तार्किक चिन्हांची मूल्ये. आधुनिक औपचारिक तर्कशास्त्राची चिन्हे. निहितार्थ किंवा तार्किक परिणाम

गणितात, रेकॉर्ड लहान करण्यासाठी आणि विधान अधिक अचूकपणे व्यक्त करण्यासाठी विशेष चिन्हे वापरली जातात.

गणिती चिन्हे:

उदाहरणार्थ, चिन्ह वापरून " > »संख्या अ, ब,आम्हाला प्रवेश मिळेल" अ > ब", जे वाक्याचे संक्षिप्त रूप आहे: "संख्या aअधिक संख्या b" जर - ओळींचे पदनाम, तर रेकॉर्ड हे एक विधान आहे जे समांतर आहे. विक्रम " x एम"म्हणजे xसंचाचा एक घटक आहे एम.

गणितीय प्रतीकवादासह, तार्किक प्रतीकवाद मोठ्या प्रमाणावर गणितामध्ये वापरला जातो, लागू केला जातो विधाने आणि predicates .

अंतर्गत म्हणत एक वाक्य म्हणजे फक्त खरे किंवा फक्त खोटे. उदाहरणार्थ, विधान "–३ > ०" असत्य आहे आणि विधान "२ २ = ४" सत्य आहे. आम्ही शक्यतो निर्देशांकांसह, कॅपिटल लॅटिन अक्षरांमध्ये विधाने नियुक्त करू. उदाहरणार्थ, ए= "-3 > 0», बी= "2 2 = 4".

प्रेडिकेटएक व्हेरिएबल किंवा अनेक व्हेरिएबल्स असलेले वाक्य आहे. उदाहरणार्थ, वाक्य: "संख्या xसंख्या 0 पेक्षा जास्त" (अक्षरांमध्ये x > 0) एकल व्हेरिएबल प्रेडिकेट आहे x, आणि वाक्य: "a+b=c"तीन-चर predicate आहे a, b, c.

व्हेरिएबल्सच्या विशिष्ट मूल्यांसाठी प्रिडिकेट हे खरे आणि असत्य मूल्ये घेऊन एक प्रस्ताव बनते.

आम्ही predicates फंक्शन्स म्हणून दर्शवू: प्र(x) = « x > 0» , एफ(x,b,c) = « x + b = c» .

तर्क चिन्हे: .

1. नकार एका विधानाला किंवा प्रेडिकेटला लागू होते, "नाही" या कणाशी जुळते आणि द्वारे दर्शविले जाते.

उदाहरणार्थ, सूत्र हे वाक्याचे संक्षिप्त रूप आहे: "-3 0 पेक्षा जास्त नाही" ("हे खरे नाही की -3 0 पेक्षा मोठे आहे").

2. संयोग दोन विधाने किंवा प्रेडिकेट्सवर लागू, युनियनशी सुसंगत "आणि", दर्शविलेले: A&B(किंवा ए बी).

तर सूत्र (–३ > ०) आणि (२ २ = ४) म्हणजे वाक्य “–३ > ० आणि २ २ = ४”, जे उघडपणे खोटे आहे.

3. वियोग दोन विधाने किंवा प्रेडिकेट्सना लागू होते, "किंवा" (विभक्त नसलेले) आणि दर्शविले जाते ए बी .

सूचना: "संख्या xसंच किंवा संचाचा आहे" हे सूत्राद्वारे दर्शविले जाते: .

4. तात्पर्य युनियनशी संबंधित आहे "जर ..., नंतर ..." आणि दर्शविले जाते: ए बी.

तर, प्रवेश अ > –1 अ > 0" हे वाक्याचे संक्षेप आहे "if अ >-1, मग अ > 0».

5. समतुल्यता ए बीवाक्याशी जुळते: एजर आणि फक्त तर बी».

चिन्हे म्हणतात सामान्यता आणि अस्तित्वाचे परिमाण , अनुक्रमे, predicates (आणि विधाने नाही) लागू. क्वांटिफायर "कोणताही", "प्रत्येक", "सर्व", किंवा "साठी": "कोणत्याहीसाठी", "सर्वांसाठी" इ. क्वांटिफायर वाचले आहे: "अस्तित्वात", "तेथे आहे", इ.

