Embora este princípio pareça um tanto estranho, em essência é extremamente simples. Na teoria quântica, onde a posição de um objeto é caracterizada pelo quadrado de sua amplitude, e a magnitude de seu momento pelo comprimento de onda da função de onda correspondente, este princípio nada mais é do que um simples fato característico das ondas: uma onda localizada no espaço não pode ter um comprimento de onda. O intrigante é que quando falamos de uma partícula, imaginamos mentalmente a sua imagem clássica, e depois ficamos surpresos quando descobrimos que a partícula quântica se comporta de forma diferente da sua antecessora clássica.
Se insistirmos em uma descrição clássica do comportamento de uma partícula quântica (em particular, se tentarmos atribuir a ela tanto uma posição no espaço quanto um momento), então a máxima precisão possível da determinação simultânea de sua posição e momento estará relacionada entre si usando uma relação surpreendentemente simples proposta pela primeira vez por Heisenberg e chamada de princípio da incerteza:
onde estão as imprecisões, ou incertezas, nos valores do momento e da posição da partícula. Produto de imprecisões de momento e posição
acaba sendo da ordem de grandeza da constante de Planck. Na teoria quântica, ao contrário da teoria clássica, é impossível localizar simultaneamente uma partícula quântica e atribuir-lhe um certo momento.Portanto, tal partícula não pode ter uma trajetória no mesmo sentido que uma partícula clássica. Não queremos dizer de forma alguma incerteza psicológica. Esta incerteza caracteriza a natureza de tal objeto, que não pode possuir simultaneamente duas propriedades - posição e momento; um objeto que lembra vagamente uma tempestade na atmosfera: se se estender por longas distâncias, soprarão ventos fracos; se estiver concentrado em uma área pequena, ocorre um furacão ou tufão.
O princípio da incerteza contém de uma forma surpreendentemente simples o que foi tão difícil de formular usando a onda de Schrödinger. Se existe uma função de onda com um determinado comprimento de onda ou com um determinado momento, então sua posição é completamente incerta, pois as probabilidades de encontrar uma partícula em diferentes pontos do espaço são iguais. Por outro lado, se uma partícula estiver completamente localizada, a sua função de onda deve consistir na soma de todas as ondas periódicas possíveis, de modo que o seu comprimento de onda ou momento é completamente indeterminado. A relação exata entre as incertezas de posição e momento (que vem diretamente da teoria das ondas e não está particularmente relacionada à mecânica quântica, uma vez que caracteriza a natureza de quaisquer ondas - ondas sonoras, ondas na superfície da água ou ondas viajando ao longo de um esticado primavera) é dado de forma simples o princípio da incerteza de Heisenberg.
Recordemos a partícula considerada anteriormente, cujo movimento unidimensional ocorreu entre duas paredes distantes uma da outra. A incerteza na posição de tal partícula não excede a distância entre as paredes, pois sabemos que a partícula está encerrada entre elas. Portanto o valor é igual ou menor
A posição da partícula, é claro, pode ser localizada dentro de limites mais estreitos. Mas se for dado que a partícula está simplesmente encerrada entre as paredes, a sua coordenada x não pode ultrapassar a distância entre essas paredes. Portanto, a incerteza ou a falta de
conhecimento, suas coordenadas x não podem exceder o valor I. Então a incerteza do momento da partícula é maior ou igual a
O momento está relacionado à velocidade pela fórmula
daí a incerteza da velocidade
Se a partícula for um elétron e a distância entre as paredes for igual a cm, então
Assim, se uma partícula com massa de um elétron está localizada em uma região cujas dimensões são da ordem de grandeza, então só podemos falar sobre a velocidade da partícula com uma precisão de cm/s,
Utilizando os resultados obtidos anteriormente, pode-se encontrar a relação de incerteza para a onda de Schrödinger no caso de uma partícula confinada entre duas paredes. O estado fundamental de tal sistema corresponde a uma mistura em proporções iguais de soluções com momentos
(No caso clássico, um elétron corre de parede em parede, e seu momento, permanecendo igual em valor o tempo todo, muda de direção a cada colisão com uma parede.) Como o momento muda de para, sua incerteza é igual a
Da relação de de Broglie
e para o estado fundamental
Ao mesmo tempo
Por isso,
Este resultado pode ser usado para estimar o menor valor de energia que um sistema quântico pode ter. Devido ao fato de o momento do sistema ser uma quantidade incerta, essa energia geralmente não é igual a zero, o que distingue radicalmente um sistema quântico de um clássico. No caso clássico, a energia da partícula em consideração coincide com a sua energia cinética, e quando a partícula está em repouso, esta energia desaparece. Para um sistema quântico, como mostrado acima, a incerteza do momento de uma partícula localizada no sistema é
O momento de tal partícula não pode ser determinado com precisão, uma vez que seus valores possíveis estão em um intervalo de largura. Obviamente, se zero estiver no meio desse intervalo (Fig. 127), então o valor do momento variará de zero para Portanto, o momento mínimo possível que pode ser atribuído à partícula é igual devido ao princípio da incerteza
Em valores mais baixos de momento, o princípio da incerteza é violado. A energia correspondente a este impulso é
pode ser comparado com a energia mais baixa, cujo valor calculamos usando a equação de Schrödinger, selecionando uma onda estacionária adequada entre as paredes do vaso:
O valor do resultado obtido não reside na concordância numérica, mas no facto de termos conseguido fazer uma estimativa aproximada do valor da energia mínima utilizando apenas o princípio da incerteza. Além disso, conseguimos entender porque o valor mínimo da energia cinética de um sistema mecânico quântico (ao contrário de um sistema clássico) nunca é igual a zero. A partícula clássica correspondente confinada entre as paredes tem cinética zero
energia quando está em repouso. Uma partícula quântica não pode estar em repouso se estiver capturada entre as paredes. O seu momento ou velocidade é essencialmente incerto, o que se manifesta num aumento de energia, e esse aumento coincide exactamente com o valor que se obtém a partir de uma solução rigorosa da equação de Schrödinger.
Este resultado muito geral tem consequências especialmente importantes naquela seção da teoria quântica que corresponde à teoria cinética clássica, isto é, na estatística quântica. É amplamente conhecido que a temperatura de um sistema, conforme afirmado pela teoria cinética, é determinada pelo movimento interno dos átomos que compõem o sistema. Se a temperatura de um sistema quântico for alta, então algo muito semelhante a isso realmente ocorre. No entanto, em baixas temperaturas, os sistemas quânticos não podem entrar em repouso absoluto. A temperatura mínima corresponde ao estado mais baixo possível de um determinado sistema. No caso clássico, todas as partículas estão em repouso, mas no caso quântico, a energia das partículas é determinada a partir da expressão (41.17), que não corresponde ao resto das partículas.
Por tudo isto pode parecer que estamos prestando demasiada atenção aos electrões confinados entre duas paredes. Nossa atenção aos elétrons é completamente justificada. E as paredes? Se analisarmos todos os casos considerados anteriormente, podemos estar convencidos de que o tipo de sistema de força, seja um recipiente ou qualquer outra coisa, que mantém um elétron em uma região limitada do espaço não é tão significativo.
