„Vergleichsgrad“ – Ein Frettchen lebte im selben Loch. N.f. Smart + MEHR - smarter N.f. Smart + WENIGER – weniger smart. Rolle in einem Satz. Unsere weniger flinken Hunde feuern die Mäuse bei den Rennen an. Städtische Bildungseinrichtung „Elgai-Grundschule“. Ein Hamster ist flinker als ein Welpe. Irgendwie wurde unser Schuh vom Welpen eines weniger flinken Nachbarn weggeschleppt.
„Abschluss mit natürlichem Indikator“ – Abschluss mit natürlichem und ganzzahligem Indikator. (-1)2k=1, (-1)2k-1= -1. Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten. Bestimmung des Grades mit einem natürlichen Indikator. 1 hoch zu jeder Potenz ist gleich 1 1n=1. Was ist ein Abschluss? Wie schreibe ich kurz. Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen. N Begriffe. 10n=100000…0.
„Grad mit einem ganzzahligen Exponenten“ – Berechnen. Drücken Sie den Ausdruck als Kraft aus. Drücken Sie den Ausdruck x-12 als Produkt zweier Potenzen mit der Basis x aus, wenn ein Faktor bekannt ist. In absteigender Reihenfolge anordnen. Vereinfachen. Für welche Werte von x gilt die Gleichheit?
„Gleichungen dritten Grades“ – (Im dritten Fall das Minimum, im vierten Fall das Maximum). Im ersten und zweiten Fall sagen wir, dass die Funktion im Punkt x = monoton ist. Unsere Formel lautet: „Großartige Kunst.“ Also ließ sich Tartaglia überreden. Lemma. Im dritten und vierten Fall sagen wir, dass die Funktion im Punkt x = ein Extremum hat. Öffnen der Klammern.
„Eigenschaften eines Abschlusses“ – Verallgemeinerung von Kenntnissen und Fähigkeiten bei der Anwendung der Eigenschaften eines Abschlusses mit einem natürlichen Indikator. Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten. Brainstorming. Der Würfel welcher Zahl ist 64? Rechenpause. Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten. Entwicklung von Ausdauer, geistiger Aktivität und kreativer Aktivität.
„Wurzel n-ten Grades“ – Definition 2: A). Würfeln wir beide Seiten der Gleichung: - Radikaler Ausdruck. Betrachten Sie die Gleichung x? = 1. Erhöhen wir beide Seiten der Gleichung in die vierte Potenz: Zeichnen wir die Funktionen y = x? und y = 1. Das Konzept der n-ten Wurzel einer reellen Zahl. Wenn n ungerade ist, dann eine Wurzel: Erstellen wir Graphen der Funktionen y = x? und y = 1.
In diesem Artikel werden wir herausfinden, was es ist Grad von. Hier geben wir Definitionen der Potenz einer Zahl und betrachten im Detail alle möglichen Exponenten, beginnend mit dem natürlichen Exponenten und endend mit dem irrationalen Exponenten. Im Material finden Sie viele Beispiele für Abschlüsse, die alle auftretenden Feinheiten abdecken.
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Lass uns beginnen mit . Nehmen wir für die Zukunft an, dass die Definition der Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n für a gegeben ist, die wir nennen werden Abschlussbasis, und n, die wir nennen werden Exponent. Wir weisen auch darauf hin, dass ein Grad mit einem natürlichen Exponenten durch ein Produkt bestimmt wird. Um das folgende Material zu verstehen, müssen Sie also Kenntnisse über die Multiplikation von Zahlen haben.
Definition.
Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten n ist ein Ausdruck der Form a n, dessen Wert gleich dem Produkt von n Faktoren ist, von denen jeder gleich a ist, also .
Insbesondere ist die Potenz einer Zahl a mit Exponent 1 die Zahl a selbst, also a 1 =a.
