"तुलनात्मक पदवी" - एक फेरेट त्याच छिद्रात राहत होता. N.f. स्मार्ट + अधिक - स्मार्ट N.f. स्मार्ट + कमी - कमी स्मार्ट. वाक्यात भूमिका. आमचे कमी चपळ कुत्रे शर्यतींमध्ये उंदरांना आनंद देण्यासाठी जातात. महापालिका शैक्षणिक संस्था "एल्गाई मूलभूत माध्यमिक शाळा". हॅमस्टर पिल्लापेक्षा अधिक चपळ आहे. कसा तरी कमी चपळ शेजाऱ्याच्या पिल्लाने आमचा बूट ओढून नेला.
"नैसर्गिक निर्देशकासह पदवी" - नैसर्गिक आणि पूर्णांक निर्देशकासह पदवी. (-1)2k=1, (-1)2k-1= -1. नैसर्गिक घातांकासह पदवीचे गुणधर्म. नैसर्गिक निर्देशकासह पदवीचे निर्धारण. 1 ते कोणत्याही घात 1 1n=1 च्या बरोबरीचे आहे. पदवी म्हणजे काय? थोडक्यात कसे लिहायचे. समान आधारांसह शक्तींचा गुणाकार. एन अटी. 10n=100000…0.
"पूर्णांक घातांकासह पदवी" - गणना करा. शक्ती म्हणून अभिव्यक्ती व्यक्त करा. जर एक घटक ज्ञात असेल तर x-12 ला बेस x सह दोन शक्तींचे गुणाकार म्हणून व्यक्त करा. उतरत्या क्रमाने व्यवस्था करा. सोपी करा. x च्या कोणत्या मूल्यांसाठी समानता खरी आहे?
"तिसऱ्या पदवीचे समीकरण" - (तिसऱ्या बाबतीत - किमान, चौथ्या - कमाल). पहिल्या आणि दुस-या प्रकरणांमध्ये आपण म्हणतो की x = बिंदूवर फंक्शन मोनोटोनिक आहे. आमचे सूत्र उत्पन्न होते: "महान कला." म्हणून टार्टाग्लियाने स्वतःचे मन वळवण्याची परवानगी दिली. लेमा. तिसऱ्या आणि चौथ्या प्रकरणांमध्ये आपण म्हणतो की x = बिंदूवर फंक्शनचा एक्स्ट्रीमम आहे. कंस उघडत आहे.
"पदवीचे गुणधर्म" - नैसर्गिक निर्देशकासह पदवीचे गुणधर्म लागू करण्यासाठी ज्ञान आणि कौशल्यांचे सामान्यीकरण. नैसर्गिक घातांकासह पदवीचे गुणधर्म. विचारमंथन. 64 किती संख्येचा घन आहे? संगणकीय विराम. नैसर्गिक घातांकासह पदवीचे गुणधर्म. चिकाटी, मानसिक क्रियाकलाप आणि सर्जनशील क्रियाकलापांचा विकास.
"नव्या पदवीचे मूळ" - व्याख्या 2: A). समीकरणाच्या दोन्ही बाजू घन करू: - मूलगामी अभिव्यक्ती. x समीकरण विचारात घ्या? = 1. समीकरणाच्या दोन्ही बाजू चौथ्या घातापर्यंत वाढवू: फंक्शन्स y = x प्लॉट करूया? आणि y = 1. वास्तविक संख्येच्या nव्या मूळची संकल्पना. जर n विषम असेल तर एक रूट: चला y = x फंक्शन्सचे आलेख बनवू? आणि y = 1.
या लेखात आम्ही ते काय आहे ते शोधू ची पदवी. येथे आपण संख्येच्या घाताची व्याख्या देऊ, तर आपण नैसर्गिक घातांकापासून सुरू होणारे आणि अपरिमेय घातांकाने समाप्त होणाऱ्या सर्व संभाव्य घातांकांचा तपशीलवार विचार करू. सामग्रीमध्ये तुम्हाला अनेक अंशांची उदाहरणे आढळतील, ज्यात उद्भवलेल्या सर्व सूक्ष्मता समाविष्ट आहेत.
पृष्ठ नेव्हिगेशन.