सामान्य परिमाणक predicate वर लागू एफ(x, …) ज्यामध्ये एक व्हेरिएबल आहे (उदाहरणार्थ, x) किंवा अनेक व्हेरिएबल्स, परिणामी सूत्र बनते

1. xF(x,…), जे वाक्याशी संबंधित आहे: "कोणत्याहीसाठी xकेले एफ(x, …)» किंवा सर्व xमालमत्ता आहे एफ(x, …)».

उदाहरणार्थ: x(x> 0) या वाक्यांशासाठी एक संक्षेप आहे: "कोणताही x 0 पेक्षा जास्त", जे चुकीचे विधान आहे.

वाक्य: a(a> 0 a> -1) खरा प्रस्ताव आहे.

2. अस्तित्व परिमाणक predicate वर लागू एफ(x,…) "अस्तित्वात आहे" या वाक्याशी संबंधित आहे x, असे की एफ(x,…)" ("तेथे आहे x, ज्यासाठी एफ(x,…)") आणि दर्शविले जाते: xF(x,…).

उदाहरणार्थ, सत्य विधान "एक वास्तविक संख्या आहे ज्याचा वर्ग 2 आहे" हे सूत्राने लिहिलेले आहे x(xR&x 2 = 2). येथे अस्तित्वात्मक परिमाण प्रेडिकेटवर लागू केले आहे: एफ(x)= (xR&x 2 = 2) (सर्व वास्तविक संख्यांचा संच द्वारे दर्शविला जातो हे लक्षात ठेवा आर).

जर एक परिमाणक एक चल असलेल्या प्रेडिकेटवर लागू केले असेल, तर त्याचा परिणाम एक प्रस्ताव आहे, सत्य किंवा असत्य. दोन किंवा अधिक व्हेरिएबल्स असलेल्या प्रेडिकेटवर क्वांटिफायर लागू केले असल्यास, त्याचा परिणाम एक कमी व्हेरिएबल असलेले प्रेडिकेट असेल. त्यामुळे, predicate तर एफ(x, y) मध्ये दोन चल असतात, नंतर predicate मध्ये xF(x, y) एक चल y(चल x"संबंधित" आहे, तुम्ही त्यासाठी मूल्ये बदलू शकत नाही x). भाकीत करणे xF(x, y) व्हेरिएबलच्या संदर्भात सामान्यता किंवा अस्तित्वाचा परिमाणक लागू करू शकतो y, नंतर परिणामी सूत्र xF(x, y) किंवा xF(x, y) एक प्रस्ताव आहे.

तर, predicate | पाप x|< a » मध्ये दोन व्हेरिएबल्स आहेत x, a. प्रेडिकेट x(|sinx|< a) एका व्हेरिएबलवर अवलंबून आहे a, तर हा अंदाज खोट्या विधानात बदलतो (|sinx|< ), येथे a= 2 आम्हाला एक सत्य विधान मिळते x(|sinx|< 2).

⊃ चा अर्थ ⇒ सारखाच असू शकतो (चिन्हाचा अर्थ सुपरसेट देखील असू शकतो).

U+21D2 ⇒

⇒ (\displaystyle\Rightarrow)
→ (\displaystyle \to )\ला
⊃ (\displaystyle \supset)
⟹ (\डिस्प्लेस्टाइल \अर्थात)\सुचवते

U+2254 (U+003A U+003D)

U+003A U+229C

:=
:

:= (\displaystyle:=):=
≡ (\displaystyle \equiv )
⇔ (\displaystyle\Leftrightarrow )

U+0028 U+0029 () () (\displaystyle (~)) () U+22A2 ⊢ ⊢ (\displaystyle \vdash)\vdash U+22A8 ⊨ ⊨ (\displaystyle\vDash)\vडॅश, AND-NOT ऑपरेटरसाठी चिन्ह.

U+22A7 ⊧ तार्किक परिणाम: आहे साठी मॉडेल.... उदाहरणार्थ, A ⊧ B म्हणजे A चा अर्थ B आहे. कोणत्याही मॉडेलमध्ये जेथे A ⊧ B, A सत्य असल्यास, B देखील सत्य आहे.

