Hay dos tipos de suma de fracciones:
Primero, aprendamos la suma de fracciones con denominadores similares. Aquí todo es sencillo. Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios. Por ejemplo, sumemos las fracciones y . Suma los numeradores y deja el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en cuatro partes. Si agregas pizza a pizza, obtienes pizza:
Ejemplo 2. Suma fracciones y .
La respuesta resultó ser una fracción impropia. Cuando llega el final de la tarea, se acostumbra deshacerse de las fracciones impropias. Para deshacerse de una fracción impropia, debes seleccionar la parte completa. En nuestro caso, la parte entera se aísla fácilmente: dos divididos por dos son uno:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos una pizza que está dividida en dos partes. Si agregas más pizza a la pizza, obtienes una pizza entera:
Ejemplo 3. Suma fracciones y .
Nuevamente sumamos los numeradores y dejamos el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en tres partes. Si agregas más pizza a la pizza, obtienes pizza:
Ejemplo 4. Encuentra el valor de una expresión. 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Se deben sumar los numeradores y dejar el denominador sin cambios:
Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si agregas pizzas a una pizza y agregas más pizzas, obtienes 1 pizza entera y más pizzas.
Como puedes ver, no hay nada complicado en sumar fracciones con el mismo denominador. Basta entender las siguientes reglas:
Ahora aprendamos a sumar fracciones con diferentes denominadores. Al sumar fracciones, los denominadores de las fracciones deben ser iguales. Pero no siempre son los mismos.
Por ejemplo, se pueden sumar fracciones porque tienen el mismo denominador.
Pero las fracciones no se pueden sumar de inmediato, ya que estas fracciones tienen denominadores diferentes. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).
Hay varias formas de reducir fracciones al mismo denominador. Hoy veremos sólo uno de ellos, ya que los demás métodos pueden parecer complicados para un principiante.
La esencia de este método es que primero se busca el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego, el MCM se divide por el denominador de la primera fracción para obtener el primer factor adicional. Se hace lo mismo con la segunda fracción: el MCM se divide por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional.
Luego, los numeradores y denominadores de las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas acciones, fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar esas fracciones.
Ejemplo 1. Sumemos las fracciones y
En primer lugar, encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. El mínimo común múltiplo de estos números es 6
MCM (2 y 3) = 6
Ahora volvamos a las fracciones y . Primero, divide el MCM por el denominador de la primera fracción y obtén el primer factor adicional. MCM es el número 6 y el denominador de la primera fracción es el número 3. Dividimos 6 entre 3 y obtenemos 2.
El número resultante 2 es el primer multiplicador adicional. Lo escribimos hasta la primera fracción. Para hacer esto, traza una pequeña línea oblicua sobre la fracción y escribe el factor adicional que se encuentra encima:
Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción y obtenemos el segundo factor adicional. MCM es el número 6 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. Dividimos 6 entre 2 y obtenemos 3.
El número 3 resultante es el segundo multiplicador adicional. Lo escribimos en la segunda fracción. Nuevamente, trazamos una pequeña línea oblicua sobre la segunda fracción y anotamos el factor adicional que se encuentra encima:
Ahora tenemos todo listo para sumar. Queda por multiplicar los numeradores y denominadores de las fracciones por sus factores adicionales:
Mire atentamente a dónde hemos llegado. Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar esas fracciones. Llevemos este ejemplo hasta el final:
Esto completa el ejemplo. Resulta sumar .
Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si agregas pizza a una pizza, obtienes una pizza entera y otra sexta parte de una pizza:
La reducción de fracciones al mismo denominador (común) también se puede representar mediante una imagen. Reduciendo las fracciones y a un denominador común, obtuvimos las fracciones y . Estas dos fracciones estarán representadas por los mismos trozos de pizza. La única diferencia será que esta vez se dividirán en partes iguales (reducidas al mismo denominador).
El primer dibujo representa una fracción (cuatro piezas de seis) y el segundo dibujo representa una fracción (tres piezas de seis). Sumando estas piezas obtenemos (siete piezas de seis). Esta fracción es impropia, por eso resaltamos la parte completa. Como resultado, obtuvimos (una pizza entera y otra sexta pizza).
