"Laurea comparativa" - Un furetto viveva nella stessa tana. N.f. Smart + MORE - più intelligente N.f. Intelligente + MENO - meno intelligente. Ruolo in una frase. I nostri cani meno agili vanno a fare il tifo per i topi alle corse. Istituto scolastico municipale "Scuola secondaria di base Elgai". Un criceto è più agile di un cucciolo. In qualche modo la nostra scarpa è stata trascinata via dal cucciolo di un vicino meno agile.
“Laurea con indicatore naturale” - Laurea con indicatore naturale e intero. (-1)2k=1, (-1)2k-1= -1. Proprietà di un grado con esponente naturale. Determinazione del grado con indicatore naturale. 1 a qualsiasi potenza è uguale a 1 1n=1. Cos'è una laurea? Come scrivere in breve. Moltiplicazione di potenze con le stesse basi. N termini. 10n=100000…0.
“Laurea con esponente intero” - Calcola. Esprimere l'espressione come un potere. Esprimi l'espressione x-12 come il prodotto di due potenze con base x se è noto un fattore. Disporre in ordine decrescente. Semplificare. Per quali valori di x è vera l'uguaglianza?
"Equazioni di terzo grado" - (Nel terzo caso - il minimo, nel quarto - il massimo). Nel primo e nel secondo caso diciamo che la funzione è monotona nel punto x =. La nostra formula produce: “Grande Arte”. Allora Tartaglia si lasciò persuadere. Lemma. Nel terzo e quarto caso diciamo che la funzione ha estremo nel punto x =. Apertura delle parentesi.
“Proprietà di una laurea” - Generalizzazione di conoscenze e abilità nell'applicazione delle proprietà di una laurea con un indicatore naturale. Proprietà di un grado con esponente naturale. Brainstorming. Il cubo di quale numero è 64? Pausa computazionale. Proprietà di un grado con esponente naturale. Sviluppo della perseveranza, dell'attività mentale e dell'attività creativa.
“Radice dell'ennesimo grado” - Definizione 2: A). Facciamo il cubo di entrambi i lati dell'equazione: - Espressione radicale. Considera l'equazione x? = 1. Eleviamo entrambi i membri dell'equazione alla quarta potenza: tracciamo le funzioni y = x? e y = 1. Il concetto di radice n-esima di un numero reale. Se n è dispari, allora una radice: costruiamo i grafici delle funzioni y = x? e y = 1.
In questo articolo scopriremo di cosa si tratta grado di. Qui daremo le definizioni della potenza di un numero, mentre considereremo in dettaglio tutti i possibili esponenti, iniziando dall'esponente naturale e finendo con quello irrazionale. Nel materiale troverai molti esempi di gradi, che coprono tutte le sottigliezze che si presentano.
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Iniziamo con . Guardando al futuro, diciamo che per a è data la definizione della potenza di un numero a con esponente naturale n, che chiameremo base di laurea, e n, che chiameremo esponente. Notiamo anche che un grado con esponente naturale è determinato attraverso un prodotto, quindi per comprendere il materiale seguente è necessario avere una comprensione della moltiplicazione dei numeri.
Definizione.
Potenza di un numero con esponente naturale nè un'espressione della forma a n, il cui valore è uguale al prodotto di n fattori, ciascuno dei quali è uguale ad a, cioè .
In particolare, la potenza di un numero a con esponente 1 è il numero a stesso, cioè a 1 =a.
Vale la pena menzionare subito le regole per leggere i titoli di studio. Il modo universale per leggere la notazione a n è: “a alla potenza di n”. In alcuni casi sono accettabili anche le seguenti opzioni: “a all'ennesima potenza” e “ennesima potenza di a”. Ad esempio, prendiamo la potenza 8 12, questo è "otto alla potenza di dodici", o "otto alla dodicesima potenza", o "dodicesima potenza di otto".
La seconda potenza di un numero, così come la terza potenza di un numero, hanno i propri nomi. Viene chiamata la seconda potenza di un numero elevare al quadrato il numero, ad esempio, 7 2 viene letto come “sette quadrati” o “il quadrato del numero sette”. Viene chiamata la terza potenza di un numero numeri al cubo, ad esempio, 5 3 può essere letto come “cinque cubi” oppure puoi dire “cubo del numero 5”.
È ora di portare esempi di gradi con esponenti naturali. Cominciamo con il grado 5 7, qui 5 è la base del grado e 7 è l'esponente. Facciamo un altro esempio: 4.32 è la base e il numero naturale 9 è l'esponente (4.32) 9 .