U+22A8 ⊨ सत्य: सत्य आहे.

U+22AC ⊬ आउटपुट नाही: नकारात्मक ⊢, चिन्ह अपरिवर्तनीयपणे, उदाहरणार्थ, ट ⊬ पीम्हणजे " पीमध्ये प्रमेय नाही ट»

U+22AD ⊭ असत्य: खरे नाही

U+22BC ⊼ NAND: दुसरा NAND ऑपरेटर, ∧ असे देखील लिहिले जाऊ शकते

U+22BD ⊽ NOR: XOR ऑपरेटर, V असे देखील लिहिले जाऊ शकते

U+22C4 ⋄ डायमंड: "शक्यतो," "अपरिहार्यपणे नाही," किंवा क्वचितच, "सातत्याने" साठी मॉडेल ऑपरेटर (बहुतेक मॉडेल लॉजिक्समध्ये, ऑपरेटरची व्याख्या "¬◻¬" म्हणून केली जाते)

U+22C6 ⋆ तारांकन: सहसा विशेष ऑपरेटर म्हणून वापरले जाते

U+22A5 ⊥ वरचे बटण किंवा U+2193 ↓ खाली बाण: पियर्स अॅरो , XOR चिन्ह. कधीकधी "⊥" हा विरोधाभास किंवा मूर्खपणासाठी वापरला जातो.

• U+2310 ⌐ रद्द नाही

खालील ऑपरेटर क्वचितच मानक फॉन्टद्वारे समर्थित आहेत. तुम्‍हाला ते तुमच्‍या पृष्‍ठावर वापरायचे असल्‍यास, तुम्‍ही नेहमी अचूक फॉण्‍ट एम्‍बेड केले पाहिजेत जेणेकरुन तुमच्‍या संगणकावर फॉण्ट स्‍थापित न करता ब्राउझर वर्ण प्रदर्शित करू शकेल.

पोलंड आणि जर्मनी

पोलंडमध्ये, युनिव्हर्सल क्वांटिफायर कधीकधी असे लिहिले जाते ∧ (\डिस्प्लेस्टाइल \वेज), आणि अस्तित्व क्वांटिफायर म्हणून ∨ (\displaystyle\vee). जर्मन साहित्यातही हेच दिसून येते.

प्रतीकवाद तार्किक आहे

संज्ञा, भविष्यवाणी, प्रस्ताव, तार्किक कार्ये, प्रस्तावांमधील संबंध नियुक्त करण्यासाठी तर्कशास्त्रात वापरलेली चिन्हे (प्रतीक) प्रणाली. भिन्न तार्किक प्रणाली भिन्न नोटेशन सिस्टम वापरू शकतात, म्हणून खाली आम्ही तर्कशास्त्रावरील साहित्यात वापरलेली सर्वात सामान्य चिन्हे देतो:

लॅटिन वर्णमाला प्रारंभिक अक्षरे सहसा वैयक्तिक स्थिर अभिव्यक्ती, संज्ञा दर्शविण्यासाठी वापरली जातात;

लॅटिन वर्णमालेतील कॅपिटल प्रारंभिक अक्षरे सामान्यतः विशिष्ट विधाने दर्शविण्यासाठी वापरली जातात;

लॅटिन वर्णमालेच्या शेवटी असलेली अक्षरे सहसा वैयक्तिक चल दर्शविण्यासाठी वापरली जातात;

लॅटिन वर्णमालेच्या शेवटी असलेली अप्परकेस अक्षरे सहसा प्रपोझिशनल व्हेरिएबल्स किंवा प्रोपोझिशनल व्हेरिएबल्स दर्शविण्यासाठी वापरली जातात; त्याच हेतूसाठी, लॅटिन वर्णमाला मध्यभागी लहान अक्षरे सहसा वापरली जातात: p, q, r, ...;

तार्किक प्रतीकवाद; u

नकार दर्शविणारी चिन्हे; वाचा: "नाही", "ते खरे नाही";

संयोग नियुक्त करण्यासाठी चिन्हे - एक तार्किक संयोजी आणि मुख्य चिन्हासारखे संयोजी असलेले विधान; वाच आणी";