Tenga en cuenta que hemos descrito este ejemplo con demasiado detalle. En las instituciones educativas no es costumbre escribir con tanto detalle. Debe poder encontrar rápidamente el MCM de ambos denominadores y factores adicionales, así como multiplicar rápidamente los factores adicionales encontrados por sus numeradores y denominadores. Si estuviéramos en la escuela, tendríamos que escribir este ejemplo de la siguiente manera:
Pero también hay otra cara de la moneda. Si no se toman notas detalladas en las primeras etapas del estudio de las matemáticas, entonces empiezan a aparecer preguntas de este tipo. “¿De dónde viene ese número?”, “¿Por qué las fracciones de repente se convierten en fracciones completamente diferentes? «.
Para que sea más fácil sumar fracciones con diferentes denominadores, puedes utilizar las siguientes instrucciones paso a paso:
Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión. 
.
Utilicemos las instrucciones dadas anteriormente.
Paso 1. Encuentra el MCM de los denominadores de las fracciones.
Encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Los denominadores de las fracciones son los números 2, 3 y 4.
Paso 2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un factor adicional para cada fracción
Divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la primera fracción es el número 2. Dividimos 12 entre 2 y obtenemos 6. Obtuvimos el primer factor adicional 6. Lo escribimos encima de la primera fracción:
Ahora dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 12 entre 3 y obtenemos 4. Obtenemos el segundo factor adicional 4. Lo escribimos encima de la segunda fracción:
Ahora dividimos el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la tercera fracción es el número 4. Dividimos 12 entre 4 y obtenemos 3. Obtenemos el tercer factor adicional 3. Lo escribimos encima de la tercera fracción:
Paso 3. Multiplica los numeradores y denominadores de las fracciones por sus factores adicionales.
Multiplicamos los numeradores y denominadores por sus factores adicionales:
Paso 4. Suma fracciones con los mismos denominadores
Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores (comunes). Ya sólo queda sumar estas fracciones. Agregar:
La suma no cabía en una línea, por lo que movimos la expresión restante a la siguiente línea. Esto está permitido en matemáticas. Cuando una expresión no cabe en una línea, se pasa a la siguiente línea, y es necesario poner un signo igual (=) al final de la primera línea y al principio de la nueva línea. El signo igual en la segunda línea indica que se trata de una continuación de la expresión que estaba en la primera línea.
Paso 5. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, seleccione la parte completa.
Nuestra respuesta resultó ser una fracción impropia. Tenemos que resaltar toda una parte de ello. Resaltamos:
Recibimos una respuesta
Hay dos tipos de resta de fracciones:
Primero, aprendamos a restar fracciones con denominadores similares. Aquí todo es sencillo. Para restar otra de una fracción, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción, pero dejar el mismo denominador.
Por ejemplo, encontremos el valor de la expresión. Para resolver este ejemplo, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios. Hagámoslo:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en cuatro partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:
Ejemplo 2. Encuentra el valor de la expresión.
Nuevamente, del numerador de la primera fracción, resta el numerador de la segunda fracción y deja el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en tres partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:
Ejemplo 3. Encuentra el valor de una expresión. 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Del numerador de la primera fracción debes restar los numeradores de las fracciones restantes:
Como puedes ver, no hay nada complicado en restar fracciones con los mismos denominadores. Basta entender las siguientes reglas:
Por ejemplo, puedes restar una fracción de una fracción porque las fracciones tienen los mismos denominadores. Pero no se puede restar una fracción de una fracción, ya que estas fracciones tienen denominadores diferentes. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).
El denominador común se encuentra usando el mismo principio que usamos al sumar fracciones con diferentes denominadores. En primer lugar, encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional, que se escribe encima de la primera fracción. De manera similar, se divide el MCM por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional, que se escribe encima de la segunda fracción.
Luego las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas operaciones, fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar esas fracciones.
Ejemplo 1. Encuentra el significado de la expresión:
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que debes reducirlas al mismo denominador (común).
