Решения однородной системы обладают следующими свойствами. Если вектор = (α 1 , α 2 ,... ,α n ) является решением системы (15.14), то и для любого числа k вектор k = (kα 1 , kα 2 ,..., kα n) будет решением этой системы. Если решением системы (15.14) является вектор = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ n ), то сумма + также будет решением этой системы. Отсюда следует, что любая линейная комбинация решений однородной системы также является решением этой системы.
Как мы знаем из п. 12.2, всякая система n -мерных векторов, состоящая более чем из п векторов, является линейно зависимой. Таким образом, из множества векторов-решений однородной системы (15.14) можно выбрать базис, т.е. любой вектор-решение данной системы будет линейной комбинацией векторов этого базиса. Любой такой базис называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений. Справедлива следующая теорема, которую мы приводим без доказательства.
ТЕОРЕМА 4. Если ранг r системы однородных уравнений (15.14) меньше числа неизвестных п, то всякая фундаментальная система решений системы (15.14) состоит из п - r решений.
Укажем теперь способ нахождения фундаментальной системы решений (ФСР). Пусть система однородных уравнений (15.14) имеет ранг r < п. Тогда, как следует из правил Крамера, базисные неизвестные этой системы x 1 , x 2 , … x r линейно выражаются через свободные переменные x r + 1 , x r + 2 , ..., x п:
Выделим частные решения однородной системы (15.14) по следующему принципу. Для нахождения первого вектора-решения 1 положим x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n = 0. Затем находим второе решение 2: принимаем x r +2 = 1, а остальные r - 1 свободных переменных положим нулями. Иными словами, мы последовательно присваиваем каждой свободной переменной единичное значение, положив остальные нулями. Таким образом, фундаментальная система решений в векторной форме с учетом первых r базисных переменных (15.15) имеет вид
ФСР (15.16) является одним из фундаментальных наборов решений однородной системы (15.14).
Пример 1. Найти решение и ФСР системы однородных уравнений
Решение. Будем решать эту систему методом Гаусса. Поскольку число уравнений системы меньше числа неизвестных, считаем х 1 , x 2 , х 3 базисными неизвестными, а x 4 , х 5 , x 6 - свободными переменными. Составим расширенную матрицу системы и выполним действия, составляющие прямой ход метода.
Метод Гаусса имеет ряд недостатков: нельзя узнать, совместна система или нет, пока не будут проведены все преобразования, необходимые в методе Гаусса; метод Гаусса не пригоден для систем с буквенными коэффициентами.
Рассмотрим другие методы решения систем линейных уравнений. Эти методы используют понятие ранга матрицы и сводят решение любой совместной системы к решению системы, к которой применимо правило Крамера.
Пример 1. Найти общее решение следующей системы линейных уравнений с помощью фундаментальной системы решений приведенной однородной системы и частного решения неоднородной системы.
1. Составляем матрицу A и расширенную матрицу системы (1)
2. Исследуем систему (1) на совместность. Для этого находим ранги матриц A и https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Если окажется, что , то система (1) несовместна. Если же получим, что , то эта система совместна и мы ее будем решать. (Исследование на совместность основано на теореме Кронекера-Капелли).
a. Находим rA .
Чтобы найти rA , будем рассматривать последовательно отличные от нуля миноры первого, второго и т. д. порядков матрицы A и окаймляющие их миноры.
М1 =1≠0 (1 берем из левого верхнего угла матрицы А ).
Окаймляем М1 второй строкой и вторым столбцом этой матрицы. . Продолжаем окаймлять М1 второй строкой и третьим столбцом..gif" width="37" height="20 src=">. Теперь окаймляем отличный от нуля минор М2′ второго порядка.
Имеем: (т. к. два первых столбца одинаковые)
(т. к. вторая и третья строки пропорциональны).
Мы видим, что rA=2 , а - базисный минор матрицы A .
b. Находим .
Достаточно базисный минор М2′ матрицы A окаймить столбцом свободных членов и всеми строками (у нас только последней строкой).
. Отсюда следует, что и М3′′ остается базисным минором матрицы https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75">(2)
Так как М2′ - базисный минор матрицы A системы (2) , то эта система эквивалентна системе (3) , состоящей из первых двух уравнений системы (2) (ибо М2′ находится в первых двух строках матрицы A).
(3)
Так как базисный минор https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51">(4)
В этой системе два свободных неизвестных (x2 и x4 ). Поэтому ФСР системы (4) состоит из двух решений. Чтобы их найти, придадим свободным неизвестным в (4) сначала значения x2=1 , x4=0 , а затем – x2=0 , x4=1 .
