Рассмотрим задачу. Основание прямоугольника больше высоты на 10 см., а его площадь равна 24 см². Найти высоту прямоугольника. Пусть х сантиметров — высота прямоугольника, тогда его основание равно (х +10) см. Площадь этого прямоугольника равна х (х + 10) см². По условию задачи х (х + 10) = 24. Раскрывая скобки и перенося число 24 с противоположным знаком в левую часть уравнения, получаем: х ² + 10х -24 = 0. При решении этой задачи было получено уравнение, которое называют квадратным.
Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax ²+bx +c= 0
где a, b, c — заданные числа, причем а ≠ 0, а х — неизвестное.
Коэффициенты a, b, c квадратного уравнения обычно называют так: a — первым или старшим коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом. Например в нашей задаче старший коэффициент равен 1, второй коэффициент 10, свободный член -24. Решение многих задач математики и физики сводится к решению квадратных уравнений.
Полные квадратные уравнения. Первым делом надо заданное уравнение привести к стандартному виду ax ²+ bx + c = 0. Вернемся к нашей задаче, в которой уравнение может быть записано как х (х + 10) = 24 приведем его к стандартному виду, раскроем скобки х ² + 10х — 24 = 0, решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения общего вида.
Выражение под знаком корня в этой формуле называется дискриминант D = b ² — 4ac
Если D>0, то квадратное уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле корней квадратного уравнения.
Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень.
Если D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.
Подставим значения в нашу формулу а = 1, b = 10, c = -24.
получаем D>0, следовательно у нас получится два корня.
Рассмотрим пример где D=0, при этом условии должен получится один корень.
25x ² — 30x + 9 = 0
Рассмотрим пример где D<0, при этом условии решения не должно быть.
2x ² + 3x + 4 = 0
Число, стоящее под знаком корня (дискриминант) отрицательное, ответ запишем так: уравнение не имеет действительных корней.
Квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Неполное квадратное уравнение, есть уравнение одного из следующих видов:
ax ² = 0,
ax ² + c = 0, c ≠ 0,
ax ² + bx = 0, b ≠ 0.
Рассмотрим несколько примеров, решим уравнение
Разделив обе части уравнения на 5, получим уравнение х ² = 0, в ответе будет один корень х = 0.
Рассмотрим уравнение вида
3х ² — 27 = 0
Разделив обе части на 3, получим уравнение х ² — 9 = 0, или его можно записать х ² = 9, в ответе будет два корня х = 3 и х = -3.
Рассмотрим уравнение вида
2х ² + 7 = 0
Разделив обе части на 2, получим уравнение х ² = -7/2. Это уравнение действительных корней не имеет, так как х ² ≥ 0 для любого действительного числа х .
Рассмотрим уравнение вида
3х ² + 5х = 0
Разложив левую часть уравнения на множители, получим х (3х + 5) = 0, в ответе будет два корня х = 0, х =-5/3.
Самое главное при решении квадратных уравнений, привести квадратное уравнение к стандартному виду, выучить наизусть формулу корней квадратного уравнения общего вида и не запутаться в знаках.
Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0 ,где x - переменная, a,b,c – константы; a<>0 . Задача состоит в отыскании корней уравнения.
Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения - это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х)
. Из этого следует, что есть три возможных случая:
1)
парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).
2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох . Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).
3) Последний случай на практике интересный больше - существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.
На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.
1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный - ветки параболы направлены вниз.
2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение - то в правой.
Перенесем константу с квадратного уравнения 
за знак равенства, получим выражение
Умножим обе части на 4а
Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование
Отсюда находим
Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формуле
При нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0
При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле
Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение вида
то сумма его корней равна коэффициенту p
, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q
. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а
отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.
Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.
Задача 1. Найти корни квадратного уравнения
x^2-26x+120=0 .
Решение:
Запишем коэффициенты и подставим в формулу дискриминанта
Корень из данного значения равен 14
, его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах.
Найденное значение подставляем в формулу корней
и получаем
Задача 2. Решить уравнение
2x 2 +x-3=0.
Решение:
Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминант
По известным формулам находим корни квадратного уравнения
Задача 3. Решить уравнение
9x 2 -12x+4=0.
Решение:
Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминант
Получили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле
Задача 4. Решить уравнение
x^2+x-6=0 .
Решение:
В случаях когда есть малые коэффициенты при х
целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения
С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6
. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}
. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны
Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см 2 .
Решение:
Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х
– большую сторону, тогда 18-x
меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х 2 -18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения
Вычисляем корни уравнения
Если х=11
,
то 18-х=7
,
наоборот тоже справедливо (если х=7
, то 21-х=9
).
Задача 6. Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0 уравнения на множители.
Решение:
Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант
Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем
Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями
Раскрыв скобки получим тождество.
Пример 1. При каких значениях параметра а , уравнение (а-3)х 2 +(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?