Primero encontramos el MCM de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. El mínimo común múltiplo de estos números es 12
MCM (3 y 4) = 12
Ahora volvamos a las fracciones y
Encontremos un factor adicional para la primera fracción. Para ello, divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divide 12 entre 3 y obtenemos 4. Escribe un cuatro encima de la primera fracción:
Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. Divide 12 entre 4 y obtenemos 3. Escribe un tres sobre la segunda fracción:
Ahora estamos listos para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:
Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar esas fracciones. Llevemos este ejemplo hasta el final:
Recibimos una respuesta
Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si cortas pizza de una pizza, obtienes pizza.
Esta es la versión detallada de la solución. Si estuviéramos en la escuela, tendríamos que resolver este ejemplo en menos tiempo. Una solución de este tipo se vería así:
La reducción de fracciones a un denominador común también se puede representar mediante una imagen. Reduciendo estas fracciones a un denominador común, obtuvimos las fracciones y . Estas fracciones estarán representadas por las mismas porciones de pizza, pero esta vez divididas en partes iguales (reducidas al mismo denominador):
La primera imagen muestra una fracción (ocho piezas de doce) y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de doce). Al cortar tres piezas de ocho piezas, obtenemos cinco piezas de doce. La fracción describe estas cinco piezas.
Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión. 
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que primero debes reducirlas al mismo denominador (común).
Encontremos el MCM de los denominadores de estas fracciones.
Los denominadores de las fracciones son los números 10, 3 y 5. El mínimo común múltiplo de estos números es 30
MCM(10, 3, 5) = 30
Ahora encontramos factores adicionales para cada fracción. Para ello, divide el MCM por el denominador de cada fracción.
Encontremos un factor adicional para la primera fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la primera fracción es el número 10. Dividimos 30 entre 10 y obtenemos el primer factor adicional 3. Lo escribimos encima de la primera fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 30 entre 3 y obtenemos el segundo factor adicional 10. Lo escribimos encima de la segunda fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la tercera fracción. Divide el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la tercera fracción es el número 5. Dividimos 30 entre 5 y obtenemos el tercer factor adicional 6. Lo escribimos encima de la tercera fracción:
Ahora todo está listo para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:
Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores (comunes). Y ya sabemos cómo restar esas fracciones. Terminemos este ejemplo.
La continuación del ejemplo no cabe en una línea, por lo que la movemos a la siguiente línea. No te olvides del signo igual (=) en la nueva línea:
La respuesta resultó ser una fracción regular, y todo parece convenirnos, pero es demasiado engorroso y feo. Deberíamos hacerlo más sencillo. ¿Qué se puede hacer? Puedes acortar esta fracción.
Para reducir una fracción, debes dividir su numerador y denominador por (MCD) de los números 20 y 30.
Entonces, encontramos el mcd de los números 20 y 30:
Ahora volvemos a nuestro ejemplo y dividimos el numerador y denominador de la fracción por el mcd encontrado, es decir, por 10.
Recibimos una respuesta
Para multiplicar una fracción por un número, debes multiplicar el numerador de la fracción por ese número y dejar el denominador sin cambios.
Ejemplo 1. Multiplica una fracción por el número 1.
Multiplica el numerador de la fracción por el número 1.
Se puede entender que la grabación toma la mitad del tiempo. Por ejemplo, si tomas pizza una vez, obtendrás pizza.
Por las leyes de la multiplicación sabemos que si se intercambian el multiplicando y el factor, el producto no cambiará. Si la expresión se escribe como , entonces el producto seguirá siendo igual a . Nuevamente, la regla para multiplicar un número entero y una fracción funciona:
Esta notación puede entenderse como tomar la mitad de uno. Por ejemplo, si hay 1 pizza entera y le quitamos la mitad, entonces nos quedará pizza:
Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la fracción por 4.
La respuesta fue una fracción impropia. Resaltemos toda la parte:
La expresión puede entenderse como tomar dos cuartos 4 veces. Por ejemplo, si tomas 4 pizzas, obtendrás dos pizzas enteras.
Y si intercambiamos el multiplicando y el multiplicador, obtenemos la expresión. También será igual a 2. Esta expresión se puede entender como tomar dos pizzas de cuatro pizzas enteras:
El número que se multiplica por la fracción y el denominador de la fracción se resuelven si tienen un factor común mayor que uno.
