공간 도형의 부피를 계산하는 능력은 기하학의 여러 실제 문제를 해결하는 데 중요합니다. 가장 일반적인 모양 중 하나는 피라미드입니다. 이 기사에서는 전체 피라미드와 잘린 피라미드를 모두 고려할 것입니다.
누구나 이집트 피라미드에 대해 알고 있으므로 어떤 인물이 논의 될지 잘 알고 있습니다. 그럼에도 불구하고 이집트의 석조 구조물은 거대한 피라미드 부류의 특별한 경우일 뿐입니다.
에서 기하학적 개체로 간주됨 일반적인 경우다각형 밑면의 각 꼭짓점은 밑면의 평면에 속하지 않는 공간의 어떤 점에 연결됩니다. 이 정의하나의 n-gon과 n개의 삼각형으로 구성된 그림으로 이어집니다.
모든 피라미드는 n+1개의 면, 2*n개의 모서리 및 n+1개의 꼭짓점으로 구성됩니다. 고려 중인 그림은 완전한 다면체이므로 표시된 요소의 수는 오일러 방정식을 따릅니다.
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
바닥에 위치한 다각형은 피라미드의 이름을 제공합니다(예: 삼각형, 오각형 등). 다른 기반을 가진 피라미드 세트가 아래 사진에 나와 있습니다.
그림의 n개의 삼각형이 연결된 점을 피라미드의 꼭대기라고 합니다. 수직선이 바닥에서 밑면까지 내려와 교차하는 경우 기하학적 중심, 그런 그림을 직선이라고합니다. 이 조건이 충족되지 않으면 경사 피라미드가 있습니다.
밑변이 정방형 (등각형) n-gon에 의해 형성되는 직선형을 정형이라고합니다.
피라미드의 부피를 계산하기 위해 적분 미적분을 사용합니다. 이를 위해 밑면에 평행한 할선 평면으로 그림을 무한한 수의 얇은 층으로 나눕니다. 아래 그림은 높이가 h이고 한 변의 길이가 L인 사각뿔로 얇은 단면층이 사각형으로 표시되어 있습니다.
이러한 각 레이어의 면적은 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
여기서 A 0은 밑면의 면적이고, z는 수직 좌표의 값입니다. z = 0이면 공식은 값 A 0 을 제공한다는 것을 알 수 있습니다.
피라미드의 부피에 대한 공식을 얻으려면 그림의 전체 높이에 대해 적분을 계산해야 합니다. 즉,
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
종속성 A(z)를 대입하고 역도함수를 계산하면 다음 식에 도달합니다.
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.
피라미드의 부피 공식을 얻었습니다. V 값을 찾으려면 그림의 높이에 밑면의 면적을 곱한 다음 결과를 3으로 나누면 충분합니다.
결과 표현식은 임의 유형의 피라미드 부피를 계산하는 데 유효합니다. 즉, 기울어질 수 있고, 그 밑변은 임의의 n-곤일 수 있습니다.
위의 단락에서 얻은 부피에 대한 일반 공식은 다음과 같은 피라미드의 경우 정제될 수 있습니다. 올바른 기초. 이러한 밑면의 면적은 다음 공식으로 계산됩니다.
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
여기서 L은 n개의 꼭짓점이 있는 정다각형의 한 변의 길이입니다. 기호 파이는 숫자 파이입니다.
A 0 에 대한 식을 일반 공식에 대입하면 부피를 얻습니다. 올바른 피라미드:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
예를 들어, 삼각형 피라미드의 경우 이 공식은 다음 표현식으로 이어집니다.
V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.
정사각뿔의 경우 부피 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45o) \u003d 1/3 * L 2 * h.
일반 피라미드의 부피를 결정하려면 밑변의 측면과 그림의 높이를 알아야 합니다.
임의의 피라미드를 가져와 꼭짓점을 포함하는 측면 표면의 일부를 잘라냈다고 가정합니다. 나머지 그림을 잘린 피라미드라고 합니다. 그것은 이미 두 개의 n-각형 밑면과 이들을 연결하는 n개의 사다리꼴로 구성됩니다. 절단면이 그림의 밑면과 평행한 경우 평행한 유사한 밑면으로 잘린 피라미드가 형성됩니다. 즉, 한 변의 길이는 다른 변의 길이에 어떤 계수 k를 곱하여 얻을 수 있습니다.
위의 그림은 잘린 정육각형으로, 위 밑변이 아래 그림과 같이 정육각형으로 이루어져 있음을 알 수 있습니다.