नॉन-एक्सक्लुझिव्ह डिसजंक्शन नियुक्त करण्यासाठी एक चिन्ह - एक तार्किक संयोजी आणि मुख्य चिन्हासारखे संयोजी असलेले विधान; वाचा: "किंवा";

कठोर, किंवा अनन्य, वियोग दर्शविण्यासाठी चिन्ह; वाचा: "एकतर, किंवा";

निहितार्थ नियुक्त करण्यासाठी चिन्हे - एक तार्किक संयोजी आणि मुख्य चिन्हासारखे संयोजी असलेले विधान; वाचा: "जर, नंतर";

विधानांची समतुल्यता दर्शविणारी चिन्हे; वाचा: "जर आणि फक्त तर";

विधानांच्या संचामधून एका विधानाची दुस-या विधानाची वजावटी दर्शवणारे चिन्ह; वाचा: "व्युत्पन्न करण्यायोग्य" (जर विधान A हे रिकाम्या जागेच्या संचातून व्युत्पन्न केलेले असेल, जे "A" असे लिहिलेले असेल, तर " " हे चिन्ह वाचते: "प्रोव्हेबल");

सत्य (इंग्रजीमधून सत्य - सत्य); - खोटे (इंग्रजीमधून खोटे - खोटे);

सामान्य परिमाणक; "प्रत्येकासाठी", "प्रत्येकासाठी" वाचा;

अस्तित्व परिमाणक; वाचा: "अस्तित्वात आहे", "किमान एक आहे";

आवश्यकतेचे मॉडेल ऑपरेटर सूचित करण्यासाठी चिन्हे; वाचा: "ते आवश्यक आहे";

मॉडेल संभाव्यता ऑपरेटर सूचित करण्यासाठी चिन्हे; वाचा: "शक्यतो".

बहु-मूल्यवान, तात्पुरती, डीओन्टिक आणि तर्कशास्त्राच्या इतर प्रणालींमध्ये सूचीबद्ध केलेल्यांसह, त्यांची स्वतःची विशिष्ट चिन्हे वापरली जातात, तथापि, प्रत्येक वेळी हे किंवा त्या चिन्हाचा अर्थ काय आणि ते कसे वाचले जाते हे स्पष्ट केले जाते (पहा: तार्किक चिन्ह) .

तर्कशास्त्राचा शब्दकोश. - एम.: तुमानीत, एड. मध्य VLADOS. ए.ए. आयविन, ए.एल. निकिफोरोव. 1997 .

इतर शब्दकोशांमध्ये "तार्किक प्रतीकवाद" काय आहे ते पहा:

- (तार्किक स्थिरांक) तर्काच्या तार्किक स्वरूपाशी संबंधित अटी (पुरावा, निष्कर्ष) आणि मानवी विचार आणि निष्कर्ष, कोणत्याही क्षेत्रातील निष्कर्ष व्यक्त करण्याचे साधन आहेत. L. to. अशा शब्दांचा समावेश नाही, आणि, किंवा, आहेत ... लॉजिक अटींचा शब्दकोष

GOST R ISO 22742-2006: स्वयंचलित ओळख. बार कोडिंग. उत्पादन पॅकेजिंगवर रेखीय बारकोड आणि 2D चिन्हे- शब्दावली GOST R ISO 22742 2006: स्वयंचलित ओळख. बार कोडिंग. उत्पादन पॅकेजिंग मूळ दस्तऐवजावरील रेखीय बारकोड चिन्हे आणि द्विमितीय चिन्हे: 3.8 डेटा मॅट्रिक्स: दुरूस्तीसह द्विमितीय मॅट्रिक्स प्रतीकशास्त्र ... ...