Por ejemplo, una expresión se puede evaluar de dos maneras.
primera manera. Multiplica el número 4 por el numerador de la fracción y deja el denominador de la fracción sin cambios:
Segunda forma. El cuatro que se multiplica y el cuatro en el denominador de la fracción se pueden reducir. Estos cuatros se pueden reducir a 4, ya que el máximo común divisor de dos cuatros es el cuatro mismo:
Obtuvimos el mismo resultado 3. Después de reducir los cuatro, en su lugar se forman nuevos números: dos unos. Pero multiplicar uno por tres y luego dividir por uno no cambia nada. Por tanto, la solución se puede escribir brevemente:
La reducción se puede realizar incluso cuando decidimos usar el primer método, pero en la etapa de multiplicar el número 4 y el numerador 3 decidimos usar la reducción:
Pero, por ejemplo, la expresión solo se puede calcular de la primera manera: multiplica 7 por el denominador de la fracción y deja el denominador sin cambios:
Esto se debe a que el número 7 y el denominador de la fracción no tienen un divisor común mayor que uno y, en consecuencia, no se cancelan.
Algunos estudiantes acortan por error el número que se multiplica y el numerador de la fracción. No puedes hacer esto. Por ejemplo, la siguiente entrada no es correcta:
Reducir una fracción significa que tanto el numerador como el denominador se dividirá por el mismo número. En la situación con la expresión, la división se realiza solo en el numerador, ya que escribir esto es lo mismo que escribir . Vemos que la división se realiza solo en el numerador y no se produce ninguna división en el denominador.
Para multiplicar fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, debes resaltar la parte completa.
Ejemplo 1. Encuentra el valor de la expresión.
Recibimos una respuesta. Es aconsejable reducir esta fracción. La fracción se puede reducir en 2. Entonces la solución final tomará la siguiente forma:
La expresión puede entenderse como tomar una pizza de media pizza. Digamos que tenemos media pizza:
¿Cómo sacar dos tercios de esta mitad? Primero debes dividir esta mitad en tres partes iguales:
Y toma dos de estas tres piezas:
Haremos pizza. Recuerda cómo se ve la pizza dividida en tres partes:
Un trozo de esta pizza y los dos trozos que cogimos tendrán las mismas dimensiones:
Es decir, estamos hablando de pizza del mismo tamaño. Por lo tanto el valor de la expresión es
Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:
La respuesta fue una fracción impropia. Resaltemos toda la parte:
Ejemplo 3. Encuentra el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:
La respuesta resultó ser una fracción regular, pero sería bueno si la acortaran. Para reducir esta fracción, debes dividir el numerador y el denominador de esta fracción por el máximo común divisor (MCD) de los números 105 y 450.
Entonces, encontremos el mcd de los números 105 y 450:
Ahora dividimos el numerador y denominador de nuestra respuesta por el mcd que ahora hemos hallado, es decir, por 15
Cualquier número entero se puede representar como una fracción. Por ejemplo, el número 5 se puede representar como. Esto no cambiará el significado de cinco, ya que la expresión significa “el número cinco dividido por uno”, y este, como sabemos, es igual a cinco:
Ahora nos familiarizaremos con un tema muy interesante en matemáticas. Se llama "números inversos".
Definición. Invertir al númeroa es un número que multiplicado pora da uno.
Sustituyamos en esta definición en lugar de la variable a número 5 e intenta leer la definición:
Invertir al número 5 es un número que multiplicado por 5 da uno.
¿Es posible encontrar un número que multiplicado por 5 dé uno? Resulta que es posible. Imaginemos cinco como fracción:
Luego multiplica esta fracción por sí misma, simplemente intercambia el numerador y el denominador. En otras palabras, multipliquemos la fracción por sí misma, sólo que al revés:
¿Qué pasará como resultado de esto? Si continuamos resolviendo este ejemplo, obtenemos uno:
Esto quiere decir que el inverso del número 5 es el número , ya que al multiplicar 5 por se obtiene uno.
El recíproco de un número también se puede encontrar para cualquier otro número entero.
También puedes encontrar el recíproco de cualquier otra fracción. Para hacer esto, simplemente déle la vuelta.
Digamos que tenemos media pizza:
Dividámoslo en partes iguales entre dos. ¿Cuánta pizza recibirá cada persona?
Se puede observar que luego de dividir la mitad de la pizza se obtuvieron dos porciones iguales, cada una de las cuales constituye una pizza. Entonces todos reciben una pizza.
