O conceito de desigualdade matemática surgiu na antiguidade. Isso aconteceu quando homem primitivo Havia a necessidade de comparar sua quantidade e tamanho ao contar e manusear diversos objetos. Desde os tempos antigos, Arquimedes, Euclides e outros cientistas famosos: matemáticos, astrônomos, designers e filósofos usaram desigualdades em seus raciocínios.
Mas eles, via de regra, usavam terminologia verbal em suas obras. Primeiro sinais modernos para denotar os conceitos de “mais” e “menos” na forma como cada aluno os conhece hoje, eles foram inventados e colocados em prática na Inglaterra. O matemático Thomas Harriot prestou esse serviço aos seus descendentes. E isso aconteceu há cerca de quatro séculos.
Existem muitos tipos de desigualdades conhecidas. Entre elas estão as simples, contendo uma, duas ou mais variáveis, razões quadráticas, fracionárias, complexas e até aquelas representadas por um sistema de expressões. A melhor maneira de entender como resolver desigualdades é usar vários exemplos.
Para começar, imaginemos que um morador de uma zona rural corre para a estação ferroviária, que fica a 20 km de sua aldeia. Para não perder o trem que sai às 11 horas, ele deve sair de casa na hora certa. Em que instante isso deve ser feito se sua velocidade for de 5 km/h? A solução para este problema prático resume-se ao cumprimento das condições da expressão: 5 (11 - X) ≥ 20, onde X é o horário de saída.
Isso é compreensível, porque a distância que um morador precisa percorrer até a estação é igual à velocidade do movimento multiplicada pelo número de horas na estrada. Vir antigamente homem talvez, mas não há como ele se atrasar. Sabendo resolver desigualdades e aplicando suas habilidades na prática, você acabará com X ≤ 7, que é a resposta. Isso significa que o morador deve ir à estação ferroviária às sete da manhã ou um pouco mais cedo.
Agora vamos descobrir como mapear as relações descritas na equação. A desigualdade obtida acima não é estrita. Isso significa que a variável pode assumir valores menores que 7, ou pode ser igual a este número. Vamos dar outros exemplos. Para fazer isso, considere cuidadosamente as quatro figuras apresentadas a seguir.
No primeiro deles você pode ver uma representação gráfica do intervalo [-7; 7]. Consiste em um conjunto de números colocados em uma linha de coordenadas e localizados entre -7 e 7, incluindo os limites. Neste caso, os pontos no gráfico são representados como círculos preenchidos e o intervalo é registrado usando
A segunda figura é uma representação gráfica da desigualdade estrita. Neste caso, os números limítrofes -7 e 7, mostrados por pontos perfurados (não preenchidos), não estão incluídos no conjunto especificado. E o intervalo em si é escrito entre parênteses da seguinte forma: (-7; 7).
Ou seja, tendo descoberto como resolver desigualdades deste tipo e recebido uma resposta semelhante, podemos concluir que consiste em números que estão entre os limites em questão, exceto -7 e 7. Os próximos dois casos devem ser avaliados em um maneira semelhante. A terceira figura mostra imagens dos intervalos (-∞; -7] U; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Education, 2008. - 271 pp.: ill. - ISBN 978-5 -09-019243 -9.
É necessário comparar quantidades e quantidades na resolução de problemas práticos desde os tempos antigos. Ao mesmo tempo, surgiram palavras como mais e menos, mais alto e mais baixo, mais leve e mais pesado, mais baixo e mais alto, mais barato e mais caro, etc., denotando os resultados da comparação de quantidades homogêneas.
Os conceitos de mais e menos surgiram em conexão com a contagem de objetos, medição e comparação de quantidades. Por exemplo, os matemáticos da Grécia Antiga sabiam que o lado de qualquer triângulo é menor que a soma dos outros dois lados e que o lado maior fica oposto ao ângulo maior de um triângulo. Arquimedes, ao calcular a circunferência, estabeleceu que o perímetro de qualquer círculo é igual a três vezes o diâmetro com um excesso inferior a um sétimo do diâmetro, mas superior a dez setenta vezes o diâmetro.
