“Grado comparativo” - Un hurón vivía en el mismo hoyo. n.f. Inteligente + MÁS - más inteligente N.f. Inteligente + MENOS - menos inteligente. Papel en una oración. Nuestros perros menos ágiles van a animar a los ratones en las carreras. Institución educativa municipal “Escuela secundaria básica Elgai”. Un hámster es más ágil que un cachorro. De alguna manera nuestro zapato fue arrastrado por el cachorro de un vecino menos ágil.
“Título con indicador natural” - Título con indicador natural y entero. (-1)2k=1, (-1)2k-1= -1. Propiedades de un grado con exponente natural. Determinación de grado con indicador natural. 1 elevado a cualquier potencia es igual a 1 1n=1. ¿Qué es un título? Cómo escribir en resumen. Multiplicación de potencias con las mismas bases. N términos. 10n=100000…0.
“Grado con exponente entero” - Calcular. Expresa la expresión como una potencia. Expresa la expresión x-12 como producto de dos potencias con base x si se conoce un factor. Organizar en orden descendente. Simplificar. ¿Para qué valores de x es verdadera la igualdad?
“Ecuaciones de tercer grado” - (en el tercer caso, el mínimo, en el cuarto, el máximo). En el primer y segundo caso decimos que la función es monótona en el punto x =. Nuestra fórmula produce: "Gran Arte". Tartaglia se dejó convencer. Lema. En el tercer y cuarto caso decimos que la función tiene un extremo en el punto x =. Abriendo los paréntesis.
“Propiedades de un título” - Generalización de conocimientos y habilidades en la aplicación de las propiedades de un título con indicador natural. Propiedades de un grado con exponente natural. Idea genial. ¿El cubo de qué número es 64? Pausa computacional. Propiedades de un grado con exponente natural. Desarrollo de la perseverancia, la actividad mental y la actividad creativa.
“Raíz de enésimo grado” - Definición 2: A). Elevemos al cubo ambos lados de la ecuación: - Expresión radical. Considere la ecuación x? = 1. Elevemos ambos lados de la ecuación a la cuarta potencia: Grafiquemos las funciones y = x? e y = 1. El concepto de raíz enésima de un número real. Si n es impar, entonces una raíz: ¿construyamos gráficas de las funciones y = x? y y = 1.
En este artículo descubriremos qué es. grado de. Aquí daremos definiciones de la potencia de un número, mientras consideraremos en detalle todos los exponentes posibles, comenzando con el exponente natural y terminando con el irracional. En el material encontrarás muchos ejemplos de títulos, cubriendo todas las sutilezas que surjan.
Navegación de páginas.
Empecemos con . De cara al futuro, digamos que la definición de la potencia de un número a con exponente natural n está dada para a, al que llamaremos base de grado, y n, que llamaremos exponente. También observamos que un grado con un exponente natural se determina a través de un producto, por lo que para comprender el material a continuación es necesario tener conocimientos de multiplicación de números.
Definición.
Potencia de un número con exponente natural n es una expresión de la forma a n, cuyo valor es igual al producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a, es decir, .
En particular, la potencia de un número a con exponente 1 es el número a mismo, es decir, a 1 =a.
Vale la pena mencionar de inmediato las reglas para leer títulos. La forma universal de leer la notación an es: “a elevado a n”. En algunos casos, las siguientes opciones también son aceptables: “a a la enésima potencia” y “enésima potencia de a”. Por ejemplo, tomemos la potencia 8 12, esto es “ocho elevado a doce”, u “ocho elevado a la duodécima”, o “duodécima potencia de ocho”.
La segunda potencia de un número, así como la tercera potencia de un número, tienen sus propios nombres. La segunda potencia de un número se llama elevar al cuadrado el numero, por ejemplo, 7 2 se lee como “siete al cuadrado” o “el cuadrado del número siete”. La tercera potencia de un número se llama. números al cubo, por ejemplo, 5 3 se puede leer como “cinco al cubo” o se puede decir “cubo del número 5”.
es hora de traer ejemplos de grados con exponentes naturales. Comencemos con el grado 5 7, aquí 5 es la base del grado y 7 es el exponente. Pongamos otro ejemplo: 4,32 es la base y el número natural 9 es el exponente (4,32) 9.