Tieni presente che nell'ultimo esempio tra parentesi è scritta la base della potenza 4,32: per evitare discrepanze metteremo tra parentesi tutte le basi della potenza diverse dai numeri naturali. Ad esempio, diamo i seguenti gradi con esponenti naturali , le loro basi non sono numeri naturali, quindi sono scritti tra parentesi. Ebbene, per completa chiarezza, a questo punto mostreremo la differenza contenuta nei record della forma (−2) 3 e −2 3. L'espressione (−2) 3 è una potenza di −2 con esponente naturale di 3, e l'espressione −2 3 (può essere scritta come −(2 3) ) corrisponde al numero, il valore della potenza 2 3 .
Nota che esiste una notazione per la potenza di un numero a con esponente n della forma a^n. Inoltre, se n è un numero naturale multivalore, l'esponente viene messo tra parentesi. Ad esempio, 4^9 è un'altra notazione per la potenza di 4 9 . Ed ecco alcuni altri esempi di scrittura dei gradi utilizzando il simbolo “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Di seguito utilizzeremo principalmente la notazione dei gradi nella forma a n .
Uno dei problemi inversi all'elevazione a potenza con esponente naturale è il problema di trovare la base di una potenza a partire da un valore noto della potenza e da un esponente noto. Questo compito porta a .
È noto che l'insieme dei numeri razionali è costituito da numeri interi e frazioni, e ciascuna frazione può essere rappresentata come frazione ordinaria positiva o negativa. Abbiamo definito un grado con esponente intero nel paragrafo precedente, quindi, per completare la definizione di grado con esponente razionale, dobbiamo dare significato al grado del numero a con esponente frazionario m/n, dove m è un numero intero e n è un numero naturale. Facciamolo.
Consideriamo un grado con esponente frazionario della forma . Perché la proprietà potere-potere rimanga valida, l’uguaglianza deve valere 
. Se prendiamo in considerazione l'uguaglianza risultante e il modo in cui l'abbiamo determinata , allora è logico accettarla a condizione che dati m, ne a l'espressione abbia senso.
È facile verificare che tutte le proprietà di un grado con esponente intero siano valide (questo viene fatto nella sezione proprietà delle potenze con esponente razionale).
Il ragionamento sopra esposto ci permette di fare quanto segue conclusione: se dati m, ne a l'espressione ha senso, allora la potenza di a con esponente frazionario m/n è detta radice n-esima di a elevata a m.
Questa affermazione ci avvicina alla definizione di grado con esponente frazionario. Non resta che descrivere in quali m, n e a l'espressione ha senso. A seconda delle restrizioni poste su m, n e a, esistono due approcci principali.
Il modo più semplice è imporre un vincolo su a prendendo a≥0 per m positivo e a>0 per m negativo (poiché per m≤0 il grado 0 di m non è definito). Quindi otteniamo la seguente definizione di grado con esponente frazionario.
Definizione.
Potenza di un numero positivo a con esponente frazionario m/n, dove m è un intero en è un numero naturale, è detta radice n-esima del numero a elevato alla potenza m, cioè .
Anche la potenza frazionaria dello zero viene determinata con l'unica avvertenza che l'indicatore deve essere positivo.
Definizione.
Potenza dello zero con esponente positivo frazionario m/n, dove m è un intero positivo e n è un numero naturale, è definito come 
.
Quando il grado non è determinato, cioè il grado del numero zero con esponente negativo frazionario non ha senso.
Va notato che con questa definizione di grado con esponente frazionario, c'è un avvertimento: per alcuni a negativi e alcuni m e n, l'espressione ha senso, e abbiamo scartato questi casi introducendo la condizione a≥0. Ad esempio, le voci hanno un senso 
o , e la definizione data sopra ci costringe a dire che potenze con esponente frazionario della forma 
non ha senso, poiché la base non dovrebbe essere negativa.
Un altro approccio per determinare un grado con un esponente frazionario m/n consiste nel considerare separatamente gli esponenti pari e dispari della radice. Questo approccio richiede una condizione aggiuntiva: la potenza del numero a, il cui esponente è , è considerata la potenza del numero a, il cui esponente è la corrispondente frazione irriducibile (spiegheremo l'importanza di questa condizione più avanti ). Cioè, se m/n è una frazione irriducibile, allora per qualsiasi numero naturale k il grado viene prima sostituito da .
Per n pari e m positivo, l'espressione ha senso per qualsiasi a non negativo (una radice pari di un numero negativo non ha senso); per m negativo, il numero a deve essere comunque diverso da zero (altrimenti ci sarà divisione per zero). E per n dispari e m positivo, il numero a può essere qualsiasi (la radice di un grado dispari è definita per qualsiasi numero reale), e per m negativo, il numero a deve essere diverso da zero (in modo che non vi sia divisione per zero).
Il ragionamento precedente ci porta a questa definizione di grado con esponente frazionario.