위와 유사한 적분 미적분을 사용하여 도출할 수 있는 공식은 다음과 같습니다.
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
여기서 A 0 및 A 1은 각각 하부(대) 및 상부(작은) 베이스의 면적입니다. 변수 h는 잘린 피라미드의 높이를 나타냅니다.
가장 큰 이집트 피라미드가 포함하는 부피를 결정하는 문제를 해결하는 것이 궁금합니다.
1984년 영국 이집트 학자 Mark Lehner와 Jon Goodman은 Cheops 피라미드의 정확한 치수를 설정했습니다. 원래 높이는 146.50미터(현재 약 137미터)였습니다. 평균 길이구조의 4면 각각은 230.363미터였습니다. 피라미드의 바닥은 높은 정밀도로 정사각형입니다.
주어진 수치를 사용하여 이 돌 거인의 부피를 결정합시다. 피라미드는 정사각형이므로 공식이 유효합니다.
숫자를 대입하면 다음을 얻습니다.
V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444m 3.
Cheops 피라미드의 부피는 거의 260만 m3입니다. 비교를 위해 올림픽 수영장의 부피는 2.5천 m3입니다. 즉, Cheops 피라미드 전체를 채우려면 1000개 이상의 이러한 풀이 필요합니다!
피라미드면 중 하나가 다각형( 베이스 ), 다른 모든 면은 공통 정점( 측면 ) (그림 15). 피라미드라고 합니다 옳은 , 밑면이 정다각형이고 피라미드의 상단이 밑면의 중심으로 투영된 경우(그림 16). 모든 모서리가 동일한 삼각형 피라미드라고합니다. 사면체 .
사이드 리브피라미드는 밑면에 속하지 않는 측면의 측면이라고합니다. 키 피라미드는 꼭대기에서 밑면까지의 거리입니다. 정각 피라미드의 모든 측면 모서리는 서로 같고 모든 측면은 동일한 이등변 삼각형입니다. 꼭짓점에서 그린 정각뿔의 측면 높이를 아테마 . 대각선 섹션 피라미드의 한 단면을 같은 면에 속하지 않는 두 변을 지나는 평면이라고 합니다.
측면 면적피라미드는 모든 측면의 면적의 합이라고 합니다. 전체 표면적 모든 측면과 밑면의 면적의 합입니다.
정리
1. 피라미드에서 모든 측면 모서리가 밑면에 대해 동일하게 기울어지면 피라미드의 상단이 밑변 근처의 외접 원의 중심으로 투영됩니다.
2. 피라미드에서 모든 측면 모서리의 길이가 같으면 피라미드의 상단이 밑변 근처의 외접 원의 중심으로 투영됩니다.
3. 피라미드에서 모든면이 밑면에 대해 똑같이 기울어지면 피라미드의 상단이 밑면에 내접한 원의 중심으로 투영됩니다.
임의의 피라미드의 부피를 계산하려면 공식이 정확합니다.
어디 V- 용량;
에스메인- 기본 지역;
시간피라미드의 높이입니다.
일반 피라미드의 경우 다음 공식이 참입니다.
어디 피-베이스의 둘레;
하아- 격언;
시간- 키;
에스 풀
S면
에스메인- 기본 지역;
V정피라미드의 부피이다.
잘린 피라미드피라미드의 밑면과 평행한 절단면과 밑면 사이에 둘러싸인 피라미드 부분이라고 합니다(그림 17). 잘린 피라미드 수정 피라미드의 밑면과 평행한 절단면과 밑면 사이에 둘러싸인 일반 피라미드의 일부라고 합니다.
기초잘린 피라미드 - 유사한 다각형. 측면 - 사다리꼴. 키 잘린 피라미드는 밑면 사이의 거리라고합니다. 대각선 잘린 피라미드는 같은 면에 있지 않은 정점을 연결하는 세그먼트입니다. 대각선 섹션 잘린 피라미드의 단면을 같은 면에 속하지 않는 두 개의 측면 모서리를 통과하는 평면이라고 합니다.
잘린 피라미드의 경우 공식이 유효합니다.
(4)
어디 에스 1 , 에스 2 - 상부 및 하부 기초 영역;
에스 풀총 표면적입니다.
S면측면 표면적입니다.
시간- 키;
V잘린 피라미드의 부피입니다.
일반 잘린 피라미드의 경우 다음 공식이 참입니다.
어디 피 1 , 피 2 - 기본 둘레;
하아- 일반 잘린 피라미드의 격언.
실시예 1오른쪽에서 삼각뿔밑면의 이면각은 60º입니다. 밑면에 대한 측면 모서리의 경사각의 접선을 찾으십시오.