Tenga en cuenta que en el último ejemplo, la base de la potencia 4,32 está escrita entre paréntesis: para evitar discrepancias, pondremos entre paréntesis todas las bases de la potencia que sean diferentes de los números naturales. Como ejemplo, damos los siguientes grados con exponentes naturales. , sus bases no son números naturales, por lo que se escriben entre paréntesis. Bueno, para mayor claridad, en este punto mostraremos la diferencia contenida en los registros de la forma (−2) 3 y −2 3. La expresión (−2) 3 es una potencia de −2 con exponente natural de 3, y la expresión −2 3 (se puede escribir como −(2 3) ) corresponde al número, el valor de la potencia 2 3 .
Tenga en cuenta que existe una notación para la potencia de un número a con un exponente n de la forma a^n. Además, si n es un número natural de varios valores, entonces el exponente se toma entre paréntesis. Por ejemplo, 4^9 es otra notación para la potencia de 4 9. Y aquí hay algunos ejemplos más de cómo escribir grados usando el símbolo “^”: 14^(21), (−2,1)^(155). En lo que sigue, usaremos principalmente notación de grados de la forma a n .
Uno de los problemas inversos de elevar a una potencia con exponente natural es el problema de encontrar la base de una potencia a partir de un valor conocido de la potencia y un exponente conocido. Esta tarea lleva a .
Se sabe que el conjunto de los números racionales está formado por números enteros y fracciones, y cada fracción se puede representar como una fracción ordinaria positiva o negativa. Definimos un grado con exponente entero en el párrafo anterior, por lo tanto, para completar la definición de un grado con exponente racional, necesitamos darle significado al grado del número a con exponente fraccionario m/n, donde m es un número entero y n es un número natural. Vamos a hacerlo.
Consideremos un grado con un exponente fraccionario de la forma . Para que la propiedad poder-poder siga siendo válida, la igualdad debe cumplirse 
. Si tomamos en cuenta la igualdad resultante y cómo determinamos , entonces es lógico aceptarla siempre que para m, n y a dados la expresión tenga sentido.
Es fácil comprobar que para todas las propiedades de un grado con exponente entero son válidas (esto se hace en la sección propiedades de potencias con exponente racional).
El razonamiento anterior nos permite hacer lo siguiente conclusión: si dados m, n y a la expresión tiene sentido, entonces la potencia de a con un exponente fraccionario m/n se llama raíz enésima de a elevado a m.
Esta afirmación nos acerca a la definición de grado con exponente fraccionario. Todo lo que queda es describir en qué m, n y a tiene sentido la expresión. Dependiendo de las restricciones impuestas a m, n y a, existen dos enfoques principales.
La forma más sencilla es imponer una restricción a a tomando a≥0 para m positivo y a>0 para m negativo (ya que para m≤0 el grado 0 de m no está definido). Luego obtenemos la siguiente definición de grado con exponente fraccionario.
Definición.
Potencia de un número positivo a con exponente fraccionario m/n, donde m es un número entero y n es un número natural, se llama raíz enésima del número a elevado a m, es decir, .
La potencia fraccionaria de cero también se determina con la única salvedad de que el indicador debe ser positivo.
Definición.
Potencia de cero con exponente positivo fraccionario m/n, donde m es un número entero positivo y n es un número natural, se define como 
.
Cuando el grado no está determinado, es decir, el grado del número cero con un exponente fraccionario negativo no tiene sentido.
Cabe señalar que con esta definición de un grado con exponente fraccionario, hay una advertencia: para algunos a negativos y algunos m y n, la expresión tiene sentido, y descartamos estos casos introduciendo la condición a≥0. Por ejemplo, las entradas tienen sentido. 
o , y la definición dada anteriormente nos obliga a decir que las potencias con exponente fraccionario de la forma 
No tiene sentido, ya que la base no debe ser negativa.
Otro enfoque para determinar un grado con un exponente fraccionario m/n es considerar por separado los exponentes pares e impares de la raíz. Este enfoque requiere una condición adicional: la potencia del número a, cuyo exponente es , se considera la potencia del número a, cuyo exponente es la fracción irreducible correspondiente (explicaremos la importancia de esta condición a continuación ). Es decir, si m/n es una fracción irreducible, entonces para cualquier número natural k el grado se reemplaza primero por .
Para n par y m positivo, la expresión tiene sentido para cualquier a no negativo (una raíz par de un número negativo no tiene sentido); para m negativo, el número a aún debe ser diferente de cero (de lo contrario habrá división por cero). Y para n impar y m positivo, el número a puede ser cualquiera (la raíz de un grado impar se define para cualquier número real), y para m negativo, el número a debe ser diferente de cero (para que no haya división entre cero).
El razonamiento anterior nos lleva a esta definición de grado con exponente fraccionario.
Definición.