Definizione.
Sia m/n una frazione irriducibile, m un numero intero e n un numero naturale. Per ogni frazione riducibile, il grado è sostituito da . La potenza di un numero con esponente frazionario irriducibile m/n è per
Spieghiamo perché un grado con esponente frazionario riducibile viene prima sostituito da un grado con esponente irriducibile. Se definissimo semplicemente il grado come , e non facessimo alcuna riserva sull’irriducibilità della frazione m/n, allora ci troveremmo di fronte a situazioni simili alla seguente: poiché 6/10 = 3/5, allora deve valere l’uguaglianza 
, Ma 
, UN .
Tieni presente che questa sezione discute il concetto gradi con solo esponente naturale e zero.
Il concetto e le proprietà delle potenze con esponenti razionali (con negativi e frazionari) saranno discussi nelle lezioni dell'ottavo anno.
Quindi, scopriamo cos'è la potenza di un numero. Per scrivere il prodotto di un numero da solo, si usa più volte la notazione abbreviata.
Invece del prodotto di sei fattori identici 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4, scrivi 4 6 e dì “quattro alla sesta potenza”.
4 4 4 4 4 4 = 4 6L'espressione 4 6 è chiamata potenza di un numero, dove:
In generale, un grado con base “a” ed esponente “n” si scrive utilizzando l’espressione:
Ricordare!
La potenza di un numero “a” con esponente naturale “n” maggiore di 1 è il prodotto di “n” fattori identici, ciascuno dei quali è uguale al numero “a”.
La voce “a n” si legge così: “a alla potenza di n” o “ennesima potenza del numero a”.
Fanno eccezione le seguenti voci:
Casi speciali si verificano se l'esponente è uguale a uno o zero (n = 1; n = 0).
Ricordare!
La potenza del numero “a” con esponente n = 1 è questo numero stesso:
un1 = un
Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno.
uno 0 = 1
Zero per qualsiasi potere naturale è uguale a zero.
0 n = 0
Uno a qualsiasi potenza è uguale a 1.
1 n = 1
Espressione 0 0 ( zero alla potenza zero) sono considerati privi di significato.
Quando risolvi gli esempi, devi ricordare che elevare a una potenza significa trovare un valore numerico o letterale dopo averlo elevato a una potenza.
Esempio. Elevare a potenza.
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La base (il numero elevato alla potenza) può essere qualsiasi numero: positivo, negativo o zero.
Ricordare!
Elevando un numero positivo a una potenza si ottiene un numero positivo.
Quando lo zero viene elevato a una potenza naturale, il risultato è zero.
Quando un numero negativo viene elevato a una potenza, il risultato può essere un numero positivo o un numero negativo. Dipende se l'esponente era un numero pari o dispari.
Diamo un'occhiata ad esempi di elevazione dei numeri negativi a potenze.
Dagli esempi considerati risulta evidente che se un numero negativo viene elevato a potenza dispari si ottiene un numero negativo. Poiché il prodotto di un numero dispari di fattori negativi è negativo.
Se un numero negativo viene elevato a una potenza pari diventa un numero positivo. Poiché il prodotto di un numero pari di fattori negativi è positivo.
Ricordare!
Un numero negativo elevato a una potenza pari è un numero positivo.
Un numero negativo elevato a una potenza dispari è un numero negativo.
Il quadrato di qualsiasi numero è un numero positivo o zero, cioè:
a 2 ≥ 0 per qualsiasi a.
Quando si risolvono esempi di esponenziazione, spesso si commettono errori, dimenticando che le voci (−5) 4 e −5 4 sono espressioni diverse. I risultati dell’elevazione di queste espressioni a poteri saranno diversi.
Calcolare (−5) 4 significa trovare il valore della quarta potenza di un numero negativo.
(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625
Mentre trovare “−5 4” significa che l’esempio deve essere risolto in 2 passaggi:
Esempio. Calcola: −6 2 − (−1) 4
−6 2 − (−1) 4 = −37Il calcolo di un valore è chiamato azione di esponenziazione. Questa è la terza fase dell'azione.
Ricordare!
Nelle espressioni con poteri che non contengono parentesi, fallo prima esponenziazione, Poi moltiplicazione e divisione, e alla fine addizione e sottrazione.
Se l'espressione contiene parentesi, esegui prima le azioni tra parentesi nell'ordine indicato sopra, quindi esegui le azioni rimanenti nello stesso ordine da sinistra a destra.
Esempio. Calcolare:
Per facilitare la soluzione degli esempi è utile conoscere e utilizzare la tabella delle potenze, che potete scaricare gratuitamente dal nostro sito.
Per verificare i risultati, puoi utilizzare la calcolatrice sul nostro sito web "