- (विटगेनस्टाईन) लुडविग (1889 1951) ऑस्ट्रो इंग्लिश. तत्त्वज्ञ, प्रा. 1939 1947 मध्ये केंब्रिज विद्यापीठात तत्त्वज्ञान. Philos. व्ही.चे विचार ऑस्ट्रियनमधील काही घटनांच्या प्रभावाखाली तयार झाले. संस्कृती लवकर. 20 वे शतक, आणि सर्जनशीलतेचा परिणाम म्हणून ... ... फिलॉसॉफिकल एनसायक्लोपीडिया

- (ग्रीक logike̅́) तर्क करण्याच्या स्वीकार्य मार्गांचे विज्ञान. शब्द "एल." त्याच्या आधुनिक वापरामध्ये अस्पष्ट आहे, जरी प्राचीन ग्रीक शब्दाप्रमाणे अर्थपूर्ण शेड्समध्ये समृद्ध नाही. लोगो ज्यावरून तो येतो. एल या संकल्पनेतून परंपरेच्या भावनेतून... ग्रेट सोव्हिएत एनसायक्लोपीडिया

- (ग्रीक सेमीओट चिन्हातून) साइन सिस्टमचा एक सामान्य सिद्धांत जो अगदी भिन्न निसर्गाच्या चिन्ह संकुलांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करतो. अशा प्रणालींमध्ये नैसर्गिक भाषा, लिखित आणि मौखिक, विविध प्रकारच्या कृत्रिम भाषांचा समावेश होतो, ज्याची औपचारिकता ... फिलॉसॉफिकल एनसायक्लोपीडिया

या शब्दाचे इतर अर्थ आहेत, पहा गाय (अर्थ). ? देशी गाय... विकिपीडिया

कॅल्क्युलस संकल्पना- "कॅल्कुलस ऑफ कन्सेप्ट्स" ("संकल्पनांमध्ये रेकॉर्ड") जर्मन गणितज्ञ आणि तर्कशास्त्रज्ञ गॉटलॉब फ्रेगे यांचे कार्य, ज्याने गणितीय (प्रतिकात्मक) तर्कशास्त्राच्या आधुनिक स्वरूपाची सुरुवात केली. या कामाच्या संपूर्ण शीर्षकामध्ये एक संकेत समाविष्ट आहे की ... ... ज्ञानकोश आणि विज्ञानाचे तत्वज्ञान

विटगेनस्टीन (विटजेनस्टीन) लुडविग- (1889 1951) ऑस्ट्रियन तत्वज्ञानी प्रा. 1939 47 मध्ये केंब्रिज विद्यापीठात तत्त्वज्ञान. व्ही.चे तात्विक विचार ऑस्ट्रियनमधील काही विशिष्ट घटनांच्या प्रभावाखाली तयार झाले. 20 व्या शतकाच्या सुरूवातीची संस्कृती आणि नवीन यशांच्या सर्जनशील विकासाचा परिणाम म्हणून ... ... आधुनिक पाश्चात्य तत्वज्ञान. विश्वकोशीय शब्दकोश

कोड- ०१.०१.१४ कोड [कोड]: नियमांचा संच जो एका संचाच्या घटकांशी दुसर्‍या संचाच्या घटकांशी जुळतो. [ISO/IEC 2382-4, 02/04/01] स्रोत... नियमात्मक आणि तांत्रिक दस्तऐवजीकरणाच्या अटींचे शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक

- (कॉमटे) सकारात्मकतावादाचे संस्थापक बी. 19 जानेवारी 1798 रोजी मॉन्टपेलियर येथे, जेथे त्याचे वडील कर संग्राहक होते. लिसियममध्ये त्यांनी गणितात प्रावीण्य मिळवले. पॉलिटेक्निक स्कूलमध्ये प्रवेश करून, त्याने आपल्या मानसिक विकासाने प्राध्यापक आणि कॉम्रेड्सना आश्चर्यचकित केले. एटी…… एनसायक्लोपेडिक डिक्शनरी एफ.ए. Brockhaus आणि I.A. एफ्रॉन

संयोग किंवा तार्किक गुणाकार (सेट सिद्धांतामध्ये, हे एक छेदनबिंदू आहे)

संयोग ही एक जटिल तार्किक अभिव्यक्ती असते जी जर आणि फक्त दोन्ही साधी अभिव्यक्ती सत्य असेल तरच ती सत्य असते. अशी परिस्थिती केवळ एकाच प्रकरणात शक्य आहे, इतर सर्व प्रकरणांमध्ये संयोग खोटा आहे.

पदनाम: &, $\wedge$, $\cdot$.