Duas paredes, uma força central ou vários obstáculos (Fig. 128) levam aproximadamente aos mesmos resultados. O tipo de sistema específico que contém o elétron não é tão importante. É muito mais importante que o elétron seja capturado, ou seja, que sua função de onda seja localizada. Como resultado, esta função é representada como uma soma de ondas periódicas e o momento da partícula torna-se incerto, e
Analisemos agora, utilizando o princípio da incerteza, um fenómeno ondulatório típico, nomeadamente a expansão de uma onda depois de passar através de um pequeno buraco (Fig. 129). Já analisamos este fenômeno geometricamente, calculando distâncias
quais saliências se cruzam com depressões. Não é surpreendente que agora os resultados sejam semelhantes. Acontece que o mesmo modelo teórico é descrito em palavras diferentes. Suponhamos que um elétron entre em um buraco na tela, movendo-se da esquerda para a direita. Estamos interessados na incerteza da posição e velocidade do elétron na direção x (perpendicular à direção do movimento). (A relação de incerteza é satisfeita para cada uma das três direções separadamente: Ah-Arkhzhk,
Denotemos por este valor a largura da fenda, que é o erro máximo na determinação da posição do elétron na direção x quando ele passou pelo buraco para penetrar na tela. A partir daqui podemos encontrar a incerteza do momento ou da velocidade da partícula na direção i:
Portanto, se assumirmos que um elétron passa através de um buraco em uma tela de largura, devemos admitir que sua velocidade se tornará então indefinida até o valor
Ao contrário de uma partícula clássica, uma partícula quântica não pode, após passar por um buraco, produzir uma imagem nítida na tela.
Se ele se mover com velocidade na direção da tela, e a distância entre a tela e o buraco for igual, então ele percorrerá essa distância no tempo
Durante este tempo, a partícula se moverá na direção x por uma quantidade
A propagação angular é definida como a razão entre o deslocamento e o comprimento
Assim, o espalhamento angular (interpretado como metade da distância angular ao primeiro mínimo de difração) é igual ao comprimento de onda dividido pela largura da abertura, que é igual ao resultado obtido anteriormente para a luz.
E quanto às partículas massivas comuns? São partículas quânticas ou partículas do tipo newtoniano? Deveria a mecânica newtoniana ser usada para objetos de tamanhos normais e a mecânica quântica para objetos cujos tamanhos são pequenos? Podemos considerar todas as partículas, todos os corpos (até mesmo a Terra) como quânticos. No entanto, se o tamanho e a massa da partícula forem proporcionais aos tipicamente observados em fenómenos macroscópicos, então os efeitos quânticos – propriedades das ondas, incertezas de posição e velocidade – tornam-se demasiado pequenos para serem detectáveis em condições normais.
Considere, por exemplo, a partícula de que falamos acima. Suponhamos que esta partícula seja uma bola de metal de um rolamento com massa de um milésimo de grama (uma bola muito pequena). Se localizarmos sua posição com uma precisão acessível à nossa visão no campo de um microscópio, digamos com uma precisão de um milésimo de centímetro, então localizada ao longo de um comprimento de cm, a incerteza na velocidade acaba sendo um valor muito pequeno ser detectado por observações comuns.
As relações de incerteza de Heisenberg relacionam não apenas a posição e o momento do sistema, mas também os seus outros parâmetros, que na teoria clássica eram considerados independentes. Uma das relações mais interessantes e úteis para os nossos propósitos é a ligação entre as incertezas da energia e do tempo. Geralmente é escrito na forma
Se um sistema estiver em um determinado estado por um longo período de tempo, então a energia desse sistema será conhecida com grande precisão; se permanecer neste estado por um intervalo de tempo muito curto, então a sua energia torna-se incerta; este fato é descrito com precisão pela relação dada acima.
Esta relação é geralmente usada quando se considera a transição de um sistema quântico de um estado para outro. Suponhamos, por exemplo, que o tempo de vida de alguma partícula seja igual a , ou seja, entre o momento do nascimento desta partícula e o momento do seu decaimento, decorre um tempo da ordem de s. Então a precisão máxima com a qual a energia desta partícula pode ser conhecida é
o que é uma quantia muito pequena. Como veremos mais adiante, existem as chamadas partículas elementares cujo tempo de vida é da ordem de c (o tempo entre o momento do nascimento de uma partícula e o momento da sua aniquilação). Assim, o período de tempo durante o qual uma partícula está em um determinado estado é muito pequeno, e a incerteza energética é estimada como
Este valor, 4-106 eV (um milhão de elétron-volts é abreviado como MeV), é enorme; É por isso que, como veremos mais adiante, não é atribuído a essas partículas elementares, às vezes chamadas de ressonâncias, um valor de energia exato, mas sim toda uma gama de valores em uma faixa bastante ampla.
Da relação (41.28) também se pode obter a chamada largura natural dos níveis de um sistema quântico. Se, por exemplo, um átomo se move do nível 1 para o nível 0 (Fig. 130), então a energia do nível
Então a distribuição dos valores de energia deste nível é determinada a partir da expressão:
Esta é a largura natural típica dos níveis de energia de um sistema atômico.
O princípio da incerteza é uma lei fundamental do micromundo. Pode ser considerada uma expressão particular do princípio da complementaridade.
Na mecânica clássica, uma partícula se move ao longo de uma determinada trajetória e, a qualquer momento, é possível determinar com precisão suas coordenadas e seu momento. Em relação às micropartículas, esta ideia está incorreta. Uma micropartícula não tem uma trajetória claramente definida; ela tem as propriedades de uma partícula e as propriedades de uma onda (dualidade onda-partícula). Neste caso, o conceito de “comprimento de onda em um determinado ponto” não tem significado físico, e uma vez que o momento de uma micropartícula é expresso através do comprimento de onda - p=Para/ l, segue-se que uma micropartícula com um certo momento tem uma coordenada completamente incerta e vice-versa.
W. Heisenberg (1927), levando em consideração a natureza dual das micropartículas, chegou à conclusão de que é impossível caracterizar simultaneamente uma micropartícula com coordenadas e momento com qualquer precisão predeterminada.
As seguintes desigualdades são chamadas de relações de incerteza de Heisenberg:
ΔxΔ p x ≥h,Δ simΔp e ≥h,Δ zΔp z ≥ h.
Aqui Δx, Δy, Δz significam intervalos de coordenadas nos quais uma micropartícula pode ser localizada (esses intervalos são incertezas de coordenadas), Δ p x , Δ p sim , Δ p z significa os intervalos de projeções de pulso nos eixos coordenados x, y, z, h– Constante de Planck. De acordo com o princípio da incerteza, quanto mais precisamente o impulso for registrado, maior será a incerteza na coordenada e vice-versa.
À medida que a ciência se desenvolve e o conhecimento acumulado se aprofunda, novas teorias tornam-se mais precisas. Novas teorias cobrem horizontes cada vez mais amplos do mundo material e penetram em profundezas até então inexploradas. As teorias dinâmicas são substituídas por teorias estáticas.
Cada teoria fundamental tem certos limites de aplicabilidade. Portanto, o surgimento de uma nova teoria não significa uma negação completa da antiga. Assim, o movimento dos corpos no macrocosmo com velocidades significativamente inferiores à velocidade da luz será sempre descrito pela mecânica newtoniana clássica. Contudo, em velocidades comparáveis à velocidade da luz (velocidades relativísticas), a mecânica newtoniana não é aplicável.
