В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение.
Математические символы:
Например, применяя символ «> » к числам a, b, получим запись «a > b », которая является сокращением для предложения: «число a больше числа b ». Если – обозначения прямых, то запись есть утверждение, что параллельна . Запись «x M » означает, что x является элементом множества M .
Наряду с математической символикой в математике широко используется логическая символика, применяемая к высказываниям и предикатам .
Под высказыванием понимается предложение, которое либо только истинно, либо только ложно. Например, высказывание «–3 > 0» ложно, а высказывание «2 2 = 4» истинное. Будем высказывания обозначать большими латинскими буквами, возможно с индексами. Например, A = «–3 > 0», B = «2 2 = 4».
Предикат – это предложение с одной переменной или несколькими переменными. Например, предложение: «число x больше числа 0» (в символах x > 0) является предикатом от одной переменной x , а предложение: «a + b = c» – предикат от трех переменных a, b, c .
Предикат при конкретных значениях переменных становится высказыванием, принимая истинное и ложное значение.
Будем обозначать предикаты как функции: Q (x ) = «x > 0», F (x,b,c ) = «x + b = c ».
Логические символы:
.
1. Отрицание применяется к одному высказыванию или предикату, соответствует частице «не» и обозначается .
Например, формула есть сокращение для предложения: «–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).
2. Конъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается: А & B (или A B ).
Так формула (–3 > 0) & (2 2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2 2 = 4», которое, очевидно, ложно.
3. Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается A B .
Предложение: «число x
принадлежит множеству или множеству » изображается формулой: 
.
4. Импликация соответствует союзу «если …, то …» и обозначается: A B .
Так, запись «a > –1 a > 0» есть сокращение для предложения «если a > –1, то a > 0».
5. Эквиваленция A B соответствует предложению: «A тогда и только тогда, когда B ».
Символы называются кванторами общности и существования , соответственно применяются к предикатам (а не к высказываниям). Квантор читается, как «любой», «каждый», «все», или с предлогом «для»: «для любого», «для всех» и т.д. Квантор читается: «существует», «найдется» и др.
Квантор общности применяется к предикату F (x, … ), содержащему одну переменную (например, x ) или несколько переменных, при этом получается формула
1. xF (x,… ), которая соответствует предложению: «для любого x выполняется F (x, … )» или «все x обладают свойством F (x, … )».
Например: x
(x
> 0) есть сокращение для фразы: «любое x
больше 0», которая является ложным высказыванием.
2. Квантор существования , примененный к предикату F (x,… ) соответствует предложению «существует x , такой, что F (x,… )» («найдется x , для которого F (x,… )») и обозначается: xF (x,… ).
Например, истинное высказывание «существует действительное число, квадрат которого равен 2» записывается формулой x (x R & x 2 = 2). Здесь квантор существования применен к предикату: F (x )= (x R & x 2 = 2) (напомним, что множество всех действительных чисел обозначается через R ).
Если квантор применяется к предикату с одной переменной, то получается высказывание, истинное или ложное. Если квантор применяется к предикату с двумя или большим числом переменных, то получается предикат, в котором переменных на одну меньше. Так, если предикат F (x, y ) содержит две переменные, то в предикате xF (x, y ) одна переменная y (переменная x является «связанной», вместо нее нельзя подставлять значения x ). К предикату xF (x, y ) можно применить квантор общности или существования по переменной y , тогда полученная формула xF (x, y ) или xF (x, y ) является высказыванием.
Так, предикат «| sinx| < a » содержит две переменные x, a . Предикат x (|sinx| < a ) зависит от одной переменной a , при этот предикат обращается в ложное высказывание (|sinx| < ), при а = 2 получаем истинное высказывание x (|sinx| < 2).
⊃ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также обозначать надмножество).
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
→
{\displaystyle \to }
\to
⊃
{\displaystyle \supset }
⟹
{\displaystyle \implies }
\implies
U+003A U+229C
:=
{\displaystyle:=}
:=
≡
{\displaystyle \equiv }
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
Следующие операторы редко поддерживаются стандартными фонтами. Если вы хотите использовать их на своей странице, вам следует всегда встраивать нужные фонты, чтобы браузер мог отражать символы без необходимости устанавливать фонты на компьютер.