संयोगासाठी सत्य सारणी

चित्र १.

संयोग गुणधर्म:

1. जर व्हेरिएबल व्हॅल्यूच्या काही संचावर संयोगाच्या उप-अभिव्यक्तींपैकी किमान एक असत्य असेल, तर या मूल्यांच्या संचासाठी संपूर्ण संयोग असत्य असेल.
2. जर सर्व संयोग अभिव्यक्ती व्हेरिएबल व्हॅल्यूच्या काही संचावर सत्य असतील तर संपूर्ण संयोग देखील सत्य असेल.
3. जटिल अभिव्यक्तीच्या संपूर्ण संयोगाचे मूल्य ते लागू केलेल्या उप-अभिव्यक्तीच्या क्रमावर अवलंबून नसते (गणितात, गुणाकारानुसार).

विघटन किंवा तार्किक जोड (सेट सिद्धांतामध्ये, हे एक संघ आहे)

विच्छेदन ही एक जटिल तार्किक अभिव्यक्ती आहे जी जवळजवळ नेहमीच सत्य असते, सर्व अभिव्यक्ती असत्य असल्याशिवाय.

पदनाम: +, $\vee$.

वियोगासाठी सत्य सारणी

आकृती 2.

वियोग गुणधर्म:

1. व्हेरिएबल व्हॅल्यूच्या काही संचावर किमान एक डिजंक्शन सबएक्सप्रेशन सत्य असल्यास, उप-अभिव्यक्तीच्या या संचासाठी संपूर्ण विच्छेदन सत्य असेल.
2. जर काही वियोग सूचीतील सर्व अभिव्यक्ती व्हेरिएबल व्हॅल्यूच्या काही सेटवर असत्य असतील, तर या अभिव्यक्तींचे संपूर्ण विच्छेदन देखील चुकीचे आहे.
3. संपूर्ण वियोगाचे मूल्य उप-अभिव्यक्तीच्या क्रमावर अवलंबून नाही (गणितात - जोडण्याप्रमाणे).

नकार, तार्किक नकार किंवा उलथापालथ (संच सिद्धांतानुसार, हे नकार आहे)

नकार - याचा अर्थ असा की मूळ तार्किक अभिव्यक्तीमध्ये कण किंवा चुकीचा शब्द जोडला गेला आहे, जे आणि परिणामी आपल्याला असे समजते की जर मूळ अभिव्यक्ती सत्य असेल, तर मूळचे नकार खोटे असेल आणि उलट, जर मूळ अभिव्यक्ती खोटी आहे, नंतर त्याचे नकार खरे असेल.

नोटेशन: $A$, $\bar(A)$, $¬A$ नाही.

उलथापालथ साठी सत्य सारणी

आकृती 3

नकारात्मक गुणधर्म:

$¬¬A$ चे "दुहेरी नकार" हे $A$ या प्रपोझिशनचा परिणाम आहे, म्हणजेच ते औपचारिक तर्कशास्त्रातील एक टाटोलॉजी आहे आणि बुलियन लॉजिकमधील मूल्याप्रमाणे आहे.

निहितार्थ किंवा तार्किक परिणाम

तार्किक अभिव्यक्ती ही एक जटिल तार्किक अभिव्यक्ती आहे जी सत्य असत्य दर्शवते वगळता सर्व प्रकरणांमध्ये सत्य असते. म्हणजेच, हे तार्किक ऑपरेशन दोन साध्या तार्किक अभिव्यक्तींना जोडते, ज्यापैकी पहिली स्थिती ($A$) आहे आणि दुसरी ($A$) स्थिती ($A$) चे परिणाम आहे.

नोटेशन: $\to$, $\Rightarrow$.

तात्पर्य साठी सत्य सारणी

आकृती 4

निहित गुणधर्म:

1. $A \to B = ¬A \vee B$.
2. जर $A=1$ आणि $B=0$ असेल तर $A \to B$ असत्य आहे.
3. जर $A=0$, तर अर्थ $A \to B$ हे $B$ च्या कोणत्याही मूल्यासाठी सत्य आहे, (सत्य असत्य पासून फॉलो करू शकते).