चला सुरुवात करूया. पुढे पाहताना, नैसर्गिक घातांक असलेल्या n संख्येच्या घाताची व्याख्या a साठी दिली आहे, ज्याला आपण म्हणू. पदवी आधार, आणि n, ज्याला आपण कॉल करू घातांक. आम्ही हे देखील लक्षात घेतो की नैसर्गिक घातांकासह पदवी उत्पादनाद्वारे निर्धारित केली जाते, म्हणून खालील सामग्री समजून घेण्यासाठी तुम्हाला संख्यांच्या गुणाकाराची समज असणे आवश्यक आहे.
व्याख्या.
नैसर्गिक घातांकासह संख्येची घात nहे a n फॉर्मची अभिव्यक्ती आहे, ज्याचे मूल्य n घटकांच्या गुणाकाराच्या समान आहे, ज्यापैकी प्रत्येक a च्या समान आहे, म्हणजे, .
विशेषतः, घातांक 1 सह संख्या a ची घात ही संख्या स्वतः a आहे, म्हणजेच a 1 =a.
पदवी वाचण्याच्या नियमांबद्दल लगेच उल्लेख करणे योग्य आहे. नोटेशन a n वाचण्याचा सार्वत्रिक मार्ग आहे: “a to the power of n”. काही प्रकरणांमध्ये, खालील पर्याय देखील स्वीकार्य आहेत: "a ते nth पॉवर" आणि "a ची nth पॉवर". उदाहरणार्थ, बळ 8 12 घेऊ, ही “बारा ची आठ”, किंवा “आठ ची बारावी शक्ती” किंवा “आठची बारावी शक्ती” आहे.
संख्येच्या दुसऱ्या पॉवरला, तसेच संख्येच्या तिसऱ्या पॉवरची स्वतःची नावे असतात. संख्येची दुसरी शक्ती म्हणतात संख्येचा वर्ग करा, उदाहरणार्थ, 7 2 "सात वर्ग" किंवा "सात संख्येचा वर्ग" म्हणून वाचला जातो. संख्येची तिसरी शक्ती म्हणतात घन संख्या, उदाहरणार्थ, 5 3 "पाच घन" म्हणून वाचले जाऊ शकते किंवा तुम्ही "संख्या 5 चा घन" म्हणू शकता.
आणण्याची वेळ आली आहे नैसर्गिक घातांकांसह अंशांची उदाहरणे. चला 5 7 अंशाने सुरुवात करूया, येथे 5 हा अंशाचा आधार आहे आणि 7 हा घातांक आहे. आणखी एक उदाहरण देऊ: 4.32 हा पाया आहे आणि नैसर्गिक संख्या 9 हा घातांक (4.32) 9 आहे.
कृपया लक्षात घ्या की शेवटच्या उदाहरणात, पॉवर 4.32 चा आधार कंसात लिहिलेला आहे: विसंगती टाळण्यासाठी, आम्ही नैसर्गिक संख्यांपेक्षा भिन्न असलेल्या पॉवरचे सर्व बेस कंसात ठेवू. उदाहरण म्हणून, आम्ही नैसर्गिक घातांकासह खालील अंश देतो , त्यांचे बेस नैसर्गिक संख्या नाहीत, म्हणून ते कंसात लिहिलेले आहेत. बरं, पूर्ण स्पष्टतेसाठी, या टप्प्यावर आपण (−2) 3 आणि −2 3 या फॉर्मच्या नोंदींमध्ये असलेला फरक दाखवू. अभिव्यक्ती (−2) 3 ही −2 ची घात आहे ज्याचा नैसर्गिक घातांक 3 आहे, आणि अभिव्यक्ती −2 3 (हे −(2 3) म्हणून लिहिता येते ) ही संख्या, घात 2 3 चे मूल्य आहे. .
लक्षात घ्या की a^n फॉर्मच्या घातांक n सह संख्या a च्या घातासाठी एक नोटेशन आहे. शिवाय, जर n ही बहु-मूल्य असलेली नैसर्गिक संख्या असेल, तर घातांक कंसात घेतला जातो. उदाहरणार्थ, 4^9 हे 4 9 च्या पॉवरसाठी दुसरे नोटेशन आहे. आणि "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) हे चिन्ह वापरून अंश लिहिण्याची आणखी काही उदाहरणे येथे आहेत. पुढील गोष्टींमध्ये, आम्ही प्रामुख्याने n या फॉर्मचे डिग्री नोटेशन वापरू.