Erwähnenswert sind gleich die Regeln für das Lesen von Abschlüssen. Die universelle Schreibweise a n lautet: „a hoch n“. In manchen Fällen sind auch die folgenden Optionen akzeptabel: „a hoch n-tel“ und „n-te Potenz a“. Nehmen wir zum Beispiel die Potenz 8 12, das ist „acht hoch zwölf“ oder „acht hoch zwölfte Potenz“ oder „zwölfte Potenz von acht“.
Sowohl die zweite Potenz einer Zahl als auch die dritte Potenz einer Zahl haben jeweils eigene Namen. Die zweite Potenz einer Zahl heißt Quadriere die Zahl Beispielsweise wird 7 2 als „Sieben im Quadrat“ oder „das Quadrat der Zahl Sieben“ gelesen. Die dritte Potenz einer Zahl heißt Würfelzahlen Beispielsweise kann 5 3 als „fünf gewürfelt“ gelesen werden, oder man kann „Würfel der Zahl 5“ sagen.
Es ist Zeit zu bringen Beispiele für Grade mit natürlichen Exponenten. Beginnen wir mit dem Grad 5 7, hier ist 5 die Basis des Grades und 7 der Exponent. Geben wir ein weiteres Beispiel: 4,32 ist die Basis und die natürliche Zahl 9 ist der Exponent (4,32) 9 .
Bitte beachten Sie, dass im letzten Beispiel die Basis der Potenz 4,32 in Klammern geschrieben ist: Um Unstimmigkeiten zu vermeiden, werden wir alle Basen der Potenz, die sich von natürlichen Zahlen unterscheiden, in Klammern setzen. Als Beispiel geben wir die folgenden Grade mit natürlichen Exponenten an , ihre Basen sind keine natürlichen Zahlen, daher werden sie in Klammern geschrieben. Nun, der vollständigen Klarheit halber zeigen wir an dieser Stelle den Unterschied, der in Datensätzen der Form (−2) 3 und −2 3 enthalten ist. Der Ausdruck (−2) 3 ist eine Potenz von −2 mit einem natürlichen Exponenten von 3, und der Ausdruck −2 3 (er kann als −(2 3) geschrieben werden) entspricht der Zahl, dem Wert der Potenz 2 3 .
Beachten Sie, dass es eine Notation für die Potenz einer Zahl a mit einem Exponenten n der Form a^n gibt. Wenn n außerdem eine mehrwertige natürliche Zahl ist, wird der Exponent in Klammern angegeben. Beispielsweise ist 4^9 eine andere Schreibweise für die Potenz von 4 9 . Und hier sind einige weitere Beispiele für die Schreibweise von Graden mit dem Symbol „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Im Folgenden verwenden wir hauptsächlich die Gradschreibweise der Form a n .
Eines der umgekehrten Probleme zur Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten ist das Problem, die Basis einer Potenz aus einem bekannten Wert der Potenz und einem bekannten Exponenten zu ermitteln. Diese Aufgabe führt zu .
Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Brüchen besteht und jeder Bruch als positiver oder negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Wir haben im vorherigen Absatz einen Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher dem Grad der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m/n eine Bedeutung geben, wobei m ist eine ganze Zahl und n ist eine natürliche Zahl. Lass es uns tun.
Betrachten wir einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form. Damit die Power-to-Power-Eigenschaft gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten 
. Wenn wir die resultierende Gleichheit und die Art und Weise, wie wir sie bestimmt haben, berücksichtigen, ist es logisch, sie zu akzeptieren, vorausgesetzt, dass der Ausdruck für gegebenes m, n und a sinnvoll ist.
Es lässt sich leicht überprüfen, dass für alle Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten Gültigkeit gilt (dies erfolgt im Abschnitt Eigenschaften von Potenzen mit rationalem Exponenten).
Die obige Argumentation ermöglicht es uns, Folgendes zu sagen Abschluss: Wenn m, n und a gegeben sind, ergibt der Ausdruck einen Sinn, dann heißt die Potenz von a mit einem gebrochenen Exponenten m/n die n-te Wurzel von a hoch m.
Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur noch zu beschreiben, bei welchen m, n und a der Ausdruck Sinn macht. Abhängig von den Einschränkungen für m, n und a gibt es zwei Hauptansätze.