El denominador común de varias fracciones es el MCM (mínimo común múltiplo) de los números naturales que son denominadores de las fracciones dadas.
A los numeradores de las fracciones dadas debes agregar factores adicionales iguales a la razón del MCM y el denominador correspondiente.
Los numeradores de fracciones dadas se multiplican por sus factores adicionales, lo que da como resultado numeradores de fracciones con un único denominador común. Los signos de acción (“+” o “-”) al registrar fracciones reducidas a un denominador común se almacenan antes de cada fracción. Para fracciones con denominador común, los signos de acción se conservan antes de cada numerador reducido.
Solo ahora puedes sumar o restar los numeradores y firmar el denominador común debajo del resultado.
¡Atención! Si en la fracción resultante el numerador y el denominador tienen factores comunes, entonces se debe reducir la fracción. Es recomendable convertir una fracción impropia en una fracción mixta. ¡Dejar el resultado de una suma o resta sin cancelar la fracción cuando sea posible es una solución incompleta del ejemplo!
Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores. Regla. A sumar o restar fracciones con diferentes denominadores, primero debes reducirlos al mínimo común denominador y luego realizar la suma o resta como con fracciones con el mismo denominador.
También se pueden sumar y restar fracciones si hay letras en el numerador.
Las reglas para sumar fracciones con distintos denominadores son muy sencillas.
Veamos las reglas para sumar fracciones con diferentes denominadores paso a paso:
1. Encuentra el MCM (mínimo común múltiplo) de los denominadores. El MCM resultante será el denominador común de las fracciones;
2. Reducir fracciones a un denominador común;
3. Sumar fracciones reducidas a un denominador común.
Usando un ejemplo sencillo, aprenderemos a aplicar las reglas para sumar fracciones con diferentes denominadores.
Un ejemplo de suma de fracciones con diferentes denominadores.
Suma fracciones con diferentes denominadores:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Lo decidiremos paso a paso.
1. Encuentra el MCM (mínimo común múltiplo) de los denominadores.
El número 12 es divisible por 6.
De esto concluimos que 12 es el mínimo común múltiplo de los números 6 y 12.
Respuesta: el número de los números 6 y 12 es 12:
MCM(6, 12) = 12
El MCM resultante será el denominador común de dos fracciones 1/6 y 5/12.
2. Reducir fracciones a un denominador común.
En nuestro ejemplo, solo es necesario reducir la primera fracción a un denominador común de 12, porque la segunda fracción ya tiene un denominador de 12.
Divide el denominador común de 12 por el denominador de la primera fracción:
2 tiene un multiplicador adicional.
Multiplica el numerador y denominador de la primera fracción (1/6) por un factor adicional de 2.
En el siglo V a. C., el antiguo filósofo griego Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía “Aquiles y la Tortuga”. Así es como suena:Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan hasta el día de hoy; la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... en el estudio del tema intervinieron el análisis matemático, la teoría de conjuntos y nuevos enfoques físicos y filosóficos. ; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.
Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.
Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".
¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a unidades recíprocas. En el lenguaje de Zenón se ve así:
En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.
Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esta no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.
Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:
Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.
En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia a un automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos del espacio en un momento dado, pero a partir de ellas no puede determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará ). Lo que quiero llamar la atención especialmente es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.
Las diferencias entre conjunto y multiconjunto se describen muy bien en Wikipedia. Vamos a ver.
Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca entenderán una lógica tan absurda. Este es el nivel de los loros parlantes y los monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.
Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.
No importa cómo los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjense, estoy en casa", o más bien, "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.
Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Expliquemos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.
En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Luego empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes números de billete, por lo que no pueden considerarse los mismos elementos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos es única para cada moneda...
Y ahora tengo la pregunta más interesante: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.
Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cual es correcta? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.
Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder a una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".
La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandero, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas nos enseñan a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarla, pero es por eso que son chamanes, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente desaparecerán.
¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". Ella no existe. No existe ninguna fórmula en matemáticas que pueda usarse para encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje matemático la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo fácilmente.
Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número determinado. Y entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué hay que hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.
1. Escribe el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.
2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números individuales. Cortar un cuadro no es una operación matemática.