При x2=1 , x4=0 получим:
.
Эта система уже имеет единственное решение (его можно найти по правилу Крамера или любым другим способом). Вычитая из второго уравнения первое, получим:
Ее решением будет x1= -1 , x3=0 . Учитывая значения x2 и x4 , которые мы придали, получаем первое фундаментальное решение системы (2) : .
Теперь полагаем в (4) x2=0 , x4=1 . Получим:
.
Решаем эту систему по теореме Крамера:
.
Получаем второе фундаментальное решение системы (2) : .
Решения β1 , β2 и составляют ФСР системы (2) . Тогда ее общим решением будет
γ= С1β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Здесь С1 , С2 – произвольные постоянные.
4. Найдем одно частное решение неоднородной системы (1) . Как и в пункте 3 , вместо системы (1) рассмотрим эквивалентную ей систему (5) , состоящую из первых двух уравнений системы (1) .
(5)
Перенесем в правые части свободные неизвестные x2 и x4 .
(6)
Придадим свободным неизвестным x2 и x4 произвольные значения, например, x2=2 , x4=1 и подставим их в (6) . Получим систему
Эта система имеет единственное решение (т. к. ее определитель М2′0 ). Решая ее (по теореме Крамера или методом Гаусса), получим x1=3 , x3=3 . Учитывая значения свободных неизвестных x2 и x4 , получим частное решение неоднородной системы (1) α1=(3,2,3,1).
5. Теперь осталось записать общее решение α неоднородной системы (1) : оно равно сумме частного решения этой системы и общего решения ее приведенной однородной системы (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Это значит: (7)
6. Проверка. Чтобы проверить, правильно ли вы решили систему (1) , надо общее решение (7) подставить в (1) . Если каждое уравнение обратится в тождество (С1 и С2 должны уничтожиться), то решение найдено верно.
Мы подставим (7) для примера только в последнее уравнение системы (1) (x 1 + x 2 + x 3 ‑9 x 4 =‑1) .
Получим: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Откуда –1=–1. Получили тождество. Так поступаем со всеми остальными уравнениями системы (1) .
Замечание. Проверка обычно довольно громоздкая. Можно рекомендовать следующую «частичную проверку»: в общем решении системы (1) произвольным постоянным придать некоторые значения и подставить полученное частное решение только в отброшенные уравнения (т. е. в те уравнения из (1) , которые не вошли в (5) ). Если получите тождества, то, скорее всего , решение системы (1) найдено правильно (но полной гарантии правильности такая проверка не дает!). Например, если в (7) положить С2= - 1 , С1=1 , то получим: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Подставляя в последнее уравнение системы (1), имеем: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , т. е. –1=–1. Получили тождество.
Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений (1) , выразив основные неизвестные через свободные.
Решение. Как и в примере 1 , составляем матрицы A и https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> этих матриц. Оставляем теперь только те уравнения системы (1) , коэффициенты из которых входят в этот базисный минор (т. е. у нас – первые два уравнения) и рассматриваем состоящую из них систему, эквивалентную системе (1).
Перенесем в правые части этих уравнений свободные неизвестные.
Систему (9) решаем методом Гаусса, считая правые части свободными членами.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Вариант 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Вариант 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Вариант 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Вариант 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Пример 1 . Найти общее решение и какую-нибудь фундаментальную систему решений для системыРешение
находим с помощью калькулятора . Алгоритм решения такой же, как и для систем линейных неоднородных уравнений.
Оперируя только со строками, находим ранг матрицы, базисный минор; объявляем зависимые и свободные неизвестные и находим общее решение.
Пример 2
. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы
Решение.
,
отсюда следует, что ранг матрицы равен 3 и равен числу неизвестных. Значит, система не имеет свободных неизвестных, а поэтому имеет единственное решение – тривиальное.
Задание
. Исследовать и решить систему линейных уравнений.
Пример 4
Задание
. Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение.
Выпишем основную матрицу системы:
5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
x 1 | x 2 | x 4 | x 3 | x 5 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 |
Задача . Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.
Даны матрицы
Найти: 1) aA - bB,
Решение : 1) Находим последовательно, используя правила умножения матрицы на число и сложения матриц..
2. Найдите А*В, если
Решение : Используем правило умножения матриц
Ответ:
3. Для заданной матрицы найдите минор М 31 и вычислите определитель.