Escreva simbolicamente relações entre números e quantidades usando os sinais > e b. Registros em que dois números estão conectados por um dos sinais: > (maior que), Você também encontrou desigualdades numéricas nas séries iniciais. Você sabe que as desigualdades podem ser verdadeiras ou falsas. Por exemplo, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) é uma desigualdade numérica correta, 0,23 > 0,235 é uma desigualdade numérica incorreta.
As desigualdades envolvendo incógnitas podem ser verdadeiras para alguns valores das incógnitas e falsas para outros. Por exemplo, a desigualdade 2x+1>5 é verdadeira para x = 3, mas falsa para x = -3. Para uma desigualdade com uma incógnita, você pode definir a tarefa: resolver a desigualdade. Os problemas de resolução de desigualdades na prática são colocados e resolvidos com não menos frequência do que os problemas de resolução de equações. Por exemplo, muitos problemas económicos resumem-se ao estudo e solução de sistemas de desigualdades lineares. Em muitos ramos da matemática, as desigualdades são mais comuns do que as equações.
Algumas desigualdades servem como único meio auxiliar de provar ou refutar a existência de um determinado objeto, por exemplo, a raiz de uma equação.
Você pode comparar números inteiros e frações decimais. Conhecer as regras de comparação de frações ordinárias com os mesmos denominadores mas numeradores diferentes; com os mesmos numeradores, mas denominadores diferentes. Aqui você aprenderá como comparar dois números quaisquer, encontrando o sinal de sua diferença.
Comparar números é amplamente utilizado na prática. Por exemplo, um economista compara os indicadores planejados com os reais, um médico compara a temperatura de um paciente com a normal, um torneiro compara as dimensões de uma peça usinada com um padrão. Em todos esses casos, alguns números são comparados. Como resultado da comparação de números, surgem desigualdades numéricas.
Definição. O número a é maior que o número b se a diferença a-b for positiva. O número a é menor que o número b se a diferença a-b for negativa.
Se a for maior que b, então escrevem: a > b; se a for menor que b, então eles escrevem: a Assim, a desigualdade a > b significa que a diferença a - b é positiva, ou seja, a - b > 0. Desigualdade a Para quaisquer dois números aeb, das três relações a seguir a > b, a = b, a Comparar os números aeb significa descobrir qual dos sinais >, = ou Teorema. Se a > b e b > c, então a > c.
Teorema. Se você adicionar o mesmo número a ambos os lados da desigualdade, o sinal da desigualdade não mudará.
Consequência. Qualquer termo pode ser movido de uma parte da desigualdade para outra, alterando o sinal deste termo para o oposto.
Teorema. Se ambos os lados da desigualdade forem multiplicados pelo mesmo número positivo, o sinal da desigualdade não muda. Se ambos os lados da desigualdade forem multiplicados pelo mesmo número negativo, o sinal da desigualdade mudará para o oposto.
Consequência. Se ambos os lados da desigualdade forem divididos pelo mesmo número positivo, o sinal da desigualdade não mudará. Se ambos os lados da desigualdade forem divididos pelo mesmo número negativo, o sinal da desigualdade mudará para o oposto.
Você sabe que igualdades numéricas podem ser somadas e multiplicadas termo por termo. A seguir, você aprenderá como realizar ações semelhantes com desigualdades. A capacidade de somar e multiplicar desigualdades termo a termo é frequentemente utilizada na prática. Essas ações ajudam a resolver problemas de avaliação e comparação dos significados das expressões.
Ao resolver vários problemas, muitas vezes é necessário somar ou multiplicar os lados esquerdo e direito das desigualdades termo por termo. Ao mesmo tempo, diz-se por vezes que as desigualdades se somam ou se multiplicam. Por exemplo, se um turista caminhou mais de 20 km no primeiro dia e mais de 25 km no segundo, então podemos dizer que em dois dias caminhou mais de 45 km. Da mesma forma, se o comprimento de um retângulo for menor que 13 cm e a largura for menor que 5 cm, então podemos dizer que a área desse retângulo é menor que 65 cm2.