Der einfachste Weg besteht darin, a eine Einschränkung aufzuerlegen, indem man a≥0 für positives m und a>0 für negatives m annimmt (da für m≤0 der Grad 0 von m nicht definiert ist). Dann erhalten wir die folgende Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.
Definition.
Potenz einer positiven Zahl a mit gebrochenem Exponenten m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, heißt die n-te Wurzel der Zahl a hoch m, also .
Die gebrochene Potenz von Null wird ebenfalls bestimmt, mit der einzigen Einschränkung, dass der Indikator positiv sein muss.
Definition.
Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n, wobei m eine positive ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, ist definiert als 
.
Wenn der Grad nicht bestimmt ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, ergibt dies keinen Sinn.
Es ist zu beachten, dass es bei dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten eine Einschränkung gibt: Für einige negative a und einige m und n ist der Ausdruck sinnvoll, und wir haben diese Fälle verworfen, indem wir die Bedingung a≥0 eingeführt haben. Beispielsweise sind die Einträge sinnvoll 
oder , und die oben gegebene Definition zwingt uns zu sagen, dass Potenzen mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind 
machen keinen Sinn, da die Basis nicht negativ sein sollte.
Ein anderer Ansatz zur Bestimmung eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten m/n besteht darin, gerade und ungerade Exponenten der Wurzel getrennt zu betrachten. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: Die Potenz der Zahl a, deren Exponent ist, wird als Potenz der Zahl a betrachtet, deren Exponent der entsprechende irreduzible Bruch ist (wir werden die Bedeutung dieser Bedingung weiter unten erklären). ). Das heißt, wenn m/n ein irreduzibler Bruch ist, dann wird für jede natürliche Zahl k zunächst der Grad durch ersetzt.
Für gerades n und positives m macht der Ausdruck für jedes nichtnegative a Sinn (eine gerade Wurzel einer negativen Zahl macht keinen Sinn); für negatives m muss die Zahl a immer noch von Null verschieden sein (sonst kommt es zur Division). durch Null). Und für ungerades n und positives m kann die Zahl a beliebig sein (die Wurzel eines ungeraden Grades ist für jede reelle Zahl definiert), und für negatives m muss die Zahl a von Null verschieden sein (damit es keine Division durch gibt). null).
Die obige Überlegung führt uns zu dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.
Definition.
Sei m/n ein irreduzibler Bruch, m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren Bruch wird der Grad durch ersetzt. Die Potenz einer Zahl mit einem irreduziblen gebrochenen Exponenten m/n ist für
Lassen Sie uns erklären, warum ein Grad mit einem reduzierbaren gebrochenen Exponenten zunächst durch einen Grad mit einem irreduziblen Exponenten ersetzt wird. Wenn wir den Grad einfach als definieren und keinen Vorbehalt hinsichtlich der Irreduzibilität des Bruchs m/n machen würden, dann stünden wir vor ähnlichen Situationen: Da 6/10 = 3/5, muss die Gleichheit gelten 
, Aber 
, A .
Bitte beachten Sie, dass in diesem Abschnitt das Konzept erläutert wird Grad nur mit natürlichem Exponenten und Null.
Das Konzept und die Eigenschaften von Potenzen mit rationalen Exponenten (mit negativem und gebrochenem Exponenten) werden im Unterricht für die 8. Klasse besprochen.
Lassen Sie uns also herausfinden, was eine Potenz einer Zahl ist. Um das Produkt einer Zahl mit sich selbst zu schreiben, wird mehrmals die abgekürzte Schreibweise verwendet.
Anstelle des Produkts aus sechs identischen Faktoren 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 schreiben Sie 4 6 und sagen Sie „vier hoch sechste Potenz“.
4 4 4 4 4 4 = 4 6Der Ausdruck 4 6 wird als Potenz einer Zahl bezeichnet, wobei:
Im Allgemeinen wird ein Grad mit der Basis „a“ und dem Exponenten „n“ mit dem Ausdruck geschrieben:
Erinnern!