해결책.그림을 만들어 봅시다 (그림 18).
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피라미드는 규칙적입니다. 즉, 밑변이 정삼각형이고 모든 측면이 동일한 이등변 삼각형입니다. 밑면의 2면각은 피라미드의 측면이 밑면에 대한 경사각입니다. 선형 각도는 각도가 됩니다 ㅏ두 수직선 사이: 즉 피라미드의 꼭대기는 삼각형의 중심(외접원의 중심과 삼각형의 내접원의 중심)에 투영됩니다. 알파벳). 측면 리브의 경사각(예: SB)는 모서리 자체와 기준면에 대한 투영 사이의 각도입니다. 리브용 SB이 각도는 각도가 될 것입니다 SBD. 접선을 찾으려면 다리를 알아야 합니다. 그래서그리고 산부인과. 세그먼트의 길이를 보자 BD 3이다 ㅏ. 점 영형선분 BD부분으로 나누어져 있습니다: 그리고 우리가 찾는 것에서 그래서: 
우리는 다음을 찾습니다. 
대답:
실시예 2밑변의 대각선이 cm와 cm이고 높이가 4cm이면 잘린 사각형 피라미드의 부피를 구하십시오.
해결책.잘린 피라미드의 부피를 찾기 위해 공식 (4)를 사용합니다. 밑변의 면적을 찾으려면 밑변의 대각선을 알고 밑변을 찾아야 합니다. 밑변의 길이는 각각 2cm와 8cm로 밑변의 면적을 의미하며 모든 데이터를 공식에 대입하면 잘린 피라미드의 부피를 계산합니다.
대답: 112cm3.
실시예 3밑변이 10cm와 4cm이고 피라미드의 높이가 2cm인 정삼각형 잘린 피라미드의 측면 면적을 찾으십시오.
해결책.그림을 만들어 봅시다(그림 19).
이 피라미드의 측면은 이등변 사다리꼴입니다. 사다리꼴의 면적을 계산하려면 밑변과 높이를 알아야 합니다. 밑면은 조건에 따라 주어지며 높이만 알 수 없습니다. 어디서 찾아봐 하지만 1 이자형점에서 수직 하지만 1 하부 베이스의 평면에서, ㅏ 1 디- 수직 하지만 1에 교류. 하지만 1 이자형\u003d 2cm, 이것은 피라미드의 높이이기 때문입니다. 찾기 위해 드우리는 평면도를 묘사 할 추가 도면을 만들 것입니다 (그림 20). 점 영형- 상부 및 하부 베이스의 중심 투영. 이후(그림 20 참조) 다른 한편으로는 확인는 내접원의 반지름이고 
옴내접원의 반지름:
MK=DE.
의 피타고라스 정리에 따르면
측면 영역: 
대답:
실시예 4피라미드의 바닥에는 이등변 사다리꼴이 있으며, 그 밑변은 ㅏ그리고 비 (ㅏ> 비). 각 측면은 피라미드 밑면의 평면과 동일한 각도를 형성합니다. 제이. 피라미드의 전체 표면적을 찾으십시오.
해결책.그림을 만들어 봅시다 (그림 21). 피라미드의 총 표면적 SABCD사다리꼴의 면적과 면적의 합과 같습니다. ABCD.
피라미드의 모든면이 밑면에 대해 똑같이 기울어지면 꼭짓점이 밑면에 내접한 원의 중심으로 투영된다는 진술을 사용합니다. 점 영형- 정점 투영 에스피라미드 바닥에. 삼각형 잔디삼각형의 직교 투영입니다 CSD기본 평면에. 평평한 그림의 직교 투영 영역에 대한 정리에 따르면 다음을 얻습니다.
마찬가지로, 그것은 
따라서 문제는 사다리꼴의 면적을 찾는 것으로 축소되었습니다. ABCD. 사다리꼴 그리기 ABCD별도로 (그림 22). 점 영형사다리꼴에 내접한 원의 중심입니다.
원이 사다리꼴에 내접될 수 있기 때문에 또는 피타고라스 정리에 의해 우리는
그림의 프리앰프는 마이크, CD 플레이어, 라디오 녹음기 등 4가지 음원과 함께 사용하도록 설계되었습니다. 동시에 프리앰프에는 50mV에서 50mV까지 감도를 변경할 수 있는 입력이 하나 500mV. 증폭기의 출력 전압은 1000mV입니다. 스위치 SA1을 전환할 때 다른 신호 소스를 연결하면 항상 ...
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