В Польше квантор всеобщности иногда записывается как ∧ {\displaystyle \wedge } , а квантор существования как ∨ {\displaystyle \vee } . То же самое наблюдается в немецкой литературе.
Символика логическая
система знаков (символов), используемая в логике для обозначения термов, предикатов, выска-зываний, логических функций, отношений между высказываниями. В разных логических системах могут использоваться различные системы обозначений, поэтому ниже мы приводим лишь наиболее употребительные символы из числа используемых в литературе по логике:
Начальные буквы латинского алфавита, обычно используются для обозначения индивидуальных константных выражений, термов;
Прописные начальные буквы латинского алфавита, обычно используются для обозначения конкретных высказываний;
Буквы, стоящие в конце латинского алфавита, обычно используются для обозначения индивидных переменных;
Прописные буквы, стоящие в конце латинского алфавита, обычно используются для обозначения переменных высказываний или пропозициональных переменных; для той же цели часто используют маленькие буквы середины латинского алфавита: р, q, r, ...;
символика логическая; u
Знаки, служащие для обозначения отрицания; читаются: "не", "неверно что";
Знаки для обозначения конъюнкции - логической связки и высказывания, содержащего такую связку в качестве главного знака; читаются: "и";
Знак для обозначения неисключающей дизъюнкции - логической связки и высказывания, содержащего такую связку в качестве главного знака; читается: "или";
Знак для обозначения строгой, или исключающей, дизъюнкции; читается: "либо, либо";
Знаки для обозначения импликации - логической связки и высказывания, содержащего такую связку в качестве главного знака; читаются: "если, то";
Знаки для обозначения эквивалентности высказываний; читаются: "если и только если";
Знак, обозначающий выводимость одного высказывания из другого, из множества высказываний; читается: "выводимо" (если высказывание А выводимо из пустого множества посылок, что записывается как " A", то знак " " читается: "доказуемо");
Истина (от англ. true - истина); - ложь (от англ. false - ложь);
Квантор общности; читается "для всякого", "всем";
Квантор существования; читается: "существует", "имеется по крайней мере один";
Знаки для обозначения модального оператора необходимости; читаются: "необходимо, что";
Знаки для обозначения модального оператора возможности; читаются: "возможно, что".
Наряду с перечисленными в многозначных, временных, деонтических и других системах логики используются свои специфические символы, однако каждый раз разъясняется, что именно тот или иной символ обозначает и как он читается (см.: Знак логический).
Словарь по логике. - М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС . А.А.Ивин, А.Л.Никифоров . 1997 .
- (Логические постоянные) термины, относящиеся к логической форме рассуждения (доказательства, вывода) и являющиеся средством передачи человеческих мыслей и выводов, заключений в любой области. К Л. к. относятся такие слова, как не, и, или, есть … Словарь терминов логики
ГОСТ Р ИСО 22742-2006: Автоматическая идентификация. Кодирование штриховое. Символы линейного штрихового кода и двумерные символы на упаковке продукции - Терминология ГОСТ Р ИСО 22742 2006: Автоматическая идентификация. Кодирование штриховое. Символы линейного штрихового кода и двумерные символы на упаковке продукции оригинал документа: 3.8 Data Matrix: Двумерная матричная символика с коррекцией… …
- (Wittgenstein) Людвиг (1889 1951) австро англ. философ, Проф. философии в Кембриджском ун те в 1939 1947. Филос. взгляды В. сформировались как под воздействием определенных явлений в австр. культуре нач. 20 в., так и в результате творческого… … Философская энциклопедия
- (греч. logike̅́) наука о приемлемых способах рассуждения. Слово «Л.» в его современном употреблении многозначно, хотя и не столь богато смысловыми оттенками, как древнегреч. lógos, от которого оно происходит. В духе традиции с понятием Л … Большая советская энциклопедия
- (от греч. semeiot знак) общая теория знаковых систем, изучающая свойства знаковых комплексов самой различной природы. К таким системам относятся естественные языки, письменные и устные, разнообразные искусственные языки, начиная с формализованных … Философская энциклопедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Корова (значения). ? Домашняя корова … Википедия
Исчисление понятий - «ИСЧИСЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ» («Запись в понятиях») сочинение немецкого математика и логика Готтлоба Фреге, положившее начало современной форме математической (символической) логики. Полное название этого сочинения включало указание на то, что в… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
ВИТГЕНШТЕЙН (WITTGENSTEIN) Людвиг - (1889 1951) австр. философ. Проф. философии в Кембриджском ун те в 1939 47 . Философские взгляды В. сформировались как под воздействием определенных явлений в австр. культуре начала XX в., так и в результате творческого освоения новых достижений… … Современная западная философия. Энциклопедический словарь
код - 01.01.14 код [ code]: Совокупность правил, с помощью которых устанавливается соответствие элементов одного набора элементам другого набора. [ИСО/МЭК 2382 4, 04.02.01] Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
- (Comte) основатель позитивизма, род. 19 го января 1798 г. в Монпелье, где отец его был сборщиком податей. В лицее особенно успевал в математике. Поступив в политехническую школу, он удивлял профессоров и товарищей своим умственным развитием. В… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Конъюнкция или логическое умножение (в теории множеств – это пересечение)
Конъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными. Такая ситуация возможно лишь в единственном случае, во всех остальных случаях конъюнкция ложна.