Ao considerar esses exemplos, foram utilizados os seguintes: teoremas sobre adição e multiplicação de desigualdades:
Teorema. Ao somar desigualdades de mesmo sinal, obtém-se uma desigualdade de mesmo sinal: se a > b e c > d, então a + c > b + d.
Teorema. Ao multiplicar desigualdades de mesmo sinal, cujos lados esquerdo e direito são positivos, obtém-se uma desigualdade de mesmo sinal: se a > b, c > d e a, b, c, d são números positivos, então ac > bd.
Desigualdades com sinal > (maior que) e 1/2, 3/4 b, c Junto com os sinais de desigualdades estritas > e Da mesma forma, a desigualdade \(a \geq b \) significa que o número a é maior ou igual a b, ou seja, e não menos b.
As desigualdades que contêm o sinal \(\geq \) ou o sinal \(\leq \) são chamadas de não estritas. Por exemplo, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) não são desigualdades estritas.
Todas as propriedades das desigualdades estritas também são válidas para desigualdades não estritas. Além disso, se para desigualdades estritas os sinais > foram considerados opostos e você sabe que para resolver uma série de problemas aplicados é necessário criar um modelo matemático na forma de uma equação ou de um sistema de equações. A seguir, você aprenderá que os modelos matemáticos para resolver muitos problemas são desigualdades com incógnitas. Será introduzido o conceito de resolução de uma desigualdade e será mostrado como testar se um determinado número é uma solução para uma determinada desigualdade.
Desigualdades da forma
\(ax > b, \quad ax em que a e b recebem números e x é uma incógnita, são chamados desigualdades lineares com uma incógnita.
Definição. A solução para uma desigualdade com uma incógnita é o valor da incógnita no qual esta desigualdade se torna uma verdadeira desigualdade numérica. Resolver uma desigualdade significa encontrar todas as suas soluções ou estabelecer que não há nenhuma.
Você resolveu as equações reduzindo-as às equações mais simples. Da mesma forma, ao resolver desigualdades, tenta-se reduzi-las, por meio de propriedades, à forma de desigualdades simples.
Desigualdades da forma
\(ax^2+bx+c >0 \) e \(ax^2+bx+c onde x é uma variável, a, b e c são alguns números e \(a \neq 0 \), chamados desigualdades de segundo grau com uma variável.
Solução para a desigualdade
\(ax^2+bx+c >0 \) ou \(ax^2+bx+c pode ser considerado como encontrar intervalos em que a função \(y= ax^2+bx+c \) assume positivo ou negativo valores Para isso, basta analisar como o gráfico da função \(y= ax^2+bx+c\) está localizado no plano coordenado: para onde estão direcionados os ramos da parábola - para cima ou para baixo, se a parábola intercepta o eixo x e, se isso acontecer, em que pontos.
Algoritmo para resolver desigualdades de segundo grau com uma variável:
1) encontre o discriminante do trinômio quadrado \(ax^2+bx+c\) e descubra se o trinômio tem raízes;
2) se o trinômio tiver raízes, marque-as no eixo x e através dos pontos marcados desenhe uma parábola esquemática, cujos ramos são direcionados para cima para a > 0 ou para baixo para 0 ou para baixo para 3) encontre intervalos no eixo x para os quais os pontos parábolas estão localizados acima do eixo x (se resolverem a inequação \(ax^2+bx+c >0\)) ou abaixo do eixo x (se resolverem o desigualdade
\(ax^2+bx+c Resolvendo inequações usando o método de intervalo
Considere a função
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
O domínio desta função é o conjunto de todos os números. Os zeros da função são os números -2, 3, 5. Eles dividem o domínio de definição da função nos intervalos \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) e \( (5; +\infty)\)
Vamos descobrir quais são os sinais desta função em cada um dos intervalos indicados.
A expressão (x + 2)(x - 3)(x - 5) é o produto de três fatores. O sinal de cada um desses fatores nos intervalos considerados está indicado na tabela:
Em geral, seja a função dada pela fórmula
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
onde x é uma variável e x 1, x 2, ..., x n são números que não são iguais entre si. Os números x 1 , x 2 , ..., x n são os zeros da função. Em cada um dos intervalos em que o domínio de definição é dividido pelos zeros da função, o sinal da função é preservado e, ao passar por zero, seu sinal muda.