Objetivamente, há continuidade de teorias físicas fundamentais. Este é o princípio da correspondência, que pode ser formulado da seguinte forma: nenhuma nova teoria pode ser válida a menos que contenha como caso limite a velha teoria relativa aos mesmos fenómenos, uma vez que a velha teoria já se provou no seu campo.
Na física clássica, um sistema é entendido como um conjunto de algumas partes conectadas entre si de uma determinada maneira. Essas partes (elementos) do sistema podem influenciar-se mutuamente e presume-se que sua interação sempre pode ser avaliada do ponto de vista das relações de causa e efeito entre os elementos interagentes do sistema.
A doutrina filosófica da objetividade da relação natural e da interdependência dos fenômenos do mundo material e espiritual é chamada determinismo. O conceito central do determinismo é a existência causalidade; A causalidade ocorre quando um fenômeno dá origem a outro fenômeno (efeito).
A física clássica se posiciona na posição do determinismo rígido, que é chamado de Laplaceiano - foi Pierre Simon Laplace quem proclamou o princípio da causalidade como uma lei fundamental da natureza. Laplace acreditava que se a localização dos elementos (alguns corpos) de um sistema e as forças que atuam nele forem conhecidas, então é possível prever com total certeza como cada corpo desse sistema se moverá agora e no futuro. Ele escreveu: “Devemos considerar o estado atual do Universo como consequência do estado anterior e como causa do estado subsequente. Uma mente que num dado momento conhecesse todas as forças que operam na natureza e as posições relativas de todas as suas entidades constituintes, se ainda fosse tão vasta a ponto de levar em conta todos esses dados, abraçaria numa única e mesma fórmula os movimentos dos maiores corpos do Universo e dos átomos mais leves. Nada seria incerto para ele, e o futuro, assim como o passado, estaria diante de seus olhos.” Tradicionalmente, esta criatura hipotética, que poderia (de acordo com Laplace) prever o desenvolvimento do Universo, é chamada na ciência de “demônio de Laplace”.
No período clássico do desenvolvimento das ciências naturais, afirmou-se a ideia de que apenas as leis dinâmicas caracterizam plenamente a causalidade na natureza.
Laplace tentou explicar o mundo inteiro, incluindo os fenômenos fisiológicos, psicológicos e sociais, do ponto de vista do determinismo mecanicista, que considerava um princípio metodológico para a construção de qualquer ciência. Laplace viu um exemplo da forma de conhecimento científico na mecânica celeste. Assim, o determinismo Laplaceano nega a natureza objetiva do acaso, o conceito de probabilidade de um evento.
O desenvolvimento posterior das ciências naturais levou a novas ideias de causa e efeito. Para alguns processos naturais, é difícil determinar a causa – por exemplo, o decaimento radioativo ocorre aleatoriamente. É impossível relacionar inequivocamente o tempo de “saída” de uma partícula α ou β do núcleo e o valor de sua energia. Tais processos são objetivamente aleatórios. Existem especialmente muitos exemplos desse tipo na biologia. Nas ciências naturais modernas, o determinismo moderno oferece várias formas objetivamente existentes de interconexão de processos e fenômenos, muitas das quais são expressas na forma de relações que não possuem conexões causais pronunciadas, ou seja, não contêm momentos de geração de um por outro. Estas são conexões espaço-temporais, relações de simetria e certas dependências funcionais, relações probabilísticas, etc. No entanto, todas as formas de interações reais de fenômenos são formadas com base na causalidade ativa universal, fora da qual não existe um único fenômeno da realidade, incluindo os chamados fenômenos aleatórios, em cujo conjunto se manifestam leis estáticas.
A ciência continua a desenvolver-se e é enriquecida com novos conceitos, leis e princípios, o que indica as limitações do determinismo laplaceano. Contudo, a física clássica, em particular a mecânica clássica, ainda hoje tem seu nicho de aplicação. Suas leis são bastante aplicáveis a movimentos relativamente lentos, cuja velocidade é significativamente menor que a velocidade da luz. A importância da física clássica no período moderno foi bem definida por um dos criadores da mecânica quântica, Niels Bohr: “Não importa o quanto os fenômenos vão além da explicação física clássica, todos os dados experimentais devem ser descritos utilizando conceitos clássicos. A justificativa para isso é simplesmente declarar o significado preciso da palavra “experiência”. Com a palavra “experimentar” indicamos uma situação em que podemos contar aos outros exatamente o que fizemos e o que aprendemos exatamente. Portanto, a configuração experimental e os resultados observacionais devem ser descritos inequivocamente na linguagem da física clássica.”
É impossível determinar simultaneamente com precisão as coordenadas e a velocidade de uma partícula quântica.
Na vida cotidiana, estamos rodeados de objetos materiais cujos tamanhos são comparáveis aos nossos: carros, casas, grãos de areia, etc. Nossas ideias intuitivas sobre a estrutura do mundo são formadas como resultado da observação cotidiana do comportamento de tais objetos. . Como todos temos uma vida vivida atrás de nós, a experiência acumulada ao longo dos anos diz-nos que como tudo o que observamos se comporta de uma certa maneira repetidamente, isso significa que em todo o Universo, em todas as escalas, os objetos materiais deveriam se comportar de uma maneira. maneira semelhante. E quando acontece que em algum lugar algo não obedece às regras usuais e contradiz nossos conceitos intuitivos sobre o mundo, isso não apenas nos surpreende, mas nos choca.
No primeiro quartel do século XX, esta foi precisamente a reação dos físicos quando começaram a estudar o comportamento da matéria nos níveis atômico e subatômico. O surgimento e o rápido desenvolvimento da mecânica quântica abriu-nos um mundo inteiro, cuja estrutura do sistema simplesmente não se enquadra na estrutura do bom senso e contradiz completamente as nossas ideias intuitivas. Mas devemos lembrar que nossa intuição é baseada na experiência do comportamento de objetos comuns em uma escala proporcional à nossa, e a mecânica quântica descreve coisas que acontecem em um nível microscópico e invisível para nós - ninguém jamais as encontrou diretamente. Se nos esquecermos disto, acabaremos inevitavelmente num estado de completa confusão e perplexidade. Para mim, formulei a seguinte abordagem para os efeitos da mecânica quântica: assim que a “voz interior” começar a repetir “isso não pode ser!”, Você precisa se perguntar: “Por que não? Como posso saber como tudo realmente funciona dentro de um átomo? Eu mesmo olhei lá? Ao se preparar dessa forma, será mais fácil perceber os artigos deste livro dedicados à mecânica quântica.
O princípio de Heisenberg geralmente desempenha um papel fundamental na mecânica quântica, até porque explica claramente como e por que o micromundo difere do mundo material com o qual estamos familiarizados. Para compreender este princípio, primeiro pense no que significa “medir” qualquer quantidade. Para encontrar, por exemplo, este livro, ao entrar numa sala, você olha ao redor até que ele pare nele. Na linguagem da física, isso significa que você fez uma medição visual (você encontrou um livro olhando) e obteve o resultado - você registrou suas coordenadas espaciais (você determinou a localização do livro na sala). Na verdade, o processo de medição é muito mais complicado: uma fonte de luz (o Sol ou uma lâmpada, por exemplo) emite raios que, tendo percorrido um determinado caminho no espaço, interagem com o livro, são refletidos em sua superfície, após o que alguns deles chegam aos seus olhos, passam pelos focos da lente e atingem a retina - e você vê a imagem do livro e determina sua posição no espaço. A chave para a medição aqui é a interação entre a luz e o livro. Então, com qualquer medição, imagine, a ferramenta de medição (neste caso, é leve) interage com o objeto de medição (neste caso, é um livro).