Обозначение: &, $\wedge$, $\cdot$.
Таблица истинности для конъюнкции
Рисунок 1.
Свойства конъюнкции:
Дизъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно практически всегда, за исключением, когда все выражения ложны.
Обозначение: +, $\vee$.
Таблица истинности для дизъюнкции
Рисунок 2.
Свойства дизъюнкции:
Отрицание - означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО и в итоге получаем, что если исходное выражение истинно, то отрицание исходного – будет ложно и наоборот, если исходное выражение ложно, то его отрицание будет истинно.
Обозначения: не $A$, $\bar{A}$, $¬A$.
Таблица истинности для инверсии
Рисунок 3.
Свойства отрицания:
«Двойное отрицание» $¬¬A$ является следствием суждения $A$, то есть имеет место тавтология в формальной логике и равно самому значению в булевой логике.
Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть, данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием ($A$), а второе ($A$) является следствием условия ($A$).
Обозначения: $\to$, $\Rightarrow$.
Таблица истинности для импликации
Рисунок 4.
Свойства импликации:
Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое истинно на равных значениях переменных $A$ и $B$.
Обозначения: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.
Таблица истинности для эквивалентности
Рисунок 5.
Свойства эквивалентности:
Строгая дизъюнкция истинна, если значения аргументов не равны.
Для электроники это означает, что реализация схем возможна с использованием одного типового элемента (правда это дорогостоящий элемент).
Для того чтобы изменить указанный порядок выполнения логических операций, необходимо использовать скобки.
Для набора из $n$ логических переменных существует ровно $2^n$ различных значений. Таблица истинности для логического выражения от $n$ переменных содержит $n+1$ столбец и $2^n$ строк.
1.1. Обозначения для логических связок (операций):
a) отрицание (инверсия, логическое НЕ) обозначается ¬ (например, ¬А);
b) конъюнкция
(логическое умножение, логическое И) обозначается /\
(например, А /\ В) либо & (например, А & В);
c) дизъюнкция
(логическое сложение, логическое ИЛИ) обозначается \/
(например, А \/ В);
d) следование (импликация) обозначается → (например, А → В);
e) тождество обозначается ≡ (например, A ≡ B). Выражение A ≡ B истинно тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают (либо они оба истинны, либо они оба ложны);
f) символ 1 используется для обозначения истины (истинного высказывания); символ 0 – для обозначения лжи (ложного высказывания).
1.2. Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А → В и (¬А) \/ В равносильны, а А /\ В и А \/ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).
1.3. Приоритеты логических операций: инверсия (отрицание), конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение), импликация (следование), тождество. Таким образом, ¬А \/ В \/ С \/ D означает то же, что и
((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).
Возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С. То же относится и к конъюнкции: возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С.
Приведенный ниже список НЕ претендует на полноту, но, надеемся, достаточно представителен.
2.1. Общие свойства
2.2.Дизъюнкция
2.3. Конъюнкция
2.4. Простые дизъюнкции и конъюнкции
Назовем (для удобства) конъюнкцию простой , если подвыражения, к которым применяется конъюнкция, – различные переменные или их отрицания. Аналогично, дизъюнкция называется простой , если подвыражения, к которым применяется дизъюнкция, – различные переменные или их отрицания.
2.5. Импликация