नैसर्गिक घातांकाच्या सहाय्याने घात वाढवण्याच्या विरुद्ध समस्यांपैकी एक म्हणजे पॉवरच्या ज्ञात मूल्य आणि ज्ञात घातांकातून पॉवरचा पाया शोधण्याची समस्या. हे कार्य ठरते.
हे ज्ञात आहे की परिमेय संख्यांच्या संचामध्ये पूर्णांक आणि अपूर्णांक असतात आणि प्रत्येक अपूर्णांक सकारात्मक किंवा नकारात्मक सामान्य अपूर्णांक म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो. आम्ही मागील परिच्छेदामध्ये पूर्णांक घातांकासह पदवी परिभाषित केली आहे, म्हणून, परिमेय घातांकासह पदवीची व्याख्या पूर्ण करण्यासाठी, आम्हाला अंशात्मक घातांक m/n सह संख्येच्या अंशाचा अर्थ देणे आवश्यक आहे, जेथे m एक पूर्णांक आहे आणि n ही नैसर्गिक संख्या आहे. चला करूया.
फॉर्मच्या अंशात्मक घातांकासह पदवीचा विचार करूया. पॉवर-टू-पॉवर प्रॉपर्टी वैध राहण्यासाठी, समानता असणे आवश्यक आहे 
. जर आपण परिणामी समानता आणि आपण कसे ठरवले हे विचारात घेतले तर, m, n आणि a साठी दिलेल्या अभिव्यक्तीला अर्थ असेल तर ते स्वीकारणे तर्कसंगत आहे.
पूर्णांक घातांकासह पदवीचे सर्व गुणधर्म वैध आहेत हे तपासणे सोपे आहे (हे विभागात केले आहे परिमेय घातांकासह शक्तींचे गुणधर्म).
वरील तर्क आम्हाला पुढील गोष्टी करण्यास अनुमती देतात निष्कर्ष: m, n आणि a दिल्यास अभिव्यक्तीचा अर्थ होतो, तर m/n या अपूर्णांक घातांकासह a च्या घाताला a च्या घात m च्या nव्या मूळ म्हणतात.
हे विधान आपल्याला अंशात्मक घातांकासह पदवीच्या व्याख्येच्या जवळ आणते. फक्त m, n आणि a या अभिव्यक्तीचा अर्थ काय आहे याचे वर्णन करणे बाकी आहे. m, n आणि a वर ठेवलेल्या निर्बंधांवर अवलंबून, दोन मुख्य दृष्टिकोन आहेत.
सकारात्मक m साठी a≥0 आणि ऋण m साठी a>0 घेऊन a वर मर्यादा घालणे हा सर्वात सोपा मार्ग आहे (कारण m≤0 साठी m ची डिग्री 0 परिभाषित केलेली नाही). मग आपल्याला अंशात्मक घातांकासह पदवीची खालील व्याख्या मिळते.
व्याख्या.
अंशात्मक घातांक m/n सह धन संख्या a ची घात, जिथे m एक पूर्णांक आहे आणि n ही नैसर्गिक संख्या आहे, त्याला m च्या घात a या संख्येचे nवे मूळ म्हणतात, म्हणजे, .
शून्याची अपूर्णांक शक्ती देखील केवळ एकच सावधगिरीने निर्धारित केली जाते की निर्देशक सकारात्मक असणे आवश्यक आहे.
व्याख्या.
अपूर्णांक धनात्मक घातांक m/n सह शून्याची शक्ती, जेथे m एक धन पूर्णांक आहे आणि n ही नैसर्गिक संख्या आहे, अशी व्याख्या केली जाते 
.
जेव्हा पदवी निर्धारित केली जात नाही, म्हणजे, अंशात्मक ऋण घातांक असलेल्या शून्य संख्येच्या अंशाला अर्थ नाही.
हे लक्षात घेतले पाहिजे की अंशात्मक घातांकासह पदवीच्या या व्याख्येसह, एक चेतावणी आहे: काही नकारात्मक a आणि काही m आणि n साठी, अभिव्यक्ती अर्थपूर्ण आहे आणि आम्ही a≥0 ही स्थिती सादर करून ही प्रकरणे टाकून दिली आहेत. उदाहरणार्थ, नोंदी अर्थपूर्ण आहेत 
किंवा, आणि वर दिलेली व्याख्या आपल्याला असे म्हणण्यास भाग पाडते की फॉर्मच्या अंशात्मक घातांकासह शक्ती 
अर्थ नाही, कारण बेस नकारात्मक नसावा.