Решение : Минор М 31 – это определитель матрицы, которая получается из А
после вычеркивания строки 3 и столбца 1. Находим
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Преобразуем матрицу А, не изменяя её определителя (сделаем нули в строке 1)
-3*, -, -4* | |||
-10 | -15 | ||
-20 | -25 | ||
-4 | -5 |
Теперь вычисляем определитель матрицы А разложением по строке 1
Ответ: М 31 = 0, detA = 0
Pешить методом Гаусса и методом Крамера.
2х 1 + х 2 + x 3 = 2
x 1 + х 2 + 3x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Решение : Проверим
Можно применить метод Крамера
Решение системы: х 1 = D 1 /D = 2, х 2 = D 2 /D = -5, х 3 = D 3 /D = 3
Применим метод Гаусса.
Расширенную матрицу системы приведём к треугольному виду.
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 2-ю строку на (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) и добавим к 3-й:
1 / 2 | 7 / 2 |
Умножим 1-ю строку на (k = -2 / 2 = -1 ) и добавим к 2-й:
Теперь исходную систему можно записать как:
x 1 = 1 - (1 / 2 x 2 + 1 / 2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
Из 2-ой строки выражаем
Из 1-ой строки выражаем
Решение то же.
Ответ: (2 ; -5 ; 3)
Найти общее решение системы и ФСР
13х 1 – 4х 2 – х 3 - 4х 4 - 6х 5 = 0
11х 1 – 2х 2 + х 3 - 2х 4 - 3х 5 = 0
5х 1 + 4х 2 + 7х 3 + 4х 4 + 6х 5 = 0
7х 1 + 2х 2 + 5х 3 + 2х 4 + 3х 5 = 0
Решение : Применим метод Гаусса. Расширенную матрицу системы приведём к треугольному виду.
-4 | -1 | -4 | -6 | |
-2 | -2 | -3 | ||
x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Умножим 1-ю строку на (-11). Умножим 2-ю строку на (13). Добавим 2-ю строку к 1-й:
-2 | -2 | -3 | ||
Умножим 2-ю строку на (-5). Умножим 3-ю строку на (11). Добавим 3-ю строку к 2-й:
Умножим 3-ю строку на (-7). Умножим 4-ю строку на (5). Добавим 4-ю строку к 3-й:
Второе уравнение есть линейная комбинация остальных
Найдем ранг матрицы.
-18 | -24 | -18 | -27 | |
x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 1 ,x 2 , значит, неизвестные x 1 ,x 2 – зависимые (базисные), а x 3 ,x 4 ,x 5 – свободные.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Методом исключения неизвестных находим общее решение :
x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5
x 1 = - 1 / 3 x 3
Находим фундаментальную систему решений (ФСР), которая состоит из (n-r) решений. В нашем случае n=5, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 3-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.
Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 3.
Достаточно придать свободным неизвестным x 3 ,x 4 ,x 5 значения из строк определителя 3-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x 1 ,x 2 .
Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.
Но здесь удобнее взять
Находим, используя общее решение:
а) х 3 = 6, х 4 = 0, х 5 = 0 Þ х 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -4 Þ
I решение ФСР: (-2; -4; 6; 0;0)
б) х 3 = 0, х 4 = 6, х 5 = 0 Þ х 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ
II решение ФСР: (0; -6; 0; 6;0)
в) х 3 = 0, х 4 = 0, х 5 = 6 Þ х 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -9 Þ
III решение ФСР: (0; - 9; 0; 0;6)
Þ ФСР: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)
6. Дано: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Найти: a) z 1 – 2z 2 б) z 1 z 2 в) z 1 /z 2
Решение : a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
б) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = {i 2 = -1} = 12 + 26i
Ответ: а) -3i б) 12+26i в) -1.4 – 0.3i
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).
Инструкция . Выберите размерность матрицы:
Теорема . Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.
Теорема
. Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
Определение
. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений
, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.
Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из (n-r) решений.
Пример
. Найти базис системы векторов (а 1 , а 2 ,...,а m), ранг и выразить векторы по базе. Если а 1 =(0,0,1,-1), а 2 =(1,1,2,0), а 3 =(1,1,1,1), а 4 =(3,2,1,4), а 5 =(2,1,0,3).
Выпишем основную матрицу системы:
0 | 0 | 1 | -1 |
0 | 0 | -1 | 1 |
0 | -1 | -2 | 1 |
3 | 2 | 1 | 4 |
2 | 1 | 0 | 3 |