Na física clássica, construída sobre princípios newtonianos e aplicada a objetos do nosso mundo comum, estamos acostumados a ignorar o fato de que um instrumento de medição, ao interagir com um objeto de medição, o afeta e altera suas propriedades, incluindo, de fato, o quantidades que estão sendo medidas. Quando você acende a luz da sala para encontrar um livro, você nem pensa no fato de que sob a influência da pressão resultante dos raios de luz, o livro pode se mover de seu lugar, e você reconhece suas coordenadas espaciais, distorcido sob a influência da luz que você acendeu. A intuição nos diz (e, neste caso, de forma bastante correta) que o ato de medição não afeta as propriedades medidas do objeto que está sendo medido. Agora pense nos processos que ocorrem no nível subatômico. Digamos que eu precise fixar a localização espacial de um elétron. Ainda preciso de um instrumento de medição que interaja com o elétron e retorne um sinal aos meus detectores com informações sobre sua localização. E aqui surge uma dificuldade: não tenho outras ferramentas para interagir com um elétron para determinar sua posição no espaço, além de outras partículas elementares. E, se a suposição de que a luz, interagindo com um livro, não afeta suas coordenadas espaciais, o mesmo não pode ser dito em relação à interação do elétron medido com outro elétron ou fótons.
No início da década de 1920, durante a explosão do pensamento criativo que levou à criação da mecânica quântica, o jovem físico teórico alemão Werner Heisenberg foi o primeiro a reconhecer este problema. Começando com fórmulas matemáticas complexas que descrevem o mundo no nível subatômico, ele gradualmente chegou a uma fórmula de incrível simplicidade, dando uma descrição geral do efeito da influência das ferramentas de medição nos objetos medidos do micromundo, sobre os quais acabamos de falar. Como resultado, ele formulou princípio da incerteza, agora nomeado em sua homenagem:
incerteza no valor da coordenada x incerteza na velocidade > h/eu,
cuja expressão matemática é chamada Relação de incerteza de Heisenberg:
Δ x xΔ v > h/eu
onde Δ x— incerteza (erro de medição) das coordenadas espaciais da micropartícula, Δ v— incerteza da velocidade das partículas, m— massa de partículas, e h- Constante de Planck, em homenagem ao físico alemão Max Planck, outro dos fundadores da mecânica quântica. A constante de Planck é de aproximadamente 6,626 x 10 -34 J s, ou seja, contém 33 zeros antes da primeira casa decimal significativa.
O termo “incerteza de coordenadas espaciais” significa precisamente que não sabemos a localização exata da partícula. Por exemplo, se você usar o sistema de reconhecimento global GPS para determinar a localização deste livro, o sistema irá calculá-los com precisão de 2 a 3 metros. (GPS, Sistema de Posicionamento Global é um sistema de navegação que utiliza 24 satélites artificiais da Terra. Se, por exemplo, você tiver um receptor GPS instalado em seu carro, ao receber sinais desses satélites e comparar seu tempo de atraso, o sistema determina sua localização geográfica coordenadas na Terra com precisão de segundo de arco mais próximo.) No entanto, do ponto de vista de uma medição feita por um instrumento GPS, o livro poderia, com alguma probabilidade, estar localizado em qualquer lugar dentro dos poucos metros quadrados especificados do sistema. Neste caso, estamos falando da incerteza das coordenadas espaciais de um objeto (neste exemplo, um livro). A situação pode ser melhorada se usarmos uma fita métrica em vez de um GPS – neste caso podemos dizer que o livro está, por exemplo, a 4 m 11 cm de uma parede e a 1 m 44 cm da outra. Mas mesmo aqui estamos limitados na precisão da medição pela divisão mínima da escala da fita métrica (mesmo que seja um milímetro) e pelos erros de medição do próprio dispositivo - e na melhor das hipóteses, seremos capazes de determinar a posição espacial do objeto com precisão na divisão mínima da escala. Quanto mais preciso for o instrumento que utilizamos, mais precisos serão os resultados que obtivermos, menor será o erro de medição e menor será a incerteza. Em princípio, no nosso mundo cotidiano é possível reduzir a incerteza a zero e determinar as coordenadas exatas do livro.
E aqui chegamos à diferença mais fundamental entre o micromundo e o nosso mundo físico cotidiano. No mundo comum, ao medir a posição e a velocidade de um corpo no espaço, praticamente não temos influência sobre ele. Então, idealmente, podemos simultaneamente medir a velocidade e as coordenadas de um objeto com absoluta precisão (em outras palavras, com incerteza zero).
No mundo dos fenômenos quânticos, entretanto, qualquer medição afeta o sistema. O próprio facto de medirmos, por exemplo, a localização de uma partícula, leva a uma mudança na sua velocidade, que é imprevisível (e vice-versa). É por isso que o lado direito da relação de Heisenberg não é zero, mas positivo. Quanto menor a incerteza sobre uma variável (por exemplo, Δ x), mais incerta se torna a outra variável (Δ v), uma vez que o produto de dois erros do lado esquerdo da relação não pode ser menor que a constante do lado direito. Na verdade, se conseguirmos determinar uma das grandezas medidas com erro zero (com precisão absoluta), a incerteza da outra grandeza será igual ao infinito e não saberemos absolutamente nada sobre ela. Em outras palavras, se conseguíssemos estabelecer com absoluta precisão as coordenadas de uma partícula quântica, não teríamos a menor ideia sobre sua velocidade; Se pudéssemos registrar com precisão a velocidade de uma partícula, não teríamos ideia de onde ela está. Na prática, é claro, os físicos experimentais sempre têm que procurar algum tipo de compromisso entre esses dois extremos e selecionar métodos de medição que lhes permitam avaliar tanto a velocidade quanto a posição espacial das partículas com um erro razoável.
Na verdade, o princípio da incerteza conecta não apenas coordenadas espaciais e velocidade - neste exemplo ele simplesmente se manifesta de forma mais clara; a incerteza liga igualmente outros pares de características mutuamente relacionadas de micropartículas. Através de um raciocínio semelhante, chegamos à conclusão de que é impossível medir com precisão a energia de um sistema quântico e determinar o momento em que ele possui essa energia. Ou seja, se medirmos o estado de um sistema quântico para determinar sua energia, essa medição levará um certo período de tempo – vamos chamá-la de Δ t. Durante este período de tempo, a energia do sistema muda aleatoriamente - ocorre flutuação, - e não podemos identificá-lo. Vamos denotar o erro de medição de energia Δ E. Por raciocínio semelhante ao acima, chegamos a uma relação semelhante para Δ E e a incerteza do momento em que uma partícula quântica possuía esta energia:
Δ EΔ t > h
Há mais dois pontos importantes a serem considerados em relação ao princípio da incerteza:
isso não implica que qualquer uma das duas características de uma partícula – localização espacial ou velocidade – não possa ser medida com precisão;
o princípio da incerteza opera de forma objetiva e não depende da presença de um sujeito inteligente realizando as medições.