Решение:
Прямой подстановкой значения а=3
видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2
. Выпишем дискриминант
упростим его и приравняем к нулю
Получили квадратное уравнение относительно параметра а
, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7
, а их произведение 12
. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4
будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3
мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет - а=4
.
Таким образом, при а=4
уравнение имеет один корень.
Пример 2. При каких значениях параметра а , уравнение а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?
Решение:
Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0
и а=-3
. При а=0
уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2
и будет один корень. При а= -3
получим тождество 0=0
.
Вычислим дискриминант
и найдем значения а
при котором оно положительно
С первого условия получим а>3
. Для второго находим дискриминант и корни уравнения
Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0
получим 3>0
.
Итак, за пределами промежутка (-3;1/3)
функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0
,
которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи
Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.
», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.
Важно!
Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.
Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2 », значит, перед вами квадратное уравнение.
| 1 |
| 3 |
Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:
A x 2 + b x + c = 0
«a », «b » и «c » — заданные числа.Чтобы найти «a », «b » и «c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax 2 + bx + c = 0 ».
Давайте потренируемся определять коэффициенты «a », «b » и «c » в квадратных уравнениях.
| Уравнение | Коэффициенты | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней .
Запомните!
Чтобы решить квадратное уравнение нужно:
Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.
X 2 − 3x − 4 = 0
Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения .
Определим коэффициенты «a », «b » и «c » для этого уравнения.
С её помощью решается любое квадратное уравнение.
В формуле «x 1;2 =
» часто заменяют подкоренное выражение
«b 2 − 4ac
» на букву «D
» и называют
дискриминантом
. Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке
«Что такое дискриминант ».
Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.
x 2 + 9 + x = 7x
В данном виде определить коэффициенты «a », «b » и «c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ».
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Теперь можно использовать формулу для корней.
X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.
Эта тема поначалу может показаться сложной из-за множества не самых простых формул. Мало того что сами квадратные уравнения имеют длинные записи, еще и корни находятся через дискриминант. Всего получается три новые формулы. Не очень просто запомнить. Это удается только после частого решения таких уравнений. Тогда все формулы будут вспоминаться сами собой.
Здесь предложена их явная запись, когда самая большая степень записана первой, и дальше - по убыванию. Часто бывают ситуации, когда слагаемые стоят вразнобой. Тогда лучше переписать уравнение в порядке убывания степени у переменной.
Введем обозначения. Они представлены в таблице ниже.
Если принять эти обозначения, все квадратные уравнения сводятся к следующей записи.
Причем коэффициент а ≠ 0. Пусть эта формула будет обозначена номером один.
Когда уравнение задано, то непонятно, сколько корней будет в ответе. Потому что всегда возможен один из трех вариантов:
И пока решение не доведено до конца, сложно понять, какой из вариантов выпадет в конкретном случае.
В задачах могут встречаться их разные записи. Не всегда они будут выглядеть как общая формула квадратного уравнения. Иногда в ней будет не хватать некоторых слагаемых. То что было записано выше — это полное уравнение. Если в нем убрать второе или третье слагаемое, то получится нечто другое. Эти записи тоже называются квадратными уравнениями, только неполными.
Причем исчезнуть могут только слагаемые у которых коэффициенты «в» и «с». Число «а» не может быть равно нулю ни при каких условиях. Потому что в этом случае формула превращается в линейное уравнение. Формулы для неполного вида уравнений будут такими:
Итак, видов всего два, кроме полных, есть еще и неполные квадратные уравнения. Пусть первая формула будет иметь номер два, а вторая — три.
Это число нужно знать для того, чтобы вычислить корни уравнения. Оно может быть посчитано всегда, какой бы ни была формула квадратного уравнения. Для того чтобы вычислить дискриминант, нужно воспользоваться равенством, записанным ниже, которое будет иметь номер четыре.
После подстановки в эту формулу значений коэффициентов, можно получить числа с разными знаками. Если ответ положительный, то ответом уравнения будут два различных корня. При отрицательном числе корни квадратного уравнения будут отсутствовать. В случае его равенства нулю ответ будет один.
По сути, рассмотрение этого вопроса уже началось. Потому что сначала нужно найти дискриминант. После того как выяснено, что имеются корни квадратного уравнения, и известно их число, нужно воспользоваться формулами для переменных. Если корней два, то нужно применить такую формулу.
Поскольку в ней стоит знак «±», то значений будет два. Выражение под знаком квадратного корня — это дискриминант. Поэтому формулу можно переписать по-другому.
Формула номер пять. Из этой же записи видно, что если дискриминант равен нулю, то оба корня примут одинаковые значения.
Если решение квадратных уравнений еще не отработано, то лучше до того, как применять формулы дискриминанта и переменной, записать значения всех коэффициентов. Позже этот момент не будет вызывать трудностей. Но в самом начале бывает путаница.