समतुल्यता किंवा तार्किक समतुल्यता

समतुल्यता ही एक जटिल तार्किक अभिव्यक्ती आहे जी $A$ आणि $B$ च्या समान मूल्यांवर सत्य आहे.

पदनाम: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.

समतुल्यतेसाठी सत्य सारणी

आकृती 5

समतुल्य गुणधर्म:

1. $A$ आणि $B$ व्हेरिएबल्सच्या समान मूल्यांच्या सेटवर समतुल्यता सत्य आहे.
2. CNF $A \equiv B = (\bar(A) \vee B) \cdot (A \cdot \bar(B))$
3. DNF $A \equiv B = \bar(A) \cdot \bar(B) \vee A \cdot B$

कठोर वियोग किंवा जोड मोड्युलो 2 (संच सिद्धांतामध्ये, हे दोन संचांचे त्यांच्या छेदनबिंदूशिवाय एकत्रीकरण आहे)

जर वितर्कांची मूल्ये समान नसतील तर कठोर वियोग सत्य आहे.

इलेक्ट्रॉनिक्ससाठी, याचा अर्थ असा आहे की सर्किट्सची अंमलबजावणी एक विशिष्ट घटक वापरून शक्य आहे (जरी हा एक महाग घटक आहे).

जटिल तार्किक अभिव्यक्तीमध्ये तार्किक ऑपरेशन्सच्या अंमलबजावणीचा क्रम

1. उलथापालथ (नकार);
2. संयोग (तार्किक गुणाकार);
3. वियोग आणि कठोर वियोग (तार्किक जोड);
4. तात्पर्य (परिणाम);
5. समतुल्यता (ओळख).

तार्किक ऑपरेशन्सच्या अंमलबजावणीचा निर्दिष्ट क्रम बदलण्यासाठी, आपण कंस वापरणे आवश्यक आहे.

सामान्य गुणधर्म

$n$ बुलियन्सच्या संचासाठी, अगदी $2^n$ वेगळी मूल्ये आहेत. $n$ व्हेरिएबल्समधील बुलियन अभिव्यक्तीसाठी सत्य सारणीमध्ये $n+1$ स्तंभ आणि $2^n$ पंक्ती असतात.

तार्किक ऑपरेशन्सचे गुणधर्म

1. नोटेशन

१.१. लॉजिकल कनेक्टिव्हसाठी नोटेशन (ऑपरेशन):

अ) नकार(उलटा, तार्किक नाही) ¬ द्वारे दर्शविले जाते (उदाहरणार्थ, ¬A);

ब) संयोग(तार्किक गुणाकार, तार्किक AND) /\ द्वारे दर्शविले जाते
(उदाहरणार्थ, A /\ B) किंवा & (उदाहरणार्थ, A & B);

c) वियोग(तार्किक जोड, तार्किक किंवा) द्वारे दर्शविले जाते /
(उदाहरणार्थ, A \/ B);

ड) खालील(अर्थात) → द्वारे दर्शविले जाते (उदाहरणार्थ, A → B);

e) ओळख≡ द्वारे दर्शविले जाते (उदाहरणार्थ, A ≡ B). A ≡ B ही अभिव्यक्ती सत्य आहे जर आणि फक्त A आणि B ची मूल्ये समान असतील (एकतर ती दोन्ही सत्य आहेत किंवा ती दोन्ही खोटी आहेत);

f) चिन्ह 1 हे सत्य (सत्य विधान) दर्शविण्यासाठी वापरले जाते; चिन्ह 0 - खोटे (खोटे विधान) दर्शविण्यासाठी.

१.२. व्हेरिएबल्स असलेल्या दोन बुलियन अभिव्यक्ती म्हणतात समतुल्य (समतुल्य) जर या अभिव्यक्तींची मूल्ये व्हेरिएबल्सच्या कोणत्याही मूल्यांसाठी समान असतील. तर, A → B आणि (¬A) \/ B समतुल्य आहेत, परंतु A /\ B आणि A \/ B नाहीत (अभिव्यक्तींचे अर्थ भिन्न आहेत, उदाहरणार्थ, जेव्हा A \u003d 1, B \ u003d 0).