अंशात्मक घातांक m/n सह पदवी निश्चित करण्याचा आणखी एक दृष्टीकोन म्हणजे मूळच्या सम आणि विषम घातांकांचा स्वतंत्रपणे विचार करणे. या दृष्टिकोनासाठी अतिरिक्त स्थितीची आवश्यकता आहे: संख्या a, ज्याचा घातांक आहे , ही संख्या a ची शक्ती मानली जाते, ज्याचा घातांक हा संबंधित अपरिवर्तनीय अपूर्णांक आहे (आम्ही खाली या स्थितीचे महत्त्व स्पष्ट करू. ). म्हणजेच, जर m/n हा अपरिवर्तनीय अपूर्णांक असेल, तर कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी k ही पदवी प्रथम द्वारे बदलली जाते.
सम n आणि धनात्मक m साठी, कोणत्याही नॉन-ऋणात्मक a साठी अभिव्यक्ती अर्थपूर्ण आहे (ऋण संख्येचे सम मूळ अर्थ नाही); ऋण m साठी, a संख्या अजूनही शून्यापेक्षा वेगळी असणे आवश्यक आहे (अन्यथा भागाकार होईल शून्याने). आणि विषम n आणि धनात्मक m साठी, a ही संख्या कोणतीही असू शकते (विषम अंशाचे मूळ कोणत्याही वास्तविक संख्येसाठी परिभाषित केले जाते), आणि ऋण m साठी, संख्या a शून्य नसावी (जेणेकरून कोणताही भागाकार नसेल. शून्य).
वरील तर्क आपल्याला अंशात्मक घातांकासह पदवीच्या या व्याख्येकडे घेऊन जातो.
व्याख्या.
m/n हा एक अपरिवर्तनीय अपूर्णांक, m पूर्णांक आणि n ही नैसर्गिक संख्या असू द्या. कोणत्याही कमी करण्यायोग्य अपूर्णांकासाठी, पदवी द्वारे बदलली जाते. अपरिवर्तनीय फ्रॅक्शनल घातांक m/n असलेल्या संख्येची शक्ती साठी आहे
कमी करण्यायोग्य अपूर्णांक घातांक असलेली पदवी प्रथम अपरिवर्तनीय घातांक असलेल्या अंशाने का बदलली जाते हे स्पष्ट करूया. जर आपण पदवीची व्याख्या फक्त म्हणून केली असेल आणि m/n अपूर्णांकाच्या अपरिवर्तनीयतेबद्दल आरक्षण केले नाही, तर आपल्याला पुढील सारख्या परिस्थितींना सामोरे जावे लागेल: 6/10 = 3/5 पासून, नंतर समानता असणे आवश्यक आहे 
, परंतु 
, ए .
कृपया लक्षात घ्या की हा विभाग संकल्पनेवर चर्चा करतो केवळ नैसर्गिक घातांकासह अंशआणि शून्य.
परिमेय घातांकासह (ऋण आणि अपूर्णांकासह) शक्तींची संकल्पना आणि गुणधर्म इयत्ता 8 च्या धड्यांमध्ये चर्चा केली जाईल.
तर, संख्येची घात म्हणजे काय ते शोधू.संख्येचा गुणाकार स्वत:च लिहिण्यासाठी, संक्षिप्त नोटेशन अनेक वेळा वापरले जाते.
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 या सहा समान घटकांच्या गुणाऐवजी 4 6 लिहा आणि "चार ते सहाव्या घात" म्हणा.
४ ४ ४ ४ ४ ४ ४ = ४ ६4 6 या अभिव्यक्तीला संख्येची शक्ती म्हणतात, जेथे:
सर्वसाधारणपणे, "a" आणि घातांक "n" असलेली पदवी अभिव्यक्ती वापरून लिहिली जाते:
लक्षात ठेवा!
1 पेक्षा जास्त नैसर्गिक घातांक असलेल्या "a" ची संख्या "n" समान घटकांचे गुणाकार आहे, ज्यापैकी प्रत्येक संख्या "a" च्या समान आहे.
एंट्री "a n" असे वाचते: "a to the n च्या घात" किंवा "a संख्या च्या nth पॉवर".
अपवाद खालील नोंदी आहेत:
घातांक एक किंवा शून्य (n = 1; n = 0) च्या समान असल्यास विशेष प्रकरणे उद्भवतात.
