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1) ), 이는 증명되는 평등과 동일합니다.
위의 주장은 메넬라오스 정리의 일부입니다.
예 1.6. 삼각형 ABC의 변 AB, ~BC, ~CA에 점 A_1, ~B_1, ~C_1을 취하여 직선 AA_1, ~BB_1, ~CC_1이 한 점에서 교차하면
\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1 ))=-1.
해결책.선이 점 Q에서 교차하도록 합니다(그림 1.21). 각각 BB_1 및 AA_1에 평행한 점 C_1을 통해 선 C_1B_2 및 C_1A_2를 그립니다. 프로젝션의 속성(속성 4)에 따르면:
\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(B_2B_1))=-\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(BC_1));~~~\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow (A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AC_1));~~~\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CQ) )(\overrightarrow(C_1Q))=\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(B_2B_1))
이러한 등식과 공선 벡터 관계의 속성을 고려하여(섹션 1.2.1 참조) 마지막 등식의 왼쪽과 오른쪽 부분을 변환합니다.
\begin(모음)\frac(\overrightarrow(CQ))(\overrightarrow(C_1Q))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\ overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB) )(\overrightarrow(AC_1))\\\frac(\overrightarrow(C_1Q))(\overrightarrow(CQ))=\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(CB_1))=\frac(\overrightarrow( AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(AB_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\left( -\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AB))\right)\end(모음)
왼쪽 부분의 곱이 1이라는 점을 고려하여 이러한 등식의 오른쪽 부분의 곱을 작성해 보겠습니다.
\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1 ))\cdot\left(-\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AB))\right)=-\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac( \overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AB))= -\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow( CB_1))=1
역관계를 찾아보자 \frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1 ))=-1, 증명해야 할 것입니다.
위의 주장은 Ceva 정리의 일부입니다.
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