Esta propriedade é usada para resolver desigualdades da forma
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) onde x 1, x 2, ..., x n são números diferentes entre si
Método considerado resolver desigualdades é chamado de método de intervalo.
Daremos exemplos de resolução de desigualdades usando o método de intervalo.
Resolva a desigualdade:
\(x(0,5-x)(x+4) Obviamente, os zeros da função f(x) = x(0,5-x)(x+4) são os pontos \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)Plotamos os zeros da função no eixo dos números e calculamos o sinal em cada intervalo:
Selecionamos os intervalos em que a função é menor ou igual a zero e anotamos a resposta.
Responder:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
O método dos intervalos é legitimamente considerado um método universal para resolver desigualdades. É o mais fácil de usar para resolver desigualdades quadráticas em uma variável. Neste material consideraremos todos os aspectos do uso do método intervalar para resolver desigualdades quadráticas. Para facilitar a assimilação do material, consideraremos um grande número de exemplos de diversos graus de complexidade.
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Consideremos um algoritmo para utilização do método intervalar em uma versão adaptada, adequado para resolver desigualdades quadráticas. É esta versão do método intervalar que os alunos são apresentados nas aulas de álgebra. Não vamos complicar a tarefa também.
Vamos passar para o algoritmo em si.
Temos o trinômio quadrático a · x 2 + b · x + c do lado esquerdo da desigualdade quadrática. Encontramos os zeros deste trinômio.
No sistema de coordenadas, representamos uma linha de coordenadas. Marcamos as raízes nele. Por conveniência, podemos introduzir diferentes formas de notar pontos para desigualdades estritas e não estritas. Vamos combinar que usaremos pontos “vazios” para marcar as coordenadas ao resolver uma desigualdade estrita, e pontos comuns para marcar uma não estrita. Ao marcar os pontos, obtemos vários intervalos no eixo de coordenadas.
Se na primeira etapa encontramos zeros, então determinamos os sinais dos valores do trinômio para cada um dos intervalos resultantes. Se não recebermos zeros, realizamos esta ação para toda a reta numérica. Marcamos as lacunas com os sinais “+” ou “-”.
Adicionalmente, introduziremos sombreamento nos casos em que resolvermos inequações com sinais > ou ≥ e< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».
Observando os sinais dos valores do trinômio e aplicando sombreamento sobre os segmentos, obtemos uma imagem geométrica de um determinado conjunto numérico, que na verdade é uma solução para a desigualdade. Tudo o que precisamos fazer é anotar a resposta.
Detenhamo-nos mais detalhadamente na terceira etapa do algoritmo, que envolve a determinação do sinal da lacuna. Existem várias abordagens para definir sinais. Vamos analisá-los em ordem, começando pelos mais precisos, embora não os mais rápidos. Este método envolve o cálculo dos valores do trinômio em vários pontos dos intervalos resultantes.
Exemplo 1
Por exemplo, vamos pegar o trinômio x 2 + 4 · x − 5 .
As raízes deste trinômio 1 e - 5 dividem o eixo de coordenadas em três intervalos (− ∞, − 5), (− 5, 1) e (1, + ∞).
Vamos começar com o intervalo (1, + ∞). Para simplificar nossa tarefa, consideremos x = 2. Obtemos 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7.
7 é um número positivo. Isso significa que os valores deste trinômio quadrático no intervalo (1, + ∞) são positivos e podem ser denotados pelo sinal “+”.
Para determinar o sinal do intervalo (− 5, 1) tomamos x = 0. Temos 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 . Coloque um sinal “-” acima do intervalo.
Para o intervalo (− ∞, − 5) tomamos x = − 6, obtemos (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7. Marcamos este intervalo com um sinal “+”.
Você pode identificar os sinais com muito mais rapidez levando em consideração os seguintes fatos.