3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Esta no es una operación matemática.
4. Suma los números resultantes. Ahora esto son matemáticas.
La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los “cursos de corte y costura” impartidos por chamanes que utilizan los matemáticos. Pero eso no es todo.
Desde un punto de vista matemático, no importa en qué sistema numérico escribimos un número. Entonces, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con el gran número 12345, no quiero engañarme, consideremos el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. No veremos cada paso bajo un microscopio; eso ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.
Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si determinaras el área de un rectángulo en metros y centímetros, obtendrías resultados completamente diferentes.
El cero tiene el mismo aspecto en todos los sistemas numéricos y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que. Pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa en matemáticas algo que no es un número? ¿Para los matemáticos nada existe excepto los números? Puedo permitir esto a los chamanes, pero no a los científicos. La realidad no se trata sólo de números.
El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a resultados diferentes después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.
¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una operación matemática no depende del tamaño del número, de la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.
¡Oh! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indefílica de las almas durante su ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha hacia arriba. ¿Qué otro baño?
Mujer... El halo de arriba y la flecha de abajo son masculinos.
Si una obra de arte de diseño así aparece ante sus ojos varias veces al día,
Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:
Personalmente, me esfuerzo en ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (una composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grados). Y no creo que esta chica sea una tonta que no sabe física. Simplemente tiene un fuerte estereotipo de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. He aquí un ejemplo.
1A no es “menos cuatro grados” ni “uno a”. Este es el "hombre que hace caca" o el número "veintiséis" en notación hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente un número y una letra como un símbolo gráfico.
Sumar y restar fracciones con denominadores iguales
Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores
Concepto de CON
Reducir fracciones al mismo denominador.
Cómo sumar un número entero y una fracción
1 Sumar y restar fracciones con denominadores iguales
Para sumar fracciones con los mismos denominadores, debes sumar sus numeradores, pero dejar el denominador igual, por ejemplo:
Para restar fracciones con los mismos denominadores, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador igual, por ejemplo:
Para sumar fracciones mixtas, debe sumar por separado sus partes enteras y luego sumar sus partes fraccionarias y escribir el resultado como una fracción mixta.
Si al sumar partes fraccionarias obtienes una fracción impropia, selecciona la parte entera y súmala a la parte entera, por ejemplo:
2 Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores
Para poder sumar o restar fracciones con distintos denominadores, primero debes reducirlas al mismo denominador, y luego proceder como se indica al inicio de este artículo. El denominador común de varias fracciones es el MCM (mínimo común múltiplo). Para el numerador de cada fracción, se encuentran factores adicionales dividiendo el MCM por el denominador de esta fracción. Veremos un ejemplo más adelante, una vez que entendamos qué es un NOC.
3 Mínimo común múltiplo (MCM)
El mínimo común múltiplo de dos números (MCM) es el número natural más pequeño que es divisible por ambos números sin dejar resto. A veces, el MCM se puede encontrar oralmente, pero con mayor frecuencia, especialmente cuando se trabaja con números grandes, es necesario encontrar el MCM por escrito, utilizando el siguiente algoritmo:
Para encontrar el MCM de varios números, necesitas:
Por ejemplo, encontremos el MCM de los números 28 y 21:
4Reducir fracciones al mismo denominador
Volvamos a sumar fracciones con diferentes denominadores.
Cuando reducimos fracciones al mismo denominador, que es igual al MCM de ambos denominadores, debemos multiplicar los numeradores de estas fracciones por multiplicadores adicionales. Puedes encontrarlos dividiendo el MCM por el denominador de la fracción correspondiente, por ejemplo:
Por lo tanto, para reducir fracciones al mismo exponente, primero debes encontrar el MCM (es decir, el número más pequeño que es divisible por ambos denominadores) de los denominadores de estas fracciones y luego poner factores adicionales a los numeradores de las fracciones. Puedes encontrarlos dividiendo el denominador común (CLD) por el denominador de la fracción correspondiente. Luego debes multiplicar el numerador de cada fracción por un factor adicional y poner el MCM como denominador.
5Cómo sumar un número entero y una fracción
Para sumar un número entero y una fracción, solo necesitas sumar este número antes de la fracción, lo que dará como resultado una fracción mixta, por ejemplo.