Às vezes você pode se deparar com afirmações de que o princípio da incerteza implica que as partículas quânticas nenhum certas coordenadas e velocidades espaciais, ou que essas quantidades são completamente incognoscíveis. Não se engane: como acabamos de ver, o princípio da incerteza não nos impede de medir cada uma dessas quantidades com a precisão desejada. Ele apenas afirma que não somos capazes de conhecer ambos ao mesmo tempo com segurança. E, como acontece com muitas coisas, somos forçados a fazer concessões. Mais uma vez, os escritores antroposóficos dentre os defensores do conceito de “Nova Era” às vezes argumentam que, supostamente, uma vez que as medições implicam a presença de um observador inteligente, então, em algum nível fundamental, a consciência humana está conectada com a Mente Universal, e é esta conexão que determina o princípio da incerteza. Repitamos este ponto mais uma vez: a chave da relação de Heisenberg é a interação entre a partícula-objeto de medição e o instrumento de medição, que influencia seus resultados. E o facto de existir um observador razoável na pessoa de um cientista não é relevante para o assunto; o instrumento de medição, em qualquer caso, influencia seus resultados, esteja um ser inteligente presente ou não.
Veja também:
Werner Karl Heisenberg, 1901-76
Físico teórico alemão. Nasceu em Wurzburgo. Seu pai era professor de estudos bizantinos na Universidade de Munique. Além de suas brilhantes habilidades matemáticas, ele mostrou uma predileção pela música desde a infância e obteve bastante sucesso como pianista. Ainda estudante, foi membro da milícia popular, que manteve a ordem em Munique durante os tempos difíceis que se seguiram à derrota da Alemanha na Primeira Guerra Mundial. Em 1920, tornou-se aluno do Departamento de Matemática da Universidade de Munique, porém, diante da recusa em frequentar um seminário que lhe interessava sobre questões de matemática superior relevantes naqueles anos, conseguiu uma transferência para o Departamento. de Física Teórica. Naqueles anos, todo o mundo dos físicos vivia sob a impressão de uma nova visão da estrutura do átomo ( cm.átomo de Bohr), e todos os teóricos entre eles entenderam que algo estranho estava acontecendo dentro do átomo.
Tendo defendido seu diploma em 1923, Heisenberg começou a trabalhar em Göttingen nos problemas da estrutura do átomo. Em maio de 1925, sofreu um ataque agudo de febre dos fenos, que obrigou o jovem cientista a passar vários meses em completa solidão na pequena ilha de Heligoland, isolada do mundo exterior, e aproveitou este isolamento forçado do exterior. mundo tão produtivamente quanto Isaac Newton usou seus muitos meses de prisão em quartéis de quarentena contra a peste em 1665. Em particular, durante estes meses, os cientistas desenvolveram uma teoria mecânica matricial— um novo aparato matemático da mecânica quântica emergente . A mecânica matricial, como o tempo mostrou, no sentido matemático é equivalente à mecânica ondulatória quântica que apareceu um ano depois, incorporada na equação de Schrödinger, do ponto de vista da descrição dos processos do mundo quântico. Porém, na prática acabou sendo mais difícil usar o aparato da mecânica matricial, e hoje os físicos teóricos usam principalmente os conceitos da mecânica ondulatória.
Em 1926, Heisenberg tornou-se assistente de Niels Bohr em Copenhague. Foi lá, em 1927, que ele formulou seu princípio da incerteza - e pode-se argumentar que esta se tornou sua maior contribuição para o desenvolvimento da ciência. Nesse mesmo ano, Heisenberg tornou-se professor na Universidade de Leipzig, o mais jovem professor da história alemã. A partir desse momento, ele começou a trabalhar em estreita colaboração na criação de uma teoria de campo unificada ( cm. Teorias universais) - em geral, sem sucesso. Por seu papel de liderança no desenvolvimento da teoria da mecânica quântica, Heisenberg recebeu o Prêmio Nobel de Física em 1932 pela criação da mecânica quântica.
Do ponto de vista histórico, a personalidade de Werner Heisenberg provavelmente permanecerá para sempre sinônimo de incerteza de um tipo ligeiramente diferente. Com a chegada ao poder do Partido Nacional Socialista, abriu-se a página mais difícil de compreender da sua biografia. Primeiro, como físico teórico, envolveu-se numa luta ideológica na qual a física teórica como tal foi rotulada de “física judaica” e o próprio Heisenberg foi publicamente chamado de “judeu branco” pelas novas autoridades. Somente após uma série de apelos pessoais aos mais altos funcionários da liderança nazista é que o cientista conseguiu interromper a campanha de assédio público contra ele. Muito mais problemático é o papel de Heisenberg no programa de armas nucleares alemão durante a Segunda Guerra Mundial. Numa altura em que a maioria dos seus colegas emigraram ou foram forçados a fugir da Alemanha sob pressão do regime de Hitler, Heisenberg chefiou o programa nuclear nacional alemão.
Sob a sua liderança, o programa centrou-se inteiramente na construção de um reactor nuclear, mas Niels Bohr, durante o seu famoso encontro com Heisenberg em 1941, teve a impressão de que isto era apenas um disfarce, e na verdade o programa estava a desenvolver armas nucleares. Então o que realmente aconteceu? Terá Heisenberg realmente deliberadamente e a mando da sua consciência levado o programa alemão da bomba atómica a um beco sem saída e direccionado para um caminho pacífico, como afirmou mais tarde? Ou ele simplesmente cometeu alguns erros na sua compreensão dos processos de decaimento nuclear? Seja como for, a Alemanha não teve tempo de criar armas atômicas. Como mostra a brilhante peça Copenhagen, de Michael Frayn, este mistério histórico provavelmente fornecerá material suficiente para as gerações futuras de escritores de ficção.
Após a guerra, Heisenberg tornou-se um defensor ativo do desenvolvimento da ciência da Alemanha Ocidental e de sua reunificação com a comunidade científica internacional. A sua influência serviu como uma ferramenta importante para alcançar o estatuto de não nuclear das forças armadas da Alemanha Ocidental no período pós-guerra.
Influenciado pelo sucesso das teorias científicas, especialmente da teoria da gravitação de Newton, o cientista francês Pierre Laplace no início do século XIX. foi desenvolvida uma visão do Universo como um objeto completamente determinado. Laplace acreditava que deveria haver um conjunto de leis científicas que permitiriam prever tudo o que pode acontecer no Universo, desde que se conheça uma descrição completa de seu estado em algum momento. Por exemplo, se soubéssemos as posições do Sol e dos planetas correspondentes a um determinado momento no tempo, então, utilizando as leis de Newton, poderíamos calcular em que estado o Sistema Solar estaria em qualquer outro momento no tempo. Neste caso, o determinismo é bastante óbvio, mas Laplace foi mais longe, argumentando que existem leis semelhantes para tudo, incluindo o comportamento humano.
A doutrina do determinismo científico encontrou forte resistência por parte de muitos que sentiam que isto limitava a livre intervenção de Deus no nosso mundo; no entanto, esta ideia permaneceu uma hipótese científica comum no início do nosso século. Uma das primeiras indicações da necessidade de abandonar o determinismo foram os resultados dos cálculos de dois físicos ingleses, John Rayleigh e James Jeans, dos quais se concluiu que um objeto quente como uma estrela deveria irradiar infinitamente mais energia o tempo todo. De acordo com as leis então conhecidas, um corpo quente deveria emitir igualmente ondas eletromagnéticas de todas as frequências (por exemplo, ondas de rádio, luz visível, raios X). Isso significa que a mesma quantidade de energia deve ser emitida tanto na forma de ondas com frequências entre um e dois milhões de milhões de ondas por segundo, quanto na forma de ondas cujas frequências estão na faixa de dois a três milhões de milhões de ondas por segundo. . E como existem infinitas frequências diferentes, a energia total irradiada deve ser infinita.