Здесь все гораздо проще. Даже нет необходимости в дополнительных формулах. И не понадобятся те, что уже были записаны для дискриминанта и неизвестной.
Сначала рассмотрим неполное уравнение под номером два. В этом равенстве полагается вынести неизвестную величину за скобку и решить линейное уравнение, которое останется в скобках. В ответе будет два корня. Первый - обязательно равен нулю, потому что имеется множитель, состоящий из самой переменной. Второй получится при решении линейного уравнения.
Неполное уравнение под номером три решается переносом числа из левой части равенства в правую. Потом нужно разделить на коэффициент, стоящий перед неизвестной. Останется только извлечь квадратный корень и не забыть записать его два раза с противоположными знаками.
Далее записаны некоторые действия, помогащие научиться решать всевозможные виды равенств, которые превращаются в квадратные уравнения. Они будут способствовать тому, что ученик сможет избежать ошибок по невнимательности. Эти недочеты бывают причиной плохих оценок при изучении обширной темы «Квадратные уравнения (8 класс)». Впоследствии эти действия не нужно будет постоянно выполнять. Потому что появится устойчивый навык.
Требуется решить следующие квадратные уравнения:
х 2 − 7х = 0;
15 − 2х − х 2 = 0;
х 2 + 8 + 3х = 0;
12х + х 2 + 36 = 0;
(х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2).
Первое уравнение: х 2 − 7х = 0. Оно неполное, поэтому решается так, как было описано для формулы под номером два.
После вынесения за скобки получается: х (х - 7) = 0.
Первый корень принимает значение: х 1 = 0. Второй будет найден из линейного уравнения: х - 7 = 0. Легко заметить, что х 2 = 7.
Второе уравнение: 5х 2 + 30 = 0. Снова неполное. Только решается оно так, как описано для третьей формулы.
После перенесения 30 в правую часть равенства: 5х 2 = 30. Теперь нужно выполнить деление на 5. Получается: х 2 = 6. Ответами будут числа: х 1 = √6, х 2 = - √6.
Третье уравнение: 15 − 2х − х 2 = 0. Здесь и далее решение квадратных уравнений будет начинаться с их переписывания в стандартный вид: − х 2 − 2х + 15 = 0. Теперь пришло время воспользоваться вторым полезным советом и умножить все на минус единицу. Получается х 2 + 2х - 15 = 0. По четвертой формуле нужно вычислить дискриминант: Д = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Он представляет собой положительное число. Из того, что сказано выше, получается, что уравнение имеет два корня. Их нужно вычислить по пятой формуле. По ней получается, что х = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогда х 1 = 3, х 2 = - 5.
Четвертое уравнение х 2 + 8 + 3х = 0 преобразуется в такое: х 2 + 3х + 8 = 0. Его дискриминант равен такому значению: -23. Поскольку это число отрицательное, то ответом к этому заданию будет следующая запись: «Корней нет».
Пятое уравнение 12х + х 2 + 36 = 0 следует переписать так: х 2 + 12х + 36 = 0. После применения формулы для дискриминанта получается число ноль. Это означает, что у него будет один корень, а именно: х = -12/ (2 * 1) = -6.
Шестое уравнение (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) требует провести преобразования, которые заключаются в том, что нужно привести подобные слагаемые, до того раскрыв скобки. На месте первой окажется такое выражение: х 2 + 2х + 1. После равенства появится эта запись: х 2 + 3х + 2. После того как подобные слагаемые будут сосчитаны, уравнение примет вид: х 2 - х = 0. Оно превратилось в неполное. Подобное ему уже рассматривалось чуть выше. Корнями этого будут числа 0 и 1.
Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.
С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье "Решение неполных квадратных уравнений".
Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0 , где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.
D = b 2 – 4ас.
В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.
Если дискриминант отрицательное число (D < 0),то корней нет.
Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),
тогда х 1 = (-b - √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .
Например. Решить уравнение х 2 – 4х + 4= 0.
D = 4 2 – 4 · 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Ответ: 2.
Решить уравнение 2х 2 + х + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23
Ответ: корней нет .
Решить уравнение 2х 2 + 5х – 7 = 0 .
D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81
х 1 = (-5 - √81)/(2·2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1
Ответ: – 3,5 ; 1 .
Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.
По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида
ах 2 + bx + c, иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что
а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда
D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).
Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2 , затем с меньшим – bx , а затем свободный член с.
При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.
Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2 равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0 . Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а , стоящий при х 2 .
На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.
Пример. Решить уравнение
3х 2 + 6х – 6 = 0.
Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.
D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3
х 1 = (-6 - 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Ответ: –1 – √3; –1 + √3
Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3
х 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Ответ: –1 – √3; –1 + √3
. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного 
уравнения рисунок 3.
D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3
х 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Ответ: –1 – √3; –1 + √3.
Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