Die Potenz einer Zahl „a“ mit einem natürlichen Exponenten „n“ größer als 1 ist das Produkt von „n“ identischen Faktoren, von denen jeder gleich der Zahl „a“ ist.
Der Eintrag „a n“ liest sich so: „a hoch n“ oder „n-te Potenz der Zahl a“.
Ausgenommen sind folgende Einträge:
Sonderfälle treten auf, wenn der Exponent gleich Eins oder Null ist (n = 1; n = 0).
Erinnern!
Die Potenz der Zahl „a“ mit Exponent n = 1 ist diese Zahl selbst:
ein 1 = ein
Jede Zahl hoch null ist gleich eins.
a 0 = 1
Null zu jeder natürlichen Kraft ist gleich Null.
0 n = 0
Eins zu jeder Potenz ist gleich 1.
1 n = 1
Ausdruck 0 0 ( Null zur Nullpotenz) gelten als bedeutungslos.
Beim Lösen von Beispielen müssen Sie bedenken, dass das Potenzieren das Finden eines Zahlen- oder Buchstabenwerts nach dem Potenzieren bedeutet.
Beispiel. Zur Macht erheben.
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Die Basis (die Zahl, die potenziert wird) kann eine beliebige Zahl sein – positiv, negativ oder Null.
Erinnern!
Potenziert man eine positive Zahl, erhält man eine positive Zahl.
Wenn Null auf eine natürliche Potenz erhöht wird, ist das Ergebnis Null.
Wenn eine negative Zahl potenziert wird, kann das Ergebnis entweder eine positive oder eine negative Zahl sein. Es kommt darauf an, ob der Exponent eine gerade oder ungerade Zahl war.
Schauen wir uns Beispiele für die Potenzierung negativer Zahlen an.
Aus den betrachteten Beispielen wird deutlich, dass man eine negative Zahl erhält, wenn man eine negative Zahl ungerade potenziert. Da das Produkt einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren negativ ist.
Wenn eine negative Zahl gerade potenziert wird, wird sie zu einer positiven Zahl. Da das Produkt einer geraden Anzahl negativer Faktoren positiv ist.
Erinnern!
Eine gerade Potenz negative Zahl ist eine positive Zahl.
Eine ungerade Potenz einer negativen Zahl ist eine negative Zahl.
Das Quadrat einer beliebigen Zahl ist eine positive Zahl oder Null, das heißt:
a 2 ≥ 0 für jedes a.
Beim Lösen von Exponentiationsbeispielen werden oft Fehler gemacht und vergessen, dass die Einträge (−5) 4 und −5 4 unterschiedliche Ausdrücke sind. Die Ergebnisse der Potenzierung dieser Ausdrücke werden unterschiedlich sein.
Die Berechnung von (−5) 4 bedeutet, den Wert der vierten Potenz einer negativen Zahl zu ermitteln.
(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625
Während das Finden von „−5 4“ bedeutet, dass das Beispiel in zwei Schritten gelöst werden muss:
Beispiel. Berechnen Sie: −6 2 − (−1) 4
−6 2 − (−1) 4 = −37Die Berechnung eines Wertes wird Potenzierung genannt. Dies ist die Aktion der dritten Stufe.
Erinnern!
Bei Ausdrücken mit Potenzen, die keine Klammern enthalten, tun Sie dies zuerst Potenzierung, Dann Multiplikation und Division, und am Ende Addition und Subtraktion.
Wenn der Ausdruck Klammern enthält, führen Sie zunächst die Aktionen in den Klammern in der oben angegebenen Reihenfolge aus und führen Sie dann die restlichen Aktionen in derselben Reihenfolge von links nach rechts aus.
Beispiel. Berechnung:
Um das Lösen von Beispielen zu erleichtern, ist es hilfreich, die Potenztabelle zu kennen und zu verwenden, die Sie kostenlos auf unserer Website herunterladen können.
Um Ihre Ergebnisse zu überprüfen, können Sie den Rechner auf unserer Website nutzen.