Para se livrar dessa conclusão aparentemente absurda, o cientista alemão Max Planck, em 1900, aceitou a hipótese de que a luz, os raios X e outras ondas não podem ser emitidas com intensidade arbitrária, mas devem ser emitidas apenas em certas porções, que Planck chamou de quanta. Além disso, Planck sugeriu que cada quantum de radiação carrega uma certa quantidade de energia, que é maior quanto maior for a frequência das ondas. Assim, a uma frequência suficientemente elevada, a energia de um quantum pode exceder a quantidade de energia disponível e, consequentemente, a radiação de alta frequência será suprimida, e a taxa à qual o corpo perde energia será finita.
A hipótese quântica estava em excelente concordância com as intensidades de radiação observadas em corpos quentes, mas o que significava para o determinismo não ficou claro até 1926, quando outro cientista alemão, Werner Heisenberg, formulou o famoso princípio da incerteza. Para prever qual será a posição e a velocidade de uma partícula, você precisa ser capaz de fazer medições precisas de sua posição e velocidade no momento presente. Obviamente, para fazer isso, a luz deve ser direcionada para a partícula. Algumas das ondas de luz serão espalhadas por ela e assim determinaremos a posição da partícula no espaço. No entanto, a precisão desta medição não será maior do que a distância entre as cristas de duas ondas adjacentes e, portanto, é necessária luz de comprimento de onda curto para medir com precisão a posição da partícula. De acordo com a hipótese de Planck, a luz não pode ser usada em porções arbitrariamente pequenas e não existe porção menor que um quantum. Este quantum de luz perturbará o movimento da partícula e alterará imprevisivelmente sua velocidade. Além disso, quanto mais precisamente a posição for medida, menores deverão ser os comprimentos de onda da luz e, portanto, maior será a energia de um quantum. Isto significa que a perturbação da velocidade da partícula se tornará maior. Em outras palavras, quanto mais precisamente você tentar medir a posição de uma partícula, menos precisas serão as medições de sua velocidade e vice-versa. Heisenberg mostrou que a incerteza na posição de uma partícula, multiplicada pela incerteza na sua velocidade e na sua massa, não pode ser inferior a um certo número, que hoje é chamado de constante de Planck. Este número não depende nem da forma como a posição ou velocidade da partícula é medida, nem do tipo desta partícula, ou seja, o princípio da incerteza de Heisenberg é uma propriedade fundamental e obrigatória do nosso mundo.
O princípio da incerteza tem consequências de longo alcance relacionadas com a nossa percepção do mundo que nos rodeia. Mesmo depois de mais de cinquenta anos, muitos filósofos não concordaram definitivamente com eles, e estas consequências ainda são objecto de debate. O princípio da incerteza significou o fim dos sonhos de Laplace de uma teoria científica que fornecesse um modelo completamente determinista do Universo: na verdade, como alguém pode prever com precisão o futuro sem sequer ser capaz de fazer medições precisas do estado do Universo no presente? momento! Claro, podemos imaginar que existe um certo conjunto de leis que determina completamente os eventos para algum ser sobrenatural que é capaz de observar o estado atual do Universo sem perturbá-lo de forma alguma. No entanto, tais modelos do Universo não interessam a nós, meros mortais. Seria melhor, talvez, usar o princípio da “economia”, que é chamado de princípio da “navalha de Occam” (W. Ockham /1285‑1349/ - filósofo inglês. A essência do princípio da “navalha de Occam”: conceitos que não podem ser verificados na experiência devem ser removidos da ciência - nota do editor) pegue e elimine todas as disposições da teoria que não são observáveis. Adotando essa abordagem, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger e Paul Dirac, na década de 20 do nosso século, revisaram a mecânica e chegaram a uma nova teoria - a mecânica quântica, que se baseava no princípio da incerteza. Na mecânica quântica, as partículas não possuem mais características definidas e mutuamente independentes como posição no espaço e velocidade, que não são observáveis. Em vez disso, eles são caracterizados por um estado quântico que é uma combinação de posição e velocidade.
A mecânica quântica, em geral, não prevê que uma observação deva ter um único resultado definido. Em vez disso, prevê vários resultados diferentes e fornece a probabilidade de cada um deles. Isso significa que se fizéssemos a mesma medição para muitos sistemas idênticos, cujos estados iniciais são os mesmos, descobriríamos que em um número de casos o resultado da medição é igual a A, em outro - B, etc. pode prever em quantos casos aproximadamente o resultado será igual a A e B, mas é impossível determinar o resultado de cada medição específica. Assim, a mecânica quântica introduz um elemento inevitável de imprevisibilidade ou aleatoriedade na ciência. Einstein manifestou-se veementemente contra este conceito, apesar do enorme papel que ele próprio desempenhou no seu desenvolvimento. Por sua enorme contribuição à teoria quântica, Einstein recebeu o Prêmio Nobel. Mas ele nunca poderia concordar que o universo é governado pelo acaso. Todos os sentimentos de Einstein foram expressos em sua famosa afirmação: “Deus não joga dados”. No entanto, a maioria dos outros cientistas estava inclinada a aceitar a mecânica quântica porque ela concordava perfeitamente com os experimentos. A mecânica quântica é de fato uma teoria notável e está subjacente a quase toda a ciência e tecnologia modernas. Os princípios da mecânica quântica formam a base para a operação de semicondutores e circuitos integrados, que são a parte mais importante dos dispositivos eletrônicos, como televisores e computadores eletrônicos. A química e a biologia modernas são baseadas na mecânica quântica. As únicas áreas da física que ainda não fazem bom uso da mecânica quântica são a teoria da gravidade e a teoria da estrutura em grande escala do Universo.
Apesar de a radiação luminosa consistir em ondas, ainda assim, segundo a hipótese de Planck, a luz em certo sentido se comporta como se fosse formada por partículas: a emissão e absorção de luz ocorrem apenas na forma de porções, ou quanta. O princípio da incerteza de Heisenberg diz que as partículas, em certo sentido, comportam-se como ondas: não têm uma posição específica no espaço, mas são “espalhadas” sobre ele com uma certa distribuição de probabilidade. A teoria da mecânica quântica utiliza um aparato matemático completamente novo, que não descreve mais o mundo real com base em ideias sobre partículas e ondas; esses conceitos agora só podem ser atribuídos aos resultados das observações neste mundo. Assim, na mecânica quântica surge o dualismo de ondas parciais: em alguns casos é conveniente considerar as partículas como ondas, enquanto em outros é melhor considerar as ondas como partículas. Disto se segue uma conclusão importante: podemos observar a chamada interferência entre duas ondas de partículas. As cristas das ondas de uma delas podem, por exemplo, coincidir com as depressões de outra. As duas ondas então se anulam, em vez de se amplificarem, resumindo-se, como seria de esperar, em ondas mais altas (Figura 4.1). Um exemplo bem conhecido de interferência luminosa são as bolhas de sabão brilhando em diferentes cores do arco-íris. Esse fenômeno ocorre como resultado do reflexo da luz em duas superfícies de uma fina película de água, que forma uma bolha. A luz branca contém todos os tipos de comprimentos de onda correspondentes a cores diferentes. As cristas de algumas ondas refletidas em uma das superfícies da película de sabão coincidem com as depressões de ondas do mesmo comprimento refletidas na segunda superfície da bolha. Então, a luz refletida não terá cores correspondentes a esses comprimentos de onda e a luz refletida parecerá multicolorida.