Com um discriminante positivo, um trinômio quadrado com duas raízes dá uma alternância de sinais de seus valores nos intervalos em que a reta numérica é dividida pelas raízes desse trinômio. Isto significa que não precisamos necessariamente definir sinais para cada um dos intervalos. Basta fazer cálculos para um e colocar sinais para os restantes, tendo em conta o princípio da alternância.
Se desejar, você pode dispensar totalmente os cálculos, tirando conclusões sobre os sinais com base no valor do coeficiente líder. Se a > 0, então obtemos uma sequência de sinais +, −, +, e se a< 0 – то − , + , − .
Para trinômios quadráticos com uma raiz, quando o discriminante é zero, obtemos dois intervalos no eixo de coordenadas com os mesmos sinais. Isso significa que determinamos o sinal para um dos intervalos e definimos o mesmo para o segundo.
Aqui também aplicamos o método de determinação do sinal com base no valor do coeficiente a: se a > 0, então será +, +, e se a< 0 , то − , − .
Se um trinômio quadrado não tem raízes, então os sinais de seus valores para toda a linha de coordenadas coincidem tanto com o sinal do coeficiente líder a quanto com o sinal do termo livre c.
Por exemplo, se tomarmos o trinômio quadrático − 4 x 2 − 7, ele não tem raízes (seu discriminante é negativo). O coeficiente de x 2 é negativo − 4, e o intercepto − 7 também é negativo. Isso significa que no intervalo (− ∞, + ∞) seus valores são negativos.
Vejamos exemplos de resolução de desigualdades quadráticas usando o algoritmo discutido acima.
Exemplo 2
Resolva a desigualdade 8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0.
Solução
Usamos o método do intervalo para resolver a inequação. Para fazer isso, vamos encontrar as raízes do trinômio quadrado 8 x 2 − 4 x − 1 . Devido ao fato de o coeficiente para x ser par, será mais conveniente para nós calcularmos não o discriminante, mas a quarta parte do discriminante: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 .
O discriminante é maior que zero. Isso nos permite encontrar as duas raízes do trinômio quadrado: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 e x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Vamos marcar esses valores na reta numérica. Como a equação não é estrita, usamos pontos ordinários no gráfico.
Agora, utilizando o método dos intervalos, determinamos os sinais dos três intervalos resultantes. O coeficiente de x 2 é igual a 8, ou seja, positivo, portanto, a sequência de sinais será +, −, +.
Como estamos resolvendo uma inequação com sinal ≥, desenhamos sombreamento sobre os intervalos com sinais de mais: 
Vamos escrever o conjunto numérico analiticamente a partir da imagem gráfica resultante. Podemos fazer isso de duas maneiras:
Responder:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) ou x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .
Exemplo 3
Resolva a desigualdade quadrática - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.
Solução
Primeiro, vamos encontrar as raízes do trinômio quadrático do lado esquerdo da desigualdade:
D" = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7
Esta é uma desigualdade estrita, por isso usamos um ponto “vazio” no gráfico. Com coordenada 7.
Agora precisamos determinar os sinais nos intervalos resultantes (− ∞, 7) e (7, + ∞). Como o discriminante de um trinômio quadrático é zero e o coeficiente líder é negativo, colocamos os sinais −, −:
Como estamos resolvendo uma inequação com sinal< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:
EM nesse caso as soluções são ambos intervalos (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .
Responder:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) ou em outra notação x ≠ 7 .
Exemplo 4
Faz desigualdade quadrática x 2 + x + 7< 0 решения?
Solução
Vamos encontrar as raízes do trinômio quadrático do lado esquerdo da desigualdade. Para fazer isso, vamos encontrar o discriminante: D = 1 2 − 4 · 1 · 7 = 1 − 28 = − 27 . O discriminante é menor que zero, o que significa que não existem raízes reais.
A imagem gráfica se parecerá com uma reta numérica sem pontos marcados nela.
Vamos determinar o sinal dos valores do trinômio quadrático. Em D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :
Neste caso, poderíamos aplicar sombreamento sobre os espaços com o sinal “-”. Mas não temos essas lacunas. Portanto, o desenho fica assim:
Como resultado dos cálculos, obtivemos um conjunto vazio. Isto significa que esta desigualdade quadrática não tem soluções.
Responder: Não.
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