लक्षात ठेवा!
घातांक n = 1 सह “a” या संख्येची घात ही संख्याच आहे:
a 1 = a
शून्य पॉवरची कोणतीही संख्या एक बरोबर असते.
a 0 = 1
कोणत्याही नैसर्गिक शक्तीचे शून्य हे शून्य असते.
0 n = 0
कोणत्याही घाताची एक म्हणजे १.
1 n = 1
अभिव्यक्ती 0 0 ( शून्य ते शून्य शक्ती) निरर्थक मानले जाते.
उदाहरणे सोडवताना, तुम्हाला हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे की पॉवर वर वाढवणे म्हणजे पॉवर वर वाढवल्यानंतर संख्यात्मक किंवा अक्षर मूल्य शोधणे.
उदाहरण. एक शक्ती वाढवा.
| 256 |
आधार (जो संख्या पॉवरवर वाढवली जाते) ही कोणतीही संख्या असू शकते—सकारात्मक, ऋण किंवा शून्य.
लक्षात ठेवा!
पॉवरमध्ये पॉझिटिव्ह नंबर वाढवल्याने पॉझिटिव्ह नंबर तयार होतो.
जेव्हा शून्य नैसर्गिक शक्तीवर वाढवले जाते तेव्हा परिणाम शून्य असतो.
जेव्हा ऋण संख्या बळावर वाढवली जाते, तेव्हा परिणाम एकतर सकारात्मक संख्या किंवा ऋण संख्या असू शकतो. घातांक सम किंवा विषम संख्या होती यावर ते अवलंबून आहे.
ऋण संख्या बळावर वाढवण्याची उदाहरणे पाहू.
विचारात घेतलेल्या उदाहरणांवरून, हे स्पष्ट होते की जर ऋण संख्या विषम बळावर वाढवली तर ऋण संख्या मिळते. नकारात्मक घटकांच्या विषम संख्येचे उत्पादन ऋण असते.
जर ऋण संख्या सम बळावर वाढवली तर ती सकारात्मक संख्या बनते. नकारात्मक घटकांच्या सम संख्येचे उत्पादन सकारात्मक असल्याने.
लक्षात ठेवा!
सम घात वाढलेली ऋण संख्या ही धन संख्या असते.
विषम घात वाढलेली ऋण संख्या ही ऋण संख्या असते.
कोणत्याही संख्येचा वर्ग हा धन संख्या किंवा शून्य असतो, म्हणजे:
कोणत्याही a साठी a 2 ≥ 0.
घातांकाची उदाहरणे सोडवताना, (−5) 4 आणि −5 4 या भिन्न अभिव्यक्ती आहेत हे विसरून अनेकदा चुका होतात. या अभिव्यक्तींना शक्तींमध्ये वाढवण्याचे परिणाम वेगळे असतील.
(−5) 4 मोजणे म्हणजे ऋण संख्येच्या चौथ्या घाताचे मूल्य शोधणे.
(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625
"−5 4" शोधताना याचा अर्थ असा आहे की उदाहरण 2 चरणांमध्ये सोडवणे आवश्यक आहे:
उदाहरण. गणना करा: −6 2 − (−1) 4
−6 2 − (−1) 4 = −37मूल्य मोजणे याला घातांकाची क्रिया म्हणतात. ही तिसरी टप्पा क्रिया आहे.
लक्षात ठेवा!
शक्ती असलेल्या अभिव्यक्तींमध्ये ज्यामध्ये कंस नसतात, प्रथम करा घातांक, नंतर गुणाकार आणि भागाकार, आणि शेवटी बेरीज आणि वजाबाकी.
जर अभिव्यक्तीमध्ये कंस असतील, तर प्रथम कंसातील क्रिया वर दर्शविलेल्या क्रमाने करा आणि नंतर उर्वरित क्रिया त्याच क्रमाने डावीकडून उजवीकडे करा.
उदाहरण. गणना करा:
उदाहरणे सोडवणे सोपे करण्यासाठी, पॉवर्स टेबल जाणून घेणे आणि वापरणे उपयुक्त आहे, जे तुम्ही आमच्या वेबसाइटवर विनामूल्य डाउनलोड करू शकता.
तुमचे परिणाम तपासण्यासाठी तुम्ही आमच्या वेबसाइटवर कॅल्क्युलेटर वापरू शकता "