Assim, graças ao dualismo que surgiu na mecânica quântica, as partículas também podem sofrer interferências. Um exemplo bem conhecido de tal interferência de partículas é um experimento com duas fendas em uma tela (Fig. 4.2). Considere uma tela na qual duas fendas estreitas e paralelas são cortadas. De um lado da tela com fendas há uma fonte de luz de uma determinada cor (ou seja, um determinado comprimento de onda). A maior parte da luz atinge a superfície da tela, mas uma pequena parte dela passa pelas fendas. A seguir, imagine uma tela de observação instalada do outro lado da tela com fendas da fonte de luz. Então as ondas de luz de ambas as fendas atingirão qualquer ponto da tela de observação. Mas a distância percorrida pela luz através das fendas da fonte até a tela será, em geral, diferente. Isso significa que as ondas que passam pelas fendas atingirão a tela em diferentes fases: em alguns lugares elas se enfraquecerão e em outros se fortalecerão. Como resultado, a tela obterá uma imagem característica composta por listras claras e escuras.
Surpreendentemente, aparecem exactamente as mesmas bandas quando se substitui a fonte de luz por uma fonte de partículas, digamos electrões, emitidas a uma determinada velocidade (isto significa que correspondem a ondas de um determinado comprimento). O fenômeno descrito é ainda mais estranho porque se houver apenas uma fenda, nenhuma banda aparece e uma distribuição simplesmente uniforme de elétrons aparece na tela. Pode-se supor que outra fenda simplesmente aumentaria o número de elétrons que atingem cada ponto da tela, mas na verdade, devido à interferência, o número desses elétrons em alguns lugares, ao contrário, diminui. Se um elétron passasse pelas fendas de cada vez, então seria de se esperar que cada um deles passasse por uma fenda ou por outra, ou seja, se comportasse como se a fenda pela qual passou fosse a única, e então um distribuição uniforme deve aparecer na tela. Porém, na verdade, as bandas aparecem mesmo quando os elétrons são liberados um de cada vez. Portanto, cada elétron deve passar pelas duas fendas ao mesmo tempo!
O fenómeno da interferência das partículas tornou-se decisivo para a nossa compreensão da estrutura dos átomos, aqueles mais pequenos “blocos de construção” que são considerados na química e na biologia e a partir dos quais nós próprios e tudo o que nos rodeia somos construídos. No início do século, acreditava-se que os átomos eram como o sistema solar: os elétrons (partículas que carregam carga elétrica negativa), como os planetas ao redor do Sol, giram em torno de um núcleo localizado centralmente com carga positiva. Supunha-se que os elétrons eram mantidos em suas órbitas por forças de atração entre cargas positivas e negativas, semelhante à forma como a atração gravitacional entre o Sol e os planetas impede que os planetas saiam de suas órbitas. Esta explicação deparou-se com a seguinte dificuldade: antes do advento da mecânica quântica, as leis da mecânica e da electricidade previam que os electrões perderiam energia e, portanto, espiralariam em direcção ao centro do átomo e cairiam sobre o núcleo. Isso significaria que os átomos, e com eles, é claro, toda a matéria, entrariam rapidamente em colapso para um estado de densidade muito alta. Uma solução particular para este problema foi encontrada em 1913 pelo cientista dinamarquês Niels Bohr. Bohr postulou que os elétrons não poderiam se mover em nenhuma órbita, mas apenas naquelas que ficam a certas distâncias específicas do núcleo central. Se também fosse feita a suposição de que cada uma dessas órbitas poderia conter apenas um ou dois elétrons, então o problema do colapso atômico seria resolvido, porque então os elétrons, movendo-se em espiral em direção ao centro, só poderiam preencher órbitas com raios e energias mínimos. .
Este modelo explicou perfeitamente a estrutura do átomo mais simples - o átomo de hidrogênio, no qual apenas um elétron gira em torno do núcleo. Não estava claro, entretanto, como estender a mesma abordagem a átomos mais complexos. Além disso, a suposição de um número limitado de órbitas permitidas parecia bastante arbitrária. Essa dificuldade foi resolvida por uma nova teoria – a mecânica quântica. Descobriu-se que um elétron girando em torno de um núcleo pode ser imaginado como uma onda, cujo comprimento depende de sua velocidade. Ao longo de algumas órbitas, cabe um número inteiro (em vez de fracionário) de comprimentos de onda de elétrons. Ao se mover ao longo dessas órbitas, as cristas das ondas terminarão no mesmo lugar em cada órbita e, portanto, as ondas se somarão; tais órbitas são classificadas como órbitas permitidas por Bohr. E para aquelas órbitas ao longo das quais um número inteiro de comprimentos de onda de elétrons não cabe, cada crista à medida que os elétrons giram é, mais cedo ou mais tarde, compensada por uma depressão; tais órbitas não serão permitidas.
O cientista americano Richard Feynman criou uma bela maneira que permite visualizar a dualidade onda-partícula. Feynman introduziu o chamado somatório de trajetórias. Nesta abordagem, ao contrário da teoria clássica não quântica, não há suposição de que a partícula deva ter uma única trajetória no espaço-tempo, mas, pelo contrário, acredita-se que a partícula pode se mover de A para B ao longo de qualquer caminho possível. caminho. Cada trajetória possui dois números associados: um deles descreve o tamanho da onda e o outro corresponde à sua posição no ciclo (crista ou vale). Para determinar as probabilidades de transição de A para B, é necessário somar as ondas de todas essas trajetórias. Se você comparar diversas trajetórias vizinhas, suas fases, ou posições no ciclo, serão bastante diferentes. Isto significa que as ondas correspondentes a tais trajetórias se anularão quase completamente. No entanto, para algumas famílias de trajetórias vizinhas, as fases mudarão pouco ao passar de uma trajetória para outra, e as ondas correspondentes não se cancelarão. Tais trajetórias pertencem às órbitas permitidas por Bohr.
Com base nessas ideias, escritas em uma forma matemática específica, foi possível, por meio de um esquema relativamente simples, calcular as órbitas permitidas para átomos mais complexos e mesmo para moléculas constituídas por vários átomos mantidos juntos por elétrons cujas órbitas cobrem mais de um núcleo. Uma vez que a estrutura das moléculas e as reações que ocorrem entre elas são a base de toda a química e de toda a biologia, a mecânica quântica, em princípio, permite-nos prever tudo o que vemos ao nosso redor com a precisão permitida pelo princípio da incerteza. (No entanto, na prática, os cálculos para sistemas contendo muitos elétrons revelam-se tão complexos que são simplesmente impossíveis de realizar).