Sea m/n una fracción irreducible, m un número entero y n un número natural. Para cualquier fracción reducible, el grado se reemplaza por . La potencia de un número con un exponente fraccionario irreducible m/n es para
Expliquemos por qué un grado con un exponente fraccionario reducible se reemplaza primero por un grado con un exponente irreducible. Si simplemente definiéramos el grado como , y no hiciéramos reserva sobre la irreductibilidad de la fracción m/n, entonces nos enfrentaríamos a situaciones similares a la siguiente: dado que 6/10 = 3/5, entonces la igualdad debe cumplirse 
, Pero 
, A .
Tenga en cuenta que esta sección analiza el concepto grados con exponente natural solamente y cero.
El concepto y las propiedades de las potencias con exponentes racionales (negativos y fraccionarios) se discutirán en las lecciones del octavo grado.
Entonces, averigüemos qué es una potencia de un número. Para escribir el producto de un número por sí mismo se utiliza varias veces la notación abreviada.
En lugar del producto de seis factores idénticos 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4, escribe 4 6 y di “cuatro elevado a la sexta potencia”.
4 4 4 4 4 4 = 4 6La expresión 4 6 se llama potencia de un número, donde:
Por lo general, un grado con base “a” y exponente “n” se escribe mediante la expresión:
¡Recordar!
La potencia de un número “a” con exponente natural “n” mayor que 1 es el producto de “n” factores idénticos, cada uno de los cuales es igual al número “a”.
La entrada "a n" dice así: "a elevado a n" o "enésima potencia del número a".
Las excepciones son las siguientes entradas:
Surgen casos especiales si el exponente es igual a uno o cero (n = 1; n = 0).
¡Recordar!
La potencia del número “a” con exponente n = 1 es este número mismo:
un 1 = un
Cualquier número elevado a cero es igual a uno.
un 0 = 1
Cero a cualquier potencia natural es igual a cero.
0 norte = 0
Uno elevado a cualquier potencia es igual a 1.
1 norte = 1
Expresión 0 0 ( cero a la potencia cero) se consideran sin sentido.
Al resolver ejemplos, debes recordar que elevar a una potencia es encontrar un valor numérico o alfabético después de elevarlo a una potencia.
Ejemplo. Elevar a una potencia.
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La base (el número elevado a la potencia) puede ser cualquier número: positivo, negativo o cero.
¡Recordar!
Elevar un número positivo a una potencia produce un número positivo.
Cuando se eleva cero a una potencia natural, el resultado es cero.
Cuando un número negativo se eleva a una potencia, el resultado puede ser un número positivo o un número negativo. Depende de si el exponente era un número par o impar.
Veamos ejemplos de cómo elevar números negativos a potencias.
De los ejemplos considerados se desprende claramente que si un número negativo se eleva a una potencia impar, se obtiene un número negativo. Ya que el producto de un número impar de factores negativos es negativo.
Si un número negativo se eleva a una potencia par, se convierte en un número positivo. Ya que el producto de un número par de factores negativos es positivo.
¡Recordar!
Un número negativo elevado a una potencia par es un número positivo.
Un número negativo elevado a una potencia impar es un número negativo.
El cuadrado de cualquier número es un número positivo o cero, es decir:
a 2 ≥ 0 para cualquier a.
Al resolver ejemplos de exponenciación, a menudo se cometen errores, olvidando que las entradas (−5) 4 y −5 4 son expresiones diferentes. Los resultados de elevar estas expresiones a potencias serán diferentes.
Calcular (−5) 4 significa encontrar el valor de la cuarta potencia de un número negativo.
(-5) 4 = (-5) · (-5) · (-5) · (-5) = 625
Si bien encontrar “−5 4” significa que el ejemplo debe resolverse en 2 pasos:
Ejemplo. Calcular: −6 2 − (−1) 4
−6 2 − (−1) 4 = −37Calcular un valor se llama acción de exponenciación. Esta es la acción de la tercera etapa.
¡Recordar!
En expresiones con potencias que no contienen paréntesis, primero haga exponenciación, entonces multiplicación y división, Y al final Adición y sustracción.
Si la expresión contiene paréntesis, primero realice las acciones entre paréntesis en el orden indicado anteriormente y luego realice las acciones restantes en el mismo orden de izquierda a derecha.
Ejemplo. Calcular:
Para facilitar la resolución de ejemplos, es útil conocer y utilizar la tabla de potencias, que puedes descargar gratuitamente en nuestra web.
Para comprobar tus resultados, puedes utilizar la calculadora de nuestra web "