१.३. तार्किक ऑपरेशन्सची प्राधान्ये:व्युत्क्रम (नकार), संयोग (तार्किक गुणाकार), वियोग (तार्किक जोड), निहितार्थ (खालील), ओळख. अशा प्रकारे, ¬A \/ B \/ C \/ D म्हणजे समान

((¬A) \/ B)\/ (C \/ D).

(A \/ B) \/ C ऐवजी A \/ B \/ C लिहिणे शक्य आहे. हेच संयोगाला लागू होते: (A / \ B) ऐवजी A / \ B / \ C लिहिणे शक्य आहे. ) / \ सी.

2. गुणधर्म

खाली दिलेली यादी सर्वसमावेशक नसून, आशेने प्रातिनिधिक आहे.

२.१. सामान्य गुणधर्म

1. च्या संचासाठी nबुलियन व्हेरिएबल्स तंतोतंत अस्तित्वात आहेत 2 nभिन्न मूल्ये. पासून बुलियन अभिव्यक्तीसाठी सत्य सारणी nव्हेरिएबल्स समाविष्ट आहेत n+1स्तंभ आणि 2 nओळी

2.2 वियोग

1. वियोग लागू केलेल्या उप-अभिव्यक्तींपैकी किमान एक व्हेरिएबल मूल्यांच्या काही संचावर सत्य असल्यास, या मूल्यांच्या संचासाठी संपूर्ण विच्छेदन सत्य असेल.
2. जर काही सूचीतील सर्व अभिव्यक्ती व्हेरिएबल व्हॅल्यूजच्या काही सेटवर सत्य असतील, तर या अभिव्यक्तींचे विघटन देखील खरे आहे.
3. जर काही सूचीतील सर्व अभिव्यक्ती काही चल मूल्यांच्या संचावर असत्य असतील, तर या अभिव्यक्तींचे विच्छेदन देखील चुकीचे आहे.
4. वियोगाचे मूल्य ते लागू केलेल्या उप-अभिव्यक्तीच्या क्रमावर अवलंबून नसते.

२.३. संयोग

1. व्हेरिएबल व्हॅल्यूजच्या काही सेटवर कंजक्शन लागू केलेल्या उप-अभिव्यक्तींपैकी किमान एक असत्य असल्यास, त्या मूल्यांच्या संचासाठी संपूर्ण संयोग असत्य असेल.
2. जर काही सूचीतील सर्व अभिव्यक्ती व्हेरिएबल व्हॅल्यूजच्या काही सेटवर सत्य असतील, तर या अभिव्यक्तींचे संयोजन देखील खरे आहे.
3. जर काही सूचीतील सर्व अभिव्यक्ती काही चल मूल्यांच्या संचावर असत्य असतील, तर या अभिव्यक्तींचे संयोजन देखील चुकीचे आहे.
4. संयोगाचा अर्थ उप-अभिव्यक्तीच्या क्रमावर अवलंबून नसतो ज्यावर ते लागू केले जाते.

२.४. साधे वियोग आणि संयोग

आम्ही (सोयीसाठी) संयोग म्हणतो सोपेजर उप-अभिव्यक्ती ज्यांना संयोग लागू केला जातो ते वेगळे चल किंवा त्यांचे नकार आहेत. त्याचप्रमाणे वियोग म्हणतात सोपेजर उप-अभिव्यक्ती ज्यांना विच्छेदन लागू केले आहे ते वेगळे चल किंवा त्यांचे नकार आहेत.

1. एक साधा संयोग व्हेरिएबल व्हॅल्यूजच्या अगदी एका सेटवर 1 (सत्य) चे मूल्यांकन करते.
2. व्हेरिएबल व्हॅल्यूजच्या अगदी एका सेटवर एक साधे विघटन 0 (असत्य) चे मूल्यांकन करते.

2.5. तात्पर्य

1. तात्पर्य ए →बीवियोग समान आहे (¬ अ) \/ बी.हे विघटन असे देखील लिहिले जाऊ शकते: A\/B.
2. तात्पर्य ए →बीजर 0 (असत्य) मूल्य घेते A=1आणि B=0.जर ए A=0,नंतर मथितार्थ ए →बीकोणत्याही मूल्यासाठी सत्य b