A estrutura em grande escala do Universo parece obedecer à teoria geral da relatividade de Einstein. Esta teoria é chamada de clássica porque não leva em consideração o princípio da incerteza da mecânica quântica, que deve ser levado em consideração para ser consistente com outras teorias. Não contradizemos os resultados das observações porque todos os campos gravitacionais com os quais normalmente temos que lidar são muito fracos. Contudo, de acordo com os teoremas de singularidade discutidos acima, o campo gravitacional deveria tornar-se muito forte em pelo menos duas situações: no caso dos buracos negros e no caso do big bang. Em campos tão fortes, os efeitos quânticos devem ser significativos. Portanto, a teoria clássica da relatividade geral, tendo previsto os pontos em que a densidade se torna infinita, em certo sentido previu o seu próprio fracasso, exatamente da mesma forma que a mecânica clássica (isto é, não quântica) se condenou ao fracasso ao concluir que os átomos devem colapsam até que sua densidade se torne infinita. Ainda não temos uma teoria completa na qual a teoria geral da relatividade seria consistentemente combinada com a mecânica quântica, mas conhecemos algumas propriedades da teoria futura. Falaremos sobre o que se segue dessas propriedades em relação aos buracos negros e ao big bang nos capítulos subsequentes. Agora vamos passar para as últimas tentativas de unificar nossa compreensão de todas as outras forças da natureza em uma teoria quântica unificada.
Na mecânica clássica, o estado de um ponto material (partícula clássica) é determinado pela especificação dos valores de coordenadas, momento, energia, etc. A rigor, as variáveis dinâmicas especificadas não podem ser atribuídas a um microobjeto. Porém, obtemos informações sobre micropartículas observando sua interação com dispositivos que são corpos macroscópicos. Portanto, os resultados das medições são inevitavelmente expressos em termos desenvolvidos para caracterizar macrocorpos, ou seja, através dos valores das variáveis dinâmicas. Assim, os valores medidos das variáveis dinâmicas são atribuídos às micropartículas. Por exemplo, eles falam sobre o estado de um elétron no qual ele possui tal ou tal valor energético, etc.
A peculiaridade das propriedades das micropartículas se manifesta no fato de que nem todas as variáveis obtêm determinados valores durante as medições. Assim, por exemplo, um elétron (ou qualquer outra micropartícula) não pode ter simultaneamente valores exatos da coordenada x e do componente de momento. As incertezas dos valores satisfazem a relação
(- constante de Planck). De (20.1) segue-se que quanto menor for a incerteza de uma das variáveis ou maior for a incerteza da outra. É possível um estado em que uma das variáveis tem um valor exato, enquanto a outra variável acaba sendo completamente incerta (sua incerteza é igual ao infinito).
Uma relação semelhante a (20.1) vale para y e , para z e , bem como para vários outros pares de quantidades (na mecânica clássica, esses pares de quantidades são chamados canonicamente conjugados). Denotando quantidades canonicamente conjugadas pelas letras A e B, podemos escrever
(20.2)
A relação (20.2) é chamada de relação de incerteza para as quantidades A e B. Esta relação foi descoberta por W. Heisenberg em 1927.
A afirmação de que o produto das incertezas dos valores de duas variáveis conjugadas não pode ser de uma ordem de grandeza menor que a constante de Planck é chamada de princípio da incerteza de Heisenberg.
Energia e tempo são quantidades canonicamente conjugadas. Portanto, a relação de incerteza também é válida para eles:
Esta relação significa que a determinação da energia com precisão deve levar um intervalo de tempo igual, mas menor que .
A relação de incerteza foi estabelecida considerando, em particular, o exemplo seguinte. Vamos tentar determinar o valor da coordenada x de uma micropartícula voando livremente colocando em seu caminho uma fenda de largura , localizada perpendicular à direção do movimento da partícula (Fig. 20.1). Antes de a partícula passar através do intervalo, a sua componente de momento tem um valor exato igual a zero (o intervalo é por convenção perpendicular ao momento), de modo que, por outro lado, a coordenada x da partícula é completamente incerta. No momento em que a partícula passa pela fenda, a posição muda. Em vez da incerteza completa da coordenada x, surge a incerteza, mas isso é conseguido ao custo de perder a certeza do valor. Na verdade, devido à difração, há alguma probabilidade de que a partícula se mova dentro do ângulo , onde é o ângulo correspondendo ao primeiro mínimo de difração (máximos de ordens superiores podem ser desprezados, pois sua intensidade é pequena em comparação com a intensidade do máximo central). Assim, surge a incerteza:
A borda do máximo central de difração (primeiro mínimo), resultante da largura da fenda, corresponde ao ângulo para o qual
(ver fórmula (129.5) do 2º volume). Por isso,
Assim, levando em consideração (18.1), obtemos a relação
consistente com (20.1).
Às vezes, a relação de incerteza recebe a seguinte interpretação: na realidade, uma micropartícula possui valores exatos de coordenadas e momentos, mas o impacto de um dispositivo de medição que é perceptível para tal partícula não permite que esses valores sejam determinados com precisão. Esta interpretação está completamente errada. Isso contradiz os fenômenos de difração de micropartículas observados experimentalmente.
A relação de incerteza indica até que ponto os conceitos da mecânica clássica podem ser utilizados em relação às micropartículas, em particular, com que grau de precisão podemos falar sobre as trajetórias das micropartículas. O movimento ao longo de uma trajetória é caracterizado por valores bem definidos de coordenadas e velocidade em cada momento. Substituindo o produto em (20.1) em vez do produto, obtemos a relação
Vemos que quanto maior a massa da partícula, menor a incerteza em suas coordenadas e velocidade e, portanto, mais precisamente o conceito de trajetória é aplicável. Já para uma macropartícula com tamanho de apenas 1 mícron, as incertezas nos valores estão além da precisão da medição dessas grandezas, de modo que praticamente seu movimento será indistinguível do movimento ao longo de uma trajetória.
Sob certas condições, mesmo o movimento de uma micropartícula pode ser considerado aproximadamente como ocorrendo ao longo de uma trajetória. Como exemplo, considere o movimento de um elétron em um tubo de raios catódicos. Vamos estimar as incertezas da coordenada eletrônica e do momento para este caso. Deixe o traço do feixe de elétrons na tela ter um raio da ordem de , o comprimento do tubo é da ordem de 10 cm (Fig. 20.2). Então o momento do elétron está relacionado à tensão de aceleração U pela relação
Portanto, sob tensão. A energia do elétron B é igual a Vamos estimar a magnitude do momento:
Portanto, finalmente, conforme relação (20.1):
O resultado obtido indica que o movimento de um elétron em um tubo de raios catódicos é praticamente indistinguível do movimento ao longo de uma trajetória.
A relação de incerteza é um dos princípios fundamentais da mecânica quântica. Esta relação por si só é suficiente para obter uma série de resultados importantes. Em particular, permite explicar o fato de um elétron não cair sobre o núcleo de um átomo, bem como estimar o tamanho do átomo mais simples e do mínimo energia possível de um elétron em tal átomo.
Se um elétron caísse sobre um núcleo pontual, suas coordenadas e momento assumiriam certos valores (zero), o que é incompatível com o princípio da incerteza. Este princípio exige que a incerteza da coordenada do elétron e a incerteza do momento sejam relacionadas pela condição (20.1).Formalmente, a energia seria mínima em Portanto, ao estimar a energia mais baixa possível, deve-se colocar . Substituindo esses valores em (20.1), obtemos a relação
